Курс лекций по теме Функции, теория пределов и непрерывность функции

«Функции и элементы теории пределов»


Конспект лекций по разделу курса высшей математики «Функции и элементы теории пределов» для студентов специальности «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)», «Документационное обеспечение управления и архивоведение», «Подземная разработка месторождений полезных ископаемых»
Методическое пособие содержит теоретический материал для самостоятельного изучения отдельных тем раздела, подробно разобраны примеры и рекомендации для выполнения практических индивидуальных заданий, может использоваться преподавателем для проведения лекционных занятий.

1. Функция, её свойства и график

Определение функции.

Рассмотрим два множества значений действительных величин x и y. Предположим, что между ними существует какая-то зависимость. Из 2-х переменных одну (любую) принимают за независимую (аргумент), который обычно обозначают буквой х. Тогда другая переменная у будет зависеть от х. Символически характер зависимости между у и х обозначается одной из букв f,
·,
·, F, Ф и др. и записывается в виде y = f (x) или F (x, y) = 0.
Под символом f,
·,
·, ... понимается последовательность определенных математических операций с переменной х, которые приводят к значениям у.
Определение. Закон (правило), по которому значению каждой переменной величине х из области ее определения соответствует определенное значение у, называется функцией.
Записывается это определение символически как y = f (x) или F (x, y) = 0.
Определение. Областью определения функции называется множество значений независимой переменной, для которых функция определена (имеет действительное значение).
Область определения функции обозначают D (f).
При нахождении области определения функции, заданной формулой y = f (x), нужно исходить из следующих соображений:
1. Если формула содержит радикалы четной степени, то функция будет определена только для тех значений x, при которых подкоренное выражение является неотрицательным;
2. Если формула имеет дробное выражение, то функция будет определена только для тех значений x, при которых знаменатели отличны от нуля.
3. Если формула содержит логарифмическую, показательную, тригонометрические или обратные тригонометрические функции, то область определения функции будет определяться областью определения указанных функций.
Примеры.
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
Заданная функция у состоит из двух функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Первая функция 13 EMBED Equation.3 1415 определена всюду (–
· , +
·).
Вторая функция 13 EMBED Equation.3 1415 определена при условии 10 - х
· 0 или х
· 10, т.е. на интервале (–
·, 10). D (f) = (–
·, 10).
2. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
D (f) = (–
·, – 2) U (– 2, +
·).
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Решим двойное неравенство. Рассматривая левую часть неравенства, получим:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 или13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассматривая правую часть неравенства, получим:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
D (f) = [-1;2].
Определение. Множество, состоящее из всех чисел y = f(x), где х принадлежит области определения функции f, называют областью значений функции f и обозначают E(f).

1.2. Способы задания функции.

Функция считается заданной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа возможных) можно указать соответствующее значение функции. Наиболее употребительные три способа задания функции:
а) табличный;
б) графический;
в) аналитический.

а) Табличный способ общеизвестен (таблицы логарифмов, тригонометрических функций и т.д.). В табличном способе для заданных дискретных значений аргумента задаются числовые значения функции. В этом преимущество табличного способа задания функции перед другими;
б) графический способ состоит в изображении графика функции - множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента, а ординаты – соответствующие им значения функции y = f(x);
в) аналитический способ, если функция задана формулой вида y = f(x). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция 13 EMBED Equation.3 1415, рассмотренная выше, задана аналитически.
Функция может быть задана в виде аналитического выражения, состоящего из 2-х или более формул, для каждой из которых задается ее область определения. Так, например, дана функция: 13 EMBED Equation.3 1415 имеет два аналитических выражения: х2 (при х < 0) и х + 3 (при х
· 0). Функция, заданная аналитическим способом, может быть представлена в явной и неявной форме.
Явная форма – функция задается в виде формулы, указывающей операции (и последовательность их выполнения), которые необходимо совершить над независимой переменной, в результате которых получается значение зависимой переменной. При явном способе задания функции зависимость функции от аргумента имеет вид y = f(x), например 13 EMBED Equation.3 1415.
Под неявным заданием функции понимается задание в виде уравнения F(x, y) = 0. В этом случае зависимая переменная не разрешена относительно аргумента. Например, 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналитически функция может быть задана в параметрической форме.
При параметрическом задании функции соответствующие друг другу значения переменных х и у выражаются через третью величину, называемую параметром:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Например, функция х = sin t, y = cos t задана в параметрической форме.
Для того, чтобы выразить зависимость у от х в явной или неявной форме, нужно исключить параметр t. Исключим параметр t в этом примере, для чего возведем в квадрат левую и правую части уравнений и сложим их:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
х2 + у2 = 1. Полученное уравнение описывает окружность с центром в начале координат, радиусом R = l.

