Презентация по алгебре на тему Логарифмы (10 класс)

логарифмы НЕТ НИ ОДНОЙ ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ , КАК БЫ АБСТРАКТНАОНА НИ БЫЛА , КОТОРАЯ КОГДА – НИБУДЬ НЕ ОКАЖЕТСЯПРИМЕНИМОЙ К ЯВЛЕНИЯМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО МИРА. Н.И. ЛОБАЧЕВСКИЙ. Задачи Познакомиться с историей происхождения логарифмов и их практическим применением Повторить понятие и свойства логарифмов Отработать навыки решения задач, предлагаемых на ЕГЭ Закрепить знания, умения и навыки Из истории логарифмов В течении XVI в.резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (в частности, при определении положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно понять, при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению (была составлена, например, таблица квадратов целых чисел от 1 до 100000, позволяющая вычислять произведения по формулеab=1/4(a+b)2-1/4(a-b)2 большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство - таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. В 1614 году шотландский математик Джон Непер(1550 - 1617) изобрел таблицы логарифмов. Принцип их заключался в том, что каждому числу соответствует свое специальное число - логарифм. Логарифмы очень упрощают деление и умножение. Например, для умножения двух чисел складывают их логарифмы. результат находят в таблице логарифмов. В дальнейшем им была изобретена логарифмическая линейка, которой пользовались до70-х годов нашего века. Швейцарский часовщик и мастер астрономических приборов, любитель математики. И. Бюрги (1552 - 1632)составил первые таблицы логарифмов. Долгое время он не решался публиковать таблицы, медлительность Бюрги стоила ему приоритета. Только в 1620 году издал свою книгу "Таблицы арифметической и геометрической прогрессии с обстоятельным наставлением, как пользоваться ими при всякого рода вычислениях". Практическое применение логарифмы находят в … Криптографии, где логарифмы по основанию 2 используются в полиномах при шифровании и дешифровании информацииПри измерения параметров различной радиоаппаратуры ( систем телефонии ,в системах передачи информации (модемы) ) была введена единица под названием "Бел" - в честь американского ученого A.G. Bell, (1847-1922гг). Бел [Б] - единица логарифмической величины, служащая для измерения разности уровней одноименных энергетических (мощность, энергия и т.п.) или силовых (напряжение, сила тока и т.п.) величин. Из-за крупности единица "Бел" не нашла широкого применения, а вот её десятая доля (0.1 Б) прочно заняла своё место в практике измерений. Как известно, для десятой доли используется приставка Деци-, поэтому дольную единицу звали ДЕЦИБЕЛ [дБ ] [dB].В акустике для измерения громкости звука. Определение Логарифмом положительного числа x по положительному и отличному от единицы основанию а, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число x. обозначения: Натуральный логарифм – это логарифм числа по основанию еДесятичный логарифм – это логарифм числа по основанию 10 Знаете ли вы… Способ для запоминания простой – два, семь ,дважды ЛевТолстой е ≈ 2 , 7 1828 1828… e ≈ 2,718281828... Это я знаю и помню прекрасно π ≈ 3 , 1 4 1 5 9…. π ≈ 3,14159…Два замечательных рациональных приближения числа ∏ π ≈ - древнейшее, открыто знаменитым китайским астрономом Цю-Шунь-Ши в 5 веке до н. э.π ≈ -открыто Архимедом. Функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием а. a>1 01 D(f)=(0;∞) – область определения E(f)=R – множество значенийФункция возрастает на D(f);y=0 при x=1;у>0 при x>1; у<0 при 00 при 01;Функции y=logax и y=ax взаимно обратны, их графики симметричны относительно прямой y=x. Свойства логарифмов при любом a>0 ( a≠1 ) и любых х>0, y>0, любых действительных p и k≠0 выполнены равенства: Логарифм частного Логарифм степени Логарифм произведения Основное логарифмическое тождество Формула перехода ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Пример 1 (А).