Поурочные планы по алгебре 9 класс по учебнику Алгебра 9 под ред. Теляковского
Учебник: Алгебра 9, под редакцией Теляковского
У р о к 1 .Ключевые задачи на функцию
Цели: обобщить имеющиеся у учащихся знания о функциях; выделить ключевые задачи на функцию.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Найдите значение выражения: 1 – 3а2 при а = 0; а = 1; а = –1 .
III. Объяснение нового материала.
На этом уроке целесообразно повторить те сведения о функциях, которые уже известны учащимся, обобщить и систематизировать эти сведения, выделить ключевые задачи на функцию. Вопросы о нахождении области определения и области значений функции лучше разобрать на следующем уроке.
После объяснения материала у учащихся в тетрадях должны быть записаны следующие сведения о функциях:
1. Определение функции.
2. Смысл записи у = f (x).
3. Определение графика функции.
4. Формулы ранее изученных функций и их графики.
Далее необходимо выделить основные задачи, связанные с функциями:
№ 1. По данному значению аргумента найти значение функции.
№ 2. Найти те значения аргумента, которые соответствуют данному значению функции.
№ 3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
№ 4. Найти точки пересечения графиков данных функций.
№ 5. Найти все значения аргумента, при каждом из которых график одной функции лежит выше (ниже) графика другой функции.
Эти задачи учащиеся должны уметь решать без построения графиков функций.
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 1, № 2, № 4 – нахождение значений функции при заданных значениях аргумента.
2. № 5, № 6 (а), № 7 – нахождение значений аргумента при заданных значениях функции.
3. № 13.
4. Даны функции: f (x) = 2х + 1 и g (х) = 3– х. Найдите:
а) f (–5); g (7); f (g (3)); g (f (2)).
б) Значение х, при которых g (х) = 5.
в) Точки пересечения графиков данных функций с осями координат.
г) Координаты точки, в которой пересекаются графики данных функций.
д) Все точки, в которых график функции у = f (x) лежит ниже графика функции у = g (x).
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что такое функция?
– Что называется графиком функции?
– Как найти точки пересечения графиков двух функций, не строя эти графики?
– Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?
– Как найти все точки, в которых график одной функции лежит выше или ниже графика другой функции?
Домашнее задание.
1. № 3, № 6 (б), № 8, № 12.
2. Даны функции: f (x) = х2 – 2х и g (x) = 3х – 4. Найдите:
а) f (–2); g (–10); f (g (–1)).
б) Значения х, при которых f (x) = 3.
в) Точки пересечения графиков данных функций с осями координат.
г) Координаты точек, в которых пересекаются графики данных функций.
д) Все точки, в которых график функции у = f (x) лежит выше графика функции у = g (x).
У р о к 2.Область определенияи область значений функции
Цели: ввести понятия области определения и области значений функции; формировать умение их находить.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Дана функция: у = .
а) Найдите значение этой функции в точке –3; 1; –2.
б) Может ли данная функция принимать значение, равное 2; 0?
III. Объяснение нового материала.
При проведении устной работы у учителя есть возможность коснуться вопроса об области определения, области значений функции и их нахождения.
Важно, чтобы учащиеся осознали с л е д у ю щ е е:
1) Существуют функции, у которых независимая переменная может принимать не любые значения. Все значения независимой переменной называют областью определения функции.
2) При подстановке допустимых значений независимой переменной некоторые функции могут принимать не любые значения. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.
Известно, что понятия области определения и области значений функции зачастую тяжело воспринимаются учащимися. Поэтому необходимо привести как можно больше примеров, причем в них должны присутствовать функции, у которых областями определения и значений является множество всех чисел, а также функции с ограниченной областью определения или областью значений.
у = 2х + 5у =
у = 4х2 – 3ху = х2 + 1
у = х3 – 1у =
у = у =
у = 2у =
После нахождения области определения данных функций необходимо, чтобы учащиеся сделали в ы в о д: область определения функции может быть представлена не всем множествам чисел только в том случае, если функция содержит дробное выражение или квадратный корень. Этот вывод поможет им в дальнейшем без труда находить область определения любой функции.
Чтобы отыскивать область значений функции, учащиеся, во-первых, должны знать области значений всех элементарных функций, а во-вторых, понимать, как изменяется область значений выражения при различных ее преобразованиях.
Желательно, чтобы учащиеся занесли себе в тетради таблицу с графиками элементарных функций, в которой будут указаны области определения и области значений этих функций.
1. Линейная функция у = kx + b
при k ≠ 0;
область определения(–∞; +∞);
область значений (–∞; +∞).
2. Обратная пропорциональность ;
область определения(–∞; 0) (0; +∞);
область значений(–∞; 0) (0; +∞).
3. Функция у = х2;
область определения (–∞; +∞);
область значений [0; +∞).
4. Функция у = х3;
область определения (–∞; +∞);
область значений (–∞; +∞).
5. Функция у = ;
область определения [0; +∞);
область значений [0; +∞).
6. Функция у = | х |;
область определения (–∞; +∞);
область значений [0; +∞).
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. Нахождение области определения функции.
1) № 9, № 10.
2) № 14 – это задание следует выполнить в классе с высоким уровнем подготовки.
Р е ш е н и е
а) ;
| х | – 1 ≥ 0;
| х | ≥ 1;
х (–∞; –1] [1; +∞).
б) ;
| 2 – х | – 3х ≥ 0.
Если 2 – х ≥ 0, то есть х ≤ 2, значит,
2 – х – 3х ≥ 0;
–4х ≥ –2;
х ≤ .
Если 2 – х < 0, то есть х > 2, значит,
х – 2 – 3х ≥ 0;
–2х ≥ 2;
х ≤ –1.
Таким образом, х (–∞; ].
2. Нахождение области значений функции.
1) № 18 (а).
2) Найдите область значений функции:
а) f (х) = х3 – 2, где –1 ≤ х ≤ 2;
б) g (х) = 2, где 1 ≤ х ≤ 16;
в) γ (х) = , где 2 ≤ х ≤ 6.
3) Найдите область значений функции:
а) у = х2 + 2; б) у = – 4; в) у = | x | + 10.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 20.
Р е ш е н и е
Очевидно, что областью определения функции являются все числа, поскольку выражение х2 + 1, стоящее в знаменателе, не обращается в нуль ни при каких значениях х.
Для нахождения области значений нужно преобразовать формулу, задающую функцию:
.
Далее рассуждаем пошагово. Выражение х2 + 1 может принимать значения из промежутка [1; +∞), тогда выражение принимает значения из промежутка (0; 1], выражение – – из промежутка [–1; 0). Значит, областью значений данной функции является промежуток [0; 1).
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется областью определения функции?
– Что называется областью значений функции?
– Назовите области определения и значений всех элементарных функций.
– Какие выражения должны входить в формулу записи функции, чтобы областью ее определения не являлось множество всех чисел?
– Найдите область определения функции:
у = 2х – 9у =
у = х2 – 6у =
Домашнее задание:
1) № 11, № 18 (б).
2) № 30 (а, в, д), № 31 (а, в).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 21.
У р о к 3 .Графики функций
Цели: формировать у учащихся умение «читать» и строить графики функций, находить по графику область определения и область значений функции.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Найдите g (–2) и g (2), если g (х) = .
2. Найдите значение х, при котором функция, заданная формулойf (х) = –х + 2, принимает значение, равное 1.
3. Найдите область определения функции, заданной формулой:
а) f (х) = 19 – 2х;в) γ (х) = ;
б) g (х) = ;г) у = х2 – 4.
4. Укажите область значений функции:
а) у = 37х + 1;в) у = ;
б) у = –23;г) у = | х |.
В а р и а н т 2
1. Найдите g (8) и g (–3), если g (х) = х2 – 10х.
2. Найдите значение х, при котором функция, заданная формулойf (х) = х + 9, принимает значение, равное 10.
3. Найдите область определения функции, заданной формулой:
а) f (х) = 5х – 7;в) g (х) = ;
б) у = –;г) γ (х) = 5 – х2.
4. Укажите область значений функции:
а) у = –24х + 5;в) у = ;
б) у = 41;г) у = –.
III. Формирование умений и навыков.
Все задания, которые должны выполнить учащиеся на этом уроке, можно разбить на 3 группы:
1-я г р у п п а – задания на «чтение» графика функции.
2-я г р у п п а – задания на различие графиков элементарных функций.
3-я г р у п п а – задания на построение графиков функций.
После выполнения каждой группы заданий необходимо, чтобы учащиеся вместе с учителем сформулировали соответствующие выводы. В первом случае – это вывод о том, на какие вопросы можно ответить, имея график функции. Во втором случае нужно вспомнить роль параметров, входящих в формулы элементарных функций. В третьем случае учащиеся еще раз проговаривают, что является графиком той или иной функции и как он строится.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
№ 15, № 24, № 26.
2-я г р у п п а.
1) На рисунке изображены графики линейных функций. Для каждой функции найдите соответствующий график. Ответ обоснуйте.
у = –3х;
у = 2х – 1;
у = –0,5х + 1;
у = х + 2.
2) № 23.
3-я г р у п п а:
№ 17 (а, в), № 25 (а).
В классе с высоким уровнем подготовки желательно выполнить № 27 на построение графика кусочно заданной функции. Важно, чтобы учащиеся поняли, что значения функции зависят от того промежутка, из которого взято значение аргумента.
р (20) = 2 · 20 + 20 = 60;
р (40) = 100;
р (50) = 100;
р (60) = 100;
р (90) = – · 90 + 140 = –60 + 140 = 80.
График будет выглядеть следующим образом:
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется областью определения и областью значений функции?
– На какие вопросы можно ответить, имея график функции?
– Что является графиком линейной функции? Как зависит расположение графика от параметров k и b, входящих в формулу функцииу = kх + b?
– Как называется график функции у = ? Как располагается график в зависимости от k?
Домашнее задание: № 16, № 22, № 17 (б, г), № 25 (б).
У р о к 4.Нахождение свойств функции по ее графику
Цели: познакомить учащихся с основными свойствами функций; формировать умение находить свойства функции по ее графику.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
На рисунке изображен график функции у = f (х).
Н а й д и т е:
а) область определения функции;
б) f (–2), f (2);
в) значения аргумента х, при которых f (х) = 0, f (х) = 2;
г) наибольшее и наименьшее значения функции;
д) область значений функции.
В а р и а н т 2
На рисунке изображен график функции у = f (х).
Н а й д и т е:
а) область определения функции;
б) f (1), f (3);
в) значения аргумента х, при которых f (х) = 3, f (х) = 1;
г) наибольшее и наименьшее значения функции;
д) область значений функции.
III. Объяснение нового материала.
На этом уроке необходимо познакомить учащихся с основными свойствами функций и выполнять задания на нахождение этих свойств по графикам функций. Вопрос о свойствах элементарных функций целесообразно разобрать на следующем уроке.
Объяснение нового материала нужно строить таким образом, чтобы все свойства функции были выявлены из конкретной практической ситуации, которая понятна учащимся. Такой ситуацией может быть наблюдение за изменением температуры воздуха с течением времени. График зависимости заранее вынести на доску:
Попросить учащихся о т в е т и т ь н а в о п р о с ы:
1) В течение какого промежутка времени шло наблюдение?
2) В каких пределах изменялась за это время температура?
3) В какое время температура воздуха была равна 0?
4) В какие промежутки времени температура была выше нуля? ниже нуля?
5) В какие промежутки температура повышалась? понижалась?
Отвечая на эти вопросы, учащиеся, по сути, перечисляют основные свойства функции. После выполнения этого задания учитель дает четкую формулировку каждого свойства функции и предлагает с л е д у ю щ у юс х е м у для исследования любой функции:
1) Найти область определения функции, D (у).
2) Найти область значений функции, Е (у).
3) Найти нули функции.
4) Найти промежутки знакопостоянства функции.
5) Найти промежутки возрастания и убывания функции.
Согласно этой схеме разобрать с учащимися пример на исследование функции по ее графику (при этом можно договориться об условном обозначении некоторых свойств).
1) D (у): [–5; 4];
2) Е (у): [–4; 3];
3) нули: –3; –1; 2;
4) «+»: [–5; –3) (–1; 2);
«–»: (–3; –1) (2; 4];
5) : [–2; 1];
: [–5; 2], [1; 4].
Так учащиеся должны уметь перечислять свойства функции, заданной своим графиком.
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 32, № 33 – устно.
2. № 35, № 36.
3. № 38 (а), № 39 (а, б).
4. Начертите график какой-либо функции с областью определения[–5; 4] так, чтобы эта функция убывала на промежутках [–5; –1] и [2; 4], возрастала на промежутке [–1; 2] и имела нули: –3, 1 и 3.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– По какой схеме можно исследовать любую функцию?
– Что называется областью определения и областью значений функции?
– Что такое нули функции? Как по графику функции найти ее нули?
– Что такое промежутки знакопостояноства функции? Как по графику функции определить эти промежутки?
– Какая функция называется возрастающей на промежутке? убывающей на промежутке?
Домашнее задание: № 34, № 37, № 38 (б), № 39 (в).
У р о к 5.Свойства элементарных функций
Цели: провести исследование элементарных функций, перечислив их основные свойства; продолжить формирование умения находить свойства функции по ее графику.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Найдите на рисунках графики, соответствующие функциям, заданным формулами:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Перечислите свойства функции, график которой изображен на рисунке.
В а р и а н т 2
Перечислите свойства функции, график которой изображен на рисунке.
IV. Объяснение нового материала.
Учащиеся уже знакомы с шестью элементарными функциями. На этом уроке они должны с высокой степенью самостоятельности описать свойства этих функций, законспектировав данный материал. При этом желательно, чтобы в их конспектах сначала были перечислены свойства функций у = х2, у = х3, у = и у = | х |, то есть тех функций, запись которых не содержит параметров, а затем уже исследовать функции у = kx + b и у = .
Справочный материал, который учащиеся изучат на этом уроке, можно составить в соответствии со следующей схемой:
1) Название функции; формула, задающая функцию.
2) Название графика функции.
3) Свойства функции.
Приведем п р и м е р н ы й к о н с п е к т материала.
1. Функция у = х2.
График – парабола.
Свойства функции:
1) D (у): (–∞; +∞);
2) Е (у): [0; +∞];
3) у = 0, если х = 0;
4) «+»: (–∞; 0) (0; +∞);
5) : [0; +∞];
: (–∞; 0].
2. Функция у = х3.
График – кубическая парабола.
Свойства функции:
1) D (у): (–∞; +∞);
2) Е (у): (–∞; +∞);
3) у = 0, если х = 0;
4) «+»: (0; +∞);
«–»: (–∞; 0);
5) функция возрастающая.
3. Функция у = .
Свойства функции:
1) D (у): [0; +∞);
2) Е (у): [0; +∞);
3) у = 0, если х = 0;
4) «+»: (0; +∞);
«–»: (–∞; 0);
5) функция возрастающая.
4. Функция у = | х |.
Свойства функции:
1) D (у): (–∞; +∞);
2) Е (у): [0; +∞];
3) у = 0, если х = 0;
4) «+»: (–∞; 0) (0; +∞);
5) : [0; +∞];
: (–∞; 0].
5. Линейная функция у = kx + b.
График – прямая.
Свойства функции:
1) D (у): (–∞; +∞);
2) Е (у): (–∞; +∞), если k ≠ 0;
3) у = 0, если kx + b = 0,
х = ;
4) у > 0, если kx + b > 0,
y < 0, если kx + b < 0;
5) при k > 0 функция возрастающая,
при k< 0 – убывающая.
6. Функция обратная пропорциональностьy = .
График – гипербола.
1) D (у): (–∞; 0) (0; +∞);
2) Е (у): (–∞; 0) (0; +∞);
3) нулей нет;
4) при k > 0: «+»: (0; +∞);
«–»: (–∞; 0);
при k < 0: «+»: (–∞; 0);
«–»: (0; +∞);
5) при k < 0 функция возрастающая,
при k > 0 – убывающая.
V. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. Разделите функции у = 2х + 3, у = –5х + 4, у = + 1, у = 4, у = 3 – х, у = –5 + 0,7х, у = ; у = –10х на три группы:
а) возрастающие;
б) убывающие;
в) ни возрастающие, ни убывающие.
2. № 47, № 50.
3. При каких значениях а функция у =
а) является возрастающей;
б) является убывающей?
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Назовите области определения и области значений всех элементарных функций.
– Есть ли среди элементарных функций те, которые не имеют нулей? имеют два нуля?
– Назовите элементарные функции, которые не принимают отрицательных значений.
– Какие из элементарных функций являются возрастающими? убывающими?
– При каких значениях k функции у = kx + b и у = являются возрастающими? убывающими?
Домашнее задание: № 44, № 45, № 46, № 50 (б).
У р о к 6.Нахождение свойств функциипо формуле и по графику
Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся о свойствах функции; продолжить формирование умения находить свойства функции по их формуле или графику.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Определите, какие из функций, изображенных на рисунках, обладают следующими свойствами:
а) имеют область определения [–3; 3];
б) имеют область значений [–2; 2];
в) имеют два нуля;
г) принимают только отрицательные значения;
д) являются возрастающими;
е) являются убывающими.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
III. Формирование умений и навыков.
Все задания, которые будут выполнять учащиеся на этом уроке, можно разбить на две группы. В первую группу войдут задания на перечисление свойств функции по ее графику. Во второй группе будут задания на нахождение свойств функции по задающим их формулам. После выполнения каждой группы заданий необходимо, чтобы учащиеся сделали выводы: как найти свойства функции в том или ином случае, то есть по графику или по формуле.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
Функции у = f (х) и у = g (х) заданы своими графиками:
Перечислите свойства функций и сформулируйте вывод о том, как могут быть найдены свойства любой функции по ее графику.
2-я г р у п п а.
1. Найдите нули функции (если они существуют):
а) у = –3х + 1,8;в) у = ;
б) у = ;г) у = 16 х2.
2. № 43 (а).
3. Какие из следующих функций: у = 5х – 1, у = х2, у = , у = ,у = –x , у = | х |, у = –, у = 7, у = х3 –
а) являются возрастающими;
б) являются убывающими?
Учащиеся уже формулировали выводы о том, как по формуле можно найти область определения и область значений функции. Теперь они должны сделать выводы о нахождении других свойств функций.
В ы в о д 1. Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, заданной формулой, необходимо сравнить эту формулу с нулем и решить полученные неравенства.
Важно, чтобы учащиеся поняли, что имеющихся у них сейчас знаний недостаточно для определения промежутков возрастания и убывания произвольной функции. Следует сообщить им, что в десятом классе они смогут делать это. Пока же учащиеся должны уметь находить промежутки возрастания и убывания элементарных функций.
Однако следует показать учащимся, как с помощью логических рассуждений можно доказать, что заданная функция является возрастающей или убывающей. Для этого нужно выполнить № 51.
а) у = 5x + .
Областью определения функции служат все неотрицательные числа. Чем больше мы будем брать значение аргумента, тем больше будут значения выражений 5х и , значит, больше будет их сумма. Таким образом, функция у = 5x + является возрастающей.
б) у = –x + .
Аналогично показывается, что данная функция является убывающей.
В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить № 42.
а) у = .
Найдем область определения функции:
Значит, D (у): [–6; –5) (–5; +∞).
Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение:
;
;
х + 6 = х2;
х2 – х – 6 = 0, откуда х = –2, х = 3.
Проверкой убеждаемся, что х = –2 не является корнем уравнения. Число 3 является корнем уравнения и входит в область определения функции, значит, х = 3 – нуль данной функции.
IV. Итоги урока.
П и с ь м е н н ы й т е с т.
«+» – согласен с утверждением,
«–» – не согласен с утверждением.
1) Если какая-то функция задана формулой, содержащей х в знаменателе дроби, то областью определения этой функции не может быть множество всех чисел.
2) Областью определения функции у = | х | являются все неотрицательные числа.
3) Существуют функции, областью значений которых являются все отрицательные числа.
4) Областью значений любой линейной функции является множество всех чисел.
5) Чтобы найти нули функции у = f (х), нужно найти f (0).
6) Функция обратная пропорциональность не имеет нулей.
7) Существуют линейные функции, которые принимают только положительные значения.
8) Для нахождения отрицательных значений функции нужно найти все ее значения при х < 0.
9) Если k > 0, то линейная функция у = kx + b является возрастающей.
10) Если k < 0, то функция у = является убывающей.
Ключ: – – + – – + + – + – .
Домашнее задание: № 40, № 43 (б), № 48.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 42 (б), № 51 (в).
У р о к 7.Нахождение корней квадратного трехчлена
Цели: ввести понятие квадратичного трехчлена и его корней; формировать умение находить корни квадратного трехчлена.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Какие из чисел: –2; –1; 1; 2 – являются корнями уравнений?
а) 8х + 16 = 0;в) х2 + 3х – 4 = 0;
б) 5х2 – 5 = 0;г) х3 – 3х – 2 = 0.
III. Объяснение нового материала.
Объяснение нового материала проводить по следующей с х е м е:
1) Ввести понятие корня многочлена.
2) Ввести понятие квадратного трехчлена и его корней.
3) Разобрать вопрос о возможном количестве корней квадратного трехчлена.
Вопрос о выделении квадрата двучлена из квадратного трехчлена лучше разобрать на следующем уроке.
На каждом этапе объяснения нового материала необходимо предлагать учащимся устное задание на проверку усвоения основных моментов теории.
З а д а н и е 1. Какие из чисел: –1; 1; 12; 0 – являются корнями многочлена х4 + 2х2 – 3?
З а д а н и е 2. Какие из следующих многочленов являются квадратными трехчленами?
1) 2х2 + 5х – 1;6) х2 – х – ;
2) 2х – ;7) 3 – 4х + х2;
3) 4х2 + 2х + х3;8) х + 4х2;
4) 3х2 – ;9) + 3х – 6;
5) 5х2 – 3х;10) 7х2.
Какие из квадратных трёхчленов имеют корень 0?
З а д а н и е 3. Может ли квадратный трехчлен иметь три корня? Почему? Сколько корней имеет квадратный трехчлен х2 + х – 5?
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 55, № 56, № 58.
2. № 59 (а, в, д), № 60 (а, в).
3. № 61.
В этом задании не нужно искать корни квадратных трехчленов. Достаточно найти их дискриминант и ответить на поставленный вопрос.
а) 5х2 – 8х + 3 = 0;
D1 = 16 – 15 = 1;
D1 > 0, значит, данный квадратный трехчлен имеет два корня.
б) 9х2 + 6х + 1 = 0;
D1 = 9 – 9 = 0;
D1 = 0, значит, квадратный трехчлен имеет один корень.
в) –7х2 + 6х – 2 = 0;
7х2 – 6х + 2 = 0;
D1 = 9 – 14 = –5;
D1 < 0, значит, квадратный трехчлен не имеет корней.
Если останется время, можно выполнить № 63.
Р е ш е н и е
Пусть ax2 + bx + c – данный квадратный трехчлен. Поскольку a + b ++ c = 0, то один из корней этого трехчлена равен 1. По теореме Виета второй корень равен cа. Согласно условию, с = 4а, поэтому второй корень данного квадратного трехчлена равен .
О т в е т: 1 и 4.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что такое корень многочлена?
– Какой многочлен называют квадратным трехчленом?
– Как найти корни квадратного трехчлена?
– Что такое дискриминант квадратного трехчлена?
– Сколько корней может иметь квадратный трехчлен? От чего это зависит?
Домашнее задание: № 57, № 59 (б, г, е), № 60 (б, г), № 62.
У р о к 8.Выделение квадрата двучленаиз квадратного трехчлена
Цели: формировать у учащихся умение выделять квадрат двучлена из квадратного трехчлена и решать задачи с помощью этого преобразования.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Какие из чисел: –2; –1; 0; 1; 2 – являются корнями квадратных трехчленов х2 + 4х + 3 и 5х – 2х2?
III. Объяснение нового материала.
В 8 классе учащиеся уже решали квадратные уравнения с помощью выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена, то есть данный прием им знаком. Однако следует еще раз разобрать несколько примеров и записать алгоритм, по которому выполняется это преобразование.
Сначала лучше привести несложный пример, где коэффициент а квадратного трехчлена равен 1, а коэффициент b – четный:
х2 – 6х + 4 = х2 – 2 · 3 · х + 32 – 32 + 4 = (х – 3)2 – 5.
Затем нужно разобрать сложный пример. При этом учащиеся записывают в тетрадях проводимые преобразования и их словесное описание в общем виде, то есть составляют алгоритм выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена.
ax2 + bx + c 2х2 + 16х + 5
1) Вынести за скобки коэффициент а:
2) Представить выражение в виде удвоенного произведения двух множителей:
8х = 2 · 4 · х
3) К выражению в скобках прибавить и вычесть :
4) Представить часть выражения в скобках в виде полного квадрата:
5) Раскрыть скобки:
;2 (х + 4)2 – 27;
2х2 + 16х + 5 = 2 (х + 4)2 – 27.
Далее следует разобрать пример 3 из учебника, который показывает, как прием выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена может быть использован при решении геометрической задачи.
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 64, № 66.
2. № 68.
Р е ш е н и е
Выделим квадрат двучлена из данного квадратного трехчлена:
2х2 – 4х + 6 = 2 (х2 – 2х + 3) = 2 (х2 – 2 · 1 · х + 12 – 12 + 3) = 2 ((х – 1)2 ++ 2) = 2 (х – 1)2 + 4.
Выражение 2 (х – 1)2 положительно при любом х ≠ 1, поэтому сумма 2 (х – 1)2 + 4 принимает наименьшее значение при х = 1 и это значение равно 4.
О т в е т: при х = 1 наименьшее значение равно 4.
3. № 70.
Р е ш е н и е
Пусть один катет треугольника равен х см. Тогда второй катет равен (6 – х) см, а площадь треугольника равна x (6 – x) см2.
Раскрыв скобки в выражении x (6 – x), получим 3х – x2. Выражение –x2 + 3х является квадратным трехчленом. Выделим из него квадрат двучлена:
–x2 + 3х = –(х2 – 6х) = –(х2 – 2 · 3 · х + 32 – 32) = –((х – 3)2 – 9) == –((х – 3)2 + .
Выражение –(х – 3)2 отрицательно при любом х ≠ 3, поэтому сумма –(х – 3)2 + принимает наибольшее значение при х = 3. Таким образом, площадь будет наибольшей, когда один катет треугольника равен 3 см, тогда второй катет тоже равен 3 см, то есть треугольник является равнобедренным.
4. № 71.
Р е ш е н и е
Чтобы выяснить, какой наибольшей высоты достигнет стрела, нужно найти наибольшее значение квадратного трехчлена –5t2 + 50t + 20. Для этого выделим из него квадрат двучлена:
–5t2 + 50t + 20 = –5 (t2 – 10t – 4) = –5 (t2 – 2 · 5 · t + 52 – 52 – 4) = = –5 ((t – 5)2 – 29) = –5 (t – 5)2 + 145.
Данное выражение достигает наибольшего значения при t = 5, значит, наибольшая высота равна 145 м.
О т в е т: 145 м.
Сильным в учебе учащимся дополнительно можно дать карточки.
