Методработа Функция и её сойства
Работа выполнена М.А. Гостевой – учитель физики и математики и Г.А. Лысковой – учителем математики
ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
Введение
Содержание
Введение.
Функция.
2.1. История развития понятия функции.
2.2. Функция: область определения, множество значений.
2.3. Способы задания функции.
2.4. График функции.
2.5. Непрерывность функции.
2.6. Преобразования графика функции.
2.7. Свойства функции в примерах и иллюстрациях.
2.8. Схема исследования функции.
Заключение.
Приложения.
ВВЕДЕНИЕ
Программа школьного курса математики включает большое число понятий и терминов. Основной процесс обучения характеризуется широтой охвата различных тем. Редко на уроках удается заглянуть в глубь изучаемого понятия, остановиться на разноообразных подходах к нему. Часто ребята испытывают трудности при ответах на вопросы по теме «Функция и ее свойства», подтверждением этого являются их ответы на вступительных экзаменах и знания, которые они показывают при повторении данной темы в процессе обучения.
В связи с этим в учебном пособии собран материал для систематизации знаний по данной теме.
Главная цель данной работы систематизация и обобщение, знаний учащихся, полу ченных ими при изучении фундаментальных понятий о функции, о способах задания и свойствах числовых функций, о графике функции как наглядном изображении функциональной зависимости, о содержании и прикладном значении задачи исследования функции, умении свободно «читать» и преобразовывать графики.
Работа включает в себя:
исторические сведения о развитии понятия функции;
трактовку понятий «Функциональная зависимость» и «Функция»;
способы задания функции;
график функции, его «чтение» и преобразование;
основные свойства функции (монотонность, знакопостоянство, экстремумы, наибольшее и наименьшее значение, ограниченность, периодичность) и их графическая интерпретация че рез устное народное творчество.
Итогом всего оказанного является схема исследования функции.
Теоретический материал изложен на наглядно-образной основе, что, безусловно, поможет бо лее качественному усвоению материала учащимися.
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ «ФУНКЦИЯ»
В своей книге «Беседы и ма тематические доказательства, касающиеся 2-х новых отраслей науки» Г. Галилей задает вопрос: «Почему не бывает животных, какой угодно величины. Почему, например, нет слонов в 3 раза больше роста, чем существуют, но тех же пропорций?»
Ответ найден, и он таков: «Стань слон в 3 раза больше, объем и вес его тогда увеличились бы в 27 раз, как куб размера, а площадь сечения костей, и, следовательно, их прочность - только в 9 раз, как квадрат размера. Прочности костей уже не хватило бы, чтобы выдержать непомерно увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью».
Рассуждение вполне четкое и ясное. Что же придало ему такую наглядность и убедитель ность?
То, что в основу вывода положены 2 строгие математические зависимости:
Первая - устанавливает соответствие между размерами подобных тел и их объемами: объем изменяется как куб размера (если ребро куба увеличилось вдвое, то его объем - увели чился в 8 раз: 23 = 8).
Вторая - связывает размеры подобных фигур и их площади: площадь изменяется, как квадрат размера (если вдвое увеличивается сторона квадрата, площадь его возрастает вчетверо: 22 = 4).
Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые по няли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костер, тем те плее будет в пещере и т. д.
С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество извест ных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило «формулировать их словами «больше на», «меньше на», «больше во столько-то раз». Если за одного быка давали 6 овец, то 2-х быков обменивали на 12, а 3-х-на 18. Такие рас четы привели к возникновению понятия о пропорциональности величин. В те времена редко приходилось сталкиваться с более сложными зависимостями. Но когда возникли первые цивилизации, образовались большие (по тем масштабам) армии, началось строительство ги гантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали все (налоги, определяли коли чество кирпичей, подсчитывали, сколько продовольствия надо заготовить для дальних похо дов...), т.е. они составляли правила, передаваемые от одного поколения писцов к другому, кото рые записывались в таблицы.
Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления вавилоняне составляли таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов, т.е., говоря современным языком, это было табличное задание функций:
у=1/х; у = х2; у = х3; у = х2 + х3.
В Древней Греции наука имела иной характер. Появились профессиональные ученые, ко торые изучали саму математическую науку, занимались строгим логическим выводом одних утверждений из других. Многое из того, что делали древнегреческие математики, также могло привести к понятию «Функция»:
- решались задачи на построение, и выяснялось, при каких условиях задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь данная задача...
- нашли много кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости ме жду отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и т.д.
Но все же древнегреческие математики не создали общего понятия функции.
Далее центр научных исследований переместился в арабские страны. Арабские ученые ввели новые тригонометрические функции и усовершенствовали таблицы хорд, составленных Птолемеем. Работая с тригонометрическими таблицами, они прибегали к интерполяции, т.е. к «чтению между строк». Чаще всего применяли линейную интерполяцию, считая, что между двумя известными значениями функция меняется линейно.
Хорезмиец аль-Бируни (XI в.) разработал более точный метод интерполяции, основанный на замене данной функции квадратичной и указал, что этот способ «применим ко всем табли цам». Здесь встречается мысль о «всех таблицах», т.е. о всевозможных зависимостях между величинами.
Исследование общих зависимостей началось в XIV в. Наука была схоластической. Для до казательства своей правоты ученые прибегали не к опыту, а к цитатам из Аристотеля и Пла тона. При таком характере «научных дискуссий» не оставалось места изучению количест венных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь).
Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивности длинами отрезков. Важным достижением Оресма была попытка квалифицировать получившиеся графики. Он вы делил 3 типа: равномерные (т.е. с const интенсивностью), равномерно-неравномерные (для ко торых скорость изменения интенсивности const) и неравномерно-неравномерные (все ос тальные), а также указал характерные свойства графиков таких качеств.
Идеи Оресма намного обогнали тот уровень науки. Чтобы развивать их дальше, нужно было уметь выражать зависимости между величинами не только графически, но и с помощью формул. А буквенной алгебры тогда не было, лишь в XVI в. удалось сделать следующий шаг в развитии понятия функции.
ФУНКЦИЯ
На протяжении XVI – XVII b, в естествознании произошла революция, приведшая к глубо чайшим изменениям не только в технике, но и в мировоззрении людей. Люди стали смотреть на мир как на механизм, управляемый своими законами. И основной задачей науки стало от крытие этих законов, описание их в терминах математики. Нужны были новые математиче ские методы, которые позволяли бы описывать мир, полный движения и перемен.
Одним из первых задумался над такими задачами основатель динамики Г. Галилей (1564 - 1642), это ему удалось лишь в простейших случаях (изменение скорости падающего тела, движение точки на ободе колеса...). Чтобы создать математический аппарат для изучения движений, понадобилось понятие переменной величины.
Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596 - 1650). Его жизнь была очень бурной: получив образование в иезуитском колледже, вел рассеянную жизнь светского человека в Париже, затем стал наемным солдатом в войсках голландского полководца Морица Нассауского, принимал участие в битвах 30-ей войны, а вер нувшись во Францию, участвовал в осаде гугенотской крепости Ла-Рошель. Но потом оставил военную службу и погрузился в занятия наукой.
