Открытый урок Логарифмы 11 класс

Открытый урок 10.12.2014 г
1. ФИО
2. Место работы
3. Должность
4. Предмет
5. Класс
6. Тема и номер урока в теме
7. Базовый учебник Фанта Татьяна Ивановна
МОУ СОШ с. Аксарка
учитель математики
Алгебра и начала анализа
11
Логарифмы и их свойства (урок закрепления знаний)
А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, А.М. Дудницын, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбурд и др. «Просвещение» - 2011 г
8. Цель урока: создание условий, инициирующих действие обучающихся для закрепления и расширения знаний, совершенствование практических навыков в применении понятия и свойств логарифмов при решении задач, предлагаемых в заданиях ЕГЭ.
Задачи:
-обучающие: закрепить изученный материал по теме: «Логарифмы и их свойства», расширить объем имеющихся знаний;
-развивающие: обеспечить условия для общего развития учащихся, развития логического мышления, развития математического кругозора, речи, внимания и памяти, формирования креативных способностей и навыков самоконтроля; развития умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание и смекалку;
-воспитательные: воспитывать активность, мобильность, умение общаться, общую культуру, развивать познавательный интерес через познавательное значение текста задания, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта настойчивости для достижения цели.
9. Планируемые результаты:
Предметные УУД: освоение систематических знаний, их преобразование, применение и самостоятельное пополнение, владение представлениями о логарифмах и их свойствах, умение в процессе решения заданий ЕГЭ использовать эти знания и умения.
Личностные УУД: проявлять внимание и интерес к учебному процессу, уметь анализировать, оценивать ситуацию, выражать доброжелательное отношение к познанию, оценивать собственную учебную деятельность, проявлять самостоятельность, инициативу, ответственность, сравнивать разные точки зрения, считаться с мнением другого, уметь работать в парах и группах, слушать собеседника и вести диалог, аргументировать свою точку зрения.
Метапредметные УУД:
Регулятивные УУД: умение применять и сохранять учебную задачу, планировать решение задания, вносить изменения в процесс, намечать способы устранения ошибок, осуществлять итоговый контроль.
Познавательные УУД: уметь искать и обрабатывать информацию, записывать ее и воспринимать в том числе и средствами ИКТ; использовать модели, знаки, символы и схемы; осуществлять логические операции: анализ, синтез, сравнение, сериация и классификация, обобщение, подведение под понятие, аналогия, суждение, выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД: формировать умение сотрудничать с учителем и сверстниками при решении учебной задачи, принимать на себя ответственность за результат своих и коллективных действий, оформлять диалогическое высказывание в соответствии с требованиями речевого этикета; формировать умение слушать и вступать в диалог; формировать внимательность и аккуратность в вычислениях; воспитывать чувство взаимопомощи, культуру учебного труда, требовательное отношение к себе и к своей работе.10. Тип урока: урок закрепления знаний.
11. Формы работы учащихся: Фронтальная, парная, групповая.
12. Необходимое оборудование: доска, экран, проектор, компьютер, карточки самооценивания, проверочный лист, лист обратной связи.
13. Место проведения: учебный кабинет №222
15. Структура и ход урока (2 академических часа)
Этап урока Задачи этапа Деятельность учителя Деятельность учеников Время (в мин) Формируемые УУД
1. Организационный этап Создать благоприятный психологический настрой на работу Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.
Включаются в деловой ритм урока.
1 Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. Регулятивные: организация своей учебной деятельности Личностные: мотивация учения
2. Актуализация знаний Актуализация опорных знаний и способов действий. Организация устного счета и повторения основных свойств логарифмов Участвуют в работе по повторению: в беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы. 10 Познавательные: структурирование собственных знаний. Коммуникативные: организация и планирование учебного сотрудни-чества с учителем и сверстниками. Регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности Личностные: оценивание усваивае-мого материала.
3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока. Мотивирует учащихся, вместе с ними определяет цель урока; акцентирует внимание учащихся на значимость темы. Записывают дату в тетрадь, определяют тему и цель урока. 3 Познавательные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме. Личностные: самоопределение. Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса.