К а р т о ч к а № 1
Имеется прямоугольник со сторонами 3 и 5 см. Большую его сторону уменьшили на а см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров. При каком значении а площадь полученного прямоугольника окажется наибольшей?
Р е ш е н и е
После увеличения и уменьшения сторон прямоугольника они стали равны (5 – а) см и (3 + а) см. Площадь полученного прямоугольника будет равна (5 – а) (3 + а) см2.
Раскрыв скобки в этом выражении, получим квадратный трехчлен –а2 + 2а + 15. Выделим из него квадрат двучлена:
–а2 + 2а + 15 = –(а2 – 2а – 15) = –(а2 – 2 · 1 · а + 12 – 12 – 15) = = –((а – 1)2 – 16) = –(а – 1)2 + 16.
Данное выражение принимает наибольшее значение при а = 1.
О т в е т: а = 1.
К а р т о ч к а № 2
Имеется прямоугольник со сторонами 8 и 12 см. Большую его сторону уменьшили на b см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров. При каком значении b площадь полученного прямоугольника окажется наибольшей?
Р е ш е н и е аналогично предыдущей задаче.
О т в е т: b = 2.
V. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х2 – 8х + 15;б) 2а2 – а;в) 7х2 – 28.
2. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
а) х2 + 4х + 1;б) y2 – y + 2.
В а р и а н т 2
1. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х2 – 5х + 6;б) 2b2 – 18;в) 0,3х2 + 0,1х.
2. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
а) х2 – 6х + 11;б) x2 – 2x + 5.
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется квадратным трехчленом?
– Что такое корни квадратного трехчлена? Как их найти?
– Сколько корней может иметь квадратный трехчлен?
– Как выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена?
– Как найти наибольшее или наименьшее значение квадратного трехчлена?
Домашнее задание: № 65, № 67, № 69.
У р о к 9.Теорема о разложении квадратного трехчленана множители
Цели: изучить теорему о разложении квадратного трехчлена на множители и формировать умение ее применять.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Какие из чисел: 1; 2; 3; –3 – являются корнями трехчлена х2 + х – 6?
2. Сколько корней имеет квадратный трехчлен:
а) х2 – 7;г) 5х2 + 10;
б) 5х – 6х2;д) х2 + 2х – 7;
в) х2 + 2х + 1;е) х2 + 2х + 10?
III. Объяснение нового материала.
Сначала необходимо актуализировать знания учащихся и создать у них мотивацию. Поэтому следует разобрать, как разложить на множители квадратный трехчлен методом группировки, рассмотрев несколько примеров:
а) х2 + 3х – 4 = х2 + 4х – х – 4 = х (х + 4) – (х + 4) = (х + 4) (х – 1);
б) –х2 + 3х + 10 = –(х2 – 3х – 10) = –(х2 – 5х + 2х – 10) = –(х (х – 5) ++ 2 (х – 5)) = – (х – 5) (х + 2) = (5 – х) (х + 2);
в) 2х2 + 6х + 4 = 2 (х2 + 3х + 2) = 2 (х2 + х + 2х + 2) = 2 (х (х + 1) + + 2 (х + 1)) = 2 (х + 1) (х + 2).
Выполнение этих заданий позволит учащимся повторить метод группировки разложения многочлена на множители, а также убедиться в том, что этот метод не является достаточно удобным в данной ситуации. Учитель сообщает, что существует теорема, позволяющая разложить на множители квадратный трехчлен более простым способом.
Далее следует разобрать теорему, после чего предложить учащимся применить ее к тем трехчленам, которые были разложены на множители методом группировки в начале урока. Учащиеся убеждаются, что результаты получаются одинаковые.
На доску выносится запись:
ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) ,
которая сохраняется до конца урока.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся выполняют задания на непосредственное применение изученной теоремы. Использование теоремы для упрощения выражений лучше рассмотреть на следующем уроке.
Упражнения:
1. № 76, № 77 (а, б).
2. № 79 (а), № 80.
В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить № 82.
Р е ш е н и е
Учащиеся могут подобрать такой трехчлен с конкретными коэффициентами и разложить его на множители. Н а п р и м е р: х2 + 3х + 2 = = (х + 1) (х + 2). Однако доказательство факта, данного в задаче, необходимо провести в общем виде.
Пусть а = п, b = 2п, с = 3п. Тогда получим квадратный трехчлен пх2 + + 2пх + 3п. Его дискриминант равен –8п2, то есть трехчлен такого вида корней не имеет, значит, не удовлетворяет условию задачи. Замечаем, что дискриминант будет отрицательным в тех трехчленах, в которых а = 3п или с = 3п.
Условию будут удовлетворять только два трехчлена:
пх2 + 3пх + 2п и 2пх2 + 3пх + п. Разложим их на множители:
пх2 + 3пх + 2п = 0;
D = 9п2 – 8п2 = п2;
х1 = ;;
пх2 + 3пх + 2п = п (х + 1) (х + 2);
2пх2 + 3пх + п = 0;
D = 9п2 – 8п2 = п2;
х1 = ;;
2пх2 + 3пх + п = 2п (х + 1) = п (2х + 1) (х + 1).
Подставляя конкретные значения п, можно получить бесконечно много квадратных трехчленов указанного вида: х2 + 3х + 2, 2х2 + 3х + 1, 2х2 + 6х + 4, 4х2 + 6х + 2 и т. п.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что такое квадратный трехчлен?
– Как найти корни квадратного трехчлена?
– Сформулируйте теорему о разложении квадратного трехчлена на множители.
– Любой ли квадратный трехчлен можно разложить на множители? От чего это зависит?
Домашнее задание: № 77 (в, г), № 78, № 79 (б).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 81.
У р о к 10.Применение теоремы о разложенииквадратного трехчлена на множителидля преобразования выражений
Цель: продолжить формирование умения раскладывать на множители квадратный трехчлен, применяя это разложение для сокращения дробей и упрощения выражений.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Определите, можно ли представить квадратный трехчлен в виде произведения многочленов первой степени:
а) 2х2 + х – 5;г) х2 – 2х + 8;
б) 2х2 + х + 5;д) х2 – 2х – 8;
в) х2 – 4х + 4;е) 9х2 + 6х + 1.
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке следует обобщить знания учащихся о различных способах разложения многочленов на множители. Особое внимание нужно уделить двум вопросам:
1) Сколько существует способов разложения многочленов на множители и в чем они заключаются?
2) При решении каких задач пригодится умение раскладывать многочлен на множители?
Поскольку для сокращения дробей и упрощения выражений учащимся потребуется знание всех способов разложения многочленов на множители, то для начала необходимо актуализировать эти знания.
Учитель сообщает учащимся, что теперь им известны все основные способы разложения многочленов на множители и просит перечислить эти способы. В тетрадях у учащихся должны быть записаны названия всех четырех способов и приведены примеры.
1. Вынос общего множителя за скобки:
а) 2х3 + 5х2 – х = х (2х2 + 5х – 1);
б) 9х5 + 15х3 = 3х3 (3х2 + 5).
2. Применение формул сокращенного умножения:
а) 4х2 – у2 = (2х – у) (2х + у);
б) х2 – 6х + 9 = (х – 3)2;
в) х3 + 8 = (х + 2) (х2 – 2х + 4).
3. Метод группировки:
а) 6х3 – 8х2 + 3х – 4 = 2х2 (3х – 4) + (3х – 4) = (3х – 4) (2х2 + 1);
б) 2х + у + у2 – 4х2 = 2х + у + (у – 2х) (у + 2х) = (у + 2х) (1 + у – 2х).
4. Разложение на множители квадратного трехчлена:
а) х2 – 4х – 5 = (х + 1) (х + 5);
б) 3х2 + х – 4 = 3 (x – 1) = (х – 1) (3х + 4).
Далее выделяются две основные группы заданий, при выполнении которых необходимо умение раскладывать многочлен на множители:
– сокращение дробей;
– упрощение выражений.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 83 (а, в, д), № 85 (а).
2. Сократите дробь:
а) ;б) .
Р е ш е н и е
а)
б) .
2-я г р у п п а.
Упростите выражение:
а) ;
б) .
Р е ш е н и е
а)
б)
Если останется время, то можно предложить учащимся задание на построение графика функции .
Р е ш е н и е
Данная функция не является элементарной, и по точкам ее строить неудобно. Сократим дробь, задающую функцию:
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции у = х – 4, но точка х = 2 не входит в область определения данной функции, поэтому на графике эта точка будет выколотой.
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2 – 7х + 12;б) 6х2 + 5х – 4.
2. Сократите дробь:
а) ;б) .
3*. Упростите выражение:
.
В а р и а н т 2
1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2 + х – 72;б) 7х2 + 20х – 3.
2. Сократите дробь:
а) ;б) .
3*. Упростите выражение:
.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте теорему о разложении квадратного трехчлена на множители.
– Всегда ли можно разложить на множители квадратный трехчлен? От чего это зависит?
– Какие существуют способы разложения многочлена на множители?
– При выполнении каких заданий пригодится умение раскладывать многочлен на множители?
– Как сократить алгебраическую дробь?
Домашнее задание:
1. № 83 (б, г, е), № 84, № 85 (б).
2. Упростите выражение:
а) ;
б) .
У р о к 11.Исследование функции у = ах2
Цель: формировать умение описывать свойства функции у = ах2 и строить ее график.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Дана функция: у = х2.
1) Найдите значения функции в точках –1; 0; .
2) В каких точках значение функции равно 4; ?
3) Входят ли в область значений функции числа 2; ; –4?
4) Найдите наибольшее значение функции на отрезке [; 7].
5) Найдите наименьшее значение функции на отрезке [–3; ].
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту учебника, увеличив степень самостоятельности учащихся.
Предложить учащимся построить графики функций у = 2х2 и у = х2 и ответить на следующие в о п р о с ы:
– Чем отличаются графики этих функций от графика функции у = х2?
– Чем отличаются друг от друга графики этих функций?
– Как может быть получен график каждой из этих функций из графика функции у = х2?
– Как будет изменяться график функции у = ах2, если брать значения а, равные 2; 3; 4 и т. д.?
– Как будет изменяться график функции у = ах2, если брать значения а, равные и т. д.?
Затем предложить учащимся построить графики функций у = –2х2 и у = –х2 и ответить на подобные вопросы.
В конце объяснения учитель просит учащихся сформулировать свойства функции у = ах2 по известной схеме
y = ax2
1. D (у): (–∞; +∞).
2. Если а > 0, то Е (у): [0; +∞).
Если а < 0, то Е (у): (–∞; 0].
3. у = 0 при х = 0.
4. Если а > 0, то «+»: (–∞; 0) (0; +∞).
Если а < 0, то «–»:(–∞; 0) (0; +∞).
5. Если а > 0, то : [0; +∞);
: (–∞; 0].
Если а < 0, то : (–∞; 0];
: [0; +∞).
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке нужно стремиться к тому, чтобы учащиеся научились свободно строить график функции у = ах2 и перечисляли свойства этой функции.
Упражнения:
1. № 90, № 92, № 94.
2. Определите, график какой функции изображен на рисунке:
у = 3х2
у = х2
у = –3х2
у = –х2
3. Графики каких из перечисленных функций изображены на рисунках?
а) б)
в)
у = 2,1х2у =
у = у = –2,4х2
Постройте недостающий график функции и перечислите ее свойства.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Как называется график функции у = ах2?
– Куда направлены ветви параболы, если а > 0 (а < 0)?
– Как может быть получен график функции у = 5х2 из графика функции у = х2?
– Как может быть получен график функции у = из графика функции у = х2?
– Как может быть получен график функции у = –4х2 из графика функции у = 4х2?
– Перечислите свойства функции у = ах2 при а < 0.
Домашнее задание: № 91, № 93, № 95.
У р о к 12.Разные задачи на функцию у = ах2
Цели: продолжить формирование умения строить график функции у = ах2 и перечислять ее свойства; использовать данное умение при решении различных задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Определите, график какой функции изображен на рисунке:
а) у = 3,1х
у =
у =
у = –2,9х2
б) у = х2
у = –х2
у = 4х2
у = –4х2
III. Формирование умения и навыков.
Упражнения:
1. Какие из следующих точек принадлежат графику функции у = –20х2?
а) А (0; 0);в) С (–2; –80);
б) В (–1; 20);г) D .
2. № 96.
Данное задание не должно вызывать затруднений у учащихся, поскольку им известно решение одной из основных задач на функцию: чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, заданных своими формулами, нужно приравнять эти формулы и решить полученное уравнение.
г) 2х2 = 14х – 20;
2х2 – 14х + 20 = 0;
х2 – 7х + 10 = 0;
х1 = 2 и х2 = 5.
А (2; 8), В (5; 50).
3. № 101.
4. Для каждой из данных функций найдите ее график.
у = х2у = 2х2
у = 5х2у = 0,3х2
у = –х2у = –2х2
Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и я:
5. № 100.
Р е ш е н и е
Чтобы парабола у = х2 и прямая у = kx – 4 имели только одну общую точку, уравнение х2 = kx – 4 должно иметь единственное решение.
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
х2 – kx + 4 = 0;
D = k2 – 16.
Уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю:
k2 – 16 = 0;
k2 = 16;
k = ± 4.
О т в е т: при k = ± 4.
6. На рисунке изображены графики функций у = х2 и у = х – 2.
а) Замените в формуле, задающей линейную функцию, коэффициент k так, чтобы графики функций имели две точки пересечения.
б) Замените в формуле, задающей линейную функцию, коэффициент b так, чтобы графики функций имели две точки пересечения.
в) Можно ли в квадратичной функции у = х2 заменить коэффициент так, чтобы графики функций имели две точки пересечения. Ответ объясните.
Р е ш е н и е
Учащиеся могут искать коэффициент подбором, используя изображенные графики. Однако после нахождения нужного числа следует предложить учащимся аналитически проверить полученный ответ.
а) Чтобы прямая пересекала параболу, она должна идти круче, то есть коэффициент k должен быть как можно больше, например: k = 5. Проверим это предположение. Чтобы графики функций имели две общие точки, уравнение х2 = 5х – 2 должно иметь два корня, то есть дискриминант должен быть больше нуля:
х2 – 5х + 2 = 0;
х2 – 10х + 4 = 0;
D1 = 25 – 4 = 19.
Таким образом, при k = 5 графики функций у = х2 и у = kх – 2 пересекаются в двух точках.
б) Чтобы прямая пересекала параболу, ее нужно «поднять вверх», то есть увеличить коэффициент b. Пусть, например, b = 1. По рисунку ясно, что это число удовлетворяет условию, однако можно привести аналитическое подтверждение:
х2 = х + 14;
х2 – 2х – 2 = 0;
D1 = 1 + 2 = 3.
D1 > 0, следовательно, график функций у = х2 и у = х + 1 имеют две общие точки.
в) Очевидно, что если коэффициент а в функции у = ах2 будет отрицательным, то графики будут пересекаться в двух точках.
Наибольший интерес представляет вопрос о том, можно ли подобрать положительное число а, удовлетворяющее условию задачи. Парабола пересечет данную прямую, если она будет как можно шире, то есть число а будет как можно ближе к нулю, например: а = 0,01.
Проверим это предположение.
0,01х2 = х – 2;
0,01х2 – х + 2 = 0;
х2 – 100х + 200 = 0;
D1 = 100 – 200 = –100.
Получаем, что взятое число не достаточно мало. Возьмем а = 0,001 и снова вычислим дискриминант:
0,001х2 = х – 2;
0,001х2 – х + 2 = 0;
х2 – 1000х + 2000 = 0;
D1 = 2500 – 2000 = 500;
D1 > 0, то есть при а = 0,001 прямая у = х – 2 будет пересекать параболу у = ах2 в двух точках.
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Постройте график функции у = х2 и перечислите свойства этой функции.
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у = 2х2 и прямой у = 50х.
3. Принадлежит ли графику функции у = –25х2 точка:
а) А (–2; –100);б) В .
В а р и а н т 2
1. Постройте график функции у = –х2 и перечислите свойства этой функции.
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у = –2х2 и прямой у = 40х.
3. Принадлежит ли графику функции у = 40х2 точка:
а) А (2; 160);б) В .
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что является графиком функции у = ах2?
– Перечислите свойства функции у = ах2 при а >0.
– Как может быть получен график функции у = из графика функции у = х2?
– Сколько общих точек могут иметь графики линейной функции и функции у = ах2?
– Могут ли пересекаться графики функций у = ах2 и у = kx + b, если а < 0, k > 0 и b > 0?
Домашнее задание: № 97, № 98, № 102.
У р о к 13.Правила построения графиков функцийу = ах2 + п и у = а (х – т)2
Цели: изучить правила построения графиков функций у = ах2 + п и у = а (х – т)2; формировать умение схематически изображать графики этих функций.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию.
у = 1,7х2;у = ;
у = ;у = 0,3х2.
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту учебника. При выводе правил построения графиков функций у = ах2 + п и у = а (х – т)2 особое внимание обратить на то, почему графики этих функций получаются путем параллельного переноса графика функции у = ах2.
Так, если сопоставить графики функции у = ах2 и у = ах2 + п, то замечаем, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у = ах2 + п на п больше соответствующих значений функции у = ах2. Именно поэтому график функции у = ах2 + п может быть получен из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса вдоль оси ОУ.
Если сравнивать функции у = ах2 и у = а (х – т)2, то можно заметить следующее: чтобы значение функции у = а (х – т)2 было равно значению функции у = ах2, нужно для первой функции взять значение аргумента на т больше, чем для второй. Поэтому график функции у = а (х – т)2 может быть получен из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса вдоль оси ОХ.
Рассуждая подобным образом, можно сделать вывод о том, что полученные правила справедливы и для построения графиков произвольных функций у = f (х) + п и у = f (х – т) из графика функции у = f (х).
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке основное внимание следует уделить схематическому построению графика функции у = а (х – т)2 + п. Построение каждого графика учащиеся должны осуществлять по следующей схеме:
– нахождение вершины параболы;
– вывод о направлении ветвей параболы;
– вывод о внешней форме параболы (более «широкая» или «узкая» по сравнению с у = х2).
Упражнения:
1. № 106.
2. По данной формуле квадратичной функции ответьте на вопросы:
– каковы вершины параболы;
– куда направлены ветви параболы;
– шире или ýже будет эта парабола по сравнению с у = х2?
а) у = ;д) у = 6 (х + 1,7)2 – 4;
б) у = 3х2 – 2;е) у = ;
в) у = (х + 4)2 + 5;ж) у = ;
г) у = ;е) у = –1,8 (х – 4)2 – 3.
3. Изобразите схематически график функции:
а) у = –3 (х + 1)2 – 2; в) у = ;
б) у = ; г) у = 2,1 (х – 5)2 – 1.
4. На рисунке изображены графики функций:
а) у = –(х – 2)2;
г) у = (х + 1)2 – 3; в) у = х2 + 1;
г) у = –(х + 2)2 + 3.
Для каждой из функций укажите номер соответствующего графика.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что является графиком функций у = ах2 + п и у = а (х – т)2?
– Как может быть получен график функции у = ах2 + п из графика функции у = ах2?
– Как может быть получен график функции у = а (х – т)2 из графика функции у = ах2?
– Найдите координаты вершины параболы у = 2(х + 3)2 – 1.
– Каковы координаты вершины параболы у = а (х – т)2 + п?
Домашнее задание:
1. № 110, № 111, № 116.
2. Сделать из картона шаблоны парабол у = х2, у = 2х2 и у = х2.
У р о к 14.Использование шаблонов параболдля построения графика функции у = а (х – т)2 + п
Цель: продолжить формирование умения строить график функции у = а (х – т)2 + п, используя при этом шаблоны парабол.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию:
а) у = ;г) у = х2 + 1;
б) у = –2х2 + 1;д) у = ;
в) у = (х – 1)2 – 2;е) у = (х + 1)2 – 2.
III. Формирование умений и навыков.
Учащиеся выполняют з а д а н и я двух групп:
– построение графика функции у = а (х – т)2 + п с использованием шаблонов;
– построение графика функции у = а (х – т)2 + п с помощью преобразований.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 107, № 112.
2. Используя шаблон параболы у = 2х2, постройте график функций:
а) у = 2 (х + 1)2 – 4;б) у = –2 (х – 3)2 + 2.
3. Используя шаблон параболы у = х2, постройте график функции:
а) у = ;
б) у = .
2-я г р у п п а.
1. Постройте графики функции:
а) у = ;
б) у = –3(х – 1)2 + 4;
в) у =
2. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Изобразите схематически графики функций:
а) у = –(х – 3)2;
б) у = х2 + 1;
в) у = 2 (х + 1)2 – 3.
2. Используя шаблон параболы у = х2, постройте график функций:
а) у = (х + 2)2 – 3;
б) у = –(х – 1)2 + 4.
3*. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:
В а р и а н т 2
1. Изобразите схематически графики функций:
а) у = –2х2 + 3;
б) у = (х + 2)2;
в) у = –(х – 1)2 – 2.
2. Используя шаблон параболы у = х2, постройте графики функций:
а) у = (х – 3)2 – 2;
б) у = –(х + 1)2 + 5.
3*. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что является графиком функции у = а (х – т)2 + п?
– Как может быть получен график функции у = а (х – т)2 + п из графика функции у = ах2?
– Какие координаты имеют вершины парабол:
у = 2 (х – 3)2 + 4, у = (х + 1)2 – 5?
Домашнее задание:
1. № 108, № 113.
2. Постройте графики функций:
а) у = –2 (х – 1)2 + 3; б) у = (х + 2)2 – 4.
У р о к 15.Алгоритм построения графика функцииу = ах2 + bх + с
Цель: вывести алгоритм построения графика квадратичной функции и формировать умение его применять.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Укажите координаты вершины параболы и направление ее ветвей:
а) у = –2х2 + 3;в) у = –(х – 1)2 + 5;
б) у = (х + 4)2;г) у = 1,6 (х + 3)2 – 10.
2. Парабола, изображенная на рисунке, получена сдвигами вдоль оси координат параболы у = 2х2. Назовите ее формулу:
III. Объяснение нового материала.
Объяснение целесообразно начать с постановки задачи: построить график функции у = х2 + 2х + 3. Учащиеся уже умеют строить график функции у = а (х – т)2 + п, а также выделять квадрат двучлена из квадратного трехчлена. Поэтому некоторые из них могут догадаться преобразовать формулу, задающую данную функцию, получив функцию у = (х + 1)2 +2.
Важно, чтобы учащиеся осознали, что таким образом можно преобразовать любую функцию и построить ее график. Учитель приводит доказательство данного утверждения на доске, обращая внимание учащихся на то, что в процессе доказательства появилась формула для нахождения координаты вершины параболы. Это дает возможность упростить построение графика квадратичной функции, не прибегая к выделению квадрата двучлена из квадратного трехчлена.
Далее учитель записывает на доске, учащиеся – в тетрадях алгоритм построения графика квадратичной функции.
Алгоритм построения графика функции у = ах2 + bх + с
1. Найти координаты вершины параболы (т; п), где т = , и отметить ее на координатной плоскости.
2. Определить направление ветвей параболы.
3. Изобразить ось симметрии параболы.
4. Построить несколько точек, принадлежащих одной из ветвей параболы (справа или слева от ее вершины).
5. Построить симметрично точки, принадлежащие другой ветви параболы.
6. Соединить отмеченные точки плавной линией.
Параллельно записи алгоритма учитель должен демонстрировать на конкретном примере использование каждого его пункта. Затем разобрать еще один пример (график строит учитель на доске, а учащиеся комментируют применение алгоритма с места).
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 120, № 121.
2. № 125.
На первых порах требовать от учащихся проговаривания вслух всех шагов построения.
3. Определите, график какой функции изображен на рисунке:
а) у = х2 – 1;
у = х2 – 2х – 1;
у = х2 – 4х + 3;
у = –х2 + 2х – 1;
б) у = –х2 + 1;
у = х2 – х + 1;
у = –х2 + 2х + 1;
у = –х2 – 2х.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что является графиком квадратичной функции?
– Как найти координаты вершины параболы?
– От чего зависит направление ветвей параболы?
– Всякая ли парабола имеет ось симметрии?
– Опишите алгоритм построения графика квадратичной функции.
Домашнее задание: № 126.
У р о к 16.Свойства функции у = ах2 + bх + с
Цель: продолжить формирование умения строить график квадратичной функции и перечислять ее свойства.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Парабола, изображенная на рисунке, получена сдвигами вдоль осей координат параболы у = х2. Назовите ее формулу.
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Постройте график функции:
а) у = х2 – 6х + 4;б) у = –2х2 – 4х + 3.
2. Определите, график какой функции изображен на рисунке:
а) у = х2 + х – 1;
б) у = х2 – 2х;
в) у = –х2 + 2х;
г) у = х2 – 2х – 1.
В а р и а н т 2
1. Постройте график функции:
а) у = х2 + 4х + 2;б) у = –2х2 + 4х + 1.
2. Определите, график какой функции изображен на рисунке:
а) у = –х2 – 2х + 1;
б) у = х2 + 4х – 3;
в) у = –х2 – 4х – 3;
г) у = –х2 + 2х.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся продолжают выполнять задания на построение графика квадратичной функции, при этом перечисляя по графику свойства функций. Затем в качестве обобщения следует предложить учащимся перечислить свойства квадратичной функции у = ах2 + bх + с в общем виде.
Упражнения:
1. № 123, № 124 (б, в).
2. Перечислите свойства функции у = ах2 + bх + с.
Учащиеся перечисляют свойства согласно изученной ранее схеме и записывают их в тетрадь.
Свойства функции у = ах2 + bх + с.
1) D (у): (–∞; +∞).
2) Если а > 0, то Е (у): [п; +∞).
Если а < 0, то Е (у): (–∞; п], где п – ордината вершины параболы.
3) у = 0, если ах2 + bх + с = 0.
4) Если функция не имеет нулей, то она принимает либо только положительные значения (при а > 0), либо только отрицательные значения (при а < 0).
Пусть х1 и х2 – нули функции, тогда:
при а > 0: у > 0, если х (–∞; х1) (х2; +∞),
у < 0, если х (х1; х2);
при а < 0: у > 0, если х (х1; х2),
у < 0, если х (–∞;х1) (х2; +∞).
5) При а > 0: при х (–∞; т],
при х [т; +∞).
При а < 0: при х (–∞; т],
при х [т; +∞), где т – абсцисса вершины параболы.
После проведенного исследования учащиеся смогут перечислять свойства квадратичной функции без построения ее графика.
3. Найдите область значений функции:
а) у = х2 + 3х + 1;б) у = –2х2 + 8х – 11.
4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) у = х2 – 2х + 5;б) у = –х2 + 4х + 7.
Д о п о л н и т е л ь н о:
5. Перечислите свойства функции, не строя ее график:
а) у = х2 + 2х – 2;б) у = –х2 + х + .
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Как найти координаты вершины параболы?
– От чего зависит направление ветвей параболы?
– Опишите алгоритм построения графика квадратичной функции.
– Как без построения графика найти область значения квадратичной функции?
– Как найти промежутки возрастания и убывания функции у = ах2 + + bх + с при а > 0 и при а < 0?
Домашнее задание: № 122, № 124 (а), № 244 (б, в).
