Билеты к итоговой аттестации по геометрии 7 класс

Билеты к итоговой аттестации по геометрии за курс 7 класса
Билет 1.
Первый признак равенства треугольников. (п.20, теорема 3.1).
Основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости. (п.2).
а) Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу.
б) В равнобедренном треугольнике ABC угол В тупой. Высота BD равна 8 см. Найдите периметр треугольника ABC, если периметр треугольника ABD равен 24 см.
в) На одной стороне неразвернутого угла взяты точки А и С, на другой В и D, так что АВ
·
· CD. Точка М принадлежит отрезку АВ; угол MCA равен углу MCD, угол MDC равен углу MDB. Докажите, что АВ = АС + BD.
_____________________________________________________________

Билет 2.
Внешние углы треугольника.(п. 34; теоремы 4.5).
Параллельные прямые. Основное свойство параллельных прямых. (п.11).
а) Разность двух сторон тупоугольного равнобедренного треугольника равна 8 см, а его периметр равен 38 см. Найдите стороны треугольника.
б) В треугольнике ABC угол A = 50°, угол C = 80°. Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника при вершине С лежит на прямой, параллельной прямой АВ.
в) Дана окружность с центром О и диаметром АВ. Вне окружности взята точка М, так что прямые МА и MB пересекают окружность в точках С и D соответственно; АС = CD =BD. Докажите, что АС = ОВ.
______________________________________________________________

Билет 3.
Смежные углы. (п.14; теорема 2.1 и следствия).
Доказать, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. (п. 40, задача 8)
а) Углы ABD и ABC смежные, луч ВО биссектриса угла ABD. Найдите угол OBD, если угол ABC = 40°.
б) На сторонах АВ, ВС, АС треугольника ABC взяты точки М, Р, К соответственно, так что лучи КМ и КР являются биссектрисами углов АКВ и ВКС. Докажите, что угол MKP = 90°.
в) В треугольнике ABC внешние углы при вершинах А и С равны. Найдите длину биссектрисы BD, если периметр треугольника ABC равен 36 дм, а периметр треугольника ABD равен 24 дм.
_______________________________________________________________







Билет 4.
Вертикальные углы. (п.15; теорема 2.2).
Построение перпендикулярной прямой. (п.47)
а) В окружности с центром О проведены три радиуса ОВ, ОС, OA, угол AOB равен углу BOC. Докажите, что угол OAB равен углу OCB.
б) Постройте прямоугольный треугольник по катету и противолежащему ему острому углу.
в) В треугольнике ABC АВ = ВС. Внутри треугольника отмечена точка D так, что угол DAC равен углу DCA. Докажите, что точка пересечения высот этого треугольника лежит на прямой BD.
_____________________________________________________________
Билет 5.
Свойство углов равнобедренного треугольника (п.23, теорема 3.3).
Угол. Измерение углов. (п.7, свойства V,VII).
а) На сторонах АВ и ВС треугольника ABC взяты точки М и Н соответственно; угол A равен углу BMH = 50°, угол С = 60°. Найдите угол MHC.
б) В окружности с центром О проведены три радиуса OA, ОВ, ОС так, что ОВ перпендикулярно АС и отрезки ОВ и АС пересекаются. Докажите, что АВ = ВС.
в) Точки В и D лежат по разные стороны от прямой АС. Известно, что АВ
·
· DC, AD
·
· ВС. Докажите, что угол ABC равен углу ADC, АВ = DC, AD = ВС.