4.Обобщение и систематизация знаний Использование нового знания, правила, способа (алгоритма) деятельности в условиях решения задач. Формирование и развитие ценностного отношения к обобщению знаний и способов действий, повторению ранее усвоенных ЗУНов Организует ситуацию включения нового знания в систему знаний. Организует ситуацию выполнения заданий на повторение и закрепление изученного материала 20 Выполняют задания учителя. Придумывают свои задания по изученной теме
Физкультминутка Смена деятельности Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся. Учащиеся сменили вид деятельности и готовы продолжить работу. 1 5. Применение знаний и умений в новой ситуации Показать разно-образие задач, предлагаемых на ЕГЭ; формировать умение решать задачи в том числе с использованием ИКТ Организация и конт-роль за процессом решения задач. Работают в парах над поставленными задачами. 35 Познавательные: формирование интереса к данной теме. Личностные: формирование готовности к самообразованию. Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других. Регулятивные: планирование своей деятельности для решения постав-ленной задачи и контроль получен-ного результата.
6. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция. Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых. Выявляет качество и уровень усвоения знаний, а также устанавливает причины выявленных ошибок. Учащиеся анализируют свою работу, выражают вслух свои затруднения и обсуждают правильность решения задач. 4 Личностные: формирование пози-тивной самооцінки Коммуникативные: объективная и доброжелательная оценка работы одноклассников
Регулятивные: умение самостоя-тельно адекватно анализировать правильность выполнения действий и вносить необходимые коррективы.
7. Рефлексия (подведение итогов урока) Дать количественную оценку работы учащихся Подводит итоги работы групп и класса в целом. Учащиеся сдают карточки самооценивания. 2 Регулятивные: оценивание собственной деятельности на уроке
Информация о домашнем задании Обеспечение понимания детьми содержания и способов выполнения домашнего задания Дает комментарий к домашнему заданию Учащиеся записывают в дневники задание. 4 Ход урока
Деятельность учителя Деятельность учеников
1. Организационный этап. Эпиграф к уроку: « Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряженим» (А. Дистервег)
Приветствие учащихся, проверка их готовности к уроку. Обсуждение эпиграфа.
У каждого из вас на столах лежат карточки самооценивания. Подпишите их. В течение урока мы с вами будем выполнять различные задания. По окончании решения каждой задачи, вы должны оценить свою работу:
"+" - справился с задачей без затруднений,
"±" - справился с задачей, но возникали сложности,
"-" - не справился с задачей. Внимательно слушают, подписывают карточки
2. Актуализация знаний
Устные упражнения: На проверочном листе записаны свойства логарифмов с ошибками. Ваша задача рядом с ошибочным вариантом ответа записать их в правильном варианте.
Проверочные листы «Лови ошибку»:

№2 №1
45478707747000
log636 = 6, так как 6 ∙ 6 = 36;
2) log4116 = 2, так как 4 2 = 116;
3) log497= 7, так как 49 = 7∙7;
4) 0, 32log0,30.3 = 0,3log0,30, 6 = 0, 6;
5) log211+ log23= log2(11+3) = log214;6) ln8ln4 = 84 = 2;
7) 2lg 2 + 3lg3 = lg4 + lg9 = lg36.
Устно выполняют предложенные задания, записывают правильне ответы в карточки.
3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.
Ребята, выберите из предложенных тем ту, которая на ваш взгляд, соответствует целям и задачам сегодняшнего урока. Продолжите фразу: «Сегодня на уроке мы…»
Будем решать показательные уравнения и неравенства.
Будем решать иррациональные уравнения и неравенства.
Познакомимся с понятим логарифма.
Применять свойства логарифма при решении упражнений.
Решать задания ЕГЭ, используя свойства и определение логарифма.
Сначала давайте поговорим о том, для чего, зачем и где применяются логарифмы.
1. Федорова Ирина
Знания логарифмов и основных логарифмических свойств необходимы для людей многих профессий : физиков, химиков, астрономов, психологов, географов и экологов.Логарифмы по основанию 10 до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Логарифмическая линейка хорошо знакома нашим родителям. Она позволяет выполнять умножение и деление чисел, возведение в степень и вычисление квадратных и кубических корней.