1.3. Основные свойства функций.

1.3.1. Четность и нечетность.
Функция y = f(x) называется четной, если:
а) область определения функции симметрична относительно точки О числовой оси (т.е. если точка хо принадлежит области определения функции, то и точка – хо также принадлежит области определения функции);
б) для любого значения независимой переменной, принадлежащей области определения функции, выполняется равенство:
f(x) = f(-x).
Функция y = f(x) называется нечетной, если:
а) область определения функции симметрична относительно точки О числовой оси (т.е., если точка Хо принадлежит области определения функции, то и точка – Хо также принадлежит области определения функции;
б) для любого значения независимой переменной, принадлежащего области определения функции, выполняется равенство:
f(–x) =– f(x).
График четной функции симметричен относительно ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Если не выполняется ни одно из приведенных равенств, то функция не является не четной, ни нечетной, т.е. является функцией общего вида.
Примеры.
1. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Нетрудно проверить, что функция удовлетворяет условию четности. Действительно, область определения функции симметрична относительно точки О и 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415; область определения функции D(f) = ( –
·, 0) U (0, +
·) симметрична относительно начала координат и 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция нечетная.
3. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 не является четной и не является нечетной, т.к. ее область определения не симметрична относительно точки О (в точке х=1 функция определена, а в точке х = –1 не определена).
4. Область определения функции 13 EMBED Equation.3 1415
D(f) = (–
·, 0) U (0, +
·) симметрична относительно начала координат, но 13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, f(-x)
· f(x) и f(-x)
· – f(x).
Функция не является ни четной, ни нечетной.

1.3.2. Периодичность.
Функция f(x) называется периодической, если она удовлетворяет условию:
f(x) = f(x ± kT),
где Т – период функции – наименьшее положительное число от прибавления (вычитания) которого к аргументу значение функции не меняется, k – целое число, отличное от нуля.
Все тригонометрические функции периодические.

1.3.3. Монотонность.
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (а, в).
Функция называется возрастающей (убывающей) в промежутке (а, в), если большему значению аргумента х2 > х1 соответствует большее f(x2) > f(x1) (меньшее f(x2) < f(x1)) значение функции.
Если из неравенства х2 > х1 следует неравенство f(x2)
· f(x1), функция называется неубывающей.
Если из неравенства х2 > х1 следует неравенство f(x2)
· f(x1), функция называется невозрастающей.
Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции называются монотонными.

1.3.4. Ограниченные функции.
Функция y = f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство f(x) < М, и ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство f(x) > m. Функция, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной.

1.4. Понятие обратной функции.
Пусть имеются связанные между собой какой-то функциональной зависимостью две переменные х и у.
В этой зависимости с равным правом за аргумент можно принять как х, так и y.
В первом случае переменная у будет являться функцией х, y = f(x), во втором случае переменная х будет являться функцией у, х =
·(у).
Несмотря на то, что переменные поменялись местами, и уравнение y = f(x) и уравнение х =
·(у) выражают одну и ту же кривую, но в первом уравнении за ось аргумента принять ось ОХ, во втором уравнении – ось OY.
Если функцию y = f(x) назвать прямой, то х =
· (у) будет ей обратной и наоборот, если функцию х =
·(у) считать прямой, то y = f(x) будет ей обратной.
Таким образом, функции y = f(x) и х =
·(у) являются взаимообратными.
Например, уравнение у = 2х + 3 и уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 в системе осей OXY описывают одну и ту же прямую (рис.1.1).















