Развертки геометрических тел (8-9 класс)

ЧЕРТЕЖИ И РАЗВЕРТКИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ. (8 класс)
ЦЕЛИ:
- закрепить понятие геометрического  тела;
- способствовать  самостоятельному  изучению разверток геометрических тел;
- развивать  пространственные представления и  мышление, умение работать с  информационными источниками;
- воспитывать чувство времени, ответственности в  коллективе.
 ТИП  УРОКА: урок  изучения  нового  материала
МАТЕРИАЛЬНОЕ  ОБЕСПЕЧЕНИЕ:  модели геометрических тел, учебники, чертежные принадлежности, ножницы, чертежная бумага.
МЕТОДЫ  ПРОВЕДЕНИЯ:    беседа, выполнение  чертежей геометрических тел и разверток, моделирование.
ЛИТЕРАТУРА: « Черчение»  Ботвинников А.Д.,Виноградов В.Н., Вышнепольский И.С.
ХОД  УРОКА
1.Организационная  часть (1 мин)
- приветствие
- проверка отсутствующих
2. Сообщение темы, целей урока (1 мин)Тема урока «Развертки геометрических тел». Мы должны вспомнить основные геометрические тела, узнать как строятся их развертки.
3. Повторение изученного ранее (13 мин)
1). Викторина «Вспомни геометрические тела» (3 мин).
Три команды (по колонкам). Задача – вспомнить геометрические тела. Мы будем опираться на ваши знания из курса геометрии, рисования, технологии. Чья команда даст больше правильных ответов, та и одержит победу.
Вопросы 1 команде Вопросы 2 команде Вопросы 3 команде
Как называется геометрическое тело (Куб) Как называется геометрическое тело (Шестиугольная призма) Как называется геометрическое тело (четырехугольная пирамида)
Я демонстрирую модель образования поверхности вращения. Какое геометрическое тело образуется? (Цилиндрическая поверхность) Я демонстрирую модель образования поверхности вращения. Какое геометрическое тело образуется? (Коническая поверхность) Я демонстрирую модель образования поверхности вращения. Какое геометрическое тело образуется? (Шаровая поверхность)
Форму какого геометрического тела имеет основание? (Призматическая форма) Форму какого геометрического тела имеет вал? (Цилиндрической формы) Какие предметы имеют коническую форму?
40652709525002). Определение геометрической формы детали.
Задание 1 (5 мин). Итак, мы уже знаем, что форма большинства предметов представляет собой сочетание различных геометрических тел или их частей.
Сейчас проверим, как хорошо вы помните изображения геометрических тел. Форма каждого их них имеет свои характерные признаки. По этим признакам мы отличаем шар от куба и т.д. С большинством этих тел вы уже знакомы. Мы говорим "куб" и каждый представляет его форму. Говорим "шар" и опять в нашем сознании возникает образ определенного геометрического тела.
Я раздаю вам карточки.
Задание для 1 варианта: выписать в тетрадь номера изображений геометрических тел и их названия.
Задание для 2 варианта: выписать в тетрадь номера изображений геометрических тел вращения и их названия.
Поменялись тетрадями и выполнили взаимопроверку выполненного задания.
Результат  
К многогранным геометрическим телам относятся:
1 - 6-угольная призма,
2, 11 - 6-угольная пирамида,
5, 14 - параллелепипед,
6 - куб,
10 - 6-угольная усеченная пирамида,
12 - 4-угольная пирамида,
13 - 3-угольная пирамида,
15- 3-угольная призма,
16 - 5-угольная призма,
17 - 6-угольная призма,
18 - 6-угольная усеченная призма (2-мя плоскостями)
- К геометрическим телам вращения относятся:
3, 9 - цилиндр,
4, 7 - конус,
8, 19 - усеченный конус,
20 - шар (или сфера),
21 - тор44373803048000
Задание 2 (3 мин). Посмотрите, пожалуйста, на чертеж детали
Как называется этот предмет?
Можете ли вы определить форму детали?
Сочетанием (или вычетом) каких геометрических тел образована деталь?
Задание 3 (2 мин) – все вместе.
Я называю тела, а вы приводите примеры предметов:
- шар
- пирамида
- призма
- конус
- цилиндр Отвечают:
-планеты, мяч, глобус
-пирамиды в Гизе
-карандаш, кирпич
-ведро у пожарных, колпак, рожок мороженного в виде конуса
- шайба, банка консервов
4. Изучение нового материала (10 мин)
На партах лежат таблицы с материалом по изучению новой темы
Возьмите карандаш и проведите на гранях куба (рис. 1) кратчайший путь из точки А  в точку В.

