Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по математике
Предисловие
Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика». Предназначены для обучающихся по профессиям: 270802.10 Мастер отделочных строительных работ, 2670807.01 Повар, кондитер, 190631.01 Автомеханик, 35.02.07 Механизация сельского хозяйства(профильный уровень).
Цель методических указаний: оказание обучающимся в выполнении самостоятельной работы по дисциплине «Математика».
Настоящие методические указания содержат задания с разбором решения, а также разнообразные задания, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть фундаментальными знаниями по всем темам курса.
Тема: «Делимость чисел»
Контрольный тест с выбором ответа:
Остаток от деления числа 13 579 на 8 равен
а б в г
1 3 5 7
Остаток от деления числа 13 579 203 на 11 равен
а б в г
3 0 6 8
Остаток от деления числа 13 579 214 на 33 равен
а б в г
0 2 11 9
Максимальная степень 3, на которую делится 1 701, равна
а б в г
4 5 6 7
Максимальная степень 4, на которую делится 6 656, равна
а б в г
2 3 4 5
Максимальная степень 6, на которую делится 64 800, равна
а б в г
3 4 5 6
Тема: «Аксиомы стереометрии и их следствия
Выполните упражнения:
Доказать, что на каждом луче есть хотя бы одна точка.
Доказать, что если точка А лежит на прямой а, а точка В не лежит на этой прямой, то все точки луча АВ лежат в одной полуплоскости с границей а.
Доказать, что если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит через точку внутренней области этого угла, то все точки луча лежат во внутренней области угла.
Доказать, что если прямая пересекает сторону АВ треугольника АВС и не проходит через вершину этого треугольника, то она пересекает либо сторону ВС, либо сторону АС.
Доказать, что если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит через точку внутренней области этого угла, то он делит этот угол на два угла.
Как с помощью двух нитей определить, будет ли стол с четырьмя ножками стоять на полу устойиво?
Тема: «Параллельность прямых и плоскостей»
1. Тест
1. Точка М не лежит в плоскости треугольника ABC, K – середина MB. Каково взаимное расположение прямых MA и CK?
а) Определить нельзя; б) скрещиваются; в) параллельны; г) совпадают; д) пересекаются.
2. Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β. Прямая b параллельна прямой а, тогда:
а) прямые b и с пересекаются; б)прямая b лежит в плоскости β; в) прямые b и с скрещиваются; г) прямые b и с параллельны; д) прямая а лежит в плоскости β.
3. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b?
а) Скрещиваются или пересекаются; б) пересекаются или параллельны;
в) скрещиваются или параллельны; г) только скрещиваются;
д) только параллельны.
4. В треугольнике ABC угол С на 40˚ больше суммы углов В и А. Найдите угол между прямыми АС и ВС.
а) 110˚; б) 70˚; в) 55˚; г) 125˚; д) определить нельзя.
5. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если прямая а лежит в плоскости α, а прямая b параллельна этой плоскости?
а) Параллельны или пересекаются; б) скрещиваются или пересекаются;
в) параллельны или скрещиваются; г) определить нельзя; д) совпадают.
6. Прямая а параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно?
а) Прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α;
б) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α;
в) прямая а скрещивается со всеми прямыми плоскости α;
г) прямая а имеет общую точку с плоскостью α;
д) прямая а лежит в плоскости α.
7. Выберите верное утверждение.
а) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости;
б) если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость;
в) если две прямые параллельны третьей прямой, то они пересекаются;
г)если прямая и плоскость не имеют общих точек, то прямая лежит в плоскости
д) прямая и плоскость называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек.
8. Прямая а параллельна прямой b и плоскости α. Выберите верное утверждение.
а) Прямая b параллельна плоскости α; б) прямая b лежит в плоскости α;
в) прямая b пересекает плоскость α; г) прямая b лежит в плоскости α или параллельна ей; д) прямая b скрещивается с плоскостью α.
2. Решите сквозную задачу:
В правильной треугольной пирамиде известны сторона основания а и высота Н. Как вычислить площадь сечения, проходящего:
а) параллельно основанию через середину высоты;
б) через боковое ребро и высоту;
в) через сторону основания перпендикулярно потивоположному боковому ребру;
г) через центр основания параллельно боковой грани;
д) через середины боковых ребер.