Рис. 1.1

Но обычно в математике за независимую переменную принято брать х, а за зависимую – у. Тогда обратная функция запишется как у =
·(х).
Именно в таком виде эту функцию следует понимать как обратную к функции 13 EMBED Equation.3 1415.
В рассматриваемом примере 13 EMBED Equation.3 1415 график обратной функции у =
·(х) будет получаться путем зеркального отображения графика прямой функции 13 EMBED Equation.3 1415 относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов (рис. 1.1).
Следует отметить, что из однозначности прямой функции не следует однозначности обратной.
Например, функция у = х2 однозначная.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 – двузначная.
Условием того, чтобы между прямой и обратной функциями существовало взаимнооднозначное соответствие, необходимо, чтобы прямая функция была монотонной.
Функция у = х2 на интервале (–
·, 0) убывает. Ей соответствует обратная функция 13 EMBED Equation.3 1415. На интервале (0, +
·) функция у = х2 возрастает, ей соответствует обратная функция 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 1.2).











Рис. 1.2.

1.5. Основные элементарные функции.

В таблице 1 приводятся наиболее важные свойства и графики основных элементарных функций.
Таблица 1
№ п/п
Обозна-чение функции
Область опреде-ления Х
Область значений Y
Четность, нечетность
Монотонность
Перио-дичность
Графики функций

1
2
3
4
5
6
7
8

1. Степенная функция

1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(-
·;+
·)
(-
·;+
·), если n – нечетно;
(0;+
·), если n – четно
нечетная, если n – нечетно;
четная, если n – четно
возрастает на (-
·;+
·) если n – нечетно; убывает на (-
·;0), возрастает на
(0;+
·), если n – четно
Не-периоди-ческая


2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(-
·;0) U U (0;+
·)
(-
·;0) U U (0;+
·), если n – нечетно;
(0;+
·), если n – четно
нечетная, если n – нечетно;
четная, если n – четно
убывает на (-
·;+
·) если n – нечетно; возрастает на
(-
·;0) и убывает на (0;+
·), если n – четно
Не-периоди-ческая


3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
n > 1
(-
·;+
·), если n – нечетно;
(0;+
·), если n – четно
(-
·;+
·), если n – нечетно;
(0;+
·), если n – четно
нечетная, если n – нечетно;
общего вида, если n – четно
возрастает на (-
·;+
·) если n – нечетно; возрастает на
(0;+
·), если n – четно
Не-периоди-ческая


2. Показательная функция

4
13 EMBED Equation.3 1415 (а > 0, а
· 1)
(-
·;+
·)
(0;+
·)
общего вида
возрастает на (-
·;+
·) если а > 1; убывает на (0;+
·), если 0 < а < 1

Не-периоди-ческая


3. Логарифмическая функция

5
13 EMBED Equation.3 1415 (а > 0, а
· 1)
(0;+
·)
(-
·;+
·)
общего вида
возрастает на (0;+
·) если а > 1; убывает на (0;+
·), если 0 < а < 1

Не-периоди-ческая


4. Тригонометрические функции

6
13 EMBED Equation.3 1415
(-
·;+
·)
(-1, 1)
нечетная
возрастает на (-
·/2+2
·n,
·/2+2
·n); убывает на (
·/2+2
·n, 3
·/2+2
·n),
13 EMBED Equation.3 1415
период Т = 2
·




1
2
3
4
5
6
7
8

7
13 EMBED Equation.3 1415
(-
·;+
·)
(-1, 1)
четная
возрастает на (-
·+2
·n, 2
·n); убывает на (2
·n,
·+2
·n),
13 EMBED Equation.3 1415

период Т = 2
·


8
13 EMBED Equation.3 1415
(-
·/2+ +
·n,

·/2+
·n);
13 EMBED Equation.3 1415
(-
·;+
·)
нечетная
возрастает на (-
·/2+
·n,

·/2+
·n);
13 EMBED Equation.3 1415


период Т =
·


9
13 EMBED Equation.3 1415
(
·n,

·+
·n);
13 EMBED Equation.3 1415
(-
·;+
·)
нечетная
убывает на (
·n,
·+
·n),
13 EMBED Equation.3 1415



период Т =
·





























2. Предел функции.

2.1. Предел функции f(x) при х, стремящемся к хо(х хо).