Величина называется постоянной (const), если в условиях данного исследования она сохраняет одно и то же значение:
- отношение длины окружности к своему диаметру;
- ускорение силы тяжести в данной поверхности Земли;
- сумма внутренних углов треугольника.
Величина называется переменной, если в данном исследовании или процессе она принимает различные значения:
- расстояние, отделяющее парашютиста от поверхности Земли после того, как он выбросился из самолета;
- температура воздуха в течение суток ...
В математике отвлекаются от физического смысла переменных величин, участвующих в том или ином процессе, а интересуются только взаимосвязью между числовыми значениями изменяющихся переменных величин. Это приводит к одному из важнейших понятий матема тики - понятию функции.
И еще одно существенное замечание: когда говорят, что величина У есть функция вели чины X, то прежде всего указывают, какие значения может принимать X. Эти «разрешенные» значения аргумента X называют доступными значениями, а множество всех допустимых зна чений величины X называется областью определения функции У.
Например, говоря, что объем шара V есть функция его радиуса R, имеют в виду, что обла стью определения функции V = 4/3 ITR2 будут все числа, большие нуля, поскольку величина R может быть только положительным числом.
Всегда, когда задается функция, необходимо указывать ее область определения Д(у).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мы говорим, что у есть функция величины х, если:
- указано, какие значения х являются допустимыми, т.е. задана область определения функции Д(у);
- указано правило, по которому каждому допустимому значению х соответствует в точности одно значение величины у.
Коротко записывают: у = f(x);
х - аргумент функции (независимая переменная);
у - функция (зависимая переменная, значение функции в точке х);
Д(у) - область определения функции;
Е(у) - множество значений функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Областью определения функции называется множество точек числовой оси, в которых функция имеет вполне определенные действительные значения.
Все значения, которые принимает независимая переменная (х), образуют область опреде ления функции; все значения, которые принимает зависимая переменная (у), образуют множество значений функции.
Пример 1. Представьте себе аэропорт. X – множество пассажиров; Y – места в самолете.
Пусть пассажиры рассаживаются так:
Мама (M) занимает кресло № 1;
Ребенок (R) занимает кресло № 2;
Папа (P) занимает кресло № 3;
Дядя (D) занимает кресло № 4;
Тетя (T) занимает кресло № 6.
Неважно, что часть кресел осталась незанятой. Главное то, что каждому пассажиру (каждому элементу x X) досталось одно место (поставлен в соответствии единственный элемент y Y).
Пример 2. Обстоятельства изменились, и маму просят взять ребенка на руки. Получается та кая картина:
Все равно это функция, т.к. выполнено условие: каждому элементу множества X поставлен соответствие единственный элемент из второго множества Y.
Пример 3. В этом самолете летит очень «крутой» дядя, который хочет в одно кресло сесть, а на другое положить ноги. Такое соответствие функцией не является.
Зная, что такое функция можно установить зависимость между множеством всех натуральных чисел и цветом спектра (Каждый охотник желает знать, где сидит фазан). Так, числу 1 можно поставить в соответствие красный цвет и далее по таблице, начиная с числа 8 все повторяется. Чтобы определить цвет числа, например 29, надо найти остаток от деления 29 на 7. Это 1, значит число 29 красного цвета и т.д.
Функциональная зависимость в представлении астрологов
числа
цвет
нота
значение
1
красный
до
энергия, бодрость
2
оранжевый
ре
раскрепощение, освобождение
3
желтый
ми
гармоничное отношение к жизни
4
зеленый
фа
цвет природы, мироздания
5
голубой
соль
духовность, глубина чувств
6
синий
ля
просветляет (если светлый), давит (если темный)
7
фиолетовый
си
космическая энергия, интеллект, философия
Функциональная зависимость между множеством натуральных чисел и множеством цветов спектра, между множеством натуральных чисел и множеством нот
50
51
52
53
54
55
56
43
44
45
46
47
48
49
36
37
38
39
40
41
42
29
30
31
32
33
34
35
22
23
24
25
26
27
28
15
16
17
18
19
20
21
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
до
ре
ми
фа
соль
ля
си
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Правило, с помощью которого по значению аргумента х находится соответствующее значение у, можно задавать различными способами, и никаких ограничений на форму, в которой оно выражается, не накладывается:
- словесное описание (см. рассуждения выше);
- таблица (результаты опытов или готовые таблицы в справочниках):
Например,
Максимально длительно допустимые токи для проводов в зависимости от сечения.
Сечение жилы, мм2
0,75
1
1,5
2,5
Максимально допустимый ток, А
13
15
20
27
- формула: (у = V(x+3)/(x-5))
Если функция задана формулой, то рассматривается естественная область оп ределения функции, т.е. множество всех чисел, для которых можно выполнить действия, указанные формулой; - график;
Изображать функции графиками очень удобно: на графике сразу видно отличие одной функции от другой.
Графический способ делает информацию о функции зримой и наглядной. Выразительная картинка вмиг расскажет о характерных особенностях и поведении функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. График функции это множество точек координатной плоскости, ко торых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х, а ординаты - соответ ствующими значениями функции у.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Чаще всего график функции изображается непрерывной линией, которой мы соединяем точки, нанесенные на координатную плоскость по данным таблицам. Почему не оставляем их редкой россыпью?
В этом проявляется представление, давно, и глубоко укоренившееся в нашем миропонимании. По аналогии с крылатым выражением: «Природа не терпит пустоты», его можно интерпретировать так: «Природа не терпит разрывов».
Нельзя говорить о том, что поезд, идущий из Москвы во Владивосток, после остановки в Омске незамедлительно оказался в Новосибирске, не побывав при этом ни на одной проме жуточной станции. Непрерывность времени и пространства - один из краеугольных тезисов механики. Непрерывным представляется, чуть ли не всякое изменение, происходя щее в природе: все значения высоты от начального до конечного принимает уровень воды в наполняемой ванне, все значения размера - длина горящей свечи и ширина ножа, стирающегося от частой заточки. В рамках механических моделей непрерывным считается не только пространство, но и любая среда: металл, жидкость, даже газ.
Согласно современным представлениям, материя состоит из отдельных частиц-атомов, мо лекул, между которыми пустота, и все физические величины изменяются порциями - кван тами. Но квантовая природа материи проявляется в масштабах столь малых, столь труднодос тупных непосредственному восприятию, что мы пренебрегаем ею, отнюдь не считая это изме ной общепризнанной демокритовой концепции о зернистости всего существа.
Непрерывность материальных образов была естественным и непременным требованием употребительных систем мира от Аристотеля («В отношении сущего при отвлечении мате матику сохраняет только количественную определенность и непрерывность») до Нью тона («Я рассматриваю ... математические количества не как состоящие из очень малых посто янных частей, а как производимые непрерывным движением»).
Отвечая этому требованию, математика разработала систему вещественных (R) чисел. Ве щественные числа - совокупность непрерывная и поэтому оказалось возможным изображать их точками прямой линии. С легкой руки Декарта функциональную зависимость стали изо бражать графиками на координатной плоскости. Так математика привыкла дополнять поня тие функции неявным предположением о непрерывности аргумента.
Между тем математическое определение функции вовсе не требует этого. И потому оно общезначимо для всей математики, потому им пользуются и в дискретной математике, бурно развивающейся в последнее время, находящей все больший спрос у экономистов, биоло гов, лингвистов.