Тема: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Лабораторная работа «Прямоугольный параллелепипед»
Цель работы: научиться свободно обращаться с соотношениями в прямоугольном параллелепипеде.
Этап 1. Основные величины
Дан прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием. Пусть ребро основания равно 1, а боковое ребро равно 2.
Задания
Найдите следующие величины:
диагональ боковой грани параллелепипеда;
диагональ параллелепипеда;
расстояние между параллельными ребрами;
расстояние между параллельными диагоналями граней;
расстояние между боковым ребром и ребром основания, не имеющим с этим ребром общей точки;
угол между диагональю боковой грани и гранью, которую она пересекает;
углы между диагональю и гранями;
углы между плоскостью, проходящей через две диагонали параллельных граней и плоскостями граней;
площадь сечений, проходящих через параллельные ребра;
площадь поверхности;
объем.
Этап 2. Параллелепипед с переменным основанием
Дан прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием. Пусть ребро основания равно х, а боковое ребро равно 1.
Задания
Найдите следующие величины:
диагональ боковой грани параллелепипеда;
диагональ параллелепипеда;
расстояние между параллельными ребрами, не лежащими в одной грани;
угол между диагональю боковой грани и гранью, которую она пересекает;
углы между диагональю и гранями;
углы между плоскостью, проходящей через две диагонали параллельных граней и плоскостями граней;
площади сечений, проходящих через параллельные ребра;
площадь поверхности;
объем.
Тема: «Многогранники»
Сделать презентацию по теме: «Правильные многогранники»
План:
Исторические сведения.
Определение.
Виды правильных многогранников, элементы их симметрий:
тетраэдр;
куб;
октаэдр;
додекаэдр;
икосаэдр.
Правильные многогранники в окружающем мире.
Тема: «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве. Движения»
Лабораторная работа «Золотая середина»
Цель работы: научиться свободно обращаться с векторами.
В разговорной речи мы часто употребляем слово «средний» (напрмер, средний доход населения в данном регионе, состояние «средней тяжести»). Понятие чего-то среднего содержится и в таком обороте речи, как «деление пополам».
Слово «средний» широко применяется и в научном стиле: «средняя скорость», «средняя температура», «средний радиус» Земли, в частности в математике: «среднее арифметическое», «среднее геометрическое» двух чисел, «средняя линия» треугольника или трапеции, «середина отрезка».Середина отрезка – это такая его точка, которая равноудалена от его концов. Середину можно задать с помощью векторов.
BT=12BA (1)
OT=12OA+12OB (2)
А
Т
В
О – любая точка плоскости или пространства.
Задания
Объясните, почему приведенные равенства (1) задают середину отрезка.
Докажите, что если точка Т – середина отрезка АВ, то справедливо равенство (2).
В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Выразите вектор АМ через векторы АВ и АС.
В треугольнике АВС проведена медиана ВN. Выразите вектор BN через векторы ВA и BС.
В треугольнике АВС проведена медиана CP. Выразите вектор CP через векторы CA и CB.
Докажите, что сумма векторов АМ, ВN, CP равна нулевому вектору.
Какой геометрический смысл имеет задание 6?
В четырехугольнике ABCD точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Проведены отрезки KM и LN (их называют средними линиями четырехугольника). Докажите, что точка их пересечения делит каждый из них пополам.
Указание. Рассмотрите два случая: а) исходные точки ледат в одной плоскости; б) исходные точки не лежат в одной плоскости (являются вершинами тетраэдра). Сможете ли вы найти решение, не использующее векторы для каждого случая?
Тема: «Цилиндр, конус, шар»
Разберите решение задачи, допишите нужные обоснования, запишите решение задачи по указанному плану
Решение задач по образцу.
Задача 1. Радиус круга, лежащего в основании конуса, равен 3дм, угол между образующей и основанием составляет 300. Найдите:
образующую конуса;
высоту конуса;
площадь боковой поверхности конуса;
площадь полной поверхности конуса;
площадь осевого сечения конуса;
угол между образующими осевого сечения конуса;
площадь сечения, проходящего через середину высоты, параллельно основанию конуса;
площадьсечения, проведенного через две образующие конуса, угол между которыми составляет 600;
объем конуса.