Д о п о л н и т е л ь н о: перечислите свойства функции у = –2х2 + 4х + 4 без построения ее графика.
У р о к 17.Влияние коэффициентов а, b и с на расположениеграфика квадратичной функции
Цели: продолжить формирование умения строить график квадратичной функции и перечислять ее свойства; выявить влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика квадратичной функции.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Определите, график какой функции изображен на рисунке:
а) у = х2 – 2х – 1;
у = –2х2 – 8х;
у = х2 – 4х – 1;
у = 2х2 + 8х + 7;
у = 2х2 – 1.
б) у = х2 – 2х;
у = –х2 + 4х + 1;
у = –х2 – 4х + 1;
у = –х2 + 4х – 1;
у = –х2 + 2х – 1.
III. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 127 (а).
2. № 129.
Р е ш е н и е
Прямая у = 6х + b касается параболы у = х2 + 8, то есть имеет с ней только одну общую точку в том случае, когда уравнение 6х + b = х2 + 8 будет иметь единственное решение.
Это уравнение является квадратным, найдем его дискриминант:
х2 – 6х + 8 + b = 0;
D1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;
D1 = 0, если 1 + b = 0, то есть b = –1.
О т в е т: b = –1.
3. Выявить влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика функции у = ах2 + bх + с.
Учащиеся обладают достаточными знаниями, чтобы выполнить это задание самостоятельно. Следует предложить им все полученные выводы занести в тетрадь, при этом выделив «основную» роль каждого из коэффициентов.
1) Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы: при а > 0 – ветви направлены вверх, при а < 0 – вниз.
2) Коэффициент b влияет на расположение вершины параболы. При b = 0 вершина лежит на оси оу.
3) Коэффициент с показывает точку пересечения параболы с осью ОУ.
После этого можно привести пример, показывающий, что можно сказать о коэффициентах а, b и с по графику функции.
Значение с можно назвать точно: поскольку график пересекает ось ОУ в точке (0; 1), то с = 1.
Коэффициент а можно сравнить с нулем: так как ветви параболы направлены вниз, то а < 0.
Знак коэффициента b можно узнать из формулы, определяющей абсциссу вершины параболы: т = , так как а < 0 и т = 1, то b> 0.
4. Определите, график какой функции изображен на рисунке, опираясь на значение коэффициентов а, b и с.
а) у = –х2 + 2х;
у = х2 + 2х + 2;
у = 2х2 – 3х – 2;
у = х2 – 2.
Р е ш е н и е
По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а, b и с:
а > 0, так как ветви параболы направлены вверх;
b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;
с = –2, так как парабола пересекает ось ординат в точке (0; –2).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = 2х2 – 3х – 2.
б) у = х2 – 2х;
у = –2х2 + х + 3;
у = –3х2 – х – 1;
у = –2,7х2 – 2х.
Р е ш е н и е
По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а, b и с:
а < 0, так как ветви параболы направлены вниз;
b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;
с = 0, так как парабола пересекает ось ОУ в точке (0; 0).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = –2,7х2 – 2х.
5. По графику функции у = ах2 + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:
а) б)
Р е ш е н и е
а) Ветви параболы направлены вверх, поэтому а > 0.
Парабола пересекает ось ординат в нижней полуплоскости, поэтому с < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы: т = . По графику видно, что т < 0, и мы определим, что а > 0. Поэтому b > 0.
б) Аналогично определяем знаки коэффициентов а, b и с:
а < 0, с > 0, b < 0.
Сильным в учебе учащимся можно дать дополнительно выполнить № 247.
Р е ш е н и е
у = х2 + рх + q.
а) По теореме Виета, известно, что если х1 и х2 – корни уравнения х2 + + рх + q = 0 (то есть нули данной функции), то х1 · х2 = q и х1 + х2 = –р. Получаем, что q = 3 · 4 = 12 и р = –(3 + 4) = –7.
б) Точка пересечения параболы с осью ОУ даст значение параметра q, то есть q = 6. Если график функции пересекает ось ОХ в точке (2; 0), то число 2 является корнем уравнения х2 + рх + q = 0. Подставляя значение х = 2 в это уравнение, получим, что р = –5.
в) Своего наименьшего значения данная квадратичная функция достигает в вершине параболы, поэтому , откуда р = –12. По условию значение функции у = х2 – 12х + q в точке x = 6 равно 24. Подставляя x = 6 и у = 24 в данную функцию, находим, что q = 60.
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Постройте график функции у = 2х2 + 4х – 6 и найдите, используя график:
а) нули функции;
б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;
в) промежутки возрастания и убывания функции;
г) наименьшее значение функции;
д) область значения функции.
2. Не строя график функции у = –х2 + 4х, найдите:
а) нули функции;
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) область значения функции.
3. По графику функции у = ах2 + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:
В а р и а н т 2
1. Постройте график функции у = –х2 + 2х + 3 и найдите, используя график:
а) нули функции;
б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;
в) промежутки возрастания и убывания функции;
г) наибольшее значение функции;
д) область значения функции.
2. Не строя график функции у = 2х2 + 8х, найдите:
а) нули функции;
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) область значения функции.
3. По графику функции у = ах2 + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Опишите алгоритм построения квадратичной функции.
– Перечислите свойства функции у = ах2 + bх + с при а > 0 и при а < 0.
– Как влияют коэффициенты а, b и с на расположение графика квадратичной функции?
Домашнее задание: № 127 (б), № 128, № 248.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 130.
У р о к 18.
Функция y=хnСвойства и график степенной функции
Цели: изучить свойства и график степенной функции; формировать умение строить и различать графики степенных функций с четными и нечетными показателями.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
По графику функции у = ах2 + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:
а) б)
III. Объяснение нового материала.
При изучении степенной функции следует больше внимания уделить самостоятельной работе учащихся, предложив им сделать основные выводы и перечислить свойства новой функции.
О б ъ я с н е н и е может быть построено по следующей схеме:
1. Предложить учащимся построить в одной системе координат графики функций у = х2, у = х4 и у = х6, заполнив таблицы значений этих функций.
х –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2
у Затем задать учащимся в о п р о с ы:
– В чем состоит сходство построенных графиков?
– Чем отличаются графики функций?
– Как будут выглядеть графики функций у = х8 и у = х10?
– Может ли функция у = х18 принимать отрицательные значения?
2. Предложить учащимся в одной системе координат построить графики функций у = х3 и у = х5, а затем ответить на следующие в о п р о с ы:
– В чем состоит сходство построенных графиков?
– Чем отличаются графики функций?
– Как будет выглядеть график функции у = х7?
– Может ли функция у = х9 принимать отрицательные значения?
3. Сообщить учащимся, что функции, графики которых они строили, называются степенными функциями с натуральным показателем и записываются в общем виде:
у = хп
Далее спросить учащихся, на какие две группы можно разбить все степенные функции, и предложить им перечислить свойства каждой из выделенных групп.
у = х2п у = х2п + 1
1) D (у) = R;
2) Е (у): [0; +∞);
3) у = 0 при х = 0;
4) если х ≠ 0, то у > 0;
5) : [0; +∞),
: (–∞; 0].
1) D (у) = R;
2) Е (у) = R;
3) у = 0 при х = 0;
4) у > 0, если х (0; +∞),
у < 0, если х (–∞; 0);
5) Функция возрастающая.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке основное внимание следует уделить заданиям на изображение и различение графиков степенных функций, а также на использование их свойств.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. Определите, график какой функции изображен на рисунке:
а) у = х16
у = –2х10
у = х11
у = х2 + 2х
б) у = х2 – 4х
у = х3
у = х9
у = х12
2. № 142.
3. № 145 (в, г), № 146.
2-я г р у п п а.
1. № 136, № 137.
2. Функция задана формулой f (х) = х32. Сравните:
а) f (1,7) и f (4);в) f (–5) и f (427);
б) f (–2,1) и f (-313);г) f (20) и f (–17).
3. Функция задана формулой g (х) = х37. Сравните:
а) f (3,6) и f (4,7);в) f (50) и f (–40);
б) f (-115) и f (–2);г) f (25) и f (–25).
V. Итог урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какая функция называется степенной функцией с натуральным показателем?
– На какие две группы можно разделить степенные функции?
– Перечислите свойства степенной функции с четным показателем.
– Перечислите свойства степенной функции с нечетным показателем.
Домашнее задание: № 138, № 139, № 143, № 145 (а, б).
У р о к 19.Использование свойств степенной функциипри решении различных задач
Цели: формировать умение использовать график и свойства степенной функции при решении различных задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию:
у = 2х + 1;у = ;
у = х6;у = –х2 + 2х;
у = х2 – 2х;у = х5.
а) б)
в)
III. Формирование умений и навыков.
Свойства и график степенной функции могут быть использованы при решении двух основных типов задач: при сравнении степенных выражений и при графическом решении уравнений и неравенств. Необходимо, чтобы учащиеся умели выполнять такие задания.
Упражнения:
1. № 140, № 250.
2. № 147, № 149 (а).
3. Решите графически уравнение:
а) х5 = 3;
б) х5 = 5;
в) х5 = –2;
г) х5 = –6.
4. № 151, № 152.
Целесообразно дополнительно дать учащимся выполнить № 255, так как необходимо уже сейчас формировать у них умение преобразовывать графики элементарных функций.
Р е ш е н и е
В задании предложены три типа преобразований:
– параллельный перенос вдоль оси абсцисс;
– параллельный перенос вдоль оси ординат;
– зеркальное отображение графика относительно оси ординат.
На рисунке показано, как будут выглядеть графики данных функций:
а) у = –х3
б) у = х3 – 1
в) у = (х – 2)3
г) у = (х – 2)3 + 1
д) у = –х4
е) у = х4 – 1
ж) у = (х – 3)4
з) у = (х – 3)4 + 2
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Изобразите схематически график функции:
а) у = х11;б) у = х16.
2. Сравните:
а) 1,75 и 25;г) 1,26 и ;
б) и ;д) (–9)8 и (–7,5)8;
в) 0,915 и ;е) (–3)10 и (4,2)10.
3. Сколько корней имеет уравнение:
а) х4 = 5;г) х13 = – 9;
б) х5 = 7;д) х14 = 0;
в) х10 = – 4;е) х22 = 11?
В а р и а н т 2
1. Изобразите схематически график функции:
а) у = х14;б) у = х9.
2. Сравните:
а) 0,74 и 1,34;г) и 0,93;
б) и (–1,1)12;д) (–11)9 и (–15,2)9;
в) 0,28 и ;е) (–7,1)17 и 6,317.
3. Сколько корней имеет уравнение:
а) х3 = 7;г) х12 = –3;
б) х6 = 8;д) х21 = –10;
в) х18 = 0;е) х40 = 1,2?
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Перечислите свойства степенной функции у = хп при п – четном и п – нечетном.
– Какая из степеней с одинаковым нечетным показателем больше? Ответ объясните.
– Как сравнить две степени с одинаковыми четными показателями?
– Сколько корней имеет уравнение хп = а, если п – нечетное число?
– Сколько корней имеет уравнение хп = а, если п – четное число?
Домашнее задание: № 141, № 256, № 149 б), № 150.
У р о к 20.Понятие корня п-й степении арифметического корня п-й степени
Цели: ввести понятия корня п-й степени и арифметического корня п-й степени; формировать умение вычислять эти корни.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить в соответствии с пунктом учебника, придерживаясь следующей схемы:
1. В в е д е н и е п о н я т и я корня п-й степени.
Необходимо добиться от учащихся четкой формулировки определения корня п-й степени. На доску следует вынести запись:
Учащиеся часто путаются в терминологии новых понятий, поэтому нужно предложить им выполнить устное задание.
З а д а н и е. Прочитайте корень п-й степени и назовите, чему равен показатель корня и подкоренное выражение.
а) ;в) ;д) ;
б) ;г) ;е) .
На доску следует вынести запись:
Показатель
корня – корень п-й степени из числа а
Подкоренное выражение
2. Р а с с м о т р е н и е примеров вычисления корней п-й степени.
Примеры должны быть различны: варьировать показатели корня (четные и нечетные) и подкоренные выражения (отрицательные и положительные).
Важно, чтобы учащиеся осознали следующее: если п – нечетное число, то выражение имеет смысл при любом а, если же п – четное число, то выражение имеет смысл лишь при а ≥ 0. Это позволит подойти к понятию арифметического корня п-й степени.
3. В в е д е н и е п о н я т и я арифметического корня п-й степени.
После того, как будет разобрано определение арифметического корня п-й степени, необходимо на доску вынести равенства, которые помогут учащимся при вычислении выражений с корнями.
= апри всех а, при которых выражение имеет смысл.
= –при нечетном п и положительном а.
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. Заполните таблицу.
Показатель
корня 3 9 4 10 2 Подкоренное выражение 7 –12 5 0,6 Корень п-й степени
2. № 158, № 159 (а, в, д, ж).
3. № 160.
4. № 162, № 164.
5. № 166 (а, в).
6. Имеет ли смысл выражение:
а) ;г) ;ж) ;
б) ;д) ;з) .
в) ;е) ;
Д о п о л н и т е л ь н о учащимся можно дать выполнить № 259.
Р е ш е н и е
а) , б) , в) ,
х – 2 ≥ 0,
х ≥ 2,
х [2; +∞). ≥ 0,
9 – х ≥ 0,
х ≤ 9,
х (–∞; 9]. х (–∞; +∞).
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется корнем п-й степени из числа а?
– Приведите пример корня, у которого показатель является нечетным числом, а подкоренное выражение отрицательно.
– Имеет ли смысл выражение ? Почему?
– Дайте определение арифметического корня п-й степени.
Домашнее задание: № 159 (б, г, е, з), № 161, № 163, № 166 (б, г).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 262.
У р о к 21.Нахождение значений выражений,содержащих корни п-й степени
Цели: продолжить формирование умения вычислять корни п-й степени и находить значения выражений, содержащих корни п-й степени.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Прочитайте корень и назовите, чему равен его показатель и подкоренное выражение:
а) ;в) ;д) ;
б) ;г) ;е) .
2. Имеет ли смысл выражение:
а) ;в) ;д) ;
б) ;г) ;е) ?
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке нужно добиться от учащихся автоматизма при вычислении корней п-й степени, а также формировать у них умение применять следующие равенства: = – и = а.
Упражнения:
1. № 168, № 169.
2. Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
3. № 171.
4. Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) .
5. № 173.
Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и я:
1. № 263 (а).
Р е ш е н и е
В одной системе координат построим графики функций у = х иу = .
Графики этих функций пересекаются в точках с абсциссами 0 и 1, то есть данные числа являются решениями уравнения = x.
По графику находим решение неравенства < х: х (1; +∞) и неравенства > х: х (0; 1).
2. № 264.
Р е ш е н и е
При построении графиков используется зеркальное отображение относительно оси абсцисс и оси ординат. На рисунке изображены графики заданных функций:
а) у = –
б) у = –
в) у =
г) у =
Мы видим, что графики функций у = – и у = не отличаются друг от друга, поскольку верно равенство = –.
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Вычислите:
а) ;в) ;д) ;
б) ;г) ;е) .
2. Найдите значение выражения:
а) ; б) ; в) .
3. Вычислите:
а) ;в) ;д) ;
б) ;г) ;е) .
В а р и а н т 2
1. Вычислите:
а) ;в) ;д) ;
б) ;г) ;е) .
2. Найдите значение выражения:
а) ; б) ; в) 2,5 · .
3. Вычислите:
а) ;в) ;д) ;
б) ;г) ;е) .
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется корнем п-й степени из числа а?
– Что называется арифметическим корнем п-й степени из положительного числа а?
– При каких значениях а выражение имеет смысл, если п – четное число; п – нечетное число?
– Верно ли, что = –7; = –7? Почему?
Домашнее задание: № 167, № 170, № 172.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 263 (б).
У р о к 22.Итоговый урок по теме «Квадратичная функция»
Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Квадратичная функция»; подготовить их к написанию контрольной работы.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний.
Т е с т с п о с л е д у ю щ е й п р о в е р к о й.
«+» – согласен с утверждением;
«–» – не согласен с утверждением.
1) Областью определения функции у = х2 являются все неотрицательные числа.
2) Областью значений функции у = являются все неотрицательные числа.
3) Чтобы найти нули функции, нужно узнать точки пересечения графика этой функции с осью абсцисс.
4) Для нахождения положительных значений функции нужно найти все ее значения при х > 0.
5) Если k > 0, то функция у = является убывающей.
6) Квадратный трехчлен может иметь один корень.
7) Любой квадратный трехчлен можно разложить на множители.
8) Существуют всего два способа разложения многочлена на множители.
9) График функции у = (х + 2)2 может быть получен из графика функции у = х2 с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на 2 единицы влево.
10) Вершина параболы у = (х – 1)2 – 3 имеет координаты (–1; –3).
11) Направление ветвей параболы зависит от координат ее вершины.
12) Областью значений квадратичной функции является множество всех чисел.
13) Чтобы найти точки пересечения графиков двух функций, нужно приравнять формулы, задающие эти функции, и решить полученное уравнение.
14) Если п – четное число, то уравнение хп = а всегда имеет два корня.
15) Выражение не имеет смысла.
К л ю ч: – + + – + + – – + – – – + – –.
Учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют работы друг друга. При этом учитель вновь зачитывает каждое утверждение и обсуждает их с учащимися.
III. Формирование умений и навыков.
Перед тем как учащиеся приступят к выполнению заданий, необходимо создать у них четкое представление о тех знаниях и умениях, которые они приобрели при изучении темы «Квадратичная функция».
З н а н и я У м е н и я
1. Свойства функций. Перечислять свойства различных функций по их графику и формуле.
2. Квадратичная функция. Строить график квадратичной функции и перечислять ее свойства.
3. Квадратный трехчлен. Раскладывать квадратный трехчлен на множители и преобразовывать выражения, содержащие квадратный трехчлен.
4. Степенная функция. Строить график степенной функции и перечислять ее свойства.
5. Корень п-й степени. Вычислять выражения, содержащие корни п-й степени.
В соответствии с этими знаниями и умениями учащиеся выполняют пять групп заданий.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. На рисунке изображенграфик функции у = f (х).
Перечислите ее свойства.
2. Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию.
у = х3;у = х2;
у = ;у = | х |;
у = х + 1;у = –;
у = ;у = –3х – 1.
2-я г р у п п а.
1. Постройте график функции у = –х2 + 2х + 4 и перечислите ее свойства.
2. Определите, график какой функции изображен на рисунке:
у = –х2 – 2х + 1
у = х2 + х + 1
у = 2х2 + 4х + 1
у = 3х2 + 6х
3. Найдите область значений функции у = х2 + 4х – 7.
3-я г р у п п а.
1. Сократите дробь:
а) ;б) .
4-я г р у п п а.
1. Сколько корней имеет уравнение:
а) х7 = 9;в) х5 = –;д) х15 = 0;
б) х6 = 5;г) х10 = –;е) х20 = 0?
2. Сравните:
а) 5,25 и 7,15;г) и (–1,3)6;
б) и ;д) (–1,8)9 и 0,6;
в) 0 и (–6,2)8;е) (–6,1)12 и .
5-я г р у п п а.
Вычислите:
а) ;г) ;
б) ;д) ;
в) ;е) .
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что такое область определения и область значений функции?
– Перечислите области определения и области значений всех элементарных функций.
– Как построить график квадратичной функции?
– Как влияют коэффициенты а, b и с на расположение графика квадратичной функции?
– Как разложить квадратный трехчлен на множители?
– Какие существуют способы разложения многочлена на множители?
– Перечислите свойства функции у = х43.
– Имеет ли смысл выражение: ?
Домашнее задание: № 214 (а, в), № 222, № 227, № 243 (д, е), № 257.
У р о к 23.Контрольная работа № 1
В а р и а н т 1
1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2 – 14х + 45;б) 3у2 + 7у – 6.
2. Постройте график функции у = х2 – 2х – 8. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = –1,5;
б) значения х, при которых у = 3;
в) нули функции;
г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;
д) промежуток, в котором функция возрастает.
3. Сравните:
а) и ;в) (–4,1)11 и (–3,9)11;
б) (–1,3)6 и (–2,1)6;г) и 0,0114.
4. Вычислите:
а) ; б) ; в) .
5. Сократите дробь .
6. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х2 – 6х + 11.
В а р и а н т 2
1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2 – 10х + 21;б) 5у2 + 9у – 2.
2. Постройте график функции у = х2 – 4х – 5. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 0,5;
б) значения х, при которых у = 3;
в) нули функции;
г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;
д) промежуток, в котором функция убывает.
3. Сравните:
а) (–1,7)5 и (–2,1)5;в) 4,79 и ;
б) и ;г) 5,712 и (–6,3)12.
4. Вычислите:
а) ; б) ; в) .
5. Сократите дробь .
6. Найдите наибольшее значение квадратного трехчлена –х2 + 4х + 3.
В а р и а н т 3
1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2 – 12х + 35;б) 7у2 + 19у – 6.
2. Постройте график функции у = х2 – 6х + 5. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 0,5;
б) значения х, при которых у = –1;
в) нули функции;
г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;
д) промежуток, в котором функция возрастает.
3. Сравните:
а) и ;в) (–2,3)6 и (–4,1)6;
б) (–1,7)3 и (0,4)3;г) и (–1,4)10.
4. Вычислите:
а) ; б) ; в) .
5. Сократите дробь .
6. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х2 – 8х + 7.
В а р и а н т 4
1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2 – 18х + 45;б) 9х2 + 25х – 6.
2. Постройте график функции у = х2 – 8х + 13. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 1,5;
б) значения х, при которых у = 2;
в) нули функции;
г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;
д) промежуток, в котором функция возрастает.
3. Сравните:
а) 3,411 и 4,211;в) и (–0,7)9;
б) и (–1,2)8;г) (–2,4)4 и 1,24.
4. Вычислите:
а) ; б) ; в) .
5. Сократите дробь .
6. Найдите наибольшее значение квадратного трехчлена –х2 + 6х – 4.
Решение вариантов контрольной работы
В а р и а н т 1
1. а) х2 – 14х + 45 = (х – 5) (х – 9);
х2 – 14х + 45 = 0;
х1 = 5, х2 = 9.
б) 3у2 + 7у – 6 = 3 (у – ) (у + 3) = (3у – 2) (у + 3);
3у2 + 7у – 6 = 0;
D = 49 + 72 = 121;
у1, 2 = ;
у1 = , у2 = –3.
2. у = х2 – 2х – 8 – квадратичная функция, графиком является парабола.
Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п) вершины параболы:
m = = 1; п = 1 – 2 – 8 = –9;
А (1; –9) – вершина параболы.
х 0 –1 –2 –3
у –1 –5 0 7
а) у ≈ –3;
б) х ≈ –2,6; 4,4;
в) у = 0 при х = –2 и х = 4;
г) у > 0 при х (–∞; –2) (4; +∞);
у < 0 при х (–2; 4);
д) [1; +∞).
3. а) > ;в) (–4,1)11 < (–3,9)11;
б) (–1,3)6 < (–2,1)6;г) > 0,0114.
4. а) ;
б) ;
в) .
5. ;
3р2 + р – 2 = 0;
D = 1 + 24 = 25;
р1, 2 = ;
р1 = , р2 = –1.
6. х2 – 6х + 11.
1-й с п о с о б.
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
х2 – 6х + 11 = х2 –2 · 3 · х + 9 – 9 + 11 = (х – 3)2 + 2.
Это выражение принимает наименьшее значение при х = 3, и оно равно 2.
2-й с п о с о б.
у = х2 – 6х + 11 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены верх. Наименьшее значение квадратного трехчлена х2 – 6х + 11 – это ордината вершины этой параболы:
т = = 3; п = 9 – 18 + 11 = 2;
2 – наименьшее значение квадратного трехчлена х2 – 6х + 11.
В а р и а н т 2
1. а) х2 – 10х + 21 = (х – 3) (х – 7);
х2 – 10х + 21 = 0;
х1 = 3, х2 = 7.
б) 5у2 + 9у – 2 = 5 (у – ) (у + 2) = (5у – 1) (у + 2);
5у2 + 9у – 2 = 0;
D = 81 + 40 = 121;
у1, 2 = ;
у1 = , у2 = –2.
2. у = х2 – 4х – 5 – квадратичная функция, графиком является парабола.
Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п) вершины параболы:
m = = 2; п = 4 – 8 – 5 = –9;
А (2; –9) – вершина параболы.
х 1 0 –1 –2
у –8 –5 0 7
а) у ≈ –6;
б) х ≈ –1,5; 5,3;
в) у = 0 при х = –1 и х = 5;
г) у > 0 при х (–∞; –1) (5; +∞);
у < 0 при х (–1; 5);
д) (–∞; 2].
3. а) (–1,7)5 > (–2,1)5;в) 4,79 > ;
б) > ;г) 5,712 < (–6,3)12.
4. а) ;
б) ;
в) .
5. ;
4с2 + 7с – 2 = 0;
D = 49 + 32 = 81;
с1, 2 = ;
с1 = , с2 = –2.
6. –х2 + 4х + 3.
1-й с п о с о б.
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
–х2 + 4х + 3 = –(х2 – 4х – 3) = –(х2 –2 · 2 · х + 4 – 4 –3) = –((х – 2)2 – 7) == –(х – 2)2 + 7.
Это выражение принимает наибольшее значение при х = 2, и оно равно 7.
2-й с п о с о б.
у = –х2 + 4х + 3 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение квадратного трехчлена –х2 + 4х + 3 – это ордината вершины этой параболы:
т = = 2; п = –4 + 8 + 3 = 7;
7 – наибольшее значение квадратного трехчлена –х2 + 4х + 3.
В а р и а н т 3
1. а) х2 – 12х + 35 = (х – 5) (х – 7);
х2 – 12х + 35 = 0;
х1 = 5, х2 = 7.
б) 7у2 + 19у – 6 = 7 (у – ) (у + 3) = (7у – 2) (у + 3);
7у2 + 19у – 6 = 0;
D = 361 + 168 = 529;
у1, 2 = ;
у1 = , у2 = –3.
2. у = х2 – 6х + 5 – квадратичная функция, графиком является парабола.
Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п) вершины параболы:
т = = 3; п = 9 – 18 + 5 = –4;
А (3; –4) – вершины параболы.
х 2 1 0 –1
у –3 0 5 12
а) у ≈ 2,5;
б) х ≈ 1,1; 4,9;
в) у = 0 при х = 1 и х = 5;
г) у > 0 при х (–∞; –1) (5; +∞);
у < 0 при х (1; 5);
д) [3; +∞).
3. а) < ;в) (–2,3)6 < (–4,1)6;
б) (–1,7)3 < (0,4)3;г) < (–1,4)10.
4. а) ;
б) ;
в) .
5. ;
5а2 + 19а – 4 = 0;
D = 361 + 80 = 441;
а1, 2 = ;
а1 = , а2 = –4.
6. х2 – 8х + 7.
1-й с п о с о б.
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
х2 – 8х + 7 = х2 –2 · 4 · х + 16 – 16 + 7 = (х – 4)2 – 9.
Это выражение принимает наименьшее значение при х = 4, и оно равно –9.
2-й с п о с о б.