Наглядно непрерывность функции означает, что на каждом промежутке, содержащемся в ее области определения, график представляет собой сплошную линию без разрывов.
Однако, не следует забывать, что не всякая функция обладает свойством принимать промежуточные значения, т.е. свойством непрерывности.
Это иллюстрируют следующие примеры.
Пример 1.
Функция f(x) = sgn (x) (от латинского слова signum – «знак») определяется следующим образом:
sgn (x) = {
1 при х > 0,
0 при х = 0,
-1 при х < 0.
Область определения этой функции – вся числовая прямая. График функции представляет собой объединение двух открытых лучей (не содержащих начальных точек) и одной изолированной точки – начала координат. Эта функция не обладает свойством принимать промежуточные значения. Например, f(0) < 0,5; f(1) > 0,5. Причем нигде между точками 0 и 1 функция не принимает значения 0,5.
На следующих рисунках приведены графики других функций, также не обладающих свойством принимать промежуточные значения. Характерным для этих функций является то, что они имеют в некоторой точке a разрыв, как бы скачком изменяя свое значение.
Пример 2.
Функция f(x) = 1/х непрерывна, ни в одной точке области определения она не имеет разрывов.
В точке х = 0 функция не определена, т.е. ее область определения представляет собой объединение двух промежутков (-
·; 0) и (0; +
·). На каждом из них график функции представляет собой сплошную линию и на каждом из них функция обладает свойством принимать промежуточные значения h = 0. Однако на всей своей области определения f(x) не обладает этим свойством: f(- 1) < 0; f(1) > 0, но функция не принимает промежуточного значения h = 0. Это происходит потому, что точка х =0 не принадлежит области определения, т.е. отрезок [- 1; 1] не содержится целиком в области определения.
Итак, утверждение «функция f(x) = 1/х разрывна в точке х = 0» неверно. Правильным является утверждение: функция f(x) = 1/х не определена в точке х = 0. Функция может быть непрерывной или разрывной только в точках, принадлежащих ее области определения.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ
Под преобразованием графика функции у = f(х) подразумевают построение графика функции
а) у = f(х) + с, у = f(х + с)
б) у = - f(х), у = f(- х)
в) у = аf(х), у = f(ах)
г) у = f(|х|), у = |f(х)|, у = |f(|х|)|
д) у = (ах + b)/(сх + d)
е) у = f(х) + g(х), у = f(х) - g(х)
ж) у = f(х) * g(х)
Построение графиков функций путем сдвига графиков основных функций или сдвига осей координат.
1. Чтобы построить график функции у = f(х) + с, можно:
а) график функции у = f(х) сдвинуть вдоль оси Оу на с единиц в сторону, совпадающую со знаком с.
б) перенести параллельно оси Ох в сторону, противоположную знаку с.
2. Чтобы построить график функции у = f(х + с), можно:
а) график функции у = f(х) сдвинуть вдоль оси Оу на с единиц в сторону, противоположную знаку с.
б) перенести параллельно оси Оу в сторону, совпадающую со знаком с.
Построение графиков функций путем симметричного отображения относительно осей координат графика основной функции.
1. Чтобы построить график функции у = - f(х), можно построить изображение, симметричное графику функции у = f(х) относительно оси Ох.
2. Чтобы построить график функции у = f(- х), можно построить изображение, симметричное графику функции у = f(х) относительно оси Оу.
Построение графиков функций путем деформации (сжатия или растяжения) графиков основных функций.
1. Чтобы построить график функции у = аf(х) при а > 0, можно график функции у = f(х) растянуть вдоль оси Оу при а > 1 и сжать вдоль оси Оу при 0 < a < 1.
2. Чтобы построить график функции у = f(wх) при w > 0 , можно график функции у = f(х) растянуть вдоль оси Ох при w > 1, и сжать вдоль оси Ох, если 0 < w < 1.
Построение графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.
1. у = f(|х|). Функция у = f(х) четная. Чтобы построить ее график, достаточно построить для
х
· 0 график функции у = f(х), а затем отобразить его относительно оси Оу.
а) у = log2 |x|
б) у = ј х2 - |x| - 2
2. у = |f(х)|. Можно данную функцию рассматривать как совокупность двух функций
у =[
f(х), где f(х)
· 0
- f(х), где f(х) < 0
Чтобы построить график функции у = |f(х)|, достаточно построить график функции у = f(х), и ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси Ох.
а) у = |1/4x2 – х - 2|; б) у = |log2 x|
3. у = |f(|х|)|. Можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух функций
у = [
f(|х|), где f(|х|)
· 0
- f(|х|), где f(|х|) < 0
Чтобы построить график функции у = |f(|х|)|, достаточно построить график функции у = f(х), и ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси Ох.
а) у = |1/4x2 – |х| - 2|; б) у = |log2 |x||
Построение графика дробно-линейной функции.
Дана функция у = (ах + b)/(сх + d), где а, b, с, d – постоянные, причем с
· 0, аd
· bс, х
· d /с.
у = (ах + b)/(сх + d) =
· + R/ (х –
·), где
· = - d/с,
· = а/с, R = (bс – аd)/ с2.
1. Начало системы координат О (0,0) переходит в О1 (
·;
·) (т.е. новые оси х1 =
·, у1 =
·).
2. Относительно О1 строится график функции у = R/х.
3. Искомый график у = R/х относительно исходной системы координат.
Пример. Построить график функции у = (2х – 5)/(х – 4)
у = (2х – 5)/(х – 4) = 2 + 3/(х – 4);
· = 4;
· = 2
2х – 5
2х – 8
3
х – 4
2
Построим график функции у = 3/х.
х
0,5
1
2
3
у
6
3
1,5
1
Замечание. Для построения графика дробно-линейной функции не обязательно преобразовывать дробь, задающую эту функцию. Достаточно найти прямые, к которым приближаются ветви гипербол (асимптоты гиперболы), и еще несколько точек.
В рассмотренном примере функция не определена при х = 4, т.е. вертикальная асимптота
х = 4.
Чтобы найти горизонтальную асимптоту надо определить к чему приближаются значения функции, когда аргумент возрастает по абсолютной величине. Для больших значений х
у = (2х – 5)/ (х – 4)
· 2х /х = 2.
Следовательно, горизонтальная асимптота – прямая у = 2.
Определим точки пересечения гиперболы с осями координат.
С Оу: х = 0, у = - 5/(- 4) = 1,25, (0; 1,25);
С Ох: у = 0,2х – 5 = 0, х = 2, 5, (2,5; 0).
Возьмем еще несколько точек и построим график.
Сложение и вычитание графиков.
Общий метод построения графиков суммы и разности двух функций заключается в том, что предварительно строят два графика для обеих функций, а затем складывают или вычитают ординаты этих кривых при одних и тех же значениях х (удобно в характерных точках). По полученным точкам строят искомый график и выполняют проверку в нескольких контрольных точках.
Упрощенный прием построения графиков суммы и разности функций: строят сначала график одной, более простой функции, затем к нему пристраивают график второй функции, ординаты которого откладывают от соответствующих точек первого графика.
Разность функций представляют в виде суммы и строят вышеуказанным способом.