Задача 2. Квадрат со стороной 2 см вращается вокруг прямой, содержащей одну из его сторон. Найдите поверхность и объем полученного тела вращения.
Задача 3. Сечение шара плоскосью, удаленной от центра на 12 см, имеет площадь 25π см2. Найдите площадь поверхности шара.
Тема: «Тригонометрические функции любого угла. Формулы тригонометрии. Тригонометрические функции числового аргумента»
Определите знаки выражения:
sin1850cos950tg1810sin2500tg2000sin20cos30sin2tg1,5tg2π3cos1,8πsin0,5πctg3Определите знаки если 0<α<π2:
cos(π2+α)sin(π2+α)tg(π+α)tg(3π2-α)sin(2π-α)cos(2π-α)ctg(3π2+α)Определите знаки произведения:
sin800∙cos1000sin1500∙tg1300tg1200∙cos1900sin800∙tg1200∙ctg1500cos770∙tg1180∙sin3600∙tg190tg2∙cos1,5Вычислите:
2sin900∙3cos1800tg1800-2sin27002tg0+cos3π2+2sinπ23ctg1800-sin18003sinπ6+2cosπ6-tgπ3sin2π-cosπ25sin2700+3ctg2700+2cosπcos0-cos3π+cos3,5π3sinπ6-tgπ4Упростите выражения:
1-cosα(1+cosα)1-sin2α+cos2αcos2α1-cos2αsin2α1-sin2αcosα∙tgα+sinαsin2α+tg2α+cos2α(1+ctg2α)∙sin2αtgα1+tg2αctgα1+ctg2αsin2α-11-cos2α2-sin2α-cos2α1-cos2α∙ctgαcos3π2-α+sin(π-α)tg(π2+α)+ctg(π+α)Докажите тождества:
1-sin2α1+sin2α=cos2α(cosα+sinα)2+(sinα-cosα)2=2(tgα+ctgα)2-(tgα-ctgα)2=41-sin2α∙tgα=sinα(sinα+cosα)2=1+sin2αВычислите:
cos1200sin1500tg1350tg1500cos2250tg2400ctg2250tg3000ctg3300cos2100sin(-750)0cos(-500)0Упростите выражение:
sin100∙cos400+cos100∙sin400sin700∙cos200+cos700∙sin200sin50∙cos250+cos50∙sin250cos550∙cos200-sin550∙sin200sin400∙sin200+cos400∙cos200cos800∙sin200-sin800∙cos200tg150-tg801- tg150∙tg802sin250∙cos250sin180∙cos1802sinα∙sin(π2-α)sin2α1+cos2αtg400+tg200tg400∙tg200-14cos2400-4sin240012sin150∙cos150cos4α-sin4α1-2sin21501-tg2500tg500cos4α+sin2α+sin2α∙cos2αПреобразуйте сумму тригонометрических функций в произведение:
sin100+sin200sin500-sin200sinα+sin3αcos4α-cos2αsin750+sin150cos750-cos150sin1650+sin1050sin1350-cos45012+sin200sin100+cos300cos500-sin200tgα+tg3αtgα+ctgα1+cosα2cos190+cos220cos360-cos540sinα-sinα2cosα2+cosα41+sin8001+sin2α1+cos2001-cosα1-2sin1001-sinα21+sinα1-sinαПреобразуйте произведение тригонометрических функций в сумму:
sin2400∙cos20sin560∙cos120cos460∙sin200cosπ5∙cosπ6sinα∙cosαsin450∙sin150Тема: «Основные свойства функций»
Творческие задания:
Найдите точки пересечения графика функции с осями координат:
y=3x-2y=4x-12x+3y=5x2-4x-1y=cosx+1y=3x+4Используя приведенный график функции y=f(x), постройте графики функций:
y=fx+3y=fx-1y=2fxy=0,5fxy=fx+1y=fx-2y=-fxy=f-xX
Y
-1
2
-2
Тема: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
Цель: научиться решать уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции и неравенства методом интервалов.
Пример1.
2arcsinx=π3+π29arcsinxРешение:
Введем новую неизвестную y=arcsinx и получим рациональное уравнение: 2y=π3+π29y. Корни этого уравнения y1=π3 , y2=-π6. Оба корня входят в область определения функции арксинуса, т.е. yϵ-π2; π2. Вернемся к старой неизвестной и получим уравнения:
arcsinx=π3 или arcsinx=π3x=sinπ3=32 x=sin(-π6)=-12Итак, уравнение имеет два корня x1=32 x2=-12Пример2.