у = х2 – 8х + 7 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение квадратного трехчлена х2 – 8х + 7 – это ордината вершины этой параболы:
т = = 4; п = 16 – 32 + 7 = –9;
–9 – наименьшее значение квадратного трехчлена х2 – 8х + 7.
В а р и а н т 4
1. а) х2 – 18х + 45 = (х – 3) (х – 15);
х2 – 18х + 45 = 0;
х1 = 3, х2 = 15.
б) 9х2 + 25х – 6 = 9 (х – ) (х + 3) = (9х – 2) (х + 3);
9х2 + 25х – 6 = 0;
D = 625 + 216 = 841;
х1, 2 = ;
х1 = , х2 = –23.
2. у = х2 – 8х + 13 – квадратичная функция, графиком является парабола.
Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п) вершины параболы:
т = = 4; п = 16 – 32 + 13 = –3;
А (4; –3) – вершины параболы.
х 3 2 1 0
у –2 1 6 13
а) у ≈ 3,4;
б) х ≈ 1,7; 6,3;
в) у = 0 при х ≈ 2,3 и х ≈ 5,7;
г) у > 0 при х (–∞; 2,3) (5,7; +∞);
у < 0 при х (2,3; 5,7);
д) [4; +∞).
3. а) 3,411 < 4,211;в) < (–0,7)9;
б) < (–1,2)8;г) (–2,4)4 > 1,24.
4. а) ;
б) ;
в) .
5. ;
7b2 + 11b –6 = 0;
D = 121 + 168 = 289;
b1, 2 = ;
b1 = , b2 = –2.
6. –х2 + 6х – 4.
1-й с п о с о б.
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
–х2 + 6х – 4 = –(х2 –2 · 3 · х + 9 – 9 + 4) = –((х – 3)2 – 5) = –(х – 3)2 + 5.
Это выражение принимает наибольшее значение при х = 3, и оно равно 5.
2-й с п о с о б.
у = –х2 + 6х – 4 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение квадратного трехчлена –х2 + 6х – 4 – это ордината вершины этой параболы:
т = = 3; п = –9 + 18 – 4 = 5;
5 – наибольшее значение квадратного трехчлена –х2 + 6х – 4.
Методические рекомендации по изучению дополнительного материала
Темы рубрики «Для тех, кто хочет знать больше» можно изучать в рамках факультативных занятий, заседаний математического кружка, либо предложить учащимся для самостоятельного изучения (с консультацией учителя).
В конце каждой главы мы будем давать методические рекомендации по изучению данных тем и демонстрировать решение наиболее трудных заданий.
Дробно-линейная функция и ее график
Цели: познакомить учащихся с дробно-линейной функцией; формировать умение строить ее график
О с о б е н н о с т и и з у ч е н и я
I. Актуализация знаний.
Для того чтобы учащиеся осознанно восприняли новый материал, они должны обладать следующими знаниями и умениями:
1) Знать свойства функции обратная пропорциональность и уметь строить ее график.
2) Уметь строить графики функций с помощью параллельных переносов вдоль осей координат.
3) Выделять из алгебраической дроби целую часть.
В соответствии с этими знаниями и умениями целесообразно предложить учащимся выполнить три различных задания.
З а д а н и е 1. Построить графики функций у = и у = и перечислить свойства этих функций.
З а д а н и е 2. Как могут быть получены из графика функций у = f (x) графики следующих функций:
а) у = f (x – 2);
б) у = f (x) – 3;
в) у = f (x + 1) + 5;
г) у = f (x – 4) – 1?
Постройте графики этих функций, если на рисунке изображен график функции у = f (x).
З а д а н и е 3. Выделите целую часть из дроби:
а) ; б) ; в) ; г) –.
II. Изучение нового материала.
Изучение материала проводится по следующей с х е м е:
1. В в е д е н и е п о н я т и я асимптот графика функции, рассматривание примеров.
2. В в е д е н и е п о н я т и я дробно-линейная функция. Целесообразно пояснить учащимся, почему данная функция так называется, как записывается в общем виде. Необходимо дать задание на распознавание новой функции.
З а д а н и е. Какие из следующих функций являются дробно-линейными? Для дробно-линейных функций назовите коэффициенты a, b, c и d.
а) у = ; б) у = ; в) у = ;
г) у = ; д) у = ; е) у = .
3. И з у ч и т ь а л г о р и т м построения графика дробно-линейной функции.
III. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 180, № 182. Задания на отыскание асимптот гиперболы.
2. № 181, № 183, № 184. Задания на построение графика дробно-линейной функции.
3. № 186–№ 189. Применение дробно-линейной функции для решения различных задач.
№ 186.
Р е ш е н и е
Выделим из дроби целую часть:
.
Ордината графика функции у = 2 + будет натуральным числом тогда, когда выражение будет принимать целые значения не меньше –1. Одним из необходимых условий для этого является деление нацело 11 на х – 3. Это условие будет выполняться в следующих случаях:
1) х – 3 = 1, то есть х = 4;3) х – 3 = 11, то есть х = 14;
2) х – 3 = –1, то есть х = 2;4) х – 3 = –11, то есть х = – 8.
Четвертый случай не удовлетворяет условию, поскольку х не является натуральным числом. Вычислим значение у в оставшихся трех случаях:
1) у = 2 + = 13; 2) у = 2 + = –9; 3) у = 2 + = 3.
Во втором случае у не является натуральным числом, то есть не удовлетворяет условию.
Таким образом, мы получим только две точки, у которых абсцисса и ордината является натуральными числами: (4; 13) и (14; 3).
№ 189.
Р е ш е н и е
а) ;
х = 0 и х = 4; б) ;
х = 1 и х = 3; в) ;
решений нет.
Степень с рациональным показателем
Цели: ввести степени с рациональным показателем и изучить ее свойства; формировать умение вычислять и преобразовывать степени с рациональным показателем.
О с о б е н н о с т и и з у ч е н и я
I. Актуализация знаний.
Для осознанного изучения данной темы учащиеся должны уметь вычислять корень п-й степени и преобразовать выражения, используя свойства степени с целым показателем.
В соответствии с этим можно предложить учащимся выполнить два задания.
З а д а н и е 1. Вычислите:
а) ;г) ;
б) ;д) ;
в) ;е) .
З а д а н и е 2. Найдите значение выражения:
а) + 2–3;г) 252 · 1253 : 515;
б) 310 · 3–4 : 37;д) ;
в) ;е) .
II. Изучение нового материала.
Изучение материала проводится по следующей с х е м е:
1. В в е д е н и е п о н я т и я степени с рациональным показателем. Здесь необходимо привести как можно больше примеров, демонстрирующих представление степени с рациональным показателем в виде корня и наоборот.
2. Р а с с м о т р е н и е в о п р о с а о вычислении степени с рациональным показателем. Нужно привести несколько примеров:
;
.
Необходимо, чтобы учащиеся усвоили последовательность шагов по вычислению степени с рациональным показателем :
1) записать степени в виде корня: ;
2) вычислить корень п-й степени из а;
3) результат возвести в степень т.
3. И з у ч е н и е с в о й с т в степени с рациональным показателем. Здесь нужно обратить внимание учащихся на то, что для любого показателя свойства степени одинаковые.
III. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 190, № 191. Представление степени с рациональным показателем в виде корня и наоборот.
2. № 193, № 194. Применение свойств степени.
3. № 192, № 195. Вычисление степени с рациональным показателем.
4. № 197.
Р е ш е н и е
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
У р о к 1 (24) .Понятие целого уравнения и его степени
Цели: ввести понятие целого уравнения и его степени; формировать умение определять степень целого уравнения и решать целые уравнения не выше второй степени.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Определите, сколько корней имеет уравнение:
а) 2х + 1 = 0;д) 3х + 1 = 5 + 3х;
б) х2 – 5 = 0;е) х2 + 2х + 1 = 0;
в) х5 + 1 = 0;ж) х2 + х + 10 = 0;
г) х6 + 2 = 0;з) 1 – 4х = 1 – 4х.
III. Объяснение нового материала.
На этом уроке достаточно ввести понятие целого уравнения и его степени; рассмотреть примеры приведения целого уравнения к виду Р (х) = 0, где Р (х) – многочлен; обратиться к решению целых уравнений первой и второй степени. Вопрос о методах решения целых уравнений выше второй степени целесообразно изучить на следующем уроке.
Объяснение проводится по следующей с х е м е:
1. В в е д е н и е п о н я т и я целого уравнения.
После формирования определения данного понятия необходимо дать учащимся задание на распознавание целых уравнений.
З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются целыми? Ответ объясните.
а) х4 + 2х3 – 7 = 0;г) – 5х3 = 0;
б) 4х10 = 0,7х8;д) ;
в) (х – 1) (3х2 + 5) = х4 + 2;е) = 0.
2. В в е д е н и е п о н я т и я степени целого уравнения.
После введения данного понятия дать учащимся задание на определение степени целого уравнения.
З а д а н и е. Какова степень уравнения:
а) 2х5 + 4х – 3 = 0;г) – 5х = 7;
б) х7 + 5х = 0;д) (2х + 1) (х – 7) – х = 0;
в) х11 = х3;е) 5х2 – 4х2 (1 – х) = 0?
3. Р а с с м о т р е н и е р е ш е н и я линейных и квадратных уравнений как целых уравнений первой и второй степени соответственно.
Необходимо, чтобы учащиеся осознали следующее:
1) изученные ранее линейные и квадратные уравнения являются целыми уравнениями первой и второй степени соответственно;
2) уравнение первой степени может иметь не более одного корня;
3) уравнение второй степени может иметь не более двух корней.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся выполняют задания на определение степени целого уравнения и приведение целых уравнений к виду Р (х) = 0. Для решения нужно предлагать им уравнения не выше второй степени.
Упражнения:
1. Приведите уравнение к виду Р (х) = 0 и определите его степень:
а) 2х (1 – 3х) + (х + 4) (х2 – 1) = 0;
б) (х3 – 2) (1 + 3х2) – 3 (х4 – 1) = 5;
в) (х – 1) (х + 2) (х – 3) = х – 4х2 (2 – х5).
2. Какие из следующих чисел –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнения:
а) х3 – 4х = 0;
б) х2 (х + 1) + (х + 4) = 4;
в) х4 – 5х2 + 4 = 0?
3. № 266 (а, в), № 267 (б, г).
4. № 268.
Р е ш е н и е
5х6 + 6х4 + х2 + 4 = 0.
Выражения 5х6, 6х4 и х2 могут принимать только неотрицательные значения при любых значениях х. Поэтому выражение 5х6 + 6х4 + х2 + 4 при любых значениях х принимает только положительные значения, а значит, не может быть равно нулю, то есть уравнение 5х6 + 6х4 + х2 + 4 = 0 не имеет решений.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 270.
Р е ш е н и е
Пусть ребро куба равно х см, тогда его объем равен х3 см3. Если увеличить ребро куба на 3 см, то оно станет равно (х + 3) см, а объем куба будет равен (х + 3)3 см3.
Составим и решим уравнение:
(х + 3)3 = х3 + 513;
х3 + 9х2 + 27х + 27 = х3 + 513;
9х2 + 27х – 486 = 0;
х2 + 3х – 54 = 0;
х = 6;
х = – 9 – не удовлетворяет условию задачи.
О т в е т: 6 см.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какое уравнение называется целым?
– Что такое степень целого уравнения?
– Какова степень уравнения 2х3 – 5 + х6 = 0?
– Сколько корней может иметь целое уравнение первой степени? второй степени?
Домашнее задание: № 266 (б, г), № 267 (а, в), № 269.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 271.
У р о к 2 (25).Основные методы решения целых уравнений
Цели: изучить основные методы решения целых уравнений; формировать умение применять эти методы.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
№ 265.
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Какие из чисел: –3; –1; 0; 2; 3 – являются корнями уравнения
2х3 + х2 – 13х + 6 = 0?
2. Решите уравнение:
а) ;б) .
3*. Составьте какое-либо уравнение третьей степени, имеющее корни –2; 2 и 5.
В а р и а н т 2
1. Какие из чисел: –2; –1; 0; 2; 3 – являются корнями уравнения 3х3 – – 5х2 – 11х – 3 = 0?
2. Решите уравнение:
а) = 1;б) – 1 = 0.
3*. Составьте какое-либо уравнение третьей степени, имеющее корни 0; –3 и 5.
IV. Объяснение нового материала.
На этом уроке необходимо рассмотреть два основных метода решения целых уравнений и сделать ряд важных выводов.
1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какое уравнение называется целым?
– Что такое степень целого уравнения?
– Как решаются целые уравнения первой и второй степени?
2. В ы д е л е н и е м е т о д о в решения целых уравнений.
Необходимо, чтобы учащиеся осознали, что им уже известны приемы решения целых уравнений первой и второй степени. Сообщить учащимся, что существуют также формулы корней целых уравнений третьей и четвертой степени, но их использование на практике неудобно.
Существуют два основных метода решения целых уравнений выше второй степени:
Метод разложения на множители
П р и м е р:
х5 – 4х3 = 0;
х3 (х2 – 4) = 0;
х3 = 0; или х2 – 4 = 0;
х = 0. х2 = 4;
х = ± 2.
О т в е т: –2; 0; 2. Метод введения новой переменной
П р и м е р:
9х4 – 10х2 + 1 = 0.
Пусть х2 = а, тогда
9а2 – 10а + 1 = 0;
а1 = 1 и а2 = ;
х2 = 1 и х2 = ;
х = ± 1 и х = ±.
О т в е т: ± 1, ±.
Желательно, чтобы учащиеся занесли себе в тетради изображенную схему. Необходимо также обратить внимание учащихся, что уравнение п-й степени может иметь не более п корней.
V. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся только начинают осваивать методы решения целых уравнений выше второй степени. Поэтому задания должны быть несложными и разбиты на две группы в соответствии с методами решения.
Упражнения:
1-я г р у п п а. Метод разложения на множители.
№ 272 (а, в, д, ж).
2-я г р у п п а. Метод введения новой переменной.
1. № 278 (а, в, д).
2. № 276 (а, в).
Р е ш е н и е
а) (2х2 + 3)2 – 12 (2х2 + 3) + 11 = 0.
З а м е н а: 2х2 + 3 = а;
а2 – 12а + 11 = 0;
а1 = 1 а2 = 11.
В е р н е м с я к з а м е н е:
2х2 + 3 = 1; или
2х2 = –2.
Решений нет. 2х2 + 3 = 11;
2х2 = 8;
х2 = 4;
х = ± 2.
О т в е т: ± 2.
в) (х2 + х – 1) (х2 + х + 2) = 40.
З а м е н а: х2 + х – 1 = а;
а (а + 3) = 40;
а2 + 3а – 40 = 0;
а1 = –8, а2 = 5.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 + х – 1 = –8; или
х2 + х + 7 = 0;
D = 1 – 28 = –27.
Решений нет. х2 + х – 1 = 5;
х2 + х – 6 = 0;
х1 = –3, х2 = 2.
О т в е т: –3; 2.
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется степенью целого уравнения?
– Как решаются целые уравнения первой степени? второй степени?
– Существуют ли формулы для решения целых уравнений третьей и четвертой степени? Почему они редко применяются на практике?
– Какими методами могут быть решены целые уравнения выше второй степени?
– Опишите сущность каждого из методов решения целых уравнений.
Домашнее задание: № 272 (б, г, е, з), № 278 (б, г, е), № 276 (б, г).
У р о к 3 (26).Решение целых уравнений различными методами
Цель: продолжить формирование умения применять различные методы при решении целых уравнений выше второй степени.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Определите, каким методом может быть решено каждое из данных целых уравнений:
а) 7х5 + 3х4 = 0;г) ;
б) х4 + 3х2 – 4 = 0;д) (х2 – 5)2 + 2(х2 – 5)2 + 1 = 0;
в) х3 + х2 + х + 1 = 0;е) (х2 – 2х) (х2 + 4 – 2х) = 3.
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся продолжают применять разные методы решения целых уравнений. При этом внимание уделяется не только грамотному их использованию, но и умению распознавать по внешнему виду уравнения тот метод, который целесообразно применить в данной ситуации.
Упражнения:
1. № 273 (в. д), № 279 (д), № 282 (а), № 277 (а, в), № 282 (а).
2. № 283 (а).
Р е ш е н и е
х5 + х4 – 6х3 – 6х2 + 5х + 5 = 0.
Разложим выражение, стоящее слева, на множители методом группировки. Получим:
х4 (х + 1) – 6х2 (х + 1) + 5 (х + 1) = 0;
(х + 1) (х4 – 6х2 + 5) = 0;
х + 1 = 0; или
х = –1. х4 – 6х2 + 5 = 0;
х2 = t;
t2 – 6t + 5 = 0;
t1 = 1, t2 = 5;
х2 = 1, х2 = 5;
х = ±1, х = ±.
О т в е т: ±1, ±.
Некоторым сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать карточки-задания.
К а р т о ч к а № 1
1. Решите уравнение: (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х + 4) = 360.
2. При каких значениях параметра а не имеет корней уравнение
х4 – 6х2 + а = 0?
К а р т о ч к а № 2
1. Решите уравнение: (х – 1) (х – 3) (х – 5) (х – 7) = 105.
2. При каких значениях параметра а не имеет корней уравнение
х4 + ах2 + 9 = 0?
Р е ш е н и е задач карточки № 1.
1. Найдем произведение крайних и средних множителей, заменив их трехчленами. Получим:
(х2 + 5х + 4) (х2 + 5х + 6) = 360.
С д е л а е м з а м е н у: х2 + 5х + 4 = t. Получим:
t (t + 2) = 360;
t2 + 2t – 360 = 0;
t1 = –20, t2 = 18.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 + 5х + 4 = –20; или
х2 + 5х +24 = 0;
D = 25 – 96 = –71.
Корней нет. х2 + 5х + 4 = 18;
х2 + 5х – 14 = 0;
х1 = –7, х2 = 2.
О т в е т: –7; 2.
2. Биквадратное уравнение не имеет корней в двух случаях: если дискриминант полученного после замены квадратного уравнения отрицателен или если это квадратное уравнение имеет только отрицательные корни.
С д е л а е м з а м е н у: х2 = t. Получим уравнение:
t2 – 6t – а = 0;
D1 = 9 – а;
D1 < 0, если 9 – а < 0, то есть а > 9.
Значит, при а > 9 данное биквадратное уравнение корней не имеет. При а ≤ 9 уравнение имеет корни х1 и х2. Предположим, что они отрицательные. Однако, по теореме Виета, имеем: х1 + х2 = = 6. Таким образом, полученное квадратное уравнение не может иметь одновременно двух отрицательных корней. Значит, исходное биквадратное уравнение не имеет корней только при а > 9.
О т в е т: (9; +∞).
Р е ш е н и е задач карточки 2.
1. Так же, как и при решении уравнения из карточки 1, выполним преобразование и получим уравнение:
(х2 – 8х + 7) (х2 – 8х + 15) = 105.
С д е л а е м з а м е н у: х2 – 8х + 7 = t. Получим:
t (t + 8) = 105;
t2 + 8t – 105 = 0;
t1 = –15, t2 = 7.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 – 8х + 7 = –15; или
х2 – 8х +22 = 0;
D1 = 16 – 22 = –6.
Корней нет. х2 – 8х + 7 = 7;
х2 – 8х = 0;
х (х – 8) = 0;
х1 = 0, х2 = 8.
О т в е т: 0; 8.
2. С д е л а е м з а м е н у: х2 = t. Получим уравнение:
t2 + аt + 9 = 0;
D1 = а2 – 36;
D1 < 0, если а2 – 36 < 0, то есть а (–6; 6).
Значит, при таких значениях а данное биквадратное уравнение корней не имеет.
Если а (–∞; –6) (6; +∞), то квадратное уравнение t2 + аt + 9 = 0 имеет два корня: х1 и х2. По теореме Виета, х1 · х2 = 9, значит, эти корни одинаковых знаков.
Чтобы данное биквадратное уравнение не имело корней, числа х1 и х2 должны быть отрицательными, то есть х1 + х2 < 0, а по теореме Виета х1 + х2 = –а. Имеем:
х1 + х2 < 0, если –а < 0, то есть а > 0.
О т в е т: (–6; 6) (6; +∞).
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какие существуют методы решения целых уравнений?
– В чем состоит суть метода введения новой переменной при решении целого уравнения?
– В чем состоит метод разложения на множители решения целого уравнения?
Домашнее задание: № 273, № 277 (б), № 279 (е), № 282 (б), № 283 (б).
У р о к 4 (27).Решение более сложных целых уравнений
Цели: продолжить формирование умения решать целые уравнения; обобщить и углубить знания учащихся по этому вопросу.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Решите уравнение:
а) х3 – 4х2 – 9х + 36 = 0;
б) х4 + 7х2 – 44 = 0;
в) (х2 – х + 1) (х2 – х – 7) = 65.
В а р и а н т 2
Решите уравнение:
а) 16х3 – 32х2 – х + 2 = 0;
б) х4 + 6х2 – 27 = 0;
в) (х2 + х + 6) (х2 + х – 4) = 144.
III. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В первую группу войдут задания на решение целых уравнений, при этом учащимся в полной мере потребуются полученные ранее знания, а также умения анализировать, рассуждать, делать выводы. Во вторую группу войдут задания на решение целых уравнений с параметром. В классе с невысоким уровнем подготовки вторую группу заданий можно не выполнять.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 284 (а).
Р е ш е н и е
у7 – у6 + 8у = 8;
у7 – у6 + 8у – 8 = 0;
у6 (у – 1) + 8 (у – 1) = 0;
(у – 1) = 0; или
у – 1 = 0;
у = 1. у6 + 8 = 0;
у6 = –8.
Корней нет.
О т в е т: 1.
2. № 274 (а).
Р е ш е н и е
х3 + 7х2 – 6 = 0;
х3 + х2 + 6х2 – 6 = 0;
х2 (х + 1) + 6 (х2 – 1) = 0;
х2 (х + 1) + 6 (х + 1) (х – 1) = 0;
(х + 1) (х2 + 6х – 6) = 0;
х + 1 = 0; или
х = –1. х2 + 6х – 6 = 0;
D1 = 9 + 6 = 15;
х1, 2 = –3 ±.
О т в е т: –1; –3 ±.
3. Решите уравнение: х4 – 25х2 + 60х – 36 = 0.
Р е ш е н и е
х4 – (25х2 – 60х + 36) = 0;
х4 – (5х – 6)2 = 0;
(х2 – 5х + 6) (х2 + 5х – 6) = 0;
х2 – 5х + 6 = 0; или
х1 = 2, х2 = 3 х2 + 5х – 6 = 0;
х1 = 1, х2 = –6
О т в е т: –6; 1; 2; 3.
4. № 275.
Р е ш е н и е
Чтобы найти точку пересечения графика функции у = х3 – 6х2 + 11х – 6 с осью ОУ, нужно подставить х = 0:
у = 0 – 6 = –6, то есть с осью ОУ график пересекается в точке (0; –6).
Чтобы найти точки пересечения графика с осью ОХ нужно решить уравнение:
х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0;
х3 – 6х2 + 12х – 6 – х = 0;
х3 – х – 6 (х2 – 2х + 1) = 0;
х (х2 – 1) – 6 (х – 1)2 = 0;
х (х – 1) (х + 1) – 6 (х – 1)2 = 0;
(х – 1) (х2 + х – 6х + 6) = 0;
(х – 1) (х2 – 5х + 6) = 0;
х – 1 = 0; или
х = 1. х2 – 5х + 6 = 0;
х1 = 2, х2 = 3.
Значит, ось ОХ график данной функции пересекает в трех точках: (1; 0), (2; 0), (3; 0).
О т в е т: (0; –6), (1; 0), (2; 0), (3; 0).
5. Решите уравнение: (2х2 – х + 1)2 + 6х = 1 + 9х2.
Р е ш е н и е
(2х2 – х + 1)2 – (9х2 – 6х + 1) = 0;
(2х2 – х + 1)2 – (3х – 1)2 = 0;
(2х2 – х + 1 – 3х + 1) (2х2 – х + 1 + 3х – 1) = 0;
(2х2 – 4х + 2) (2х2 + 2х) = 0;
х2 – 2х + 1 = 0; или
(х – 1)2 = 0;
х = 1. 2х2 + 2х = 0;
2х (х + 1) = 0;
х = 0 или х = –1.
О т в е т: –1; 0; 1.
6. Решите уравнение: (х2 – 4) (х2 + 2х – 3) = 60.
Р е ш е н и е
Разложим выражения, стоящие в скобках, на множители. Получим:
(х – 2) (х + 2) (х – 1) (х + 3) = 60.
Найдем произведение крайних и средних множителей:
(х2 + х – 6) (х2 + х – 2) = 60.
С д е л а е м з а м е н у: х2 + х – 6 = а. Получим:
а (а + 4) = 60;
а2 + 4а – 60 = 0;
а1 = –10, а2 = 6.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 + х – 6 = –10; или
х2 + х + 4 = 0;
D = 1 – 16 = –15.
Корней нет. х2 + х – 6 = 6;
х2 + х – 12 = 0;
х1 = –4, х2 = 3.
О т в е т: –4; 3.
2-я г р у п п а.
1. Докажите, что уравнение (х2 – 2х + 3) (х2 – 6х + 10) = 2 не имеет корней.
Р е ш е н и е
Выделим из каждого трехчлена, стоящего в скобках, квадрат двучлена:
((х – 1)2 + 2) ((х – 3)2 + 1) = 2.
Получаем, что первый множитель принимает значения, не меньшие двух, а второй множитель – не меньшие единицы.
Тогда произведение может быть равно 2 только в том случае, если первый множитель равен 2, а второй при этом равен 1. Первый множитель равен 2 при х = 1. Второй множитель при х = 1 равен 5. Значит, исходное уравнение корней не имеет.
2. При каких значениях а уравнение х4 + ах2 + 25 = 0 не имеет корней?
Р е ш е н и е
Биквадратное уравнение не имеет корней в двух случаях: если дискриминант полученного после замены квадратного уравнения отрицателен или если это квадратное уравнение имеет только отрицательные корни.
С д е л а е м з а м е н у: х2 = t. Получим уравнение:
t2 + аt + 25 = 0;
D = а2 – 100;
D < 0, если а2 – 100 < 0, то есть а (–10; 10).
Значит, при а (–10; 10) данное биквадратное уравнение корней не имеет.
Пусть а (–∞; 10) (10; +∞), х1 и х2 – корни квадратного уравнения t2 + аt + 25 = 0. По теореме Виета, х1 · х2 = 25, то есть эти корни одинаковых знаков.
Если х1 и х2 – отрицательны, то х1 + х2 < 0, а по теореме Виета, х1 + х2 == –а. Имеем:
х1 + х2 < 0, если –а < 0, то есть а > 0.
О т в е т: (–10; 10) (10; +∞).
3. При каком значении т сумма квадратов корней уравнения х2 ++ (2 – т) х – т – 3 = 0 минимальна?
Р е ш е н и е
Данное уравнение должно иметь два корня, то есть дискриминант должен быть положительным:
D = (2 – т)2 + 4 (т + 3) = 4 – 4т + т2 + 4т + 12 = т2 + 16.
Выражение т2 + 16 положительно при любом значении т, то есть данное уравнение имеет два корня: х1 и х2. По условию сумма х1 + х2 должна быть минимальна.