Логарифмическая спираль часто встречается в природе. Впервые логарифмическая спираль описана Декартом , а потом была исследована Бернулли
2. Захаров Женя
Шкала Рихтера - классификация силы землетрясений, создана и представлена в 1935 г. геологом Чарльзом Рихтером . Шкала основана на принципе логарифма: каждое деление увеличивается в 10 раз, и его основанием является общая энергия, выделяемая при землетрясении.
Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах. Блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифму светового потока. Её направление обратное: чем больше значение звездной величины, тем слабее блеск объекта.
Многие Галактики закручены по логарифмической спирали. Солнечная система, как одна из Галактик тоже закручена по такой спирали.
3. Алексеева Юля.
В 1858 году немецкий физик и психолог Густав Фехнер доказал , основной психофизический закон , в котором говорится ,что интенсивность воспринимаемого нами ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения. Его формулируют так: «При изменении силы раздражителя в геометрической прогрессии, интенсивность ощущения меняется в арифметической прогрессии.»
Паук Эпейра сплетая паутину, закручивает паутину, скручивая нити вокруг центра по логарифмической спирали
Живые существа обычно растут во всех направлениях , сохраняя общее начертание своей формы. Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину им приходится скручиваться.
4.Кадырин Вова.
Логарифмы применяются и в психических явлениях. «Шкала Ландау» самый яркий пример .Знаменитый физик по ней оценивал заслуги своих коллег. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков имел класс 0,5, Бор, Дирак, Гейзенберг имели класс 1
Xимическая шкала кислотности очень близка к шкале звездных величин. Чем выше кислотность, тем ниже значение индекса, основанием логарифма служит 10.
Играя на рояле , пианист играет на логарифмах. Ступени темперированной хроматической гаммы представляют логарифмы этих величин с основанием 2. Читают темы, высказывают свое мнение.
Выбирают одну тему.
Ребята, которые подготовили информацию по данному вопросу, представляют свои презентации и сообщения.
4. Закрепление и обобщение знаний.
Доказательство свойств логарифмов:
1.Формула перехода к новому основанию и следствие из нее.

1. logab = logc blogca => loga b = 1logb a∙ Доказательство:
logab = logbblogba = 1logba => logab·logb a =1=> logbalogab = logbb = 1. ч.т.д.

2. logaα bβ = βαlogab Доказательство:
logaα bβ = logabβlogaaα = βlogabαlogaa = βαlogab. ч.т.д
Дополнительные формулы:
1. alogcb= blogca Доказательство:
Если равны два числа, то равны и их функции (в т. ч. логарифмы)
logcalogcb = logcblogca; logсb·logca = logca·logcb ч.т.д.
2. alogab= blogba. Доказательство:
logaalogab=logablogba=>logab·logaa = logba·logab;(:logab)
=>1=logab·logba; 1 = 1. ч.т.д.
3. logxa·logyb = logya·logxb. Доказательство: logba=logxalogxblogba=logyalogyb=>
logxalogxb = logyalogyb =logxa·logyb= logxb·logya. ч.т.д.
Решим уравнение: lg x2 = 2=> 2lgx=2=>lg x =1=> x=10, но при x = - 10 равенство верно, значит, потерян корень.
Почему? Найдем ОДЗ: x2>0, т.е. x ϵ -∞;0; (0;∞). Допущена ошибка. Какая? Сужена область допустимых
значений.
Правильное решение: lg x2 = 2=> 2lgx=2=>lg x =1=> x=10; x = ±10
Особенности:
Рассмотрим формулу logaxy=logax + logay. Найдем ОДЗ: а) левой и б)правой частей:
а) xy >0, a >0 => x>0y>0 U x<0y<0=> 1- я и 3-я четверти ;
б) x>0y>0=> 1-я четверть. ОДЗ сужена, значит, формула должна быть такой: logaxy= logax +logay, теперь
ОДЗ правой части – вся координатная плоскость с выколотыми осями координат.
Аналогично: 2. logaxy = logax -logay и 3. loga2kb2n = 2n2klogabЗадание С1. Найти значение функции f(x)= 10lgx3-3xx+5-log0,1x+5 в точке максимума.