2sinx-12cosx-3≥0Решение:
π611π65π6--+
На единичной окружности отметим значения х, при которых обращается в ноль числитель 2sinx-1=0 (откуда x=π6 x=5π6) и знаменатель 2cosx-3=0 (тогда x=π6 x=11π6). Учтем, что корень x=π6 – корень второй (четной кратности) и при переходе через него знак дроби не меняется. Определим знак выражения, например, при x=0 и получим 2∙0-12∙1-3<0. Построим диаграмму знаком данной дроби. Учтем значения х, при которых знаменатель дроби обращается в ноль (они отмечены кружочками). С учетом периодичности функций, входящих в неравенство, запишем его решения: xϵ5π6+2πn; 11π6+2πn, nϵZ .
Задания:
Решите уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции:
tg(arcsinx)=13arcsinx+3arccosx=7π62arcsin2x-arcsinx-8=0arcsinx=arccos1-x2Решите неравенства методом интервалов:
2cosx+3sin2x(2sinx-3)≤0tgx-1sinx≥01+cosx1+sinx>11+ctgx1+tgx<2Тема: «Обратные функции»
Составьте задачу по теме и решите её.
Выведите формулу, задающую функцию, обратную к данной.
Постройте график функции, обратной к данной.
Тема: «Предел последовательности»
Домашняя самостоятельная работа:
Вариант 1.
Вычислите 5-й член последовательности, заданной формулой an=2n-1.
Задана арифметическая прогрессия: a3=2, d=3. Найдите a7, S7.
Задана геометрическая прогрессия: b4=8, q=0,5. Найдите b7, S5.
Вариант 2.
Вычислите 10-й член последовательности, заданной формулой an=n2+n.
Задана арифметическая прогрессия: a3=3, d=2. Найдите a6, S6.
Задана геометрическая прогрессия: b3=2, q=13. Найдите b5, S5.
Тема: «Производная»
Тренажеры
Вычислите предел функции.
limx→1x2x2+1limx→1x-1x3-1limx→2x2-4x2-x-2limx→∞x2+2x3+1limx→∞x2+12xlimx→∞2x2-x+1x2+2Вычислите производную данной функции.
y=-2x+3y=x4-3x3+x2-1y=3x+12y=2x2-6x-73y=-2x-2+1y=12x-2-5y=-2x3y=12x+xy=3sinx-2cosxy=tgx+ctgxy=xsinxy=12sin4xy=(3-2x)4y=sin2x+cos4xy=4x+1y=cos2x3xy=(3x+5)cos2xy=5sin3x6cos5xy=x+23-xy=tg2(3x-π4)y=(14x5+3x+7x7)4Тема: «Применение непрерывности и производной»
Матричный тест
Сопоставьте функции угловой коэффициент касательной к ее графику в точке х=1
Функция Угловой коэффициент касательной
0 2 1 -sin12cos221 x+1 x2 cosхtg2xПриложения к механике
Высота камня, брошенного вертикально вверх со скоростью v0 с начальной высоты от земли h0, меняется по закону h=h0+v0t-qt22 q≈10 м/с2 – ускорение свободного падения.
Используя указанные данные, найдите:
а) зависимость скорости камня от времени v(t);б) скорость камня через 2 с при h0=20м, v0=8м/с;
в) высоту, на которой скорость станет равной нулю.
Покажите, что энергия камня E=mv22+mgh не зависит от времени.
Точка движется прямолинейно по закону xt=t3+3t2. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t=1.
Точка движется прямолинейно по закону xt=3t+2.
Используя указанный закон, найдите:
а) среднюю скорость на отрезках [2; 2,2], [2; 2,02], [3;4], [3;3,3];
б) мгновенную скорость при t=2, t=3.
Тема: «Применение производной к исследованию функции»
Творческие задания.
Найдите значения параметра а, при которых функция fx=a-12x3+3a-12x2+6x-7 возрастает при всех х.
Найдите значения параметра а, при которых функция fx=asin7x+8ax+sin4x-5x убывает и не имеет критических точек на всей числовой прямой.