Справедливо следующее равенство:
х12+ х22 = (х1 + х2)2 – 2х1 · х2.
По теореме Виета, х1 + х2 = т – 2, х1 · х2 = –т – 3.
Подставим полученные выражения в это равенство:
х12+ х22 = (т – 2)2 + 2(т + 3) = т2 – 4т + 4 + 2т + 6 = т2 – 2т + 10.
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена т2 – 2т + 10:
т2 – 2т + 10 = (т – 1)2 + 9.
Таким образом, имеем:
х12+ х22 = (т – 1)2 + 9.
Выражение (т – 1)2 + 9 принимает наименьшее значение при т = 1.
О т в е т: т = 1.
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какое наибольшее количество корней может иметь целое уравнение пятой степени?
– Какие существуют методы решения целых уравнений? Опишите каждый из них.
– Как решаются биквадратные уравнения? Сколько корней они могут иметь? Опишите все возможные случаи.
Домашнее задание:
1. № 358 (г, е), № 284 (б), № 274 (б).
2. Решите уравнение:
а) (х – 2)2 (х2 – 4х + 3) = 12;
б) х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 120.
Д о п о л н и те л ь н о: Докажите, что число 1 является корнем уравнения (2х2 – 4х + 3) (х2 – 2х + 2) = 1 и других корней у этого уравнения нет.
У р о к 5 (28).Решение дробно-рациональных уравненийпо алгоритму
Цели: продолжить формирование умения решать дробно-рациональные уравнения, используя алгоритм, известный учащимся из курса 8 класса.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Верно ли, что выражение обращается в нуль:
а) при х = 2;
б) при х = –5;
в) при х = 1.
III. Объяснение нового материала.
В 8 классе учащиеся уже изучали данную тему. Сейчас необходимо расширить их знания. Отличия дробно-рациональных уравнений, изучаемых в 9 классе, состоят в следующем:
1) получаемое в процессе решения целое уравнение имеет степень, большую двух;
2) некоторые дробно-рациональные уравнения возможно решить, только используя метод введения новой переменной.
На этом уроке целесообразно актуализировать знания учащихся о решении дробно-рациональных уравнений по алгоритму. Вопрос о других приемах и методах решения дробно-рациональных уравнений лучше рассмотреть на следующем уроке.
Объяснение материала проводится в несколько э т а п о в.
1. И з у ч е н и е п о н я т и я дробно-рационального уравнения. Усвоение данного понятия проверяется при решении упражнения на распознавание этого вида уравнений.
З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются дробно-рациональными? Ответ объясните.
а) ;г) ;
б) ;д) ;
в) ;е) .
2. В ы в о д а л г о р и т м а решения дробно-рациональных уравнений. Алгоритм приведен на с. 78 учебника. Желательно, чтобы учащиеся занесли его в тетрадь.
3. Р а с с м о т р е н и е п р и м е р о в решения дробно-рациональных уравнений по изученному алгоритму (пример 1 и пример 3 из учебника).
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 288 (а, в), № 289 (а).
2. № 290 (а), № 292 (б).
3. № 291 (в).
Р е ш е н и е
;
;
;
х (х – 2) = 4 (х + 2) – 16;
х2 – 2х – 4х – 8 + 16 = 0;
х2 – 6х + 8 = 0;
х1 = 2, х2 = 4;
х1 = 2 – не является корнем уравнения.
О т в е т: 4.
4. № 296 (а).
Р е ш е н и е
;
5а + 7 – 28а2 = 20а3;
5а + 7 – 4а2 (7 + 5а) = 0;
(5а + 7) (1 – 4а2) = 0;
5а + 7 = 0; или
5а = –7;
а = –1,4. 1 – 4а2 = 0;
а2 = ;
а = ±.
О т в е т: –1,4; ±0,5.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какие уравнения называются дробно-рациональными?
– Являются ли следующие уравнения дробно-рациональными:
?
– Опишите алгоритм решения дробно-рациональных уравнений.
Домашнее задание: № 289 (б), № 290 (б), № 291 (б), № 295 (б).
У р о к 6 (29).Использование различных приемов и методовпри решении дробно-рациональных уравнений
Цели: продолжить формирование умения решать дробно-рациональные уравнения, используя при этом различные приемы и методы.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Какие из чисел –1; 0; 2; 3 являются корнями уравнения:
а) = 0;б) = 0.
III. Объяснение нового материала.
1. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся, попросив их рассказать алгоритм решения дробно-рациональных уравнений. После этого предложить учащимся использовать этот алгоритм при решении уравнения.
(пример 2 из учебника).
Далее делается в ы в о д, что решение данного уравнения по алгоритму является громоздким, поэтому целесообразно применить ряд преобразований.
2. Рассмотреть пример 4 из учебника. Здесь возникает такая же ситуация: решение данного дробно-рационального уравнения приводит к целому уравнению четвертой степени, корни которого известными методами найти очень сложно. Зато после введения новой переменной полученное уравнение решается довольно просто.
3. На основании рассмотренных примеров делаются следующиев ы в о д ы:
1) Не всякое дробно-рациональное уравнение целесообразно решать по алгоритму.
2) Довольно эффективным методом решения дробно-рациональных уравнений является метод введения новой переменной.
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 293 (а), № 294 (а).
2. № 297 (а, б), № 298 (б).
В классе с высоким уровнем подготовки можно решить еще несколько дробно-рациональных уравнений.
3. № 299 (а).
Р е ш е н и е
.
С д е л а е м з а м е н у:, тогда
Получим уравнение:
;
;
2а2 – а – 3 = 0;
а1 = –1, а2 = .
В е р н е м с я к з а м е н е:
; или
х2 + х – 1 = 0;
D = 1 + 4 = 5;
х1, 2 = . ;
2х2 – 3х – 2 = 0;
D = 9 + 16 = 25;
х1 = = 2;
х2 = .
О т в е т: .
4. = –1,5.
Р е ш е н и е
Проверим, что х ≠ 0, и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:
= –1,5.
С д е л а е м з а м е н у: . Получим:
;
8 (а – 5) + 10 (а + 1) + 3 (а + 1) (а – 5) = 0;
8а – 40 + 10а + 10 + 3а2 – 15а + 3а – 15 = 0;
3а2 + 6а – 45 = 0;
а2 + 2а – 15 = 0;
а1 = –5, а2 = 3.
В е р н е м с я к з а м е н е:
; или
х2 + 5х + 3 = 0;
D = 25 – 12 = 13;
х1, 2 = . ;
х2 – 3х + 3 = 0;
D = 9 – 12 = –3.
Решений нет.
О т в е т: .
5. = 3.
Р е ш е н и е
Вычтем и прибавим к выражению, стоящему в левой части уравнения, выражение , чтобы получить полный квадрат:
;
;
;
.
С д е л а е м з а м е н у: = t. Получим:
t2 + 2t – 3 = 0;
t1 = 1, t2 = –3.
В е р н е м с я к з а м е н е:
= 1; или
х2 – х – 1 = 0;
D = 1 + 4 = 5;
х1, 2 = . = –3;
х2 + 3х + 3 = 0;
D = 9 – 12 = –3.
Решений нет.
О т в е т: .
V. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Решите уравнение:
а) ;
б) .
В а р и а н т 2
Решите уравнение:
а) ;
б) .
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какими приемами и методами можно решать дробно-рациональные уравнения?
– Опишите решение дробно-рационального уравнения по алгоритму.
– В каких случаях при решении дробно-рациональных уравнений целесообразно использовать метод введения новой переменной?
Домашнее задание: № 296 (б), № 294 (б), № 297 (в), № 298 (б).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 299 (б).
У р о к 7 (30).Алгоритм решения неравенстввторой степени с одной переменной
Цели: ввести понятие неравенства второй степени с одной переменной и изучить алгоритм решения таких неравенств.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Определите количество корней уравнения ах2 + bx + c = 0 и знак коэффициента а, если на рисунке изображен график функции у = ах2 ++ bx + c.
а) б)
в)
2. Назовите промежутки знакопостоянства функции у = ах2 + bx + c, если ее график изображен на рисунке:
а) б)
в)
III. Объяснение нового материала.
1. В в е д е н и е п о н я т и я неравенства второй степени с одной переменной.
З а д а н и е. Какие из следующих неравенств являются неравенствами второй степени с одной переменной?
а) 2х2 + 3х – 1 > 0;г) 2х2 – х + 1 < х4;
б) 4х2 – х ≤ 0;д) х2 ≥ 1;
в) 5х – 1 > 3х2;е) х2 – 4x < .
2. С о с т а в л е н и е а л г о р и т м а решения неравенств второй степени с одной переменной.
Поставить перед учащимися проблему: как может быть решено неравенство подобного вида? Если учащиеся не догадаются, то можно вернуться к заданиям устной работы и наводящими вопросами помочь им сделать в ы в о д: неравенства второй степени с одной переменной решаются графически.
Желательно, чтобы учащиеся самостоятельно вывели алгоритм решения этих неравенств.
3. Р а с с м о т р е н и е п р и м е р о в решения неравенств второй степени с одной переменной.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке необходимо рассмотреть разные ситуации, возникающие при решении неравенств второй степени с одной переменной. Нужно, чтобы учащиеся запомнили алгоритм и применяли его без помощи учителя.
В соответствии с количеством корней трехчлена, получаемых в процессе решения неравенств, все задания можно разбить на три группы. В первую группу войдут неравенства, у которых квадратный трехчлен имеет два корня, во вторую – один корень, и в третьей группе будут неравенства, квадратный трехчлен которых не имеет корней.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
№ 304 (а, в, ж), № 308 (а, в, д).
2-я г р у п п а.
1. № 304 (д).
2. 9х2 + 6х + 1 ≤ 0
3-я г р у п п а.
а) х2 + 2х + 4 > 0;
б) 2х2 – х + 3 ≤ 0;
в) –х2 + 3х – 7 < 0.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какие неравенства называются неравенствами второй степени с одной переменной?
– Опишите алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.
– Какие решения может иметь неравенство второй степени с одной переменной, если соответствующий квадратный трехчлен не имеет корней?
Домашнее задание: № 304 (б, г, е, з), № 306 (б, в), № 308 (б, г).
У р о к 8 (31).Применение алгоритма решения неравенстввторой степени с одной переменной
Цели: продолжить формирование умения решать неравенства второй степени с одной переменной.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Решите неравенства ах2 + bx + c > 0 и ах2 + bx + c ≤ 0, если на рисунке изображен график соответствующей квадратичной функции:
а) б)
в)
III. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 307, № 309 (а, в, д).
2. № 312 (а, в).
3. № 315 (а, в, е), № 316.
IV. Математический диктант.
«+» – согласен с утверждением; «–» – не согласен с утверждением.
1) Неравенства второй степени с одной переменной решаются с помощью графика квадратичной функции.
2) Для решения неравенств второй степени с одной переменной нужно знать координату вершины соответствующей параболы.
3) Для решения неравенств второй степени с одной переменной достаточно знать направление ветвей соответствующей параболы.
4) Если квадратный трехчлен имеет корни, то соответствующее неравенство обязательно имеет решения.
5) Если квадратный трехчлен не имеет корней, то соответствующее неравенство не имеет решений.
6) Если вершина параболы лежит на оси абсцисс, то соответствующее неравенство не имеет решений.
7) Неравенства второй степени с одной переменной может иметь решение, состоящее из единственного числа.
8) Решением неравенства второй степени с одной переменной может быть множество всех чисел.
9) Если а < 0, х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то решением неравенства ах2 + bx + c > 0 будет промежуток (–∞; х1) (х2; +∞).
10) Если а > 0 и х0 – единственный корень квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то решением неравенства ах2 + bx + c > 0 будет промежуток (–∞; х0)(х0; +∞).
К л ю ч: + – – + – – + + – +.
V. Итоги урока.
Учащиеся обмениваются тетрадями, учитель вновь зачитывает вопросы математического диктанта. Происходит обсуждение ответов и учащиеся выставляют друг другу оценки по следующей шкале:
«5» – не менее 9 правильных ответов;
«4» – 7, 8 правильных ответов;
«3» – 5, 6 правильных ответов;
«2» – менее 5 правильных ответов.
Домашнее задание: № 309 (г, е), № 313, № 317.
У р о к 9 (32).Более сложные задачи, требующие примененияалгоритма решения неравенств второй степенис одной переменной
Цели: продолжить формирование умения применять алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Решите неравенство ах2 + bx + c ≤ 0 и ах2 + bx + c > 0, если на рисунке изображен график соответствующей квадратичной функции:
а) б)
в)
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Решите неравенство:
а) х2 – 8х + 15 > 0;в) 4х2 + 4х + 1 ≤ 0;
б) 2х – х2 ≥ 0;г) х2 + 2х + 3 > 0.
В а р и а н т 2
Решите неравенство:
а) х2 – 10х + 21 ≤ 0;в) х2 – 10х + 25 > 0;
б) 9 – х2 < 0;г) –х2 + х – 4 ≤ 0.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся должны решать более сложные задания, которые потребуют от них осознанного владения алгоритмом решения неравенств второй степени с одной переменной.
Все задания можно разбить на 2 группы. Если класс невысокого уровня подготовки, то вторую группу заданий решать не нужно. Кроме того, сильным в учебе учащимся можно дать дополнительные задания на решение уравнений и неравенств с параметрами.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 310 (а), № 311 (а).
2. № 314 (а).
3. № 318.
Р е ш е н и е
Пусть одна сторона прямоугольника равна а см, тогда другая сторона равна (а + 7) см. Значит, площадь прямоугольника равна а (а + 7) см2, а по условию она не превосходит 60 см2. Получим неравенство:
а (а + 7) ≤ 60;
а (а + 7) – 60 ≤ 0.
Решая его, находим, что а [–12; 5], то есть меньшая сторона прямоугольника не должна превосходить 5 см.
О т в е т: не превосходит 5 см.
2-я г р у п п а.
1. № 320 (а, в, д).
Р е ш е н и е
а)
Найдем корни квадратных трехчленов и изобразим схематически параболы на одной числовой прямой:
х2 – 2х – 8 = 0
х = –2 х = 4 х2 – 9 = 0
х = –3 х = 3
По рисунку видим, что решением данной системы будет промежуток (–2; 3).
О т в е т: (–2; 3).
2. № 321 (а).
Р е ш е н и е
Для нахождения области определения данной функции достаточно решить систему неравенств:
Так же, как в предыдущем задании, наносим на числовую прямую параболы и заштриховываем искомые промежутки:
Получаем, что х [2; 5].
О т в е т: 2; 3; 4; 5.
Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и я.
1. № 379.
Р е ш е н и е
(а + 2) х2 + 8х + а – 4 = 0.
Чтобы данное уравнение имело 2 решения, необходимо выполнение следующих условий:
– уравнение должно быть квадратным, то есть а + 2 ≠ 0;
– дискриминант этого квадратного уравнения должен быть положителен.
Согласно этим условиям получим систему:
Решением второго неравенства системы является промежуток (–6; 4). С учетом того, что а ≠ –2, получим: а (–6; –2) (–2; 4).
О т в е т: (–6; –2) (–2; 4).
2. При каких значениях параметра а неравенство ах2 + 2ах + 4 > 0 выполняется на всей числовой оси?
Р е ш е н и е
Чтобы данное неравенство выполнялось на всей числовой оси, необходимо, чтобы ветви параболы были направлены вверх, и квадратный трехчлен не имел корней, то есть D1 = а2 – 4а < 0.
Решая это неравенство, получим, что а (0; 4). Этот промежуток удовлетворяет обоим условиям. Однако нужно рассмотреть еще случай, когда а = 0. Подставляя это значение в исходное неравенство, получим: 4 > 0.
Это неравенство верно, поэтому при а = 0 исходное неравенство будет выполняться на всей числовой оси.
О т в е т: [0; 4).
3. При каких значениях т область определения функции
f (х) = состоит из одной точки?
Р е ш е н и е
Чтобы найти область определения данной функции, нужно решить систему неравенств:
Эта система будет иметь единственное решение в двух случаях:
– если квадратный трехчлен х2 –2тх + 5 будет иметь единственный корень, не превосходящий 1:
– если квадратный трехчлен х2 –2тх + 5 будет иметь два корня, меньший из которых равен 1:
Первое условие будет выполнено, если дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2тх + 5 равен нулю, а корень
х0 = ≤ 1. Имеем:
D1 = т2 – 5;
х0 = = m.
Получим систему:
Ее решением является m = –.
Второе условие будет выполнено, если f (1) = 0, то есть 1 – 2т + 5 = 0, откуда т = 3. Подставляя это значение т, получим трехчлен х2 – 6х + 5; вторым его корнем будет число 5. Значит, т = 3 удовлетворяет условию задачи.
О т в е т: –; 3.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Опишите алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.
– Когда решение неравенства второй степени с одной переменной будет состоять из единственного числа? из бесконечного множества чисел?
– Какие решения может иметь неравенство ах2 + bx + c > 0, если
а) а > 0 и х1, х2 – корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c;
б) а < 0 и квадратный трехчлен имеет единственный корень х0;
в) а > 0 и квадратный трехчлен ах2 + bx + c не имеет корней?
Домашнее задание: № 311 (б), № 314 (б), № 319, № 320 (б, г, е).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 321 (б), № 380.
У р о к 10 (33).Решение целых рациональных неравенствметодом интервалов
Цели: изучить метод интервалов; формировать умение его применять при решении целых рациональных неравенств.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Назовите промежутки знакопостоянства функции у = f (х), если ее график изображен на рисунке.
III. Объяснение нового материала.
На этом уроке целесообразно изучить суть метода интервалов и рассмотреть его применение при решении целых рациональных неравенств. Как метод интервалов используются при решении дробно-рациональных неравенств лучше разобрать на следующем уроке.
Начать изучение новой темы лучше с постановки перед учащимися конкретной задачи: решить неравенство (х2 – 4) (х + 1) > 0. Это неравенство они должны решить, исходя из логических рассуждений, то есть отвечая на вопрос: когда произведение двух выражений положительно?
При ответе на этот вопрос возникают два случая: оба сомножителя одновременно положительны или одновременно отрицательны. Значит, нужно решить две системы неравенств:
1. 2.
Решением первой системы будет промежуток (2; +∞), а решением второй – промежуток (–2; –1). Таким образом, получаем, что решением исходного неравенства будет объединение этих промежутков, то есть х (–2; –1) (2; +∞).
Исходя из результата, делается вывод, что такой способ решения неравенств подобного вида приемлем. Тогда учитель предлагает учащимся решить другое неравенство: (х2 – 4) (х + 1) (х – 7) > 0. Учащиеся осознают, что рассуждения о возможных знаках каждого из трех множителей будут громоздкими, поэтому лучше искать другой способ решения данного неравенства.
После этого следует разобрать суть метода интервалов и сделать вывод о том, что этот метод приемлем к целым неравенствам с любым количеством множителей, то есть он более универсален.
Затем можно вернуться к первому неравенству и решить его методом интервалов, разложив предварительно на множители выражение х2 – 4.
(х + 2) (х – 2) (х + 1) > 0;
х1 = –2, х2 = 2, х3 = –1.
х (–2; –1) (2; +∞).
Необходимо обязательно добиться того, чтобы учащиеся осознали, что решение этого неравенства методом интервалов гораздо рациональнее.
Далее нужно рассмотреть случаи, когда до применения метода интервалов необходимо привести неравенство к стандартному виду:
(х – х1) (х – х2) … (х – хп) > < 0 (пример 2 и пример 3 из учебника).
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 325, № 327, № 328 (а).
2. Решите неравенство:
а) –(х – 3) (х + 5) > 0;
б) (4 – х) (х – 2) ≤ 0;
в) (2 + х) > 0.
В этой группе собраны неравенства, записанные не в том виде, к которому непосредственно применяется метод интервалов. Важно, чтобы у учащихся вырабатывался навык приведения неравенств к стандартному виду, иначе в дальнейшем могут возникать ошибки при расстановке знаков на интервалах.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– На каком свойстве функции основан метод интервалов?
– Неравенства какого вида могут быть решены методом интервалов?
– В чем состоит метод интервалов решения неравенств?
Домашнее задание: № 326, № 328 (б), № 329.
У р о к 11 (34).Решение целых и дробных неравенствметодом интервалов
Цели: продолжить формирование умения решать целые неравенства методом интервалов; разобрать, как этим методом могут решаться дробные неравенства.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на отрезке [–5; 4]. Решите неравенство f (х) ≥ 0.
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Решите неравенство:
а) (х – 3) (х + 5) > 0;в) х(х + 2) > 0;
б) (х – 1,7) ≤ 0;г) (х + 3) (х – 5) (1 – х) ≥ 0.
В а р и а н т 2
Решите неравенство:
а) (х + 2) (х – 6) < 0;в) (х + 1) (х – 5) < 0;
б) (х + 0,3) ≥ 0;г) х (4 – х) (1 + х) ≤ 0.
IV. Формирование умений и навыков.
Все упражнения можно разбить на 2 группы. В первую группу войдут целые неравенства, которые учащиеся уже умеют решать. Во второй группе будут дробно-рациональные неравенства. Перед тем как приступать к их решению, необходимо объяснить учащимся особенности применения метода интервалов к неравенствам такого вида.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 330, № 332.
2. Решите неравенство:
а) (2 – х) (6 – х) < 0;
б) –х(5 – х) ≥ 0;
в) –(х – 4) (1 + х) < 0.
2-я г р у п п а.
1. № 334.
2. № 336 (а, б).
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Опишите суть метода интервалов решения неравенств.
– Как метод интервалов может быть использован при решении дробно-рациональных неравенств?
– В чем состоят особенности решения методом интервалов строгих и нестрогих дробно-рациональных неравенств?
Домашнее задание: № 331, № 333, № 335, № 336 (в, г).
У р о к 12 (35).Применение метода интерваловпри решении более сложных неравенств
Цели: продолжить формирование умения решать неравенства методом интервалов; рассмотреть, как может быть применен метод при решении более сложных неравенств.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Решите неравенство:
а) (х + 1) (х – 3) > 0;в) (х – 10) < 0;
б) (х – 5) (х – 2) ≤ 0;г) (х – 4) ≥ 0.
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Решите неравенство:
а) < 0;б) ≥ 0.
2. Найдите область определения функции:
а) y = ;б) y = .
В а р и а н т 2
1. Решите неравенство:
а) > 0;б) ≤ 0.
2. Найдите область определения функции:
а) y = ;б) y = .
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания, выполняемые на уроке, можно разбить на две группы. В первую группу войдут дробные неравенства и неравенства, которые до применения метода интервалов предварительно нужно преобразовать, разложив на множители их левую часть. Во вторую группу войдут более сложные неравенства. Чтобы применить к ним метод интервалов, необходимо сначала перейти к равносильной системе.
Вторую группу заданий следует решать в классе с высоким уровнем подготовки.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 338.
Р е ш е н и е
в) ≥ 2.
Перенесем число 2 в левую часть неравенства и приведем его к виду ≥ 0:
– 2 ≥ 0;
≥ 0;
≥ 0;
≤ 0;
Решая эту систему, получим, что х (1; 2].
О т в е т: (1; 2].
2. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:
а) (4 – х2) < 0;г) х3 – 5х + 6х 0;
б) х3 – 16х 0;д) (х2 + 3х) < 0;
в) (х2 – 25) > 0;е) 8х3 + 12х2 – 2х – 3 > 0.
2-я г р у п п а.
Решите неравенство:
а) (3х2 + 5) (х + 7) > 0.
Р е ш е н и е
Поскольку выражение 3х2 + 5 положительно при всех значениях х, то обе части неравенства можно разделить на него. Получим неравенство:
(х + 7) > 0 или (х + 7) < 0.
Решая его, находим, что х .
О т в е т: .
б) (х + 2)2 (х – 6) < 0.
Р е ш е н и е
Выражение (х + 2)2 неотрицательно при всех значениях х, поэтому данное неравенство равносильно системе:
Решая систему, находим, что х (–∞; –2) (–2; 6).
О т в е т: (–∞; –2) (–2; 6).
в) (х –3)2 (х – 10) ≥ 0
Р е ш е н и е
Выражение (х –3)2 неотрицательно при всех значениях х, и если оно равно нулю, то и произведение (х –3)2 (х – 10) равно нулю. Поэтому данное равносильно системе:
Получаем, что х {3} [10; +∞).
О т в е т: {3} [10; +∞).
г) < 0.
Р е ш е н и е
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
< 0.
Данное неравенство равносильно системе:
Решая систему, находим, что х (–4; 3) (3; 10).
О т в е т: (–4; 3) (3; 10).
д) ≤ 0.
Р е ш е н и е
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
≤ 0.
Это неравенство равносильно системе:
Решая его находим, что х (–∞; –3) (–3; –1] [1; 3].
О т в е т: (–∞; –3) (–3; –1] [1; 3].
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– В чем состоит метод интервалов решения неравенств?
– Любое ли неравенство можно решить методом интервалов?
– Как применяется метод интервалов к решению дробных неравенств?
– Как решается неравенство, содержащее целое выражение выше второй степени?
Домашнее задание: № 389, № 394.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 390.
У р о к 13 (36).Итоговый урок по теме«Уравнения и неравенства с одной переменной»
Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме; подготовить учащихся к написанию контрольной работы.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний.
Необходимо обобщить и систематизировать знания учащихся о видах уравнений и неравенств и методах их решения. Для этого нужно со-ставить классификацию уравнений и неравенств, изобразив ее на плакате или на доске. Учащиеся должны занести в тетрадь соответствующие схемы.
1-й степени(линейные)
Р е ш е н и е:
привести
к виду ах = b
х = 2-й степени
(квадратные)
Р е ш е н и е:
D = b2 – 4ac
x1, 2 = Выше 2-йстепени Решаемые
по алгоритму Решаемые
методом
замены
Решаемые
методом
замены Решаемые
разложениемна множители
1-й степени(линейные)
Р е ш е н и е:
привести
к виду
ах < > b 2-й степени
(квадратные)
Р е ш е н и е:
графически
с помощью
параболы Выше 2-йстепени
Р е ш е н и е:
метод
интервалов Решаются методоминтервалов
III. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на три группы. Каждая группа будет содержать упражнения на решение всех изученных видов уравнений и неравенств. Отличие групп друг от друга состоит в уровне сложности, входящих в них уравнений и неравенств. В классе с невысоким уровнем подготовки третью группу заданий можно не выполнять.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. Решите уравнение:
а) ;в) х4 + 3х2 – 4 = 0;
б) х3 – 25х = 0;г) = 1.
2. Решите неравенство:
а) 2х – ≤ ;в) 1 – х2 0;
б) х2 + 2х > 0;г) (х – 3) (х + 5) < 0.
2-я г р у п п а.
1. Решите уравнение:
а) х = ;
б) х6 – х4 + 5х2 – 5 = 0;
в) (х2 + х)2 – 5х2 – 5х + 6 = 0;
г) .
2. Найдите область определения функции:
а) y = ;б) y = .
3. Решите неравенство:
а) х (7 – х) (1 + х) ≥ 0;б) ≤ 0.
3-я г р у п п а.