_________________________________________________________________
Билет 6.
Свойство медианы равнобедренного треугольника.(п.26, теорема 3.5).
Признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине.
а) Постройте прямоугольный треугольник с углом, равным 30°, по данной гипотенузе.
б) Дан треугольник ABC. На продолжении сторон АВ и ВС за вершину В отмечены точки D и Е соответственно; угол DBE = 60°, 3·< A =< C. Найдите угол, смежный с углом А.
в) На окружности последовательно отмечены точки А, В, С, D; АВ = CD. Докажите, что АС = BD.
__________________________________________________________________
Билет 7.
Теорема о двух прямых, параллельных третьей (п.29, теорема 4.1)
Высота, биссектриса и медиана треугольника. (п.25).
а) Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 162°. Найдите остальные углы.
б) Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по данной гипотенузе.
в) В равнобедренном треугольнике ABC BD высота, проведенная к основанию. Точки М и Н принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно. Луч DB биссектриса угла MDH. Докажите, что AM = НС.




Билет 8.
Второй признак равенства треугольников. (п.22, теорема 3.2).
Построение биссектрисы угла (п.45).
а) В треугольнике ABC АВ = ВС. Точки М и Н середины сторон АВ и ВС. MD и НЕ перпендикулярны к прямой АС. Докажите, что
· AMD =
· ВНЕ.
б) Угол АОВ равен 43°. Внутри этого угла проведен луч ОС. Найдите угол между биссектрисами углов АОС и ВОС.
в) Один из внутренних углов треугольника в 3 раза больше другого, а внешний угол, смежный с третьим внутренним углом, равен 100°. Найдите все внутренние углы треугольника.
__________________________________________________________________
Билет 9.
Третий признак равенства треугольников. (п.27, теорема 3.6).
Деление отрезка пополам. (п.46).
а) Угол МРК является частью угла МРН, равного 105°. Найдите угол МРК, если известно, что он в четыре раза меньше угла КРН.
б) Даны равносторонние треугольники ABC и А1В1С1. O и O1 соответственно точки пересечения медиан этих треугольников, OA =О1А1. Докажите, что
· ABC =
· A1B1C1.
в) Треугольник ABC равнобедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке D, угол ADB = 100°. Найдите угол С.
____________________________________________________________________
Билет 10.
Окружность. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника. (п. 38,39; теорема 5.1)
Отрезок. Измерение отрезков (п.3,4, 8; свойства II,III,VI)
а) В треугольнике ABC угол BAC равен углу ВСА, биссектрисы АА1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный.
б) В треугольнике ABC угол B = 100°, угол A = 40°. Точка D принадлежит стороне АС, причем угол BDC тупой. Докажите, что АВ > BD.
в) В треугольнике проведена медиана длиной 8 см. Медиана делит данный треугольник на два треугольника с периметрами 25 см и 27 см. Найдите периметр данного треугольника.
____________________________________________________________
Билет 11.
Сумма углов треугольника. (п.33; теоремы 4.4).
Признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и основанию.
а) Постройте равнобедренный треугольник по основанию и сумме боковых сторон.
б) Внешний угол треугольника равен 140°, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 3:4. Найдите все внутренние углы треугольника.
в) В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) биссектрисы CD и BE пересекаются в точке О. Угол BOC = 95°. Найдите острые углы треугольника ABC.
______________________________________________________________