Упростите выражение lg25+0.5lg16. 1) lg29; 2) 2; 3) lg33; 4) 10.Решение. Применив свойство логарифма степени ко второму слагаемому, а затем свойство суммы логарифмов, получим:Lg25+0.5lg16=lg25+lg161/2=lg25+lg4=lg(25*4)=lg100=2.Ответ: 2.Пример 2 (В). Найдите значение выраженияРешение. Значение первого слагаемого можно найти с помощью основного логарифмического тождества:Применяя ко второму и третьему слагаемому формулыПолучаем :Значит, Ответ: 2 УРАВНЕНИЯ ПРИМЕР3(А)УКАЖИТЕ ПРОМЕЖУТОК, КОТОРОМУ ПРИНАДЛЕЖИТ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ 1) (-∞:-2] 2) (-2:2) 3) [2;4] 4) (4; + ∞)Решение. Данное уравнение равносильно системеКоторая равносильна системеРешая уравнение ,получаем: x=2 или x=-4Число -4 не удовлетворяет условию x>0, т.е. является посторонним корнем.Число 2 удовлетворяет условию x>0, значит, является корнем исходного уравнения. Этот корень принадлежит промежутку, указанному в третьем варианте ответа.ответ: 3 Пример4(с).Найдите все значения a , при каждом из которых уравнениеИмеет два различных корня, равноудаленных от точки x=42.Введем обозначение .уравнение примет вид: Его корни - числа . следовательно, ;Отсюда получаем:Точка x=42 равноудалена от точек ,т.е. она является серединой отрезка с концами в этих точках.Воспользуемся формулой координаты середины отрезка Далее получаем: ответ: при a=1. Ответ:a=1 Пример 5(с).При каких значениях параметра a уравнениеимеет ровно четыре корня?Решение. О.Д.З. : x > 0. Пусть Тогда уравнение должно иметь два положительных корня, то есть при D>0 и . Таким образом, откуда Ответ: при неравенства Пример6(A). решите неравенство:1) (-∞; 4.5) 2) (0;+∞) 3) (2.5; 4.5) 4) (4.5; +∞)Решение. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием Ѕ.Получим неравенствоТак как функция определена и убывает на промежутке (0;+∞), то данное Неравенство равносильно следующей системе 2x-5>4, 2x-5>0.Данная система равносильна неравенству 2x-5>4, или x>4.5.Значит, решением данного неравенства является промежуток (4.5;+∞).ответ: 4. Пример 7(А). Решите неравенство:1) (1;+∞) 2) (0;+∞) 3) (-∞;-4) 4) (-4;+∞) Так как функция определена и возрастает на промежутке (0;+∞) , то данное неравенство равносильно следующей системе 2x+3>x-1, x-1>0, 2X+3>0.Решая неравенства системы, получаем x>-4, x>1. Значит, решением данного неравенства является промежуток (1;+∞).ответ: 1 Пример 9(B) Решите неравенство log2x – 5(5x – 2) і1.Решение. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:Пример 9(B) Решите неравенствоРешение. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:Решаем первую из этих систем:Решаем вторую систему:Решением исходного неравенства является объединение двух решений этих систем, т.е. Ответ:                                                                                                                                                            функции пример9(A).найдите область определения функции 1) (0;+∞) 2)(0;0.09] 3)[0.09;+∞) 4) [0;+∞)Решение. Функция определена на промежутке [0;+∞), поэтому ≥0, Т.е. ≤2 Представим правую часть полученного неравенства в виде логарифма с основанием 0.3: ≤Поскольку функция определена и убывает на промежутке (0;+∞) то данное неравенство равносильно неравенству x≥0.09.Значит, решением данного неравенства является промежуток [0.09;+∞).Ответ:3 Пример10(В).найдите наименьшее значение функцииРешение. функция монотонно убывает на всей области определения. Поскольку область определения логарифмической функции- множество всех положительных чисел, то >0, отсюда следует, что (x-0.5)(x+0.5)<0, -0.5