1. Решите уравнение:
а) (х2 – 7х + 13)2 – (х – 3) (х – 4) = 1;
б) х2 + 1 = (3х2 – х – 2)2 – 2х;
в) = 0.
2. Решите неравенство:
а) < 0;б) ≤ 0.
3. При каких значениях параметра а корни уравнения х2 – 2ах ++ (а + 1) (а – 1) = 0 принадлежат промежутку [–5; 5]?
Р е ш е н и е
Данное квадратное уравнение согласно условию должно иметь корни, значит, его дискриминант не может быть отрицательным. Найдем его:
D1 = а2 – (а + 1) (а – 1) = 1.
Получаем, что уравнение при любом а имеет два корня: х1 = а + 1 и х2 = а – 1.
Чтобы эти корни принадлежали указанному промежутку, меньший из них должен быть не меньше –5, а больший – не больше 5. Получим систему:
О т в е т: [–4; 4].
4. При каких значениях параметра а уравнение х2 + 2(а + 1) х + 9 = 0 имеет два различных положительных корня?
Р е ш е н и е
Чтобы данное квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть положительным:
D1 = (а + 1)2 – 9 = а2 + 2а – 8;
а2 + 2а – 8 > 0.
Решая это неравенство, получим, что а (–∞; –4) (2; +∞).
По теореме Виета, произведение корней данного уравнения равно 9. Это означает, что корни имеют одинаковые знаки.
Пусть х1 и х2 – корни уравнения, тогда, по теореме Виета, х1 + х2 == –2 (а + 1). Чтобы эти корни были положительны, должно выполняться следующее условие:
–2 (а + 1) > 0;
а + 1 < 0;
а < –1.
С учетом выявленного выше условия получим, что а (–∞; –4).
О т в е т: (–∞; –4).
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– На какие два вида делятся рациональные уравнения?
– Какими методами решаются целые уравнения выше второй степени?
– Как решаются дробно-рациональные уравнения?
– На какие два вида делятся неравенства?
– Как решаются целые неравенства с одной переменной?
– Как решаются дробно-рациональные неравенства?
Домашнее задание: № 353 (а), № 354 (в), № 364 (б), № 377 (а), № 393 (в, д).
У р о к 14 (37).Контрольная работа № 2
В а р и а н т 1
1. Решите уравнение:
а) х3 – 81х = 0;б) = 2.
2. Решите биквадратное уравнение: х4 – 19х2 + 48 = 0.
3. Решите неравенство:
а) 2х2 – 13х + 6 < 0;б) х2 – 9 > 0; в) 3х2 – 6х + 32 > 0.
4. Решите неравенство, используя метод интервалов:
а) (х + 8) (х – 4) > 0;б) < 0.
5. При каких значениях t уравнение 3х2 + tх + 3 = 0 имеет два корня?
6.* Решите уравнение:
+ 4 = 0.
В а р и а н т 2
1. Решите уравнение:
а) х3 – 25х = 0;б) = 1.
2. Решите биквадратное уравнение: х4 – 4х2 – 45 = 0.
3. Решите неравенство:
а) 2х2 – х – 15 > 0;б) х2 – 16 < 0; в) х2 + 12х + 80 < 0.
4. Решите неравенство, используя метод интервалов:
а) (х + 11) (х –9) < 0;б) > 0.
5. При каких значениях t уравнение 2х2 + tх + 8 = 0 не имеет корней?
6.* Решите уравнение:
= 3.
В а р и а н т 3
1. Решите уравнение:
а) х3 – 36х = 0;б) = 1.
2. Решите биквадратное уравнение: х4 – 13х2 + 36 = 0.
3. Решите неравенство:
а) 2х2 + 5х – 7 < 0;б) х2 – 25 > 0; в) 5х2 – 4х + 21 > 0.
4. Решите неравенство, используя метод интервалов:
а) (х + 9) (х – 5) > 0;б) < 0.
5. При каких значениях t уравнение 2х2 + tх + 2 = 0 имеет два корня?
6.* Решите уравнение:
= 2.
В а р и а н т 4
1. Решите уравнение:
а) х3 – 49х = 0;б) = 2.
2. Решите биквадратное уравнение: х4 – 17х2 + 16 = 0.
3. Решите неравенство:
а) 5х2 + 3х – 8 > 0;б) х2 – 49 < 0; в) 4х2 – 2х + 13 < 0.
4. Решите неравенство, используя метод интервалов:
а) (х + 12) (х –7) < 0;б) > 0.
5. При каких значениях t уравнение 25х2 + tх + 1 = 0 не имеет корней?
6.* Решите уравнение:
= –1.
Решение вариантов контрольной работы
В а р и а н т 1
1. а) х3 – 81х = 0; б) = 2;
х (х2 – 81) = 0; 2(х2 – 1) – (3х – 1) = 2 · 4;
х = 0 или
О т в е т: –9; 0; 9. х2 – 81 = 0;
х2 = 81;
х = ±9. 2х2 – 2 – 3х + 1 – 8 = 0;
2х2 – 3х – 9 = 0;
D = 9 + 72 = 81;
х1 = = –1,5;
х2 = = 3.
О т в е т: –1,5; 3.
2. х4 – 19х2 + 48 = 0.
Пусть х2 = t, тогда получим:
t2 – 19t + 48 = 0;
D = 361 – 192 = 169;
t1 = = 3, t2 = = 16.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 = 3; или
х = ±. х2 = 16;
х = ±4.
О т в е т: –4; –; ; 4.
3. а) 2х2 – 13х + 6 < 0;
у = 2х2 – 13х + 6.
Ветви параболы направлены вверх.
2х2 – 13х + 6 = 0;
D = 169 – 48 = 121;
х1 = , х2 = = 6.
О т в е т: .
б) х2 – 9 > 0;
у = х2 – 9.
Ветви параболы направлены вверх.
х2 – 9 = 0;
х2 = 9;
х = ±3.
О т в е т: (–∞; –3) (3; +∞).
в) 3х2 – 6х + 32 > 0;
у =3х2 – 6х + 32.
Ветви параболы направлены вверх.
3х2 – 6х + 32 = 0;
D = 9 – 96 = –87 < 0.
Парабола не пересекает ось х.
О т в е т: (–∞; +∞).
4. а) (х + 8) (х – 4) > 0; б) < 0;
х = –8; 4 – нули функции
у = (х + 8) (х – 4).
(х – 5) (х + 7) < 0;
х = –7; 5 – нули функции
у = (х – 5) (х + 7).
О т в е т: (–∞;–8) (4; +∞). О т в е т: (–7; 5).
5. 3х2 + tх + 3 = 0;
D = t2 – 36.
Уравнение имеет два корня, если D > 0,
t2 – 36 > 0;
t2 (–∞;–6) (6; +∞).
О т в е т: (–∞;–6) (6; +∞).
6.* + 4 = 0.
Пусть = t, тогда получим:
t + + 4 = 0;
t2 + 4t + 3 = 0;
t1 = –1, t2 = –3.
В е р н е м с я к з а м е н е:
= –1; или
х2 + 2х – 5 = 0;
D1 = 1 + 5 = 6;
х1, 2 = –1 ± . = –3;
х2 + 4х – 5 = 0;
х1 = 1, х2 = –5.
О т в е т: –5; 1; –1 ± .
В а р и а н т 2
1. а) х3 – 25х = 0; б) = 1;
х (х2 – 25) = 0; 2(х2 + 6) – (8 – х) = 1 · 10;
х = 0 или
О т в е т: –5; 0; 5. х2 – 25 = 0;
х2 = 25;
х = ±5. 2х2 + 12 – 8 + х – 10 = 0;
2х2 + х – 6 = 0;
D = 1 + 48 = 49;
х1 = = –2;
х2 = = 1,5.
О т в е т: –2; 1,5.
2. х4 – 4х2 – 45 = 0.
Пусть х2 = t, тогда получим:
t2 – 4t – 45 = 0;
t1 = –5, t2 = 9.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 = –5 . или
Нет решений. х2 = 9;
х = ±3.
О т в е т: ±3.
3. а) 2х2 – х – 15 > 0;
у = 2х2 – х – 15 > 0.
Ветви параболы направлены вверх.
2х2 – х – 15 = 0;
D = 1 + 120 = 121;
x1 = –2,5, x2 = = 3.
О т в е т: (–∞;–2,5) (3; +∞).
б) х2 – 16 < 0;
у = х2 – 16.
Ветви параболы направлены вверх.
х2 – 16 = 0;
х2 = 16;
х = ±4.
О т в е т: (–4; 4).
в) х2 + 12х + 80 < 0;
у = х2 + 12х + 80 < 0.
Ветви параболы направлены вверх.
х2 + 12х + 80 = 0;
D = 36 – 80 = –44 < 0.
Парабола не пересекает ось х.
О т в е т: нет решений.
4. а) (х + 11) (х –9) < 0; б) > 0;
х = –11; 9 – нули функции
у = (х + 11) (х – 9).
(х + 3) (х – 8) > 0;
х = –3; 8 – нули функции
у = (х + 3) (х – 8).
О т в е т: (–11; 9). О т в е т: (–∞;–3) (8; +∞).
5. 2х2 + tх + 8 = 0;
D = t2 – 64.
Уравнение не имеет корней, если D < 0,
t2 – 64 < 0;
t = ±8.
О т в е т: (–8; 8).
6.* = 3.
Пусть = t, тогда получим:
t – = 3;
t2 – 3t – 10 = 0;
t1 = –2, t2 = 5.
В е р н е м с я к з а м е н е:
= –2 ; или
х2 + 2х – 14 = 0;
D1 = 1 + 14 = 15;
х1, 2 = –1 ± . = 5;
х2 – 5х – 14 = 0;
х1 = –2, х2 = 7.
О т в е т: –2; 7; –1 ± .
В а р и а н т 3
1. а) х3 – 36х = 0; б) = 1;
х (х2 – 36) = 0; 2(х2 – 4) – (5х – 2) = 1 · 6;
х = 0 или
О т в е т: –6; 0; 6. х2 – 36 = 0;
х2 = 36;
х = ±6. 2х2 – 8 – 5х + 2 – 6 = 0;
2х2 – 5х – 12 = 0;
D = 25 + 96 = 121;
х1 = = –1,5;
х2 = = 4.
О т в е т: –1,5; 4.
2. х4 – 13х2 + 36 = 0.
Пусть х2 = t, тогда получим:
t2 – 13t + 36 = 0;
t1 = 4, t2 = 9.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 = 4; или
х = ±2. х2 = 9;
х = ±3.
О т в е т: –3; –2; 2; 3.
3. а) 2х2 + 5х – 7 < 0;
у = 2х2 + 5х – 7.
Ветви параболы направлены вверх.
2х2 + 5х – 7 = 0;
D = 25 + 56 = 81;
x1 = = –3,5, x2 = = 1.
О т в е т: (–3,5; 1).
б) х2 – 25 > 0;
у = х2 – 25.
Ветви параболы направлены вверх.
х2 – 25 = 0;
х2 = 25;
х = ±5.
О т в е т: (–∞; –5) (5; +∞).
в) 5х2 – 4х + 21 > 0;
у = 5х2 – 4х + 21.
Ветви параболы направлены вверх.
5х2 – 4х + 21 = 0;
D = 4 – 105 = –101 < 0.
Парабола не пересекает ось х.
О т в е т: (–∞; +∞).
4. а) (х + 9) (х – 5) > 0; б) < 0;
х = –9; 5 – нули функции
у = (х + 9) (х – 5).
(х – 3) (х + 6) < 0;
х = –6; 3 – нули функции
у = (х – 3) (х + 6).
О т в е т: (–∞;–9) (5; +∞). О т в е т: (–6; 3).
5. 2х2 + tх + 2 = 0;
D = t2 – 16.
Уравнение имеет два корня, если D > 0,
t2 – 16 > 0;
t = ±4.
О т в е т: (–∞;–4) (4; +∞).
6.* = 2;
= 2.
Пусть х2 + 6х + 5 = t, тогда получим:
= 2;
12 (t + 3) + 15t = 2t (t + 3);
12t + 36 + 15t = 2t2 + 6t;
2t2 – 21t – 36 = 0;
D = 441 + 288 = 729;
t1 = = 12, t2 = = .
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 + 6х + 5 = 12; или х2 + 6х + 5 = ;
х2 + 6х – 7 = 0;
х1 = 1, х2 = –7. 2х2 + 12х + 13 = 0;
D1 = 36 – 26 = 10;
х1, 2 = .
О т в е т: –7; 1; .
В а р и а н т 4
1. а) х3 – 49х = 0; б) = 2;
х (х2 – 49) = 0; 2(х2 + 3) – (17 – 3х) = 2 · 8;
х = 0 или
О т в е т: –7; 0; 7. х2 – 49 = 0;
х2 = 49;
х = ±7. 2х2 + 6 – 17 + 3х = 16;
2х2 + 3х – 27 = 0;
D = 9 + 216 = 225;
х1 = = 3;
х2 = = –4,5.
О т в е т: –4,5; 3.
2. х4 – 17х2 + 16 = 0.
Пусть х2 = t, тогда получим:
t2 – 17t + 16 = 0;
t1 = 1, t2 = 16.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 = 1; или
х = ±1. х2 = 16;
х = ±4.
О т в е т: –4; –1; 1; 4.
3. а) 5х2 + 3х – 8 > 0;
у = 5х2 + 3х – 8.
Ветви параболы направлены вверх.
5х2 + 3х – 8 = 0;
D = 9 + 160 = 169;
x1 = = 1, x2 = = –1,6.
О т в е т: (–∞;–1,6) (1; +∞).
б) х2 – 49 < 0;
у = х2 – 49.
Ветви параболы направлены вверх.
х2 – 49 = 0;
х2 = 49;
х = ±7.
О т в е т: (–7; 7).
в) 4х2 – 2х + 13 < 0;
у = 4х2 – 2х + 13.
Ветви параболы направлены вверх.
4х2 – 2х + 13 = 0;
D = 1 – 52 = –51 < 0.
Парабола не пересекает ось х.
О т в е т: нет решений.
4. а) (х + 12) (х –7) < 0; б) > 0;
х = –12; 7 – нули функции
у = (х + 12) (х – 7).
(х + 5) (х – 10) > 0;
х = –5; 10 – нули функции
у = (х + 5) (х – 10).
О т в е т: (–12; 7). О т в е т: (–∞;–5) (10; +∞).
5. 25х2 + tх + 1 = 0;
D = t2 – 100.
Уравнение не имеет корней, если D < 0,
t2 – 100 < 0,
t = ±10.
О т в е т: (–10; 10).
6.* = –1;
= –1.
Пусть х2 + 4х = а, тогда получим:
= –1;
а – 5 + 9 (а + 3) + (а + 3) (а – 5) = 0;
а – 5 + 9а + 27 + а2 – 2а – 15 = 0;
а2 + 8а + 7 = 0;
а1 = –1, а2 = –7.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 + 4х = –1; или х2 + 4х = –7;
х2 + 4х + 1 = 0;
D = 4 – 1 = 3;
х1, 2 = –2 ± . х2 + 4х + 7 = 0;
D = 4 – 7 = –3 < 0.
Решений нет.
О т в е т: –2 ± .
Некоторые приемы решения целых уравнений
Цели: изучить ряд приемов решения целых уравнений; формировать умение использовать эти приемы.
О с о б е н н о с т и и з у ч е н и я
I. Изучение нового материала.
Сначала необходимо, чтобы учащиеся вспомнили известные им методы решения целых уравнений, а затем «плавно» включить в них новые приемы.
1. Метод разложения на множители.
Здесь целесообразно перечислить способы разложения многочлена на множители, а затем предложить учащимся решить уравнение х3 – 8х2 ++ 13х – 104 = 0.
Для его решения нужно разложить методом группировки многочлен, стоящий в левой части:
х2 (х – 8) + 13 (х – 8) = 0;
(х – 8) (х2 + 13) = 0;
х – 8 = 0; или
х = 8. х2 + 13 = 0.
Решений нет.
О т в е т: 8.
После этого предложить учащимся решить подобное уравнение, которое отличается от решенного одним коэффициентом: х3 – 8х2 + 13х – 2 = 0 (пример 1 из учебника).
Многочлен х3 – 8х2 + 13х – 2 нельзя разложить на множители ни одним из известных учащимся способом, то есть нужно искать другой путь. Теперь можно изучить теоремы 1 и 2 о корнях многочлена и показать учащимся прием решения этого уравнения.
При решении уравнения х3 – 8х2 + 13х – 2 = 0 мы приходим к уравнению (х – 2) (х2 – 6х + 1) = 0, то есть по сути все равно происходит разложение многочлена на множители. Очень важно, чтобы учащиеся осознали это.
2. Метод введения новой переменной.
Вспомнить суть данного метода, разобрав пример 2 из учебника. Затем рассмотреть применение метода введения новой переменной при решении возвратных уравнений (пример 3).
Таким образом, известные учащимся методы решения целых уравнений могут использоваться и в более сложных ситуациях, но суть этих методов не меняется.
Остается рассмотреть еще один прием решения целых уравнений: использование монотонности функций. Можно дать учащимся под запись теорему.
Т е о р е м а. Если у = f (x) – возрастающая функция, а у = g (x) – убывающая функция, то уравнение f (x) = g (x) может иметь не более одного корня (а может и не иметь корней).
Можно эту теорему проиллюстрировать графически:
а) б)
На первом рисунке функции пересекаются в одной точке х0, то есть уравнение f (x) = g (x) имеет единственное решение. На втором рисунке функции не пересекаются, то есть уравнение f (x) = g (x) решений не имеет.
Учащиеся должны осознать, что если им удастся подбором найти корень подобного уравнения, то можно утверждать, что этот корень единственный. Далее следует рассмотреть пример 4 из учебника.
II. Формирование умений и навыков.
Все уравнения можно разбить на 3 г р у п п ы:
1) Решаемые с опорой на теорему о целых корнях целого уравнения (использование разложения на множители).
2) Решаемые методом введения новой переменной.
3) Решаемые с опорой на монотонность функций.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 342, № 343, № 344.
2. № 345.
Р е ш е н и е
у = х4 – ах3 – 10х2 + 80х – 96.
Зная, что график этой функции пересекает ось х в точке (4; 0), найдем а:
256 – 64а – 160 + 320 – 96 = 0;
64а = 320;
а = 5.
Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции у = х4 –– 5х3 – 10х2 + 80х – 96 с осью х, нужно решить уравнение х4 – 5х3 – 10х2 ++ 80х – 96 = 0. Один из корней этого уравнения нам известен: х = 4.
Выполним деление «уголком»:
х4 – 5х3 – 10х2 + 80х – 96 х – 4
¯ х4 – 4х3 х3 – х2 – 14х + 24
–х3 – 10х2 ¯ –х3 + 4х2
–14х2 + 80х ¯ –14х2 + 56х 24х – 96 ¯ 24х – 96 0 Значит, уравнение х4 – 5х3 – 10х2 + 80х – 96 = 0 равносильно уравнению (х – 4) (х3 – х2 – 14х + 24) = 0.
Теперь нужно решить уравнение х3 – х2 – 14х + 24 = 0. Убеждаемся, что х = 2 является корнем этого уравнения, и снова выполняем деление «уголком»:
х3 – х2 – 14х + 24 х – 2 ¯ х3 – 2х2 х2 + х – 12 х2 – 14х ¯ х2 – 2х
–12х + 24 ¯ –12х + 24 0 Получаем, что уравнение х4 – 5х3 – 10х2 + 80х – 96 = 0 равносильно уравнению (х – 4) (х – 2) (х + 4) (х – 3) = 0, то есть имеет следующие корни: –4; 2; 3; 4.
2-я г р у п п а.
1. № 346, № 347.
2. № 350.
3-я г р у п п а.
№ 348.
Р е ш е н и е
а) х3 + 11х – 108 = 0;
х3 = 108 – 11х.
Функция у = х3 является возрастающей на всей числовой прямой, а функция у = 108 – 11х – убывающей на всей числовой прямой. Значит, данное уравнение может иметь не более одного корня.
Подбором находим, что х = 4 является корнем этого уравнения.
О т в е т: 4.
У р о к 1 (38).Понятие уравнения с двумя переменными
Цели: ввести понятие уравнения с двумя переменными, его степени, корней и графика; формировать умение использовать данные понятия
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Назовите степень многочлена:
а) 3х7 + 2х3 – х + 1;в) ab3 – a2b + a3b4;
б) 3х5 + 2х3у3 – у2;г) 2m4n2 + 3m3n4 – 6n5.
2. Подберите три пары чисел a и b таких, чтобы выполнялось равенство 2a – b = 5.
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту учебника, включая устные задания, проверяющие степень усвоения материала.
1. В в е д е н и е п о н я т и я уравнения с двумя переменными.
З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются уравнениями с двумя переменными:
а) 2х3 + = 5х2;г) х2 + 2у + 7 = z;
б) 2х + 3у3 = 7;д) + 5 = х – у;
в) ab + 3а = b4; е) 2n + 4m2 = ?
2. Р е ш е н и е у р а в н е н и я с двумя переменными.
З а д а н и е. Проверить, какие из следующих пар являются решениями уравнения х + 2у = 1.
а) ; б) (2; –1); в) (3; –1); г) .
3. С т е п е н ь у р а в н е н и я с двумя переменными.
З а д а н и е № 397.
4. Г р а ф и к у р а в н е н и я с двумя переменными.
Необходимо актуализировать знания учащихся о графиках известных им элементарных функций. Рассмотреть вопрос о том, как может быть построен график уравнения с двумя переменными.
Вопрос о графике уравнения х2 + у2 = r2 целесообразно рассмотреть на следующем уроке.
IV. Формирование умений и навыков.
Основное внимание на этом уроке следует уделить понятию уравнения с двумя переменными и нахождению его корней подбором. На формирование этого умения направлена первая группа заданий. Во вторую группу войдут задания, связанные с графиком уравнений с двумя переменными. Более сложные задания на построение графиков лучше рассмотреть на следующем уроке.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 395.
2. Найдите несколько решений уравнения:
а) 2х + у = 5;в) х2 – ху = 1;
б) х – у = ;г) (х + 1) (у – 3) = 12.
2-я г р у п п а.
1. № 399 (а, в, д, ж), № 402 (а, б).
2. № 400.
В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 411.
Р е ш е н и е
а) ху = 2.
Выразим переменную х через у: х = .
Чтобы х было целым числом, выражение должно принимать целые значения, то есть число 2 должно нацело делиться на у. Это условие будет выполнено, если у = ±1 и у = ±2. В этом случае х = ±2 и х = ±1 соответственно.
О т в е т: (2; 1), (–2; –1), (1; 2), (–1; –2).
б) х2 – у2 = 3.
Преобразуем выражение х2 – у2 по формуле разности квадратов:
(х – у) (х + у) = 3.
Если х и у – целые числа, то х – у и х + у – целые числа. Целые числа дают в произведении 3 в четырех случаях: 1 · 3; 3 · 1; –1 · (–3); –3 · (–1). Получим четыре системы уравнений:
Решая эти системы, находим нужные пары чисел.
О т в е т: (2; 1), (2; –1), (–2; –1), (–2; 1).
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какое уравнение называется уравнением с двумя переменными?
– Что называется степенью уравнения с двумя переменными?
– Что называется решением уравнения с двумя переменными?
– Сколько может иметь решений уравнение с двумя переменными?
– Графики каких уравнений с двумя переменными вы умеете строить?
Домашнее задание: № 396, № 399 (б, г, е, з), № 401.
У р о к 2 (39).Уравнение окружности
Цели: изучить уравнение окружности; формировать умение составлять это уравнение.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Является ли пара чисел (2; –1) решением уравнения:
а) х + 3у = 1;в) х2 – у2 = ;
б) – 2у = 3;г) 2ху + у = –3.
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Найдите два каких-нибудь решения уравнения:
а) 2х – у = 3;б) (у + 2) = 0.
2. Постройте график уравнения:
а) – у = 1;б) (х + 1) (у – 3) = 0.
В а р и а н т 2
1. Найдите два каких-нибудь решения уравнения:
а) х2 + у = 7;б) (х – 1) = 0.
2. Постройте график уравнения:
а) 2х + у = ;б) (х – 2) (у + 1) = 0.
IV. Объяснение нового материала.
Сначала следует актуализировать знания учащихся об известных им графиках уравнений с двумя переменными. Затем разобрать, что является графиком уравнения х2 + у2 = r2, и вывести общее уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом r:
(х – а)2 + (у – b)2 = r2.
V. Формирование умений и навыков.
Задания можно разбить на две группы. Сначала учащиеся по данному уравнению окружности строят ее, а затем выполняют задания на составление уравнения окружности.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 403 (устно).
2. Постройте график уравнения:
а) х2 + у2 = 4;
б) (х – 1)2 + у2 = 9;
в) (х + 2)2 + (у – 3)2 = 1.
2-я г р у п п а.
1. № 404 (а, б), № 405 (а, б).
2. № 407.
3. № 410.
В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить несколько дополнительных заданий.
1. № 406.
Р е ш е н и е
х2 + у2 – 6 (х – у) = 7.
Для того чтобы доказать, что графиком этого уравнения является окружность, его нужно привести к виду
(х – а)2 + (у – b)2 = r2.
Выполним ряд преобразований:
х2 + у2 – 6х + 6у = 7;
х2 – 6х + 9 – 9 + у2 + 6у + 9 – 9 = 7;
(х – 3)2 – 9 + (у + 3)2 – 9 = 7;
(х – 3)2 + (у + 3)2 = 25.
Таким образом, графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (3; –3) и радиусом 5.
2. № 409.
Р е ш е н и е
Центром окружности (х – 5)2 + (у – 7)2 = r2 является точка с координатами (5; 7), то есть центр этой окружности находится в первой координатной четверти на расстоянии 5 от оси у и 7 – от оси х.
Чтобы данная окружность касалась оси х, ее радиус должен совпадать с расстоянием между центром и осью х, то есть r = 7. А чтобы окружность касалась оси у, ее радиус должен совпадать с расстоянием между центром и осью у, то есть r = 5.
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется решением уравнения с двумя переменными?
– Сколько решений имеет уравнение с двумя переменными?
– Что является графиком уравнения х2 + у2 = r2?
– Назовите координаты центра окружности и ее радиус, если она задана уравнением (х + 1)2 + (у – 5)2 = 49.
Домашнее задание: № 402 (в, г), № 404 (в), № 405 (в).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 408.
У р о к 3 (40).Суть графического способа решениясистем уравнений
Цели: познакомить учащихся с системами уравнений, в которых хотя бы одно из них является уравнением второй степени; формировать умение решать такие системы графически.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Является ли пара чисел (–1; 3) решением системы уравнений:
2. На рисунке изображены графики функций у = 2х + 4 и у = –х + 1. Решите систему уравнений:
III. Объяснение нового материала.
1. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся по следующим вопросам:
– понятие системы уравнений;
– решение системы уравнений;
– способы решения систем линейных уравнений.
2. Показать учащимся, что в некоторых ситуациях необходимо уметь решать не только системы линейных уравнений, но и системы, в которых хотя бы одно из уравнений имеет вторую степень.
3. Продемонстрировать графический способ решения систем уравнений (пример из учебника).