Билет 12.
Окружность. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник. (п. 38,41, теорема 5.2)
Треугольник и его элементы. Существование треугольника равного данному. (п.9,10)
а) Отрезки АВ и CD диаметры некоторой окружности. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
б) Найдите углы треугольника ABC, если угол А на 60° меньше угла В и в 2 раза меньше угла С.
в) Сумма двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 5 раз больше суммы двух других. Найти все образовавшиеся углы.
______________________________________________________________
Билет 13.
Признак параллельности прямых. (п.31, теорема 4.2)
Построение треугольника с данными сторонам. (п.43).
а) На высоте АН равнобедренного треугольника ABC с прямым углом А взята точка О. Докажите, что треугольники АОВ и АОС равны.
б) Треугольник ABC равнобедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке D, угол C = 100°. Найдите угол ADB.
Найдите углы треугольника АБС. Найдите внешние углы треугольника ABC.
в) Боковая сторона равнобедренного треугольника в 2 раза больше основания и на 12 см меньше периметра треугольника. Найдите стороны треугольника.
________________________________________________________________
Билет 14.
Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей. (п.32, теорема 4.3 и следствие).
Построение угла, равного данному. (п.44).
а) Отрезки АВ, ВС, CD последовательно отложены на одной прямой, АС = BD= 18 см, ВС = 7 см. Найдите AD.
б) В равнобедренном треугольнике с периметром 48 см основание относится к боковой стороне как 2:3. Найдите стороны треугольника.
в) Один из смежных углов в 5 раз больше другого. Найти углы, которые образует биссектриса большего угла со сторонами меньшего.
_______________________________________________________________
Билет 15
Признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказать признак по гипотенузе и катету. (п.35,задача 29 к §3).
Доказать, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. (п.11, задача 41).
а) Найдите периметр треугольника, если два его угла равны, а две стороны имеют длины 20 см и 10 см.
б) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС на высоте BD отмечена точка К. Докажите, что треугольник АКС равнобедренный.
в) В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) биссектрисы CD и BE пересекаются в точке О. Угол BOC = 95°. Найдите острые углы треугольника ABC.

Билет 16
Существование и единственность перпендикуляра к прямой (п.36, теорема 4.6).
Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу при основании.
а) Постройте равнобедренный треугольник по основанию и сумме боковых сторон.
б) Периметр равнобедренного треугольника равен 70 см. Найти стороны этого треугольника, если его боковая сторона относится к основанию как 5:4.
в) В равнобедренном треугольнике ABC точка D середина основания АС. На лучах АВ и СВ вне треугольника ABC отмечены точки М и N соответственно так, что ВМ = BN. Докажите, что
·BDM =
·BDN.
____________________________________________________________________
Билет 17
Признак равнобедренного треугольника. (п.24, теорема 3.4)
Окружность. Доказать, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен хорде.(п.38, задача 3)
а) В равнобедренном треугольнике с периметром 40 см основание в 2 раза меньше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.
б) Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых , равна 420. Найти все образовавшиеся углы.
в) В равнобедренном треугольнике ABC точка D середина основания АС. На лучах АВ и СВ вне треугольника ABC отмечены точки М и N соответственно так, что ВМ = BN. Докажите, что
·BDM =
·BDN.
______________________________________________________________________
Билет 18
Свойство катета прямоугольного треугольника, противолежащего углу в 30 градусов.(п.35, задача 43)
Признаки параллельности прямых (доказать один по выбору учащегося).
а) В равнобедренном треугольнике ABC точки К и М являются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD медиана треугольника. Докажите, что
·BKD =
·BMD.
б) Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых , равна 420. Найти все образовавшиеся углы.
в) Треугольник ABC равнобедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке D, угол ADB = 100°. Найдите угол С.
_________________________________________________________________










Билет 19
Доказать, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны. (п.36, задача 50).
Признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказать признак по гипотенузе и катету. (п.35,задача 29 к §3).
а) В равнобедренном треугольнике с периметром 35 см боковая сторона в 2 раза больше основания. Найдите стороны треугольника.
б) Дан треугольник ABC. На продолжении сторон АВ и ВС за вершину В отмечены точки D и Е соответственно; угол DBE = 60°, 3 · в) Один из смежных углов в 4 раз меньше другого. Найти углы, которые образует биссектриса меньшего угла со сторонами большего.
___________________________________________________________________
Билет 20
Геометрическое место точек. (п. 48, теорема 5.3).
Доказать, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой. ( п.26, задача 28).
а) В равнобедренном треугольнике ABC точки К и М являются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD медиана треугольника. Докажите, что
·AKD =
·CMD.
б) a Дано: a
·
·b; c – секущая; 1: 2 =7:2.
b Найти все образовавшиеся углы.
c
в) Один из смежных углов в 4 раз меньше другого. Найти углы, которые образует биссектриса меньшего угла со сторонами большего.

2

1



15