Конспект занятия Чётность, нечётность, периодичность функции

3.4 СВОЙСТВА ФУНКЦИИ: ЧЁТНОСТЬ, НЕЧЁТНОСТЬ, ПЕРИОДИЧНОСТЬ. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ.
Содержание учебного материала:
Ознакомление с доказательными рассуждениями некоторых свойств функций, построение их графиков.
1.Чётная функция, определение и графическая интерпретация.
2.Нечётная функция, определение и графическая интерпретация.
3.Периодическая функция, определение и графическая интерпретация.
4.Наименьший положительный период функции.
5. Наименьшее и наибольшее значения функции.
6.Точки экстремума.
Функцию у = f(x) называют чётной, если для любого значения х из множества Д(х) выполняется равенство f(-x) = f(x).
Функцию у = f(x) называют нечётной, если для любого значения х из множества Д(х) выполняется равенство f(-x) = - f(x).
Функция у = f(x) не является ни чётной, ни нечётной, если хотя бы в одной точке из множества Д(х) не выполняются эти равенства.
Если график функции симметричен относительно оси ординат Оу, то функция чётная.
Если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечётная.
Если график функции не симметричен, то функция не является ни чётной, ни нечётной.


Периодическая функция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу х некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.
Функция называется периодической, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции Д(х) выполняется равенство f(x) = f(x +T).
График периодической функции состоит из повторяющихся одинаковых кусков, каждый из которых получается параллельным переносом вправо или влево на Т единиц.

Непрерывность функции на отрезке Д(х) – означает, что график функции на данном промежутке не имеет точек разрыва. График непрерывной функции представляет собой сплошную неразрывную линию.

Число m называют наименьшим значением функции у = f(x) на множестве Д(х), если:
1) во множестве Д(х) существует такая точка x0, что f(x0) = m
2) для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x) >= f(x0).
Число m называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве Д(х), если:
1) во множестве Д(х) существует такая точка, что f(x0) = m
2) для любого значения х из множества Д(х) выполняется неравенство f(x) <= f(x0).

Если у функции существует yнаиб., то она ограничена сверху.
Если у функции существует yнаим, то она ограничена снизу.
Точку x0 называют точкой максимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Точку x0 называют точкой минимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) > f(x0).
Точки максимума и минимума объединяют общим названием – точки экстремума.