Пример 1.
Постройте график функции у = х – sin х.
Имеем две функции у = х и у = – sin х.
Построим график функции у = х, а затем от него (а не от оси абсцисс) откладываем ординаты второй функции.
Так как | sin х |
· 1, то проводятся вспомогательные прямые у = х + 1 и у = х – 1.
Если sin х = 0 (т.е. х =
·k, k
·
·), то у = х.
Если sin х = 1 (т.е. х =
·/2 + 2
·k, k
·
·), то у = х - 1.
Если sin х = - 1 (т.е. х = -
·/2 + 2
·k, k
·
·), то у = х + 1.
Следовательно, на прямых у = х – 1 и у = х + 1 лежат вершины искомого графика.
Пример 2.
Постройте график функции у = х + 1/х.
Строим графики функций – слагаемых у = 1/х и у = х
х
1/2
1
2
3
4
у
2
1
1/2
1/3
1/4
х
0
1
у
0
1
Чтобы построить график функции у = х + 1/х, надо сложить ординаты кривых при тех же значениях х:
х
0,5
1
2
3
4
у
2,5
2
2,5
3
41/4
Вторая ветвь строится симметрично относительно начала координат, т.к. функция нечетная.
Умножение и деление графиков.
Пусть требуется построить график функции у = f(х) * g(х).
Для построения графика надо построить графики функций у = f(х) и у = g(х) и перемножить значения ординат, соответствующее одним и тем же значениям аргумента.
Деление графиков можно привести к умножению.
Иногда произведение или частное двух функций можно упростить, и построение графиков упрощенной функции значительно облегчится.
Построим график функции у = х*sin х.
Для этого строим графики функций у = х и у = sin х. График функции у получаем перемножением значений ординат этих графиков, соответст вующих одной и той же абсциссе х. Построение можно производить только при х
· 0, а затем отразить полученный график относительно оси ординат, так как функция у является четной. График заключен между прямыми у = х и у = - х, причем в точках х =
·k, в которых sin х = 0, функция равна нулю.
В точках х =
·/2 + 2
·k, где sin х = 1, у = х, а в точках х = -
·/2 + 2
·k, где sin х = - 1, у = - 1.
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ НА ПРИМЕРЕ ПОСЛОВИЦ
Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.
Однако при всей непохожести одного человека на другого, у каждого есть руки и ноги, уши и рот.
Точно так же облик каждой функции можно представить сложенным из набора харак терных деталей. В них проявляются основные свойства функций: монотонность (возрастание и убывание функции), четность и нечетность функции, периодичность, точки экстремума, наи большее и наименьшее значения функции.
Функции - это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых че ловеком. Пословицы - это тоже отражение устойчивых закономерностей, выведенное многове ковым опытом народа. Если объединить эти два понятия то с их помощью можно рассмотреть свойства функций. Но перед этим некоторые определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется возрастающей в данном промежутке, если боль шему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
х' < х"
У'<У"
График возрастающей функции - восходящая кривая, если перемещаться по оси ОХ в поло жительном направлении.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется убывающей в промежутке, если большему зна чению аргумента соответствует меньшее значение функции из этого промежутка
х' < х"
У' > У"
График убывающей функции - нисходящая кривая, если смотреть на него в направлении слева направо.
«Чем дальше в лес, тем больше дров»
Графическое изображение демонстрирует, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса - от опушек, где все давным-давно собрано, до чащоб, куда еще не ступала нога заго товителя. Горизонтальная ось графика – лесная дорога. Вертикальная ось показывает количество топлива на данном километре дороги.
График представляет количество дров как функцию пути.
Согласно пословице, эта функция неизменно возрастает. Какие бы две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней «чем дальше в лес» значение функции будет больше «...тем больше дров». Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.
Сходное свойство иллюстрирует и пословица: «Каши маслом не испортишь».
Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшиться с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может и остаться на прежнем уровне. Подобного рода функции называются моно тонно неубы вающими.
Возрастание - это только вверх. Неубывание - это либо вверх, либо ни вверх, ни вниз. Возрастание - количество масла - также частный случай неубывания.
«Дальше кумы - меньше греха».
Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая.
«Выше меры конь не скачет»
Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».
У графика синуса есть своя точная верхняя «мера» - единица. Понизить ее уже нельзя. Для любого уровня, (что ниже точной верхней грани) найдется значение функции, его превосхо дящее. В этом одно из двух отличительных свойств точной верхней грани, а другое и совсем очевидно: ее не превосходит ни одно значение функции.
Выражение «не превосходит» - это значит «меньше или равно». Синус и в самом деле кое-где равен единице - в точках, соответствующих «макушкам волн». Во всех остальных - он меньше единицы.
Есть у синуса и точная нижняя грань – минус единица.
Есть точная нижняя грань и у значений показательной функции – нуль. Но в отличие от функции у = sin x, у показательной функции нет ни одной точки, где она бы обратилась в нуль. Другими словами, показательная функция не достигает своей нижней грани.
Сверху же никаких ограничений для показательной функции не существует. Любой уровень – как бы ни был высок, всегда найдется значение функции еще большее (определение функции неограниченной сверху).
Функция у = logах неограниченна снизу: какой уровень ни назначь – каждый раз, как бы ни был низок этот уровень, найдется значение логарифма еще ниже. Причем рекорды глубины логарифм бьет при значениях аргумента близких к нулю. Говорят, что логарифм неограничен снизу в окрестностях нуля.
«Пересев хуже недосева», - издавна говорили земледельцы.
Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга. Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить ее графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру.
Максимум - это наибольшее значение функции по сравнению с ее значениями во всех соседних точках.
Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз куда ни шагни.
Созвучна с понятием максимума и следующая застольная пословица: «Недосол на столе - пе ресол на спине». Качество пищи зависит от количества соли в ней, т.е. является функцией. Мало соли - невкусно, много соли тоже в рот не возьмешь. А где-то соли в самый раз, куша нье становиться особенно лакомым. В этой точке кулинарная функция достигает максимума.
Есть у максимума (max) антипод - минимум (min).
Минимум - это как бы дно впадины, из которой куда ни шагни, все дороги ведут только вверх.
Правда, если шагать все дальше, возрастание где-то может смениться спадом. Про мини мум говорят тогда, что он локальный. Звание абсолютного min получает лишь тогда, когда это наименьшее значение функции для всей области определения функции. Если на всем ее протя жении локальных минимумов несколько, то абсолютный надо поискать. Может оказаться, что функ ция принимает наименьшее значение в граничной точке области определения.
Все выше сказанное перефразируется по отношению к наибольшему значению, абсолютному и локальному максимуму.
Обобщающее название точек max и min экстремум. Как под словом «ребенок» подразуме вается либо мальчик, либо девочка, так понятие «экстремум» распадается на max и min.
«Не круто начинай, круто кончай».
Эта пословица заслуживает того, чтобы быть включен ной в правила научной организации труда. Повелительное звучание пословицы явно рассчи тано на борьбу с противоположной, весьма распространенной мерой работы. На нее тоже есть пословица: «Горяч на почине, да скоро остыл».
Представленные на графиках обе функции, зависящие от времени, - возрастающие. Но как свидетельствуют кривые, расти можно по-разному.