Пусть переменная х неограниченно приближается к хо. Это означает, что х принимает значения сколь угодно близкие к хо, но не равные ему. Возможны следующие случаи приближения аргумента х к точке хо.
1. х приближается к хо, оставаясь больше хо, т.е. со стороны больших значений х, что условно записывается так: х хо +0. Графически этот случай иллюстрируется рис. 2.1.





Рис.2.1

2. х приближается к хо со стороны меньших значений, т.е. оставаясь меньше хо, что условно записывается: х хо – 0 и графически представляется рис.2.2.





Рис.2.2

3. х приближается к хо колеблясь относительно точки хо, принимая то большие, то меньшие значения (рис. 2.3).



рис.2.3

Если окажется, что значение функции f(x) приближается к некоторому числу А, то говорят, что число А есть предел функции f(x) при х хо.
Определение. Число А называется пределом функции f(x), если для всех значений х как угодно мало отличающихся от хо, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).
Записывается это так: 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию предела функции в точке (рис. 2.4).












рис.2.4

Для произвольного
· > 0, как бы мало оно ни было, найдется
· > 0 такое, что для любых х
· хо, удовлетворяющих условию хо –
· < х < хо +
·, имеет место неравенство А –
· < f(x) < А +
·.
Замечание. Подчеркнем, что формулировка предела не требует, чтобы функция была определена в самой предельной точке. Достаточно того, чтобы она была определена в окрестности точки хо.
Пример 1. Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 1415. Функция определена во всех точках, кроме х = Ѕ. Возьмем х = 6. 13 EMBED Equation.3 1415. По мере приближения х к 6 (справа или слева) числитель 4х2 – 1 стремится к 143, а знаменатель к 11. Вся дробь стремится к 13 EMBED Equation.3 1415.
Число 13 (равное значению функции при х = 6) есть вместе с тем предел функции при х 6:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Рассмотрим ту же функцию 13 EMBED Equation.3 1415, но возьмем х = Ѕ. Функция в этой точке не определена. Но предел функции при х Ѕ существует, он равен 2. Действительно, выражение 13 EMBED Equation.3 1415 не определено только при х = Ѕ, но при приближении х Ѕ оно определено и равно 2х + 1. Это нетрудно доказать:
13 EMBED Equation.3 1415
Последнее выражение стремится к числу 2. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
График функции 13 EMBED Equation.3 1415 есть прямая uv (рис.2.5), лишенная точки А(Ѕ, 2). График функции у = 2х + 1 есть та же прямая uv, взятая целиком.













Рис. 2.5





2.2. Предел функции слева и справа.

Если значение функции приближается к числу А1, когда х стремится к хо со стороны меньших значений, то число A1 называется пределом функции f(x) слева или левосторонним пределом, что записывается так:
13 EMBED Equation.3 1415
Если f(x) приближается к А2 по мере стремления х хо со стороны больших значений, то А2 называется правосторонним пределом, что записывается так:
13 EMBED Equation.3 1415
Иллюстрация левостороннего и правостороннего пределов показана на рис.2.6.














рис.2.6.

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами. Если функция f(x) определена на промежутке (а, b), за исключением, быть может, точки 13 EMBED Equation.3 1415, то для существования предела
13 EMBED Equation.3 1415
необходимо и достаточно, чтобы правый и левый пределы функции f(x) в точке xо существовали и были равны
13 EMBED Equation.3 1415
В общем случае левый и правый пределы функции в точке xо могут существовать, но не быть равными.

2.3. Предел функции при x
·.

Пусть x неограниченно возрастает. Неограниченность возрастания x означает, что x принимает значения, большие любого заданного положительного числа N, как бы велико оно ни было. Условно это записывается так: x +
·.
Если аргумент становится меньше любого заданного отрицательного числа, то x -
·.
Аргумент функции, изменяющийся подобным образом, называется бесконечно большим аргументом.
Может оказаться, что при бесконечно большом аргументе функция неограниченно приближается к некоторому числу А.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x +
·., если для 13 EMBED Equation.3 1415, как бы велико оно ни было, значение функции как угодно мало отличается от числа А.
Графическая иллюстрация 13 EMBED Equation.3 1415 представлена на рис. 2.7.