Рис . 1. Куб
Казалось бы, надо провести линию в переднюю вершину куба, а затем вниз по ребру. Но этот путь, увы, не кратчайший.
Развернём грани куба в одну плоскость, отметим точки А и В и соединим их прямыми, как показано на рисунке 2.

Рис. 2.
Кратчайший путь, как видим, проходит через середины ребер куба, а не через его вершины. Этот путь  обозначен на рисунке 3, сплошными тонкими линиями.

Рис. 3
Плоская фигура, полученная нами на рисунке 2, называется разверткой куба.
Развертки имеют большое применение на машиностроительных заводах, обувных фабриках, в швейных мастерских. Для изготовления кожухов машин, ограждений станков, вентиляционных устройств, трубопроводов необходимо из листового материала вырезать их развертки.

Рис. 4
Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью.







При построении развертки надо знать сначала истинные, натуральные размеры и форму отдельных элементов предмета на чертеже. В простейших случаях развертки можно вычертить, не пользуясь проекциями предмета. Например, для построения развертки куба достаточно знать размер одного ребра куба.
Рассмотрим построение разверток поверхности некоторых простейших тел. На партах находятся раздаточные таблицы с примерами построения разверток некоторых геометрических тел.
Куб
Для построения развертки куба достаточно знать размер ребра куба. Допустим размер ребра куба = 70 мм.
Берем в руки линейку и карандаш. (Напомнить правила техники безопасности при работе с чертежными инструментами, ножницами). Я – на доске, вы – на картоне.
Чертим в середине листа картона квадрат со сторонами 70 мм. Сколько у куба граней? Правильно – 6. Достраиваем развертку. Вырезаем, склеиваем.
Практическая работа. (15 мин)
Сейчас вам предстоит выполнить развертки различных геометрических тел. Вы разделены на 6 групп. К концу урока у вас должно быть – четырехугольная призма, треугольная призма, четырехугольная пирамида, треугольная пирамида, цилиндр, конус. На ваших столах лежат схемы выполнения разверток геометрических тел. Приступайте к работе.
Призма
Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней – прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований.
Для построения развертки прямой призмы –параллелепипеда, достаточно знать три размера: длину, ширину и высоту призмы (рис. 6).

Рис. 6. Развертка поверхности параллелепипеда
Возьмём правильную прямую шестиугольную призму (рис. 7). Все боковые грани призмы – прямоугольники, равные между собой по ширине а и высоте Н; основания призмы – правильные шестиугольники со стороной, равной а.

Рис. 7. Развертка поверхности прямой шестиугольной призмы
 Так как истинные размеры граней нам известны, нетрудно выполнить построение развертки. Для этого на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания шестиугольника, т. е.6а. Из полученных точек восставляют перпендикуляры, равные высоте призмы Н, и через конечные точки перпендикуляров проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н х 6а) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуры оснований - два шестиугольника со сторонами, равными а. Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба - штрихпунктирной с двумя точками.
Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любой фигурой в основании.
Пирамида
Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания. Для примера представлены развёртки правильной четырехугольной пирамиды (рис. 8) и правильной пятиугольной пирамиды(рис. 9).

Рис. 8. Развертка поверхности правильной четырёхугольной пирамиды
Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как ребра граней не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому построение начинают с определения истинной величины наклонного ребра SA. Определив способом вращения (см. рис. 8) истинную длину наклонного ребра SA, равную s'a'1, из произвольной точки О, как из центра, проводят дугу радиусом s'a'1. На дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания пирамиды, которое спроецировано на чертеже в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой О. Получив развертку боковой поверхности, к основанию одного из треугольников пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.