Наклон кривой постоянно увеличивается. Рост функции усиливается с ростом аргумента. Та кое свойство называется вогнутостью.
Наклон криво постоянно уменьшается. Рост функ ции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство называется выпуклостью.
«Эта сказка про белого бычка». Так говорят, когда какое-то дело безнадежно затягивается, когда раз за разом попытки уладить его приводят к пустому или бессмысленному результату.
Всем известна песня «У попа была собака».
Белый бычок и поповская собака нужны для разъяснения понятия «периодические функции».
Периодичностью в обыденной речи называют, чуть ли не всякую повторяемость. Но повто ряемость может быть более или менее строгой. Достаточно сравнить между собой предлагае мые тексты: во втором, какую букву не возьми, она обязательно повториться через восемьдесят девять букв. Про первый текст такого не скажешь.
По-видимому, безупречные пределы периодичности способна дать только математика.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Периодической называется всякая такая функция, любое значение кото рой в точности повторяется каждый раз, когда аргумент увеличивается на определенную величину называемому периодом.
F (х + Т) = f (x), T - период
Ярким примером являются тригонометрические функции.
Часто при построении графиков функции пользуются такими свойствами, как четность и нечетность функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция у = f (х) называется четной, если при всех значения аргумента выполняется условие: f (-х) = f (х).
Другими словами: если значения некоторой функции, соответствующие двум любым противоположным значениям аргумента (т.е. значения а и -а) равны между собой, то такая функция называется четной.
Всякая четная функция имеет график, симметричный относительно оси ординат.
Например: f (х) = 1 / (1+х2)
F(-х) = 1 / (1+(-х)2) = 1 / (1+ х2) = f (х) - четная
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция у =f (x) называется нечетной, если при все значениях аргу мента выполняется условие f (-х) = - f (x).
Другими словами: если значения некоторой функции, соответствующие двум любым противоположным значениям аргумента, противоположным друг другу, то есть функция ме няет знак, то такая функция называется нечетной.
Всякая нечетная функция имеет график, симметричный относительно начала координат.
Например: f (х) =1 / х3;
f (-х) = -(1 /(-x)3) = - 1 /x3 = - f (x).
Все свойства функции являются основными моментами ее исследования, все они включа ются в схему исследования функции.
Пояснения к таблице: в левой колонке - словесные определения; в правой - графические
СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
словесное описание
графическое описание
рисунок
Область определения, т.е. множество значений аргумента, при которых задана функция.
Проекция графика на ось ОХ.
Корни, т.е. точки, в которых функция обращается в нуль, или иначе решение уравнения f(х) = 0.
Точки пересечения графика с осью ОХ.
Промежутки знакопостоянства, т.е. промежутки, на которых функция положительна (отрицательна), или иначе решение неравенства f(x)>0 (f(x) <0)
Участки оси ОХ соответст вующие точкам графика, лежащим выше (ниже) оси x.
Точки экстремума, т.е. точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (max) или самое маленькое (min) значение по сравнению со значениями близких точках.
«Вершины» на гра фике функции.
Промежутки монотонности, т.е. промежутки, на которых функция или возрастает, или убывает.
Участки оси ОХ, где график идет вверх или выше.
Наибольшее и наименьшее значения функции (по сравнению со всеми возможными в отличие от экстремумов, где сравнение ведется только с близкими точками).
Ординаты самой высокой и самой низкой точек гра фика.
Область значения функции, т.е. множество чисел, состоящих из всех значений функции.
Проекция на ось ОУ.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Несмотря на затраченное время, я получила истинное удовольствие, работая над данной методической работой.
Давно хотелось систематизировать имеющийся методический материал, подобранный и апробированный на уроках математики.
Данная работа будет пополняться новыми методическими материалами, которые будут опубликованы в научно-методической печати.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ю.В. Пухначев, Ю. П. Попов. Математика без формул. – М.: АО «СТОЛЕТИЕ», 1995
Н.Я. Виленкин. Функции в природе и технике.
И.М. Гельфант, Е. Г. Глаголева, Э. Э. Шполь. Функции и графики.
Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции.
М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа.
А. Тихонова, Л. Подшивалова. Десять встреч с функциями и графиками.
Приложения:
2.1 История развития понятия функции.
2.2 Функция: область определения, множество значений.
Работы ребят.
2.3 Способы задания функции.
2.4 График функции.
Тест по теме «Функции, их свойства и графики»
Основной уровень
1. Какая из следующих линий не является графиком функции от аргумента х?
2. Дана функция f(х) = х2/(х - 1). Значение f(-1) равно...
А) – 2; Б) 1/2; В) – 1; Г) - 1/2; Д) Ответ отличен от приведенных
3. График функции у = 2/(х-1) проходит через точку...
А) (0; 2); Б) (1; 2); В) (– 1; 2); Г) (2; 2); Д) (- 2; 2)
4. Укажите область определения функции, изображенной на рисунке.
А) [-1; 1];
Б) (-1; 1);
В) (– 2; 2);
Г) [-2; 2];
Д) Ответ отличен от приведенных
5. Областью определения функции у =
· х2 – 1 является промежуток...
А) [-1; 1]; Б) [1; +
·); В) (–
·; - 1] U [1; +
·); Г) (–
·; - 1) U (1; +
·); Д) [0; +
·)
6. Множество значений функции, изображенной на рисунке, есть промежуток...
А) (-1; 1);
Б) [- 1; 2];
В) [- 1; 1];
Г) (- 1; 2);
Д) (- 1; 2]
7. Множество значений функции у = - 2х2 + 1 есть промежуток...
А) (–
·; - 1); Б) (–
·; 0); В) (–
·; 1); Г) (–
·; 1]; Д) (–
·; +
·)
8. График какой функции изображен на рисунке?
А) у = 2х - 1;
Б) у = 2х + 1;
В) у = 1/2х - 1;
Г) у = 1/2х + 1;
Д) у = 1/2х
9. На каком из рисунков изображен график функции у = (1 – х)(х + 2)?
10. Укажите все значения х, при которых функция, график которой изображен на рисунке, принимает положительные значения.
А) [-1; 1];
Б) [– 2; - 1] U [1; 3];
В) (– 1; 1) U (3; 5];
Г) [3; 5];
Д) [0; 5]
11. Укажите все нули функции, график которой изображен на рисунке.
А) х = - 3, х = 3;
Б) х = 0;
В) х = 0, х = - 3;
Г) х = - 3, х = 1;
Д) х = - 3, х = 1, х = 3
Тест по теме «Функции, их свойства и графики»
Повышенный уровень
1. Какая из следующих зависимостей не является функциональной?
А) каждому числу соответствует квадрат этого числа;
Б) каждому числу, не равному нулю, соответствует обратное;
В) каждому числу соответствует противоположное число;
Г) каждому неотрицательному числу соответствует корень квадратный из этого числа.
2. Укажите область определения функции у =
· - (х – 1)2
А) [1; +
·); Б) (–
·; 1]; В) {1}; Г) (–
·; +
·); Д) пустое множество
3. Укажите множество значений функции у = || х | - 1|
А) (–
·; +
·); Б) (0; +
·); В) (1; +
·); Г) (–
·; 0); Д) [0; +
·)
4. C какой из прямых график функции у = f(х) не может пересекаться в нескольких точках?
А) у = a; Б) у = kx; В) x = b; Г) у = kx + b; Д) таких прямых нет
5. При каком значении k точка А(4; - 1) лежит на графике функции у = k
· х?