IV. Формирование умений и навыков.
Задания лучше разбить на две группы. Первая группа подготавливает учащихся к применению графического способа решения систем уравнений. А во вторую группу будут входить задания на непосредственное решение систем уравнений графически.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 415.
2. На рисунке изображены графики функций у = –х2 + 2 и у = . Решите систему уравнений:
3. Постройте график функции у = х2 – 4. С помощью этого графика решите систему уравнений:
а) б)
2-я г р у п п а.
№ 416, № 417.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется решением системы уравнений?
– В чем состоит суть графического способа решения системы уравнений?
– Сколько решений имели системы уравнений, которые были рассмотрены на этом уроке?
– Может ли система уравнений не иметь решений?
Домашнее задание: № 417, № 523 (а, г, е).
У р о к 4 (41).Решение систем уравнений графически
Цели: продолжить формирование умения решать графически системы уравнений; дать наглядные представления о возможном количестве решений систем уравнений.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Сколько решений имеет система уравнений, если графики уравнений, входящих в нее, изображены ниже на рисунке?
а) б)
в)
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Решите графически систему уравнений:
а) б)
В а р и а н т 2
Решите графически систему уравнений:
а) б)
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 420, № 422.
2. № 421.
После выполнения № 421 можно поставить перед учащимися вопрос: сколько решений может иметь система уравнений? При поиске ответа на этот вопрос предложить им использовать графические представления.
В итоге, учащиеся должны прийти к выводу, что система уравнений может иметь одно, два, три, четыре решения, а может не иметь решений. К каждой из этих ситуаций учащиеся в тетрадях должны изобразить по несколько примеров.
О д н о р е ш е н и е:
Д в а р е ш е н и я:
Т р и р е ш е н и я:
Ч е т ы р е р е ш е н и я:
Н е т р е ш е н и й:
В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить еще несколько номеров.
1. № 423.
Р е ш е н и е
Графиком уравнения х2 – 4 = 0 будут две прямые: х = 2 и х = –2, а графиком уравнения у2 – 9 = 0 – прямые у = 3 и у = –3.
Таким образом, данная система имеет 4 решения.
О т в е т: (–2; 3), (–2; –3), (2; 3), (2; –3).
2. № 525.
Р е ш е н и е
Графиком уравнения х2 + у2 = r2 является окружность с центром в начале координат и радиусом r. Графиком уравнения у = – х2 + 4 является парабола.
Для нахождения возможного количества решений этой системы нужно построить параболу и рассмотреть варианты расположения окружности х2 + у2 = r2 относительно этой параболы.
В результате получаем следующие графические иллюстрации:
Таким образом, данная система уравнений может иметь два, три, четыре решения, а может не иметь решений.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– В чем состоит суть графического способа решения систем уравнений?
– Что такое решение системы уравнений?
– Сколько может иметь решений система уравнений?
Домашнее задание: № 419, № 524.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 526.
У р о к 5 (42).Суть способа подстановки решениясистем уравнений второй степени
Цели: изучить способ подстановки решения систем уравнений второй степени; формировать умение применять этот способ.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Является ли пара чисел (–2; 3) решением системы уравнений?
а) б)
III. Объяснение нового материала.
Сначала необходимо актуализировать знания учащихся, предложив им решить способом подстановки систему линейных уравнений:
Можно разбить учащихся на два варианта и к доске вызвать двоих учеников. Один вариант решает эту систему, выражая переменную х через у, а другой – переменную у через х.
х – 12 + 6х = –5;
7х = 7;
х = 1;
у = 4 – 2 · 1 = 2.
О т в е т: (1; 2).
6у – 10 + у = 4;
7у = 14;
у = 2;
х = 3 · 2 – 5 = 1.
О т в е т: (1; 2).
После того как учащиеся вспомнили, в чем состоит способ подстановки решения систем линейных уравнений, сообщить им, что этот способ может применяться и для решения систем уравнений второй степени.
Разобрав примеры из учебника, учащиеся должны заметить, что в системе линейных уравнений можно выражать переменную из любого уравнения, а в системе уравнений второй степени это не всегда удается.
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 429 (а, в), № 431 (а, в).
2. № 433 (а, в, д).
Перед решением каждой из систем можно спрашивать учащихся о возможном количестве ее корней. Ответ на этот вопрос учащиеся могут получить, исходя из графических представлений. Затем свои предположения они проверяют аналитически.
Н а п р и м е р, система (№ 433 (а)) состоит из уравнений, задающих прямую и параболу. Графики этих уравнений могут пересекаться в одной и двух точках, а могут и не пересекаться. Значит, данная система может иметь либо один, либо два корня, а может не иметь корней.
После таких рассуждений решаем эту систему уравнений:
у = 2х + 2;
5х2 – (2х + 2) = 1;
5х2 – 2х – 3 = 0;
D1 = 1 + 15 = 16;
x1 = = 1 y1 = 2 ∙ 1 + 2 = 4;
x2 = = – y2 = 2 ∙ + 2 = .
Получаем, что данная система имеет два решения.
О т в е т: (1; 4), .
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сколько решений может иметь система линейных уравнений?
– Сколько решений может иметь система уравнений второй степени?
– Опишите, какие действия нужно совершить, чтобы решить систему уравнений второй степени способом подстановки.
Домашнее задание: № 430, № 431 (б, г), № 433 (б, г, е).
У р о к 6 (43).Решение систем уравнений второй степениспособом подстановки
Цели: продолжить формирование умения решать системы уравнений второй степени способом подстановки.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Какие из пар чисел (–2; 1), (3; 6), (1; –2) являются решением системы уравнений
III. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 434 (а, д), № 435 (а), № 436 (а), № 437 (а).
2. № 440.
3. № 441.
Р е ш е н и е
б)
Выразим из второго уравнения переменную у и подставим в первое уравнение:
2у = –3х – 1;
у = ;
х2 + х ∙ + 3 ∙ = 9;
2х2 – 3х2 – х + 9х + 3 = 18;
–х2 + 8х – 15 = 0;
х2 – 8х + 15 = 0;
x1 = 3 y1 = = 5;
x2 = 5 y2 = = –8.
О т в е т: (3; –5), (5; –8).
Сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать карточки.
К а р т о ч к а № 1
1. Решите систему уравнений:
2. При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение?
К а р т о ч к а № 2
1. Решите систему уравнений:
2. При каких значениях р система уравнений не имеет решений?
Р е ш е н и е заданий карточки № 1
1. При решении этой системы можно воспользоваться методом замены.
Пусть = n и = m. Получим систему:
п = 5 – т;
(5 – т)2 + т2 = 13;
25 – 10т + т2 + т2 = 13;
2т2 – 10т + 12 = 0;
т2 – 5т + 6 = 0;
т1 = 2 п1 = 3;
т2 = 3 п2 = 2.
В е р н е м с я к з а м е н е:
= 3, то есть х = ; = 2, то есть у = ;
= 2, то есть х = ; = 3, то есть у = .
О т в е т: .
2. Выразим из второго уравнения системы переменную х и подставим в первое уравнение:
х = а – у;
(а – у)2 + у2 = 9;
а2 – 2ау + у2 + у2 = 9;
2у2 – 2ау + а2 – 9 = 0.
Чтобы система имела единственное решение, это уравнение должно иметь единственный корень, то есть дискриминант должен быть равен нулю.
D1 = а2 – 2 (а2 – 9) = 18 – а2;
18 – а2 = 0;
а2 = 18;
а = ±.
О т в е т: ±.
Р е ш е н и е заданий карточки № 2
1. Из первого уравнения выразим переменную х и подставим во второе уравнение системы:
x = ;
= 2.
Пусть = t, тогда получим уравнение:
t + = 2;
t2 – 2t + 1 = 0;
t = 1.
В е р н е м с я к з а м е н е:
= 1;
10 – 3у = 2у;
5у = 10;
у = 2 х = = 2.
О т в е т: (2; 2).
2. Выразим из первого уравнения переменную у и подставим во второе уравнение системы:
у = р – х;
4 (р – х) = х2;
х2 + 4х – 4р = 0.
Чтобы система не имела решений, это уравнение не должно иметь корней, то есть дискриминант должен быть меньше нуля:
D1 = 4 + 4р;
4 + 4р < 0;
4р < –4;
р < –1.
О т в е т: (–∞; –1).
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется решением системы уравнений?
– Сколько решений может иметь система уравнений второй степени?
– В чем состоит способ подстановки решения систем уравнений второй степени?
Домашнее задание: № 434 (б, г), № 435 (б), № 437 (б), № 439,№ 442 (а).
У р о к 7 (44).Использование способа сложенияпри решении систем уравнений второй степени
Цели: изучить способ сложения решения систем уравнений второй степени; формировать умение применять этот способ.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Является ли пара чисел х = 6, у = –8 решением системы уравнений
2. Решите систему уравнений:
а) б)
В а р и а н т 2
1. Является ли пара чисел х = 7, у = –6 решением системы уравнений:
2. Решите систему уравнений:
а) б)
III. Объяснение нового материала.
Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о способе сложения при решении систем линейных уравнений. Предложить им решить данным способом систему, проговаривая все действия, которые они при этом совершают.
Умножим правую и левую части первого уравнения на –3. Получим систему:
Сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:
–14у = –14;
у = 1.
Подставим найденное значение переменной у в одно из уравнений исходной системы, например, в первое:
2х + 3 · 1 = 1;
2х = –2;
х = –1.
О т в е т: (–1; –1).
Затем сообщить учащимся, что способ сложения иногда можно применять и при решении систем уравнений второй степени. Показать это на конкретном примере:
Умножим правую и левую части первого уравнения на –2. Получим систему:
Сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:
–8х2 + 3х = –5;
8х2 – 3х – 5 = 0;
х1 = 1, х2 = .
Подставим найденные значения переменной х во второе уравнение исходной системы:
3 · 1 – 2у = –1;
2у = 4;
у = 2.
О т в е т: (1; 2), .
IV. Формирование умений и навыков.
1. Решите систему уравнений сначала способом подстановки, а затем способом сложения, сравните результаты.
Какой способ в данном случае рациональнее?
2. Решите систему уравнений, используя способ сложения:
а) б)
Можно ли решить эти системы способом подстановки?
3. № 449 (а).
4. Решите систему уравнений:
Р е ш е н и е
Сложим почленно левые и правые части уравнений данной системы. Получим уравнение:
2х + 2у = –12;
х + у = –6.
Данная система уравнений будет равносильна системе, составленной из полученного уравнения и любого уравнения исходной системы:
Эту систему уравнений можно решить способом подстановки:
– 6 – у2 – 6у = 2;
у2 + 6у +8 = 0;
у1 = –2 х1 = 2 – 6 = –4;
у2 = –4 х2 = 4 – 6 = –2.
О т в е т: (–4; –2), (–2; –4).
Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно решить № 534.
Р е ш е н и е
Чтобы данная система уравнений имела решение, нужно, чтобы решения системы, составленной из первых двух уравнений, являлись решениями третьего уравнения.
Сложим почленно левые и правые части уравнений данной системы. Получим уравнение:
у2 + 4у – 12 = 0;
у1 = 2, у2 = –6.
Подставим найденные значения переменной у в первое уравнение системы. Получим:
3х – 4 · 2 = –2;
3х = 6;
х = 2. 3х + 24 = –2;
3х = –26;
х = .
Подставляя полученное решение (2; 2) в третье уравнение исходной системы, убеждаемся, что она не имеет решений.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Опишите алгоритм решения систем уравнений второй степени способом сложения.
– Любую ли систему уравнений второй степени можно решить способом сложения?
Домашнее задание: № 445, № 448, № 449 (б).
У р о к 8 (45).Решение систем уравнений второй степениразличными способами
Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся о способах решения систем уравнений второй степени.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Решите систему уравнений способом сложения:
а) б)
III. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В классе с невысоким уровнем подготовки задания второй группы решать не обязательно.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 443 (а, в).
2. № 444.
3. № 447 (а).
Р е ш е н и е
Из второго уравнения выразим переменную х и подставим в первое уравнение системы:
Пусть у2 = а, тогда получим уравнение:
+ а – 12 = 0;
а2 – 12а + 36 = 0;
(а – 6)2 = 0;
а = 6, то естьу2 = 6;
у = ±.
Тогда соответствующие значения х будут равны .
О т в е т: (; –), (–; ).
После решения этой системы предложить учащимся найти другой способ. Если они не догадаются, то помочь им.
Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:
х2 + 2ху + у2 = 0;
(х + у)2 = 0;
х + у = 0;
х = –у.
Подставим найденное значение х во второе уравнение:
–у2 = –6;
у2 = 6;
у1 = х1 = –;
у2 = – х2 = .
Заметим, что этот способ является более рациональным и интересным.
2-я г р у п п а.
1. № 451.
Р е ш е н и е
Известно, что прямая у = kx проходит через точку М (1; 2). Найдем значение k:
2 = k · 1 k = 2.
Таким образом, нужно найти точки пересечения графиков уравнений (х – 4)2 + (у – 6)2 = 25 и у = 2х. Для этого нужно решить систему:
(х – 4)2 + (2х – 6)2 = 25;
х2 – 8х + 16 + 4х2 – 24х + 36 – 25 = 0;
5х2 – 32х + 27 = 0;
х1 = 1 у1 = 2 · 1 = 2;
х2 = 5,4 у2 = 2 · 5,4 = 10,8.
Ответ: (1; 2), (5,4; 10,8).
2. № 450.
Р е ш е н и е
Парабола у = х2 + 1 и прямая у = kx имеют только одну общую точку, если система имеет единственное решение.
Подставим значение у = kx в первое уравнение:
kx = х2 + 1;
х2 – kx + 1 = 0.
Составленная система будет иметь единственное решение, если это квадратное уравнение имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю.
D = k2 – 4;
k2 – 4 = 0;
k2 = 4;
k = ±2.
О т в е т: k = 2 и k = –2.
3. Решите систему уравнений:
Р е ш е н и е
Сложим почленно правые и левые части уравнений системы. Получим:
х2 + у2 + 2ху + х + у = 12;
(х + у)2 + х + у = 12.
С д е л а е м з а м е н у: х + у = а – и решим полученное уравнение:
а2 + а – 12 = 0;
а1 = –4, а2 = 3.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х + у = –4 х = –у – 4;
х + у = 3 х = 3 – у.
Подставляя поочередно данные выражения во второе уравнение исходной системы, получим:
–у – 4 + у – у (у + 4) = 5;
– 4 – у2 – 4у = 5;
у2 + 4у + 9 = 0;
D1 = 4 – 9 = –5.
Нет решений. 3 – у + у + у (3 – у) = 5;
3 + 3у – у2 = 5;
у2 – 3у + 2 = 0;
у1 = 1, у2 = 2.
Тогда х1 = 3 – 1 = 2,
х2 = 3 – 2 = 1.
О т в е т: (2; 1), (1; 2).
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется решением системы уравнений?
– Опишите способ подстановки решения систем уравнений второй степени.
– Опишите алгоритм решения систем уравнений второй степени способом сложения.
– Любое ли уравнение второй степени можно решить способом подстановки? способом сложения?
Домашнее задание: № 443 (б, г), № 446, № 447 (б).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 438.
У р о к 9 (46).Суть способа решения задачс помощью систем уравнений
Цели: рассмотреть, как могут решаться текстовые задачи с помощью систем уравнений второй степени; формировать умение решать такие задачи.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Решите систему уравнений:
а) б)
III. Объяснение нового материала.
Учащиеся уже умеют применять системы линейных уравнений для решения текстовых задач. Поэтому главным при изучении данного материала будет обобщение и систематизация их знаний о решении таких задач, а также закрепление методов решения систем уравнений второй степени.
Для демонстрации принципа решения задач с помощью систем уравнений второй степени достаточно привести пример из учебника.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке главное, чтобы учащиеся усвоили схему решения задач с помощью систем уравнений второй степени. Необходимо дать им под запись примерный план, согласно которому можно осуществлять решение таких задач.
1. Прочитать условие задачи и понять его.
2. Указать объекты, о которых идет речь в задаче.
3. Одну из величин обозначить за х, а другую – за у.
4. Составить систему уравнений по условию задачи.
5. Решить эту систему уравнений.
6. Интерпретировать полученные результаты.
На первых порах необходимо, чтобы учащиеся вслух комментировали решение задач согласно записанному плану.
Упражнения:
1. № 455, № 457.
2. № 460.
Покажем, как может быть решена эта задача по плану, приведенному выше.
Р е ш е н и е
1) В условии речь идет о прямоугольном треугольнике. Требуется найти его площадь.
2) Известна гипотенуза треугольника и его периметр. Для нахождения площади нужно знать его катеты.
3) Обозначим один катет треугольника через х см, а другой – через у см.
4) Зная периметр треугольника, составим уравнение:
х + у +37 = 84.
По теореме Пифагора составим второе уравнение:
х2 + у2 = 372.
Получим систему уравнений:
5) Решим эту систему уравнений способом подстановки:
472 – 94у + у2 + у2 – 372 = 0;
2у2 – 94у + (47 – 37) (47 + 37) = 0;
2у2 – 94у + 10 · 84 = 0;
у2 – 47у + 420 = 0;
у1 = 35 х1 = 12;
у2 = 12 х2 = 35.
6) Получаем, что катеты треугольника равны 12 см и 35 см. Найдем его площадь:
S = · 12 · 35 = 210 (см2).
О т в е т: 210 см2.
3. № 463.
При решении этой задачи учащимся поможет рисунок, сделанный согласно ее условию.
S = 30 см2
2S1 + 2S2 = 122 см2
Пусть стороны прямоугольника равны х см и у см. Учитывая, что его площадь равна 30 см2, получим уравнение: ху = 30.
S1 = х2 см2, S2 = у2 см2.
Получим уравнение 2х2 + 2у2 = 122 или х2 + у2 = 61.
Составим систему уравнений:
Находим ее решения: (–6; –5), (6; 5), (–5; –6), (5; 6).
Первое и третье решения не подходят по условию задачи. Значит, стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.
О т в е т: 5 и 6 см.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какие существуют способы решения систем уравнений второй степени?
– В чем заключается каждый из этих способов?
– Опишите план решения текстовой задачи с помощью системы уравнений.
Домашнее задание: № 456, № 458, № 459.
У р о к 10 (47).Решение задач на движение с помощьюсистем уравнений второй степени
Цели: формировать умение решать задачи на движение с помощью систем уравнений второй степени.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь равна 21 см2. Пусть х и у – стороны этого прямоугольника. Какая из систем соответствует условию задачи?
а) б) в)
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.
2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м2 обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.
В а р и а н т 2
1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.
2. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м2 обнесен изгородью, длина которой равна 230 м. Найдите длину и ширину участка.
IV. Формирование умений и навыков.
Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении задач на движение, выделив р я д э т а п о в.
1) Анализ условия:
– Какие объекты рассматриваются в задаче?
– Какое движение описано в задаче (однонаправленное, движение навстречу, по кругу и т. д.)?
– Значения каких величин известны?
2) Выделение процессов, которые описаны в задаче.
3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы.
4) Составление системы уравнений.
5) Решение системы уравнений.
6) Интерпретация и проверка полученного решения.
Как реализуются описанные этапы, можно разобрать на примере задачи № 472.
Р е ш е н и е
1) В задаче описано движение двух пешеходов навстречу друг другу. Известно расстояние между пунктами и расстояние, которое прошли пешеходы за 4 часа.
2) Выделим два процесса:
– реальное движение пешеходов;
– движение при условии выхода одного из пешеходов на 1 ч раньше.
3) Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода.
Заполним две таблицы:
Реальное движение пешеходов Движение с заданным условием
S V t S V t
1-й 4х км х км/ч 4 ч 1-й 20 км х км/ч ч
2-й 4у км у км/ч 4 ч 2-й 20 км у км/ч ч
4) Известно, что расстояние от А до В равно 40 км, поэтому получим уравнение: 4х + 4у = 36. Известно, что при движении с заданным условием первый пешеход был в пути на 1 ч дольше, то есть получим уравнение: = 1.
Составим систему уравнений:
5) Решим ее способом подстановки:
20у – 20 (9 – у) – у (9 – у) = 0;
20у – 180 + 20у – 9у + у2 = 0;
у2 + 31у – 180 = 0;
у1 = 5 х1 = 9 – 5 = 4;
у2 = – 36 (не подходит по смыслу задачи).
6) Получаем скорости пешеходов: 4 км/ч и 5 км/ч.
О т в е т: 4 и 5 км/ч.
Упражнения:
1. № 473, № 547.
2. № 461.
Р е ш е н и е
Пусть х км/ч – скорость первого отряда и у км/ч – скорость второго отряда.
Заполним таблицу:
S V t
1-й отряд 4х км х км/ч 4 ч
2-й отряд 4у км у км/ч 4 ч
Известно, что первый отряд прошел на 4,8 км больше, чем второй. Получим уравнение:
4х – 4у = 4,8.
На рисунке ОА = 4х и ОВ = 4у. По теореме Пифагора, получим уравнение:
(4х)2 + (4у)2 = 242.
Составим систему уравнений:
Решая систему способом подстановки, находим, что х = 4,8 и у = 3,6 (другое решение является отрицательным).
О т в е т: 4,8 и 3,6 км/ч.
Сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать выполнить № 548.
Р е ш е н и е
Пусть х км/ч – скорость первого автомобиля, а у км/ч – скорость второго.
В первую таблицу занесем данные о прохождении каждым автомобилем всего пути, а во вторую – об их движении после встречи.
S V t S V t
1-й 90 км х км/ч ч 1-й 1,25х км х км/ч 1,25 ч
2-й 90 км у км/ч ч 2-й 0,8у км у км/ч 0,8 ч
Поскольку после встречи первый автомобиль приходит в N через 1,25 ч, а второй в М через 0,8 ч, то первый на весь путь тратит на 1,25 – 0,8 = 0,45 ч больше. Получим уравнение:
= 0,45.
После встречи первый автомобиль проходит 1,25х км, а второй – 0,8у км. Получим уравнение:
1,25х + 0,8у = 90.
Составим систему:
Решая эту систему, находим, что х = 40 и у = 50.
О т в е т: 40 км/ч и 50 км/ч.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Опишите различные способы решения систем уравнений второй степени.
– Перечислите этапы решения задач на движение.
– Какие виды движения могут описываться в задаче?
– В чем заключается интерпретация полученного решения?
Домашнее задание: № 462, № 474.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 549.
У р о к 11 (48).Решение задач на работу с помощьюсистем уравнений второй степени
Цель: формировать умение решать задачи на работу с помощью систем уравнений второй степени.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Объясните, почему данные системы уравнений не имеют решений.
а) б)
III. Актуализация знаний.
Текстовые задачи на работу вызывают значительные затруднения у учащихся. Поэтому необходимо вспомнить основной принцип их решения и важные теоретические положения, которые пригодятся при решении таких задач.
Задачи на работу, как и задачи на движение, можно решать при помощи таблицы, выделяя предварительно все описанные процессы.
О б о з н а ч е н и я:А – работа (часто принимается за единицу);
k – производительность;
t – время.
Учащиеся должны осознать и запомнить следующее:
– k = (провести аналогию со скоростью при движении);
– если k1 – производительность первого рабочего, а k2 – производительность второго рабочего, то при их совместной работе производительность равна k1 + k2.
Затем можно выделить этапы решения задач на работу:
1) Анализ условия.
2) Выделение процессов, о которых идет речь в задаче.
3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы.
4) Составление системы уравнений.
5) Решение системы уравнений.
6) Интерпретация полученных решений.
Как используется все вышеизложенное, необходимо продемонстрировать учащимся при решении конкретной задачи, например № 467.
Р е ш е н и е
В задаче можно выделить три процесса:
– отдельная работа первого комбайнера;
– отдельная работа второго комбайнера;
– совместная работа двух комбайнеров.
Обозначим за х и у производительности первого и второго комбайнеров соответственно.
Заполним таблицу:
А k t
1-й отряд 1 х
2-й отряд 1 у
Вместе 35 (х + у) х + у 35
Известно, что первый комбайнер делает всю работу на 24 ч быстрее, поэтому получим уравнение:
= 24.
Всю работу мы приняли за единицу и нашли ее выражение при совместной работе комбайнеров:
35 (х + у) = 1.
Составим систему уравнений:
1 – 35у – 35у = 24у (1 – 35у);
1 – 70у – 24у + 24 · 35у2 = 0;
24 · 35у2 – 94у + 1 = 0;
D1 = 472 – 24 · 35 = 1369;
y1 = x1 = ;
y2 = x2 = .
Первое решение не подходит по смыслу задачи.
Из второго решения получаем, что первый комбайнер может убрать весь урожай за 60 ч, а второй – за 84 ч.
О т в е т: 60 ч и 84 ч.
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 468.
2. № 545.
3. Два строителя выложили стену из кирпичей за 14 дней, причем второй присоединился к первому через 3 дня после начала работы. Известно, что первому строителю на выполнение всей работы потребовалось бы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней мог бы выложить эту стену каждый строитель, работая отдельно?
Р е ш е н и е
Выделим четыре процесса:
– выполнение всей работы одним первым строителем;
– выполнение всей работы одним вторым строителем;
– трехдневная работа одного первого строителя;
– совместная работа строителей в течение 11 дней.
Заполним таблицу:
S V t
1-й всю работу 1 х
2-й всю работу 1 у
1-й начало работы 3х х 3
Совместная работа 11 (х + у) х + у 11
Известно, что первый строитель всю работу делает на 6 дней дольше. Получим уравнение:
= 6.
За три дня первый строитель сделал 3х всей работы, а затем они совместно сделали 11 (х + у) всей работы, закончив ее. Получим уравнение:
3х + 11 (х + у) = 1.
Составим систему:
= 6;
1 – 14х – х = 6х (1 – 14х);
84х2 – 31х + 1 = 0;
D = 961 – 336 = 625;
х1 = y1 = ;
х2 = (не подходит по смыслу задачи).
О т в е т: 28 дней и 22 дня.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Перечислите этапы решения задачи на работу.
– Что такое производительность? Как она вычисляется?
– Чему равна производительность при совместной работе?
Домашнее задание: № 466, № 546.
У р о к 12 (49).Решение различных задач с помощьюсистем уравнений второй степени
Цель: продолжить формировать умения решать задачи с помощью систем уравнений второй степени.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Расстояние от пункта А до пункта В равно 60 км. Один пешеход проходит его на 2 ч быстрее, чем другой. Если пешеходы выйдут одновременно навстречу друг другу, то встретятся через 5 ч.
Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода. Какая из систем уравнений соответствует условию задачи?
а) б) в)
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу две группы туристов и встретились через 2 ч. Определите, с какой скоростью шла каждая группа, если известно, что на прохождение всего пути одной из них потребовалось на 54 мин больше, чем другой.
2. Один из двух подъемных кранов равной мощности может разгрузить баржу на 3 ч быстрее, чем другой. При совместной работе им потребовалось бы затратить на разгрузку баржи 6 ч 40 мин. Сколько времени требуется каждому крану, чтобы разгрузить баржу?
В а р и а н т 2
1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 360 км, выехали одновременно два автомобиля. Через 3 ч оказалось, что первый из них прошел на 30 км больше, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если известно, что на весь путь первый автомобиль затратил на полчаса меньше, чем второй.