Найти наибольшее значение функции fx=sin(2x-π5)sin(2x+2π15).
При каких значениях параметра a>0 точка х=3 является точкой максимума fx=2x3-6a2x+3 ?Найдите множество значений функции: fx=xx2+1Тема: «Первообразная и интеграл»
Лабораторная работа «Применение интеграла»
Цель работы: Познакомится на содержательных примерах с основными приложениями понятия интеграла.
BxAy
By
Ax
A
B
На рисунке изображен график функции y=f(x), где fx=10x2, 1≤x≤5. Точки А и В – концы графика (соотвествующие абсциссам х=1 и х=5). Точки Ах, Вх,Аy,Вy – проекции точек А и В на оси координат.
Задания:
Запишите в виде интеграла площадь Sx криволинейной трпеции AxABBx.
Запишите в виде интеграла площадь Sy криволинейной трпеции AyABBy.
Выразите Sy через Sx.
Выразите через Sx площадь криволинейного треугольника CAB.
Запишите в виде интеграла объем Vx тела, получаемого вращением криволинейной трапеции AxABBx вокруг оси х.
Запишите в виде интеграла объем Vy тела, получаемого вращением криволинейной трапеции AyABBy вокруг оси y.
Темы мини-рефератов:
Метод исчерпывания Архимеда.
Метод исчерпывания Евдокса.
Идея переменной площади.
Скорость роста переменной площади
Тема: «Обобщение понятия степени»
Творческие задания:
Решите уравнения:
3-x2+x+32+x3-x=4x2-x-1+3x2-x-1=13x2+x2-x+9=3+x1+xx2+24=x+1x2-2x+1+x2+2x+1=2x+2x-1-x-2x-1=2Решите системы иррациональных уравнений:
x+1x+y+x+yx+1=2x+1y+2-y+2x+1=1,5x2-4xy-3y2=x+1x+y=1Решите неравенства:
24-5x≥x2x-1≥x+4x2-x-1≤2x+3x-6-10-x≥1Тема: «Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства»
Лабораторная работа «Распад радия»
Цель работы: Применение свойств показательных функций к исследованию процесса радиоактивных элементов.
Согласно экспериментальным данным скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству. Если обозначить через x(t) массу вещества в момент времени t, через v(t) – скорость изменения массы, то сформулированный закон можно записать так:
vt=kx(t) (1)
Период полураспада вещества Т – это время, через которое остается половина вещества. Тогда закон изменения количества вещества можно записать в виде:
xt=x(0)∙2-tT (2)
где х(0) – масса вещества в начальный момент времени t=0.
Задания:
Проверьте по формуле (2), что х(Т) действительно вдвое меньше, чем х(0).
Период полураспада Т одного из изотопов радия 88226Ra равен 26,7 мин. Какая часть первоначальной массы радия останется через 10 мин?
Связь между формулами (1) и (2) можно получить, используя другое представление для функции х: xt=x(0)∙e-kt. Найдите связь между k и T.
Используя приведенные формулы решите следующие прикладные задачи:
Сколько радия останется через 300 лет, если его масса в начальный момент времени составляла 300 г?
За 500 лет распалось 10 г радия. Какова его масса в начальный момент времени?
Через сколько времени останется 99% первоначальной массы радия?
Тема: «Логарифмическая функция»
Доклады на тему:
История возникновения и развития логарифмов
Применимы ли логарифмы в жизни?
Выполните тест:
Решите уравнение: log25x=-0,5Решите неравенство: log4(x+1)≥3Решите уравнение: log0,3(3x-1)=log0,3(x+2)Решите неравенство: log0,45(4x-3)>log0,45(2x+1)Найдите сумму корней уравнения: logx81+log9x2-5=0Решите неравенство:2-log2x<3Решите систему уравнений:log2x2+y2=52log4x+log2y=4Тема: «Производная логарифмической и показательной функций»
Тренажеры:
Существует ли показательная функция, у которой график функции совпадает с графиком ее производной? Если такая функция существует, то задайте ее с помощью формулы.
Может ли угловой коэффициент касательной к графику функции gx=-4lnx+x в точке с абсциссой х0=-1 быть равен 4?
Найдите скорость изменения показательной функции gx=9ex+5 в точке х0=0.