А) 4; Б) - 1; В) 1/2; Г) – 1/2; Д) ответ отличен от указанных
6. На каком из рисунков изображен график функции у = х2 - 6х + а?
7. На рисунке изображен график функции у = а х + b. Укажите знаки а и b.
А) а > 0; b > 0;
Б) а > 0; b < 0;
В) а < 0; b > 0;
Г) а < 0; b < 0;
Д) а < 0; b = 0
8. На рисунке изображен график функции у = 1/(- х + а) + b. Укажите знаки а и b.
А) b > 0; а < 0;
Б) b > 0; а > 0;
В) b < 0; а < 0;
Г) b < 0; а > 0;
Д) знаки а и b определить нельзя
9. Сколько точек графика квадратного трехчлена необходимо знать, чтобы определить его коэффициент?
А) 2; Б) 3; В) 4; Г) 5; Д) коэффициент нельзя определить по точкам графика
10. Какая из следующих функций не является убывающей?
А) у = - 2х + 1;
Б) у = -
· х;
В) у = х2, х < 0;
Г) у = 1/х, х > 0;
Д) у =
· х
11. При каком значении k функция у = k/х является возрастающей на интервале (0; +
·)?
А) при любых; Б) ни при каком; В) k
· 0; Г) k < 0; Д) k > 0
12. Функция у = f(х) является убывающей. Какая из следующих функций не является убывающей?
А) у = f(х + 1);
Б) у = 3f(х);
В) у = f(х) - 2;
Г) у = - f(х);
Д) у = f(2х)
13. Какая из следующих функций четная?
А) у =
· х2, х > 0;
Б) у = х2, х > - 1;
В) у = | х |, - 3
· х
· 4;
Г) у = (
· х)2;
Д) у = х2, | х | > 0
14. Функция у = f(х) является нечетной, причем f(2) = 3; f(- 1) = 5. В каких еще точках можно указать значения этой функции?
А) – 2, 0; Б) 1, - 2; В) – 2, 0, 1; Г) – 5, - 3; Д) ни в каких
15. Функция у = ах + b является нечетной при...
А) а < 0; b < 0;
Б) а > 0; b > 0;
В) b = 0;
Г) а > 0; b < 0;
Д) а = 0
16. Функция у = f(х) – четная. Какая из следующих функций не является четной?
А) у = f(2х);
Б) у = |f(х)|;
В) у = f(х) + 1;
Г) у = f(х - 1);
Д) у = f(| х |)
17. Не имеет экстремумов функция, график которой изображен на рисунке...
18. Точка х0 является точкой минимума функции у = f(х). Для какой из следующих функций эта точка обязательно является точкой максимума?
А) у = f(х) + 3; Б) у = f(х + 8);
В) у = - f(х) + 5; Г) у = f(2х);
Д) у = - f(| х |)
19. Какая из функций обратима?
А) у = | х |; у =
· х2, х > 0;
Б) у =
· х2;
В) у = х2;
Г) у = х2, х
· 0;
Д) у = х2, х
· -1
20. Известно, что функция у = f(х) обратима. Какая из следующих функций обязательно необратима?
А) у = f(х) + 2;
Б) у = f(х - 2);
В) у = |f(х)|;
Г) у = f(| х |) f(2х);
Д) у = f(х/2)
21. Функция обратима, если она...
А) четная;
Б) возрастающая;
В) непрерывная;
Г) нечетная;
Д) граничная
22. Если f(х) = х2, g(х) =
· х – 1, то функция f (g(х)) равна...
А) у = х – 1;
Б) у = | х - 1|;
В) у =
· х2 – 1;
Г) у = х – 1, х
· 1;
Д) у = х – 1, х
· 1
23. Область определения функции у = f (х) - h(g(х)), где h(х) = 1/(х – 2), g(х) = х/(х + 1), есть множество:
А) R\{2; -1};
Б) R\{2};
В) R\{-1};
Г) R\{-1; - 2};
Д) R\{-1; - 2; 2}
24. Какая из следующих функций имеет одну точку разрыва?
А) у = х2/х;
Б) у = х/ (х2 – 1);
В) у = х/ (х2 + 1);
Г) у = х/ (х + 1) + 2/х;
Д) у = | х |
25. Функция у = f (х) непрерывна на промежутке [a;b]. Какая из следующих функций может быть разрывной на этом промежутке?
А) у = f 3 (х);
Б) у = f (2х);
В) у = f (х) + 1;
Г) у = 1/f 3(х);
Д) у = | f (х) |
26. Какое из следующих утверждений верно?
А) если функция у = f (х) + g(х) непрерывна, то непрерывны и функции у = f (х) и у = g(х);
Б) если D(f) = (–
·; +
·), то функция у = f (х) непрерывна;
В) сумма двух непрерывных функций есть функция непрерывная;
Г) частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная;
Д) если функция у = f (х) непрерывна, то у = 1/f (х) непрерывна
27. Функция у = f (х) убывающая. Сколько решений имеет уравнение f (х) = а?
А) одно;
Б) ни одного;
В) не более одного;
Г) хотя бы одно;
Д) ответ отличен от приведенных
28. График функции у = f (х) изображен на рисунке. Уравнение f (х) = а имеет точно одно решение при:
А) – 3 < а < 4;
Б) 1
· a
· 2;
В) - 3
· a
· 6;
Г) - 3
· a
· 4;
Д) 1 < а < 2, а = - 3, а = 4
Предлагаемый материал предназначен для организации тематического контроля по математике.
Большинство заданий имеет сюжетный вид, т.е. представляет собой системы взаимосвязанных заданий с одним и тем же условием. Такие задания имеют много достоинств:
- они позволяют охватить большой объем материала, минимизируя при этом время, выделяемое на контроль;
- позволяют обеспечить полноценную дифференциацию знаний и умений учащихся;
- они хорошо приспособлены для реализации принципа «сложения успехов» на этапе контроля, т.е. суммирования баллов за задания разного уровня и выставления оценки на основе общей суммы баллов;
- приучают учащихся к самоконтролю, так как нередко при выполнении последующих заданий используются результаты или методы выполнения предыдущих;
- способствуют развитию у учащихся исследовательских навыков; при выполнении некоторых заданий требуется провести маленькие исследования.
Важной особенностью контролирующих материалов является также их прикладная направленность. Они позволяют достаточно полноценно проверить навыки применения математики.
Контрольные работы предложены в двух вариантах, близких по содержанию и уровню сложности; задания обязательного уровня в них отмечены знаком 0.
Выполнение контрольной работы рассчитано в среднем на 45 минут (1 урок).
Предлагаемые тексты апробированы в процессе многолетнего преподавания авторами этих работ: О. Афанасьевой, Я. Бродским, А. Павловым, А. Слипенко. Опыт использования работ показал их реалистичность в отношении требований к учащимся, адекватность потребностям общеобразовательной подготовки учащихся в применении математики и эффективность для организации учебного процесса.