рис.2.7

Аналогично вводится понятие 13 EMBED Equation.3 1415.
Если аргумент стремится к бесконечности произвольным образом, то пишут 13 EMBED Equation.3 1415.

2.4. Правила предельного перехода.

Правила применяются для функций, имеющих конечные пределы при x xо или x
·.
1. Если функция имеет предел, то он единственный.
2. Предел постоянной равен ей самой.
3. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций.
4. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.
5. Предел частного двух функций равен частному пределов функций, если предел знаменателя не равен нулю.
Замечание 1. Если предел делителя равен нулю, а предел делимого не равен нулю, то частное имеет бесконечный предел.
Замечание 2. В случае, когда пределы делимого и делителя равны нулю, выражение 13 EMBED Equation.3 1415 неопределенно.
В этом случае нахождение предела требует специального рассмотрения.
6. Если значения функции f(x) заключены между значениями функций F(x) и Ф(х), стремящихся к одному и тому же пределу А, то f(x) имеет предел, так же равный А.

2.5. Некоторые важные пределы.

2.5.1. Предел 13 EMBED Equation.3 1415 при x 0. (1-й замечательный предел).
Если x есть радианная мера угла, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Выделим в окружности радиуса r центральный угол x (рис.2.8),













Pис.2.8
отвечающий условию 13 EMBED Equation.3 1415.
Из построения следует, что площадь
· ОАС < площади сектора ОАС < площади
· ОВС.
Т.к. площадь
· ОАС = 13 EMBED Equation.3 1415,
площадь сектора ОАС = 13 EMBED Equation.3 1415,
площадь
· ОВС = 13 EMBED Equation.3 1415,
то 13 EMBED Equation.3 1415.
Разделим неравенство на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, то т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415.

2.5.2. Число е. (2-й замечательный предел).
Рассмотрим график экспоненциальной функции (рис.2.9)

















Из построения следует, что 13 EMBED Equation.3 1415. При стремлении х к нулю хорда АВ будет поворачиваться вокруг точки А и в пределе займет положение касательной в точке А к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Применяя свойство логарифмической функции, это выражение можно записать
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Окончательно получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Полагая в этом выражении 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415.

2.6. Бесконечно малые величины.

Определение. Функция f(x), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной
13 EMBED Equation.3 1415
Например, y = x2 при х 0 является бесконечно малой величиной, y = 4 – 2x при х 2
Замечание. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бесконечно малой величиной. Единственное число, которое рассматривается как бесконечно малое, есть ноль.

2.7. Свойства бесконечно малых величин.

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.
3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

2.8. Связь бесконечно малых величин с пределами функций.

Теорема. Если функция f(x) имеет при х хо (или х
·) предел, равный А, то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой
·(х) при х хо (или х
·).
f(x) = А +
· (x).

2.9. Сравнение бесконечно малых величин.

Бесконечно малые величины сравнивают между собой по пределу их отношения.
Пусть
·1(х) и
·2(х) – две бесконечно малые величины. При определении предела отношения двух бесконечно малых величин возможны три случая.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
В этом случае бесконечно малая
·1(x) является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем
·2(х), т.е.
·1(x) стремится к нулю быстрее, чем
·2(х), при этом
·2(х) называется величиной низшего порядка малости относительно
·1(x).
2. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то
·1(x) и
·2(х) называются бесконечно малыми одного и того же порядка малости.
3. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то бесконечно малые
·1(x) и
·2(х) называются эквивалентными.
Примеры.
1. При 13 EMBED Equation.3 1415 величина х5 имеет высший порядок малости относительно х3, ибо 13 EMBED Equation.3 1415. Наоборот, x3 имеет низший порядок относительно x5 .
2. При 13 EMBED Equation.3 1415 величины sin x и 2х имеют один и тот же порядок малости, т.к.
13 EMBED Equation.3 1415
3. Величины х и sin x, бесконечно малые при 13 EMBED Equation.3 1415, эквивалентны, ибо 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание 1. Эквивалентность бесконечно малых величин обозначается тем же знаком
·, что и приближенное равенство. Таким образом, sin x
· x, sin 2x
· 2x, sin x2
· x2.
Замечание 2. Эквивалентность бесконечно малых применяется при вычислении пределов. Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.
Примеры.
1. Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Заменяя sin 2x эквивалентной величиной 2х, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415

2.10. Бесконечно большие величины.