Найдите производную функций: а)fx=3x-1 б) y=3lnx-2Укажите промежутки возрастания фунции gx=ex-exУкажите точки максимума функции hx=lnx-xНайдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=x2+2x+3, y=62-xб) y=2x+4-5, y=15x4+11в) y=1x , x+2y=4Тема: «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей»
Составьте кроссворд по теме.
Решите матричный тест:
Четыре шара закатываются в три лузы. Укажите верное количество вариантов при выполнении различных условий.
А
Условие Количество вариантов
16 18 45 81
Лузы и шары различные Шары различные, хотя бы одна луза пустая Шары различные, вторая луза пустая Шары различные, луза либо пустая, либо в нее попадает ровно два шара Б
Условие Количество вариантов
15 36 60 42
Шары и лузы различные, пустых луз нет Шары и лузы различные, в одной из луз один шар Шары и лузы различные, одна луза пустая Шары одинаковые, лузы разные В
Условие Количество вариантов
5 9 12 6
Шары одинаковые, лузы различные, первая луза пустая Шары одинаковые, лузы различные, одна луза пустая Шары одинаковые, лузы разные, в одной лузе не может быть двух шаров Шары одинаковые, лузы разные, каждая луза или пустая, или в нее попадает четное число шаров Тема: «Комплексные числа»
Контрольные вопросы к зачету:
Определение комплексного числа.
Алгебраическая форма комплексного числа. Действительная, мнимая часть.
Правило сложения комплексных чисел.
Правило умножения комплексных чисел.
Правило деления комплексных чисел.
Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Аргумент комплексного числа.
Модуль комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Формула Муавра для возведения в степень комплексного числа.
Формула Муавра для извлечения корня из комплексного числа.
Тема: «Многочлены»
Схема Горнера – способ деления многочлена
Pn(x)=∑i=0naixn-i=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an−1x+an
на бином x−a. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома x−a:
После деления многочлена n-ой степени на бином x−a, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна n−1. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.
Пример №1
Разделить 5x4+5x3+x2−11 на x−1, используя схему Горнера.
Решение
Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена 5x4+5x3+x2−11, расположенные по убыванию степеней переменной x. Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на x−1, то во второй строке запишем единицу:
Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:
Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1⋅5+5=10:
Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1⋅10+1=11:
Для пятой ячейки получим: 1⋅11+0=11:
И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 1⋅11+(−11)=0:
Задача решена, осталось только записать ответ:
Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления 5x4+5x3+x2−11 на x−1. Естественно, что так как степень исходного многочлена 5x4+5x3+x2−11 равнялась четырём, то степень полученного многочлена 5x3+10x2+11x+11 на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остачу от деления многочлена 5x4+5x3+x2−11 на x−1. В нашем случае остача равна нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена 5x4+5x3+x2−11 при x=1 равно нулю.
Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x4+5x3+x2−11 при x=1равно нулю, то единица является корнем многочлена 5x4+5x3+x2−11.
Пример №2
Найти все целочисленные корни многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45, используя схему Горнера.
Решение
Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед x6) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа 45;15;9;5;3;1 и −45;−15;−9;−5;−3;−1. Проверим, к примеру, число 1:
Табл. №1
Как видите, значение многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 при x=1 равно 192(последнее число в второй строке), а не 0, посему единица не является корнем данного многочлена. Так как проверка для единицы окончилась неудачей, проверим значение x=−1. Новую таблицу для этого составлять не будем, а продолжим использование табл. №1, дописав в нее новую (третью) строку. Вторую строку, в которой проверялось значение 1, выделим красным цветом и в дальнейших рассуждениях использовать её не будем.
Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.
Табл. №2
Итак, значение многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 при x=−1 равно нулю, т.е. число −1 есть корень этого многочлена. После деления многочлена на бином x−(−1)=x+1 получим многочлен x5+x4−22x3+2x2+69x+45, коэффициенты которого взяты из третьей строки табл. №2 (см. пример №1). Результат вычислений можно также представить в такой форме:
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)(x5+x4−22x3+2x2+69x+45)(1)
Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена x5+x4−22x3+2x2+69x+45. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, – числа 45. Попробуем ещё раз проверить число −1. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем в нее еще одну строку:
Итак, число −1 является корнем многочлена.