Функции, их свойства и графики
Вариант 1
1. На рисунке представлен график функции у = f(х).
Найдите:
А)0 область ее определения;
Б)0 множество ее значений;
В)0 промежутки возрастания и убывания функции;
Г)0 точки, в которых функция обращается в ноль;
Д)0 точки разрыва функции.
Е) Какие условия непрерывности нарушаются в точках разрыва?
Ж) Обратима ли функция?
З) Найдите область определения функции у = f(2х - 1).
20. Напряжение в электрической цепи падает равномерно по линейному закону. В начале опыта напряжение было равно 12 В, а в конце опыта, длившегося 8 с, напряжение уменьшилось до 6,4 В.
А) Выразите зависимость напряжения от времени и постройте график этой зависимости.
Б) Каким было напряжение через 5 с после начала опыта?
3. Найдите область определения функции, постройте ее график:
А)0 f(х) =
· х-2;
Б) g(х) = (х -2)/
· х-2
Вариант 2
1. На рисунке представлен график функции у = f(х).
Найдите:
А)0 область ее определения;
Б)0 множество ее значений;
В)0 промежутки возрастания и убывания функции;
Г)0 точки, в которых функция обращается в ноль;
Д)0 точки разрыва функции.
Е) Какие условия непрерывности нарушаются в точках разрыва?
Ж) Обратима ли функция?
З) Найдите множество значений функции у = [f(х) – 1]/ 2.
20. При свободном падении тела с начальной скоростью v0 зависимость пути от времени имеет вид:
S = v0 t + gt2/2,
где S – путь, м; t – время, с; g
· 10 м/с2 – ускорение свободного падения.
А) Постройте график этой зависимости, если v0 = 10 м/с.
Б) За какой промежуток времени [0; t] тело прошло путь 40 м?
3. Найдите область определения функции, постройте ее график:
А)0 f(х) = 1/ (х - 2);
Б) g(х) = (х + 2)/ (х2 – 4).
Степенная, показательная и логарифмическая функции
Вариант 1
1. Дано выражение f(х) = 6 * 3х + 3х+1.
А)0 докажите, что f(х) = 3х+2;
Б)0 вычислите f(х0), если х0 = 1, х0 = log3 5;
В)0 в каких точках график функции у = f(х) пересекает ось х; ось у; прямые у = -1; у = 2?
Г)0 найдите область определения, множество значений функции у = f(х), постройте ее график;
Д)0 найдите значения х, при которых f(х) = 3
· 9; f(х) < 3
· 9.
Е) Решите уравнение f(х) = а.
Ж) Сколько решений имеет уравнение f(х) = х2?
2. Коэффициент звукоизоляции стен вычисляется по формуле D = lg p0/p, где p0 – давление звука до прохождения, Па; p – давление звука, прошедшего сквозь стену, Па; D - коэффициент звукоизоляции, дБ.
А)0 вычислите D, если стена снижает давление звука в 100 раз; в 20 раз.
Б)0 во сколько раз стена снижает давление звука, если коэффициент звукоизоляции D = 20 дБ; D = 30 дБ;
В) может ли коэффициент звукоизоляции быть отрицательным?
Вариант 2
1. Дано выражение f(х) = log2 (4х2) - 3 log2 х/2.
А)0 докажите, что f(х) = 5 - log2 х;
Б)0 вычислите f(х0), если х0 = 1/8, х0 = 3;
В)0 в каких точках график функции у = f(х) пересекает ось х; ось у; прямые х = 1; у = - 1?
Г)0 найдите область определения, множество значений функции у = f(х), постройте ее график;
Д)0 найдите значения х, при которых f(х) = 2; f(х) > 2.
Е) Решите уравнение |f(х)| = а.
Ж) Сколько решений имеет уравнение f(х) = 10 – х2?
2. Скорость движения материальной точки, замедляющей свое движение под действием силы трения, меняется по закону v = 5 * (0,4)t, где v – скорость, м/с; t – время, с (t
· 0).
А)0 найдите скорость движения точки через 2 с; через 5 с.
Б)0 в какой момент времени скорость будет равна 0,32 м/с; 1 м/с.
В) может ли скорость быть равна 3,6 м/с; 5,1 м/с?
Тригонометрические функции
Вариант 1
Дана функция у = f(х), где f(х) = cos4 х – sin4 х.
1. Докажите тождество f(х) = cos 2х.
2. Найдите наименьший положительный период функции у = f(х).
3. Постройте график функции у = f(х).
4. Найдите координаты точек пересечения графика функции у = f(х) с прямыми х =
·/3; у = - 0,5.
5. Найдите амплитуду, частоту, начальную фазу гармонического колебания х = cos 2t.
6. Вычислите f(х), если:
А) х = 530 29/ (с точностью до 0, 01);
Б) tg x = 0,6.
7. При каких значениях х график функции у = f(х) проходит выше прямой у = - 0,5?
8. решите уравнение (cos 2х + 0,5)
· sin х = 0.
Вариант 2
Дана функция у = f(х), где f(х) = 1 – (sin х - cos х)2.
1. Докажите тождество f(х) = sin 2х.
2. Чему равен наименьший положительный период функции у = f(х)?
3. Постройте график функции у = f(х).
4. Найдите координаты точек пересечения графика функции у = f(х) с прямыми х = -
·/12; у = 1/
·2.
5. Найдите амплитуду, частоту, начальную фазу гармонического колебания х = sin 2t.
6. Вычислите f(х), если:
А) х = 620 35/ (с точностью до 0, 01);
Б) tg x = 4/3.
7. При каких значениях х график функции у = f(х) проходит ниже прямой у = 1/
·2?
8. решите уравнение
·2 sin 2х – 1/(
·cos х) = 0.
Данный вид заданий можно использовать и для обучения, и для контроля.
Графики дробно-линейных функций
Установите, какой график соответствует данной функции:
Вариант 1
у = 1/х; у = (1 + х)/х; у = (1 – 2х)/х;
у = 1/(х – 1); у = 1/(х – 1) + 1
Вариант 2
у = 1/х - 2; у = 1/х; у = 1/(х – 1);
у = (1 + х)/х; у = х/(х – 1)
Самостоятельная работа 1
Задайте формулой функцию, графиком которой является данная прямая (задания 1–6 и 8), данная ломаная, состоящая из двух лучей (задание 7).
Вариант 1
Вариант 2
Самостоятельная работа 2
Задайте формулой функцию, графиком которой является квадратичная парабола (задания 1–7), данная кривая, состоящая из части параболы и луча (задание 8).
Вариант 1
Вариант 2
Самостоятельная работа 3
Задайте формулой функцию, графиком которой является данная кривая (в заданиях 1–2 кривые являются гиперболами; в задании 4 «базовая кривая» - квадратичная парабола; в задании 5 «базовая кривая» - гипербола; в задании 8 кривая состоит из 2 частей квадратичной параболы, симметричных относительно начала координат).
Вариант 1
Вариант 2
2.5 Непрерывность функции
Упражнения.