Решение.
lgx3-3xx+5-log10-1x+5= lgx3-3xx+5 +lgx+5 = lg(x3-3x) - lgx+5 + lgx+5 = lg(x3-3x).
f(x)= 10lgx3-3x= x3-3x ОДЗ: x3-3xx+5 >0x+5 > 0 => x3-3x>0 Точки экстремума: f'(x) = 3x2-3; x2=1-не входит в ОДЗ; x3=-1 ϵ ОДЗ, f(-1)=2 Ответ: 2.
Задание 2.С1.Сравнить: 2log53+ 2 и 3log52 + 33.
Решение: Т.к. 2log53 = 3log52, сравним 2 и 33. Возведем обе части в шестую степень.
Получим: 26v 336; 23 v 32; 8 < 9 => 2log53+ 2 < 3log52 + 33. Обучающиеся на доске доказывают свойства логарифмо: один те, что есть в учебнике, другой – дополнительные, которых в учебнике нет.
Физкультминутка для глаз.
Давайте немного передохнем. Обучающиеся выполняют физкультминутку для зрения.
5. Применение знаний и умений в новой ситуации
Решение логарифмических неравенств:
Решить неравенство: (С3 2015г И.В. Ященко) logx-1x-22 ≤ 2.
Решение. Рассмотрим два случая: x-1 > 1 и x-1 < 1.
Первый случай. x-1>1,0<x-22≤ x-12; x<0x>2 2x-3≥0;x > 2
Второй случай.
0<x-1<1,x-22≥x-12>0; 0<x<1,1<x<2, =>0 2x-3≤0;<x<1 или 1<x≤32.
Решение неравенства: 0<x<1 , 1<x≤32 или x > 2. Ответ: 0;1; 1;32 ]; 2;∞С5 2015. Найдите все значения а при которых область определения функции
у = 3x ·x5logxa+3a3x+1·32-32 ·3a16-x1 3+xlogxa14 содержит ровно два целых числа. Решение.
у = 3x ·x5logxa+3a3x+1·32-32 ·3a16-x1 3+xlogxa14 = 4x1 3+logxa5+ax·32a-32a·a5-x1 3+xlogxa==4x13xlogxa5-xlogxax+32aax-a5 = 43x-32a·a5-ax .
ОДЗ:a>0x>0x≠13x-32a·a5-ax≥0При a ϵ 0;1 последнее неравенство системы эквивалентно неравенству x-2ax-5≥0<=>
x ϵ ( -∞; 2 a]U [5;∞) – не удовлетворяет условию задачи.
При a = 1это неравенство верно для x ϵ 0;1U 1;∞- тоже не подходит.
При a>1 x ϵ [2a;5] или [5;2a], если 2a>5).
Область определения будет содержать ровно два целых числа, если 2aϵ3;42aϵ6;7 <=>aϵ1,5;2aϵ3;3,5 Ответ: 1,5;2 U [3;3,5)Авторы задач выходят к доске и презентуют свои задачи. Задают наводящие вопросы одноклассникам по тексту и помогают им решить задачу.
6. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция
Работа в парах по карточкам.
К-1 С1. Решите систему неравенств: log3x-114+log13x-12<123x+2+3x>20Решение. Решим первое неравенство системы: log3x-114+log13x-12<12. ОДЗ: x≠1.log3x-114+log13x-12<12 => log3x-114x-12 < 12; log3x-112< 12; 12 log3x-1<12; log3x-1<1; x-1<3; - 3<x-1 <3; - 2<x <4. С учетом ОДЗ имеем x ϵ (-2; 1) U(1; 4).
Решим второе неравенство системы: 3x+2+3x>20; 32 ·3x+3x>20; 10·3x>20; 3x >2; log32 ; x ϵ (-2; 1).
Ответ: (log32; 1) U (1; 4).
К-2 С1. Решите неравенство: log39x+16x-9·4x+8≥2x.
Решение. 9x+16x-9·4x+8 ≥9x; . 16x-9·4x+8 ≥0; Обозначим 4x=y. Тогда:
y2-9y +8 ≥0; (y-1)(y-8) ≥0; => y ≤ 1; y ≥8.Следовательно, x ≤ 0; x ≥32. Ответ: (-∞;0] ; [32;+ ∞).