Этот результат можно записать так:
x5+x4−22x3+2x2+69x+45=(x+1)(x4−22x3+24x+45)(2)
Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)(x5+x4−22x3+2x2+69x+45)==(x+1)(x+1)(x4−22x3+24x+45)=(x+1)2(x4−22x3+24x+45)(3)
Теперь уже нужно искать корни многочлена x4−22x2+24x+45, – естественно, среди делителей его свободного члена (числа 45). Проверим еще раз число −1:
Число −1 является корнем многочлена x4−22x2+24x+45. Этот результат можно записать так:
x4−22x2+24x+45=(x+1)(x3−x2−21x+45)(4)
С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)2(x4−22x3+24x+45)==(x+1)2(x+1)(x3−x2−21x+45)=(x+1)3(x3−x2−21x+45)(5)
Теперь ищем корни многочлена x3−x2−21x+45. Проверим еще раз число −1:
Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число 3:
В остаче ноль, посему число 3 – корень рассматриваемого многочлена. Итак, x3−x2−21x+45=(x−3)(x2+2x−15). Теперь равенство (5) можно переписать так:
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45==(x+1)3(x3−x2−21x+45)=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)(6)
Проверим ещё раз число 3:
Полученный результат можно записать так (это продолжение равенства (6)):
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)==(x+1)3(x−3)(x−3)(x+5)=(x+1)3(x−3)2(x+5)(7)
Из последней скобки видно, что число −5 также является корнем данного многочлена. Можно, конечно, формально продолжить схему Горнера, проверив значение x=−5, но необходимости в этом нет. Итак,
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)=(x+1)3(x−3)2(x+5)
Числа −1;3;5 – корни данного многочлена. Причем, так как скобка (x+1) в третьей степени, то −1 – корень третьего порядка; так как скобка (x−3) во второй степени, то 3 – корень второго порядка; так как скобка (x+5) в первой степени, то x=−5 – корень первого порядка (простой корень).
Вообще, обычно оформление таких примеров состоит из таблицы, в которой перебираются возможные варианты корней, и ответа:
Из таблицы следует вывод, полученный нами ранее с подробным решением:
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)=(x+1)3(x−3)2(x+5)
Выполните упражнения по образцу:
Используя схему Горнера разделить многочлен f(x)=2x5-x4-3x3+x-3 на двучлен (x-3).
Найти целые корни многочлена f(x)=x4-2x3+2x2-x-6.(учитывая, что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена)
Тема: «Функции»
Направление 1. Матричные тесты
Отметьте промежутки, на которых функция f(x) , заданная графиком, обладает указанными свойствами.
Свойство функции Промежуток
[-3;-2] [-1;1] (0;1] [-0,1;3] [2,5;3]
Положительная и возрастает Отрицательная и убывает Выполняется неравенство f(x)≤1Принимает наибольшее значение на конце промежутка Уравнение f(x)=1 имеет хотя бы один корень Какие преобразования графика функции y=lnx нужно выполнить, чтобы получить графики уазанных функций?
Преобразование графика y=lnxy=ln1xy=ln(-x)y=ln(x-3)y=log2xСдвиг по оси Ох Сдвиг по оси ОyСимметрия относительно оси Ох Симметрия относительно оси ОyРастяжение по оси ОyНаправление 2. Построение графика функции по ее описанию
y=sgnx (сигнум х). Эта функция определена при всех вещественных х и принимает следующие значения: -1 при х<0, 0 при х=0, 1 при х>0.
y=[x] (целая часть х, антье от х; [х] – это наибольшее целое число, не превосходящее х, например [3]=3; [3,1]=3; [-2,9]=3).
y={x} (дробная часть х; по определению х=[x]+{x}).
Тема: «Уравнения и неравенства»
Направление 1. Построение математической модели и ее исследование (текстовые задачи)
Решите задачи на составление уравнений.
Поезд должен был преодолеть расстояние в 200 км, однако из-за ремонта дороги он был вынужден выбрать другой путь – на 100 км длиннее первого. При этом он увеличил скорость на 30 км/ч, но все же опоздал по сравнению с расписанием на 20 мин. Каково расчетное время движения поезда по расписанию?
Два автомобиля выехали одновременно с перекрестка двух дорог, идущих по взаимноперпендикулярным направлениям. Через два часа растояние между ними было 400 км. Скорость одного из автомобилей была на 40 км/ч больше второго. С какими скоростями двигались автомобили?