Рис. 9. Развертка поверхности правильной пятиугольной пирамиды
Конус
Развертка поверхности прямого кругового конусапредставляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 10).

Рис. 10. Развертка поверхности прямого кругового конуса
Построение  конуса выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, радиусом R1 равным образующей конуса s'a', очерчивают дугу окружности. В данном примереобразующая, подсчитанная по теореме Пифагора (a2+b2=c2), равна приблизительно 38 мм (L=√152+352=√1450≈ 38 мм). Затем подсчитывают угол сектора по формуле:

где R – радиус окружности основания конуса (15 мм); L – длина образующей боковой поверхности конуса (38 мм).
В данном примере α = 360°⋅15/38 ≈ 142,2°.
Этот угол строят симметрично относительно осевой линии с вершиной в точке S. К полученному сектору пристраивают круг с центром на осевой линии и диаметром, равным диаметру основания конуса.
Цилиндр
Общеизвестно также, что развертка цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая – развернутой длине окружности основания 2πR (рис. 11).

Рис. 11. Развертка поверхности прямого цилиндра
Шар
В школе на уроках географии вы пользуетесь географическими картами. На картах мира (рис. 12, а) земной шар изображается в виде кругов — восточного и западного полушария.
Но разве развертка шара – круг или, точнее, два круга?
Попытаемся развернуть и совместить с плоскостью шаровую поверхность. Сделать это без складок и разрывов не удастся. Многие геометрические фигуры легко развертываются в плоскость, а шар – нет.
Если поверхность глобуса разрезать вдоль меридианов на маленькие дольки (сегменты) и выпрямить их, то в каждой из этих выпрямленных долек мы можем не заметить никаких видимых искажений. Но развертку мы получим с разрывом (рис. 12, б).

Рис. 12. Географическая карта
Именно такие «дольки» нарезают по контуру и наклеивают одну возле другой на поверхность школьного глобуса. Присмотритесь к глобусу, и вы убедитесь, что это так.
Чтобы получить карту без разрыва, приходится допускать некоторые неточности, которые сводятся к искажению направлений, расстояний и площадей, неодинаковых в разных частях карты.
Развёртки некоторых правильных многогранников представлены на рисунке 13: а) куб, б) тетраэдр, в) октаэдр, г) икосаэдр и д) додекаэдр.


Развёртка поверхности пирамиды.
Для того чтобы выполнить развёртку, давайте определим из каких фигур состоит пирамида.
Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Для построения треугольника необходимо знать величины его сторон. Равные ребра пирамиды служат боковыми сторонами граней (треугольниками). Из произвольной точки описываем дугу радиусом, равным длине бокового ребра пирамиды. На этой дуге откладываем четыре отрезка, равные стороне основания. Крайние точки соединяем прямыми с центром описанной дуги. Затем пристраиваем квадрат, равный основанию пирамиды.

Линии сгиба должны проводиться штрихпунктирной линией с двумя точками.
Всё понятно? Для закрепления нового материала выполним по карточкам практическую работу в парах. А один у доски выполнит развёртку куба.

5. Подведение итогов (2 мин)
Что нового узнали на уроке?
С чем познакомились?
Где применяются?
Чему научились?
6. Рефлексия (1 мин)
Понравился вам урок?
Довольны вы своей работой на уроке?
Оцените свою работу на уроке.
Нарисуйте в тетради смайлика, который соответствует оценке вашей работы на уроке.
Оценивание учащихся
Домашнее задание.
§16.
Доделать развертку
(по желанию). Творческое задание: выполнить наглядное изображение чудо-животного по словесному описанию. "В зоопарк привезли новое животное. Вот как оно выглядит: туловище-конус, на вершине которого голова в виде правильной треугольной призмы: на ее гранях - два шарообразных глаза. У него также два цилиндрических рога, уши - полуовальные пластины, а ноги высокие параллелепипеды".