1. Постройте графики приведенных ниже функций. С помощью графиков выясните, какие из функций обладают свойством принимать промежуточные значения:
2. Постройте графики приведенных ниже функций. Выясните, какие из них непрерывны в точке х = 1 и какие разрывны в этой точке:
3. На рисунке изображена графически функция у = {х} – дробная часть числа. Например, {0} =0 {0,7} = 0,7; {1,4} = 0,4; {-0,3} = 0,7; {-1,4} = 0,6.
Эта функция определена на множестве действительных чисел, но имеет бесконечное множество точек разрыва. Укажите точки разрыва функции. Объясните, почему эта функция непрерывна на промежутке: (0; 0,9); (2,1; 2,8).
4. На рисунке изображена графически функция у = [х] – целая часть числа. Например, [0] = 0; [0,7] = 0; [1,4] = 1; [-0,3] = - 1; [-1,4] = - 2.
Эта функция определена на множестве действительных чисел, но имеет бесконечное множество точек разрыва. Укажите точки разрыва функции. Объясните, почему эта функция непрерывна на промежутке: (0; 0,9); (2,1; 2,8).
2.6 Преобразования графика функции
КОМНАТА СМЕХА
Таблица посвящена основным преобразованиям графиков функций: сдвиг и растяжение по осям, функция от модуля и модуль функции.
Один график в центре таблицы как бы отражается в ряде кривых зеркал (разумеется, в настоящих зеркалах мы не могли бы видеть все изображения одновременно при таком их рас положении). Имеющиеся на чертежах элементы «лица» позволяют более отчетливо пред ставить себе, что же именно происходит с графиком при данном преобразовании (сдвиге или растяжении).
С помощью данной таблицы можно также познакомиться учащимся с алгоритмом по строения графиков сложных функций, который предложен преподавателем Оренбургского педагогического института В.Ю. Шадриным.
Алгоритм показан на примере графика функции: у = 2*(3 |х + 4|) - 5.
Для построения графика поступаем следующим образом.
1. Избираем опорную функцию, удовлетворяющую двум условиям:
а) ее график должен быть известен;
б) график данной функции получается из графика опорной функции с помощью уже из вестных преобразований.
В рассматриваемом примере опорной может быть функция у = Vx.
2. Определяем порядок действий, которые нужно выполнить с аргументом опор ной функции (обозначим эти действия А1, А2, ... - от слова «аргумент»), и порядок действий, которые нужно выполнить с са мой опорной функцией (обозначим их Ф1, Ф2,... – от слова «функция»), чтобы в ре зультате получилась заданная функция.
В нашем случае эти действия таковы:
А1 - сложение с числом 4;
А2 - взятие модуля;
А3 - умножение на число 3;
Ф1 - умножение на число 2;
Ф2 - вычитание числа 5.
3. Составляем из действий А1 и Ф1 последовательность, удовлетворяющую следую щим двум условиям:
а) действия Ф1 в последовательности располагаются в порядке возрастания;
б) действия А1 располагаются в порядке убывания. В рассматриваемом примере можно выбрать любую из следующих последовательностей:
1) А3, А2, А1, Ф1, Ф2;
2) Ф1, Ф2, А3, А2, А1;
3) А3, Ф1, А2, Ф2, А1;
4) А3, А2, Ф1, Ф2, А1 и т.д., всего 10 последовательностей.
4. Преобразуем график опорной функции в соответствии с выбранной последовательностью действий. В нашем примере четырем выписанным последовательностям действий соответствуют следующие цепочки преобразований графика:
1) y =
·х y =
·3х y =
·3|х| y =
·3|х + 4| y = 2
·3|х + 4| y = 2
·3|х + 4| - 5;
2) y =
·х y = 2
·х y = 2
·х – 5 y = 2
·3х – 5 y = 2
·3|х| – 5 y = 2
·3|х + 4| - 5;
3) y =
·х y =
·3х y = 2
·3х y = 2
·3|х| y = 2
·3|х| – 5 y = 2
·3|х + 4| - 5;
4) y =
·х y =
·3х y =
·3|х| y = 2
·3|х| y = 2
·3|х| – 5 y = 2
·3|х + 4| - 5.
На рисунке изображен график функции у = f(х). Нарисуйте эскизы графиков следующих функций: у = f(х) – 2; у = f(х +2); у = |f(х)|; у = f(|х|);
у = |f(|х|)|; у = - 3f(х); у = 1/2f(х); у = f(- х); у = f(2х); у = - f(1/3х);
у = х + f(х); у = f(х)/х
2.8 Схема исследования функции.
Исследование функции
1. Проведите по общей схеме исследование функции, заданной графиком (см. рис.).
2. Постройте график функции у = f(х), если известны ее свойства (см. таблицу)
№
свойство функции
а)
б)
в)
г)
1
область определения
[ - 6; 6]
[- 5 ; 4]
[- 4 ; 4]
[- 5 ; 3]
2
область значений
[ - 2; 5]
[0 ; 6]
[- 3 ; 6]
[0 ; 5]
3
точки пересечения графика с осью ОХ
А (- 4; 0)
В (- 2; 0)
О (0; 0)
А (- 4; 0)
В (- 1; 0)
С (2,5; 0)
А (3; 0)
точки пересечения графика с осью ОУ
С (0 ; 2,5)
D (0; - 2)
В (0; 4,5)
4
промежутки знакопостоянства с осью f(х) > 0
[- 6; - 4)
[- 2; 6]
[- 5; 0)
(0; 4]
(- 4; - 1)
(2,5; 4)
[- 5; 3)
промежутки знакопостоянства с осью f(х) < 0
(- 4; - 2)
(- 1; 2,5)
5
промежутки возрастания
[- 3; 1]
[4; 6]
[- 5; - 2]
[0; 4]
[- 4; - 2]
[1; 4]
[- 3; 1]
промежутки убывания
[- 6; - 3]
[1; 4]
[- 2; 0]
[- 2; 1]
[- 5; - 3]
[1; 3]
6
точки максимума, максимум функции
1, f(1) = 3
-2, f(-2) = 2
-2, f(-2) = 2
1, f(1) = 5
точки минимума, минимум функции
-3, f(-3) = -2
4, f(4 ) = 1
0, f(0) = 0
1, f(1) = - 3
-3, f(-3) = 2
7
дополнительные точки графика
f(-6) = 3
f(6) = 5
f(-5) = 0,5
f(4) = f(6)
f(4) = 6
f(-5) = 3
Кроссворд «Функция»
ПО ГОРИЗОНТАЛИ:
1. График, обратной пропорциональности.
2. График линейной функции.
3. Расположение графиков двух функций, если коэффициенты различны.
4. Способ задания функций.
5. Абсцисса точки.
6. Правило, которое каждому х из некоторого множества чисел сопоставляет одно определенное число у.
7. Название функции у = kx + b.
ПО ВЕРТИКАЛИ:
8. Плоскость, на которой выбрана система координат.
9. Независимая переменная.
10. Свойство линейной функции (k > 0).
11. Функция у = b, где b – некоторое число.
ОТВЕТЫ: 1. Гипербола. 2. Прямая. 3. Пересекаются. 4. Табличный. 5. Координата. 6. Функция. 7. Линейная. 8. Координатная. 9. Аргумент. 10. Возрастает. 11. Постоянная.
10
1
2
11
9
3
8
4
5
6
7
HLRTVX
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
14 "$&(*,.0м15