Вода вливалась в бассейн через две трубы., которые работали совместно 2 часа, после чего одна из них была закрыта, а вторая работала ещё 1 час 20 мин и наполнила бассейн. Отдельно работая, вторая труба наполняет бассейн за 1 час 10 мин дольше первой. За какое время наполняет бассейн каждая из труб, работая отдельно?
Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить новый сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?
Между освещенным предметом и находящимся на расстоянии d от него экраном требуется поместить выпуклую линзу так, чтобы получить на экране четкое изображение этого предмета. Фокусное расстояние линзы равно F. На каком расстоянии от предмета следует поместить линзу?
Старинные задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям. Задачи взяты из школьных задачников XIX века с сохранием их стиля.
Некто имеет несколько телят, которые стоят 112 рублей. Если бы телят было двумя более, то каждый теленок стоил бы 2 рублями 80коп. дешевле. Сколько было телят?
Два каменщика, из которых второй начинает работать 1,5 днями позже первого, могут выложить стену в 7 дней. Если бы эта работа была поручена каждому отдельно, то первому для ее окончания понадобилось бы тремя днями более, чем второму. Во сколько дней каждый из них отдельно выстроит эту стену?
Некто из бочки, содержащей 81 ведро вина, отлил некоторе число ведер, а бочку долил водой; потом от этой смеси он отлил столько же ведер, сколько и в первый раз, и опять бочку долил водой; сделав это 4 раза, в бочке осталось только 16 ведер чистого вина. По сколько ведер он отливал?
Направление 2. Геометрические модели
У двух многоугольников 109 диагоналей. У одного из них на две стороны больше, чем у другого. Сколько сторон у каждого из них?
Куб срезали по углам так, что на каждой грани образовался правильный восьмиугольник. Какая часть объема куба осталась?
Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с двумя его ребрами, имеющими с этой диагональю общую точку, углы 450 и 600. Какой угол она образует с третьим ребром, имеющим с данной диагональю общую точку?
В равнобедренной трапеции большее основание равно 2, а три другие стороны равны х.
Определите , при каком значении х:
а) периметр трапеции равен 5;
б) средняя линия трапеции равна боковой стороне;
в) высота равна половине боковой сторны;
г) диагональ равна 2;
д) в трапецию можно вписать окружность;
е) вокруг трапеции можно описать окружность.
Направление 3. Тренажеры
Решите уравнения:
x2+1x+xx2+1=-52x-4x-5x-6x-7=1680x=2-x5x-5+10x-5=15x-102x2+x-6-2x2+x-9=562log0,5x=log0,5(2x2- x)ln3x-5=03lgx+193lgx-1=2lgx+1cos2x-3cosx=4cos2x2ctgx4+ctg3x4=2sinxРешите неравенства:
x3(x-3)(x+1)2>09-24x+16x2≤86x+9x≤22x+1+1lg(2x-51)-lg(22-x)≥2cos3x+sinxsin2x≥0Тема: «Геометрия на плоскости»
Заполните таблицу
Планиметрия. Многоугольники
Периметр Площадь Высота Радиус вписанной окружности Радиус описанной окружности Дополнительные формулы
Треугольники Произвольный Правильный Равнобедренный Прямоугольный Четырехугольники Ромб Трапеция Квадрат Прямоугольник Параллелограмм Шестиугольник правильный Планиметрия. Окружность. Круг
Окружность
Круг Длина окружности Площадь круга Длина дуги окружности Площадь кругового сектора Касательная и секущие Вписанные и центральные углы Дополнительные формулы
Рекомендуемая литература:
1. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П.. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: учебник + СД. М.: Просвещение, 2013.
2. Гусев В.А. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля. Учебник . М.: Академия, 2013
3. Башмаков М.И. Математика. Учебник. М.: Академия, 2013
4. Башмаков М.И. Математика. Задачник. Учебное пособие. Академия, 2013
5. Башмаков М.И. Математика: Книга для преподавателя, методическое пособие. М.: Изд. центр «Академия», 2013
6. Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности. Учебное пособие. М.: Изд. центр «Академия», 2013
7. Атанасян Л.С. Геометрия 10-11 классы. Учебник. М.: Просвещение, 2013