К-3 Сравнить числа: 15 и 2 log12145. Решение: Так как
2log12145 >2log12144 = 4; 15 < 16 = 4, то 2 log12145 > 15 Ответ: 2 log12145 > 15К-4 Сравнить числа: 3 + 2 и 2 log211. Решение: Так как
3 > 2,25 = 1,5, то 3 + 2 > 3,5 = log282 > log28·1,4 = log211,2 > log211 Ответ: 3 + 2 > log211 Давайте обсудим: какие задачи вызвали у вас затруднения и почему? В парах решают выбранную задачу.
По окончании работы над каждой задачей, один представитель от группы объясняет классу решение задачи на доске, дети оценивают результат своей деятельности на листах оценивания.
Учащиеся анализируют свою работу, выражают вслух свои затруднения и обсуждают правильность решения задач.
7. Рефлексия (подведение итогов урока)
ЭОР и ЦОР
Что нового, интересного вы узнали на сегодняшнем уроке? Как вы думаете, удалось ли нам решить учебную задачу? Почему вы так думаете?
Вы решали сегодня задачи, аналогичные которым, возможно,будут предложены вам на экзамене. Думаю,что после сегодняшнего урока вы сможете самостоятельно разобраться с заданими С1, С3, С5 , а на ЕГЭ справитесь заданиями, содержащими логарифмы.

Собираются карточки самооценивания и выставляются оценки за работу на уроке. Учащиеся выполняют задания, проверяют правильность решения с помощью ЭОР и ЦОР , проверяя правильность решения с помощью ИКТ
Учащиеся сдают карточки самооценивания.
8. Информация о домашнем задании: Домашнее задание по выбору карточки. Учащиеся получают карточки с домашним заданием.
Информационные источники,
используемые при подготовке к уроку.
А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, А.М. Дудницын, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбурд и др. «Просвещение» - 2011 г
Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе / А. Г. Асмолов. – М.: Просвещение, 2010
Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5-11. М.: Дрофа, 2001;
Учительский портал http://www.uchportal.ru/Завуч. инфо http://www.zavuch.info/Материалы курсовой подготовки.
Карточка самооценивания. Карточка самооценивания.
Ф. И. ______________________________________ Ф. И. ______________________________________
Система оценивания: Система оценивания:
"+" - справился с задачей без затруднений, "+" - справился с задачей без затруднений,
"±" - справился с задачей, но возникали сложности, "±" - справился с задачей, но возникали сложности,
"-" - не справился с задачей. "-" - не справился с задачей.


№ задания Задание Оценка
1 Устный счет 2 Работа в парах 3 Вывод формул 4 Задание выполненное , мной и представленное на уроке 5 Рефлексия ЦОР, ЭОР 6 Итого: ваша оценка за урок № задания Задание Оценка
1 Устный счет 2 Работа в парах 3 Вывод формул 4 Задание выполненное , мной и представленное на уроке 5 Рефлексия ЦОР, ЭОР 6 Итого: ваша оценка за урок
Если у вас: 5- 6 «+» - ставим оценку «5»; Если у вас: 5- 6 «+» - ставим оценку «5»;
4- 5 «+» - «4»; 4- 5 «+» - «4»;
2- 3«+» «3». 2- 3 «+» - «3».
Лист обратной связи: Лист обратной связи:
Сегодняшний урок мне позволил: ____________ Сегодняшний урок мне позволил:_______________
Невероятно интересным на уроке было: ________ Невероятно интересным на уроке было:____________
Ответы к проверочным листам «Лови ошибку»
Ответы К-1
logaa=1
loga1=0
logaxy=logax+logaylogaxy=logax-logaylogaxp= plogaxlogapx=1αlogaxalogax=x
Ответы К-2
1) log636 = 2, так как 62 = 36;
2) log4116 = -2, так как 4-2= 116;
3) log497= 0,5, так как 490,5 = 7;
4) 0, 32log0,30.3 = 0,3log0,30, 09 = 0, 09;
5) log211+ log23= log2(11∙3) = log233;6) ln8ln4 = ln23ln22 = 3ln22ln2 = 32 = 1,5;
7) 2lg 2 + 3lg3 = lg 4 + lg 27 = lg 108.