2. Два тракториста, работая совместно, могут вспахать поле за 2 ч 40 мин. Сколько времени потребуется каждому трактористу в отдельности для выполнения этой работы, если известно, что первый из них может выполнить ее на 4 ч быстрее второго?
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 464, № 470.
2. № 469.
Р е ш е н и е
Пусть х р. вкладчик положил в банк под у % годовых. Через год ему было начислено х · 0,01у р. Получим уравнение:
0,01ху = 400.
Через два года до начисления процентов на счету будет (х + 400) р., а после начисления процентов стало (х + 400) + (х + 400) · 0,01у р. Получим уравнение:
х + 400 + 0,01у (х + 400) = 5832.
Составим систему уравнений:
О т в е т: 5000 р., 8 %.
3. № 475.
4. № 477.
Р е ш е н и е
Пусть первоначальный раствор содержал х г воды и у него была у %-ная концентрация.
Весь раствор имел массу (50 + х) г и в нем было у % соли. Получим уравнение:
(50 + х) · 0,01у = 50.
После добавления воды масса раствора будет (200 + х) г и у него станет (у – 7,5) %-ная концентрация. Соли в этом растворе останется 50 г. Получим уравнение:
(200 + х) · 0,01 (у – 7,5) = 50.
Составим систему уравнений:
О т в е т: 200 г; 20 %.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какие существуют способы решения систем уравнений? Опишите их.
– Перечислите этапы решения задач на движение и задач на работу.
Домашнее задание: № 465, № 471, № 476.
У р о к 13 (50).Решение линейных неравенствс двумя переменными
Цели: ввести понятие неравенства с двумя переменными и его решения; формировать умение решать линейные неравенства с двумя переменными.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Какие из следующих чисел: –2; –1; 0; 2; 3 – являются решением неравенства х3 – 2х ≥ 1?
2. Подберите два каких-нибудь числа разных знаков, чтобы их сумма была больше 5.
III. Объяснение нового материала.
Объяснение нового материала проводить согласно пункту учебника. Сначала ввести понятие неравенства с двумя переменными и его решения, а затем разобрать, как решается линейное неравенство с двумя переменными.
Вопрос о решении неравенств второй степени с двумя переменными целесообразно рассмотреть на следующем уроке.
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 482, № 483 (а, в).
2. № 484 (а, г), № 485.
3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:
а) х < 2;в) –1 ≤ х ≤ 4;
б) у ≥ –3;г) –2 < у < 2.
4. № 492 (а).
Р е ш е н и е
ху ≥ 0.
Произведение двух чисел является неотрицательным в том случае, если эти числа имеют одинаковые знаки. Значит, когда
Первой системе соответствует первая координатная четверть, а другой системе – третья координатная четверть.
Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно выполнить № 556.
Р е ш е н и е
| х | + | у | ≤ 1;
| у | ≤ 1 – | х |.
Построим график уравнения | у | = 1 – | х |. Для этого нужно раскрыть знаки модуля.
Получим четыре случая:
1) х ≥ 0, у ≥ 0;
у = 1 – х. 2) х ≥ 0, у < 0;
–у = 1 – х;
у = х – 1.
3) х < 0, у ≥ 0;
у = 1 + x. 4) x < 0, y < 0;
–у = 1 + х;
у = –х – 1.
Объединяя все эти случаи, получим фигуру:
Данному неравенству удовлетворяет множество точек внутренней области этой фигуры.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется решением неравенства с двумя переменными?
– Сколько решений может иметь неравенство с двумя переменными?
– Как найти множество решений линейного неравенства с двумя переменными?
Домашнее задание: № 483 (б, г), № 484 (б, в), № 486.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 492 (б).
У р о к 14 (51).Решение неравенств второй степенис двумя переменными
Цель: формировать умение решать неравенства второй степени с двумя переменными.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Является ли пара чисел (–1; 2) решением неравенства:
а) 3х + 2у – 1 > 0;
б) 2х2 + 4у < 12;
в) х2 + у2 – 2х ≥ 7?
2. Найдите два каких-нибудь решения неравенства:
а) у ≥ х2 – 3;
б) х2 + у2 < 7.
III. Объяснение нового материала.
Разобрать примеры из учебника.
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:
а) у ≤ х2 + 2;г) ху < 8;
б) у > (х + 1)2 – 3;д) х2 + у2 ≥ 4;
в) ху ≥ 2;е) (х – 2)2 + (у + 1)2 < 16.
2. № 490 (а), № 491 (б).
3. № 489.
Р е ш е н и е
а) х2 + у2 – 6х – 4у + 13 ≤ 0.
Преобразуем выражение, стоящее в левой части неравенства, выделив в нем квадраты двучленов:
х2 – 6х + 9 – 9 + у2 – 4у + 4 – 4 + 13 ≤ 0;
(х – 3)2 + (у – 2)2 ≤ 0.
Сумма квадратов двух выражений не может быть отрицательна. Поэтому данное неравенство выполняется только в том случае, если выражение (х – 3)2 + (у – 2)2 равно нулю, то есть при х = 3 и у = 2. Значит, данным неравенством задается всего одна точка с координатами (3; 2).
б) х2 – 4х – у + 5 ≥ 0;
у ≤ х2 – 4х + 5;
у ≤ х2 – 4х + 4 – 4 + 5;
у ≤ (х – 2)2 + 1.
Значит, данным неравенством задается множество точек, принадлежащих параболе у = (х – 2)2 + 1, и множество точек, расположенных ниже ее.
В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 554.
Р е ш е н и е
а) у ≥ | х | б) у ≤ | х – 2 |
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется решением неравенства с двумя переменными?
– Как решаются линейные неравенства с двумя переменными?
– Как задается неравенством множество точек координатной плоскости, расположенных:
а) выше (ниже) параболы у = 2х2 – 3х;
б) внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 7?
Домашнее задание: № 487, № 488, № 490 (б), № 491 (а).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 553.
У р о к 15 (52).Решение систем линейных неравенствс двумя переменными
Цели: ввести понятие решения системы неравенств с двумя переменными; формировать умение решать системы линейных неравенств с двумя переменными.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:
а) у > 2х – 3;б) у ≤ (х + 2)2.
2. Задайте неравенством с двумя переменными множество точек заштрихованной области, изображенной на рисунке.
В а р и а н т 2
1. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:
а) у ≤ 1 – х;б) (х – 1)2 + у2 > 4.
2. Задайте неравенством с двумя переменными множество точек заштрихованной области, изображенной на рисунке.
III. Объяснение нового материала.
На этом уроке следует изучить только решение систем линейных неравенств с двумя переменными, поскольку данная тема зачастую оказывается трудна для восприятия учащихся.
1. Рассмотреть несколько различных систем неравенств:
Взять пару чисел (1; 2) и проверить, является ли она решением этих систем.
2. Ввести понятие решения системы неравенств с двумя переменными.
3. Рассмотреть второй и третий примеры из учебника.
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 496.
2. № 497 (а, в).
3. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:
а) б) в)
4. № 499 (а).
Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно выполнить № 558.
Р е ш е н и е
Сначала изобразим множество решений первого неравенства системы:
Чтобы система неравенств задавала на координатной плоскости полосу, необходимо выполнение двух условий:
1) прямая у = kх + b должна быть параллельна прямой у = 2х + 3, то есть k = 2;
2) прямая у = kх + b должна располагаться ниже прямой у = 2х + 3, то есть коэффициент b должен быть меньше 3, например: b = 0 или b = –2.
Чтобы данная система неравенств задавала на координатной плоскости угол, достаточно, чтобы прямая у = kх + b была непараллельна прямой у = 2х + 3, то есть k ≠ 2.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется решением системы неравенств с двумя переменными?
– Как решаются системы линейных неравенств с двумя переменными?
Домашнее задание: № 497 (б, г), № 498, № 499 (б).
У р о к 16 (53).Решение систем неравенств второй степенис двумя переменными
Цель: формировать умение решать системы неравенств второй степени с двумя переменными.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Является ли решением системы неравенств пара чисел:
а) (5; –3); б) (3; 1); в) (–1; 2)?
III. Объяснение нового материала.
Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении систем линейных неравенств с двумя переменными, а затем разобрать пример 1 из учебника.
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы:
а) в)
б) г)
Р е ш е н и е
а) б)
в) г)
2. № 501 (а).
Р е ш е н и е
Изобразим на координатной плоскости множество решений этой системы, предварительно преобразовав ее:
Таким образом, множество решений этой системы неравенств задает треугольник ОАВ. Для нахождения его площади нужно знать высоту ВН, то есть абсциссу точки В. Точка В является точкой пересечения прямых у = х и у = 5 – х. Решим уравнение:
х = 5 – х;
2х = 5;
х = 2,5.
Значит, в треугольнике ОАВ АО = 5 и ВН = 2,5.
S = ∙ AO ∙ BH;
S = ∙ 5 ∙ 2,5 = 6,25.
О т в е т: 6,25 ед2.
3. № 502 (б).
4. № 503.
Р е ш е н и е
Построим искомый угол:
Получим систему неравенств:
Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно выполнить несколько номеров.
1. № 577 (а).
Р е ш е н и е
Неравенство х2 + у2 ≤ 25 задает круг с центром в начале координат и радиусом 5. Неравенство ху ≤ 0 задает вторую и четвертую координатные четверти.
На рисунке показано множество решений этой системы неравенств:
2. № 559 (б).
Р е ш е н и е
х (х2 – у) ≤ 0.
Произведение двух выражений будет отрицательным, если эти выражения имеют разные знаки. То есть это неравенство равносильно совокупности двух систем:
Изобразим на координатной плоскости множества решений каждой из систем:
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется решением неравенства с двумя переменными?
– Что называется решением системы неравенств с двумя переменными?
– Как решаются неравенства с двумя переменными?
– Как решаются системы неравенств с двумя переменными?
Домашнее задание: № 500 (б, г), № 501 (б), № 502 (а).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 557 (б).
У р о к 17 (54). Итоговый урок по теме «Уравненияи неравенства с двумя переменными»
Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме; закрепить умения решать уравнения, неравенства и их системы с двумя переменными.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Какие из пар чисел (0; 3), (1; –2), (–1; 1) являются решениями данных систем?
а) в)
б) г)
III. Формирование умений и навыков.
Предложить учащимся карточки-задания разного уровня сложности. Учащиеся выполняют решения самостоятельно, а учитель осуществляет контроль и в случае необходимости дает им консультации.
К а р т о ч к а № 1
1. Докажите, что пара чисел (–5; 2) не является решением системы уравнений
2. Решите систему уравнений:
а) б)
3. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.
4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:
а) б)
К а р т о ч к а № 2
1. Решите систему уравнений:
а) б)
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = 4х2 – 2 и прямой 3х – 2у = –1.
3. Произведение двух чисел на 13 больше их суммы. Если из первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 9. Найдите эти числа.
4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:
а) б)
К а р т о ч к а № 3*
1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению | у + 1 | = 2 – х.
2. Решите систему уравнений:
а) б)
3. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20 %, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50 %, получили раствор, содержащий 30 % кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
4. При каких значения параметра а система уравнений:
имеет два решения?
5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:
Р е ш е н и е заданий карточки № 1
1. Подставим х = –5 и у = 2 в каждое из уравнений системы:
2 · (–5) + 7 · 2 = 4;
–10 + 14 = 4;
4 = 4 – верно.
–5 · 2 + 22 = 12;
–10 + 4 = 12;
–6 = 12 – неверно.
Значит, пара чисел (–5; 2) не является решением данной системы.
2.
а)
х2 – 2х + 6 = 54;
х2 – 2х – 48 = 0;
х1 = –6 у1 = –6 – 3 = –9;
х2 = 8 у2 = 8 – 3 = 5.
О т в е т: (–6; –9), (8; 5).
б)
2 – 4у + у2 = –1;
у2 – 4у + 3 = 0;
у1 = 1 х1 = 1 – 2 · 1 = –1;
у2 = 3 х2 = 1 – 2 · 3 = –5.
О т в е т: (–1; 1), (–5; 3).
3. Обозначим первое число за х, а второе – за у. Согласно условию задачи получим систему уравнений:
25у – у2 = 144;
у2 – 25у + 144 = 0;
D = 625 – 4 · 144 = 49;
у1 = = 16 х1 = 25 – 16 = 9;
у2 = = 9 х2 = 25 – 9 = 16.
О т в е т: 9 и 16.
4.
а) б)
Р е ш е н и е заданий карточки № 2
1. а)
25 + 10у + у2 + 10у + 2у2 – у2 = –7;
2у2 + 20у + 32 = 0;
у2 + 10у + 16 = 0;
у1 = –2 х1 = 5 + (–2) = 3;
у2 = –8 х2 = 5 + (–8) = –3.
О т в е т: (3; –2), (–3; –8).
б)
10х2 = 50;
х2 = 5;
х1 = у1 = 3;
х2 = – у2 = –3.
О т в е т: (; 3), (–; –3).
2. Чтобы найти координаты точек пересечения данных параболы и прямой, нужно решить систему уравнений:
3х – 8х2 + 4 = –1;
8х2 – 3х – 5 = 0;
х1 = 1 у1 = 4 · 1 – 2 = 2;
х2 = у2 = 4 · – 2 = .
О т в е т: (1; 2), .
3. Обозначим первое число за х, а второе – за у. Согласно условию задачи получим систему уравнений:
3у2 + 9у = 4у + 22;
3у2 + 5у – 22 = 0;
D = 25 + 264 = 289;
у1 = = 2 х1 = 3 · 2 + 9 = 15;
у2 = х2 = 3 · + 9 = –2.
О т в е т: (15; 2), .
4.
а) б)
Р е ш е н и е заданий карточки № 3*
1. Раскрывая модуль, получим совокупность двух уравнений:
1) если у ≥ –1, тоу + 1 = 2 – х,
у = 1 – х;
2) если у < –1, то–у – 1 = 2 – х,
у = х – 3.
Изобразим на координатной плоскости оба этих случая:
2.
а)
Сделаем замену: = а, = b. Получим систему:
Складывая почленно левые и правые части уравнений этой системы, получим равенство:
0 = 0.
Значит, система имеет бесконечное множество решений.
Выразим из второго уравнения переменную а через переменную b:
6a – 4b = 7;
6a = 4b + 7;
a = .
Возвращаясь к замене, получим:
Получаем, что исходная система имеет бесконечное множество решений вида , где у ≠ 0 и у ≠ .
Например, это могут быть такие пары, как , (2; –1), (1,2; –2). И т. д.
б)
Обозначим х + у = т, а ху = п. Тогда имеем:
х2 + у2 = (х + у)2 – 2ху = т2 – 2п. Получим систему:
т2 – 2т – 58 = т + 72;
т2 – 3т – 130 = 0;
т1 = –10 п1 = –10 + 29 = 19;
т2 = 13 п2 = 13 + 29 = 42.
Возвращаясь к замене, получим системы:
Решая эти системы, получаем ответ.
О т в е т: (6; 7), (7; 6), (–5 + ; –5 – ), (–5 – ; –5 + ).
3. Пусть было взято x г первого раствора и y г – второго раствора. По условию в первом растворе было 0,2x г кислоты, а во втором – 0,5y г кислоты.
После смешивания получили 30 %-ный раствор, то есть в нем было 0,3 (x + y) г кислоты. Масса кислоты после смешивания двух растворов равна сумме масс исходных растворов.
Получим уравнение:
0,2x + 0,5y = 0,3(x + y);
0,2x + 0,5y = 0,3x + 0,3y;
0,2y = 0,1x;
2y = x.
Получаем, что первый и второй растворы были взяты в отношении 2 : 1.
О т в е т: 2 : 1.
4.
Вычтем почленно из второго уравнения системы первое:
2ху = 14 – 2 – 2а;
ху = 6 – а.
Тогда данную систему уравнений можно представить как совокупность двух систем:
1) 2)
Исходная система будет иметь два решения в трех случаях:
– если каждая из систем имеет по одному решению;
– если первая система имеет два решения, а вторая – решений не имеет;
– если вторая система имеет два решения, а первая – решений не имеет.
Если в каждой из полученных систем выразить одну переменную через другую и найти дискриминант, то в обоих случаях получим:
D = 4а – 10.
Выражение 4а – 10 не может быть одновременно больше и меньше нуля, поэтому подходит тот случай, когда каждая из систем имеет единственное решение, то есть, когда D = 0:
4а – 10 = 0;
а = 2,5.
О т в е т: 2,5.
5.
Для построения графика уравнения х2 – у2 = 0 воспользуемся формулой разности квадратов. Получим:
(х – у) (х + у) = 0
Для построения графика уравнения у = | х + 2 | необходимо раскрыть знак модуля и рассмотреть два случая.
Домашнее задание: № 527 (а, г), № 528 (а), № 529 (а), № 542, № 555.
У р о к 18 (55).Контрольная работа № 3
В а р и а н т 1
1. Решите систему уравнений:
2. Периметр прямоугольника равен 28 м, а его площадь равна 40 м2. Найдите стороны прямоугольника.
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = х2 + 4 и прямой х + у = 6.
4. Решите систему уравнений:
5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:
В а р и а н т 2
1. Решите систему уравнений:
2. Одна из сторон прямоугольника на 2 см больше другой стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 120 см2.
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х2 + у2 = 10 и прямой х + 2у = 5.
4. Решите систему уравнений:
5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:
В а р и а н т 3
1. Решите систему уравнений:
2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 42 см2. Найдите стороны прямоугольника.
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = х2 – 8 и прямой х + у = 4.
4. Решите систему уравнений:
5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:
В а р и а н т 4
1. Решите систему уравнений:
2. Одна из сторон прямоугольника на 4 м больше другой стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 45 м2.
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х2 + у2 = 17 и прямой 5х – 3у = 17.
4. Решите систему уравнений:
5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:
Решение вариантов контрольной работы
В а р и а н т 1
1.
х2 – 7 + 2х = 1;
х2 + 2х – 8 = 0;
х1 = –4 у1 = 7 – 2 · (–4) = 15;
х2 = 2 у2 = 7 – 2 · 2 = 3.
О т в е т: (–4; 15), (2; 3).
2. Пусть х м – одна сторона, а у м – другая сторона прямоугольника. Так как периметр прямоугольника равен 28 м, то получим уравнение:
2(х + у) = 28.
Площадь прямоугольника равна 40 м2, поэтому ху = 40.
Составим и решим систему уравнений:
14у – у2 = 40;
у2 – 14у + 40 = 0;
у1 = 4 х1 = 14 – 4 = 10;
у2 = 10 х2 = 14 – 10 = 4.
О т в е т: 4 м и 10 м.
3. Согласно условию составим и решим систему уравнений:
х2 + х – 2 = 0;
х1 = 1 у1 = 1 + 4 = 5;
х2 = –2 у2 = (–2)2 + 4 = 8.
О т в е т: (1; 5), (–2; 8).
4.
4у2 – 28у + 49 – 2у2 + 7у – у2 = 29;
у2 – 21у + 20 = 0;
у1 = 1 х1 = 2 · 1 – 7 = –5;
у2 = 20 х2 = 2 · 20 – 7 = 33.
О т в е т: (–5; 1), (33; 20).
5.
В а р и а н т 2
1.
3у2 + 2у + у = 6;
3у2 + 3у – 6 = 0;
у2 + у – 2 = 0;
у1 = 1 х 1 = 3 · 1 + 2 = 5;
у2 = –2 х 2 = 3 · (–2) + 2 = –4.
О т в е т: (5; 1), (–4; –2).
2. Пусть х см – одна сторона, а у см – другая сторона прямоугольника. Так как одна из сторон прямоугольника на 2 см больше другой, то имеем уравнение х = у + 2. Так как площадь прямоугольника равна 120 см2, то имеем уравнение ху = 120.
Составим и решим систему уравнений:
у2 + 2у – 120 = 0;
у1 = 10 х1 = 10 + 2 = 12;
у2 = –12 х2 = –12 + 2 = –10 – не удовлетворяет условию задачи.
О т в е т: 10 см и 12 см.
3. Согласно условию составим и решим систему уравнений:
25 – 20у + 4у2 + у 2 = 10;
5у2 – 20у + 15 = 0;
у2 – 4у + 3 = 0;
у1 = 1 х1 = 5 – 2 · 1 = 3;
у2 = 3 х2 = 5 – 2 · 3 = –1.
О т в е т: (3; 1), (–1; 3).
4.
х2 – 6х2 – 2х + 9х2 + 6х + 1 = 9;
4х2 + 4х – 8 = 0;
х2 + х – 2 = 0;
х1 = 1 у1 = 3 · 1 + 1 = 4;
х2 = –2 у2 = 3 · (–2) + 1 = –5.
О т в е т: (1; 4), (–2; –5).
5.
В а р и а н т 3
1.
х – 5х2 + 50 = 2;
5х2 – х – 48 = 0;
D = 1 + 4 · 5 · 48 = 961;
х1 = = 3,2 у1 = 3,22 – 10 = 0,24;
х2 = = –3 у2 = 32 – 10 = –1.
О т в е т: (3,2; 0,24), (–3; –1).
2. Пусть х см – одна сторона, а у см – другая сторона прямоугольника. Согласно условию задачи составим и решим систему уравнений:
13у – у2 = 42;
у2 – 13у + 42 = 0;
у1 = 6 х1 = 13 – 6 = 7;
у2 = 7 х2 = 13 – 7 = 6.
О т в е т: 6 см и 7 см.
3.
х2 + х – 12 = 0;
х1 = 3 у1 = 32 – 8 = 1;
х2 = –4 у2 = (–4)2 – 8 = 8.
О т в е т: (3; 1), (–4; 8).
4.
81 + 90у + 25у2 + 27у + 15у2 – у2 = 3;
39у2 + 117у + 78 = 0;
у2 + 3у + 2 = 0;
у1 = –1 х1 = 9 + 5 · (–1) = 4;
у2 = –2 х2 = 9 + 5 · (–2) = –1.
О т в е т: (4; –1), (–1; 2).
5.
В а р и а н т 4
1.
х + 3х2 + х = 8;
3х2 + 2х – 8 = 0;
D1 = 1 + 2 4 = 25;
х1 = у1 = –3 ∙ – 1 = –5;
х2 = = –2 у2 = –3 ∙ (–2) – 1 = 5.
О т в е т: , (–2; 5).
2. Пусть х м – одна сторона, а у м – другая сторона прямоугольника. Согласно условию задачи составим и решим систему уравнений:
у2 + 4у – 45 = 0;
у1 = –9 х1 = 4 – 9 = –5 – не удовлетворяет условию задачи;
у2 = 5 х2 = 4 + 5 = 9.
О т в е т: 5 м и 9 м.
3.
289 + 102у + 9у2 + 25у2 = 17 · 25;
34у2 + 102у – 136 = 0;
у2 + 3у – 4 = 0;
у1 = 1 х1 = = 4;
у2 = –4 х2 = = 1.
О т в е т: (4; 1), (1; –4).
4.
1 – 4у + 4у2 – у + 2у2 – 2у2 = 1;
4у2 – 5у = 0;
у1 = 0 х1 = 1;
у2 = х2 = 1 – 2 ∙ = –1,5.
О т в е т: (1; 0) (–1,5; 1,25).
5.
Некоторые приемы решения систем уравненийвторой степени с двумя переменными
Цели: расширить знания учащихся о решении систем уравнений второй степени с двумя переменными; формировать умение решать особые виды систем уравнений.
О с о б е н н о с т и и з у ч е н и я
I. Изучение нового материала.
Сначала необходимо, чтобы учащиеся вспомнили два основных метода решения систем уравнений с двумя переменными. Затем сообщить им, что не всякую систему уравнений можно решить, используя эти методы, существуют некоторые особые виды систем уравнений.
Можно выделить три таких в и д а с и с т е м уравнений и обозначить п р и н ц и п ы и х р е ш е н и я.
1-й в и д. Системы, в которых одно из уравнений представлено в виде f (x) · g (x) = 0.
П р и н ц и п р е ш е н и я: переход к совокупности двух систем (пример 1 и 2 из учебника).
2-й в и д. Системы, в которых встречается однородное уравнение.
П р и н ц и п р е ш е н и я: деление однородного уравнения на одну из переменных в квадрате и решение полученного квадратного уравнения (пример 3 из учебника).
3-й в и д. Симметрические системы уравнений.
П р и н ц и п р е ш е н и я: введение новых переменных
х + у = U,
xy = V (пример 4 из учебника).
II. Формирование умений и навыков.
Согласно выделенным видам систем уравнений все упражнения можно разбить на три группы:
1-я г р у п п а.
№ 507, № 508, № 509.
№ 509 (а).
Р е ш е н и е
Эту систему можно решить двумя способами:
– путем преобразований прийти к системе, в которой одно из уравнений представляется в виде: f (x) · g (x) = 0;
– воспользоваться методом сложения и выразить одну переменную через другую.
Второй способ в данном случае – более простой. Умножим первое уравнение системы на –3 и сложим почленно левые и правые части уравнений:
11ху – 66 = 0;
ху = 6;
х = .
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:
– 18 + 14 = 0;
= 4;
у2 = 9;
у1 = 3 х1 = 2;
у2 = –3 х2 = –2.
О т в е т: (2; 3), (–2; –3).
2-я г р у п п а.
№ 510, № 511.
№ 511 (а).
Р е ш е н и е
Обозначим буквой t и решим первое уравнение системы относительно новой переменной:
t + = 0;
12t2 – 25t + 12 = 0;
D = 625 – 576 = 49;
t1 = ;
t2 = .
В е р н е м с я к з а м е н е:
= или
х = =
х =
Получаем, что исходная система уравнений равносильна совокупности двух систем:
О т в е т: (–4; –3), (4; 3).
3-я г р у п п а.
№ 513, № 514.
№ 513 (а).
Р е ш е н и е
О б о з н а ч и м:х + у = U,
xy = V.
Тогда х2 + у 2 = (х + у)2 – 2ху = U2 – 2V.
Получим систему:
U2 – 2 · 12 = 25;
U2 = 49;
U1 = 7;
U2= –7.
Значит, исходная система равносильна совокупности двух систем:
О т в е т: (–3; –4), (–4; –3), (3; 4), (4; 3).
Заметим, что системы уравнений из № 512 и № 515 не относятся ни к одному из выделенных видов. Покажем, как они могут быть решены.
№ 512 (а).
Р е ш е н и е
Разделим почленно правые и левые части первого уравнения на второе:
= 2 х = 2у.
Значит, исходная система уравнений равносильна следующей системе:
3у2 = 3;
у2 = 1;
у1 = 1 х1 = 2;
у2 = –1 х2 = –2.
О т в е т: (2; 1), (–2; –1).
№ 515 (а).
Р е ш е н и е
Вычтем из второго уравнения первое. Получим:
4х (х – у) – 4х (х + у) = 32;
4х (х – у – х – у) = 32;
4х · (–2у) = 32;
ху = –4;
у = .
Значит, исходная система уравнений равносильна следующей системе:
Пусть х2 = а, тогда получим:
4а2 – 65а + 16 = 0
D = 652 – 16 · 16 = (65 – 16) (65 + 16) = 49 · 81
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 = 16,х2 = ;
х = ±4,х = ±.
О т в е т: (4; –1), (–4; 1), .