Определение. Бесконечно большой величиной называется функция, абсолютное значение которой неограниченно возрастает.
Запись того, что функция f(x) бесконечно большая при x xо (или при x
·) следующая:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 при x 0 – бесконечно большая величина, т.к.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2.10).


















Рис. 2.10

Функция, являющаяся бесконечно большой величиной, предела не имеет. Выражение для бесконечных пределов следует понимать условно, т.к. бесконечность не есть число, поэтому говорить о каких-либо действиях над
· не имеет никакого смысла.
Замечание. Нельзя смешивать очень большое постоянное число с бесконечно большое величиной.

2.11. Свойства бесконечно больших величин.

1. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.
2. Сумма двух бесконечно больших величин одного знака есть величина бесконечно большая.
Замечание. Сумма двух бесконечно больших величин противоположного знака неопределенна.
3. Произведение бесконечно большой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно большая.
4. Произведение двух бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.

2.12. Сравнение бесконечно больших величин.

Сравнение бесконечно больших величин между собой производится аналогично сравнению бесконечно малых – по пределу их отношения.
Пусть
·1(х) и
·2(x) – две бесконечно большие величины.
1. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то
·2(х) есть бесконечно большая величина большего порядка, чем
·1(х).
2. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то обе бесконечно большие величины одного порядка.
3. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то бесконечно большие величины являются эквивалентными, что обозначается
·1(х)
·
·2(x).




2.13. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Если функция
·(х) – бесконечно большая величина, то 13 EMBED Equation.3 1415 – бесконечно малая; если
·(х) бесконечно малая величина, то 13 EMBED Equation.3 1415 – величина бесконечно большая.
Пример.
1. Величина 13 EMBED Equation.3 1415 – бесконечно большая при x 2. Обратная дробь 13 EMBED Equation.3 1415 при х 2 бесконечно мала.
2. Величина tg x бесконечно мала при х 0, величина 13 EMBED Equation.3 1415 бесконечно велика при х 0.

2.14. Вычисление пределов.

Вычисление пределов производится на основании правил предельного перехода (п.2.4.).
Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.
а) Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, ибо предел элементарной функции f(x) при x xо, которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при х = хо, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Примеры.
Найти пределы функций.
1. f(x) = х3 – 5х2 + 2х + 4 при х – 3.
Данная функция является элементарной, она определена в предельной точке, поэтому находим предел функции как ее частное значение в предельной точке.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 при х 6
13 EMBED Equation.3 1415
б) если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции или, если при подстановке предельного значения аргумента в функцию получаются неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.
Рассмотрим примеры раскрытия указанных неопределенностей.
І. Случай, когда при х хо или х
· функция f(x) представляет отношение двух бесконечно малых величина (неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415).
Примеры.
Найти следующие пределы.
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
Вначале убеждаемся, что предел функции нельзя найти непосредственной подстановкой, что при указанном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай 13 EMBED Equation.3 1415), затем делаем преобразования, чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к нулю. В данном случае разлагаем знаменатель на множители и сокращаем дробь на х – 2.
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь нет сокращения на нуль, что никогда недопустимо. Согласно определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению 2, никогда с ним не совпадая. Поэтому здесь х – 2
· 0.
Вообще, если ищется предел функции при х хо, то необходимо помнить, что х не принимает значение хо, т.е. что х
· хо и х – хо
· 0.
2. 13 EMBED Equation.3 1415
Разлагаем числитель и знаменатель дроби на множители, как квадратные трехчлены, по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415,
где х1 и х2 – корни трехчлена. Затем сокращаем дробь на х – 5:
13 EMBED Equation.3 1415.
Вообще, если ищется предел дроби, числитель и знаменатель которой многочлены, обращающиеся в нуль в предельной точке х = хо, то такую дробь всегда можно сократить на х – хо.
3. 13 EMBED Equation.3 1415
При указанном изменении аргумента данная функция не определена (случай 13 EMBED Equation.3 1415). Уничтожаем иррациональность в числителе путем умножения числителя и знаменателя на 13 EMBED Equation.3 1415, затем сокращаем дробь на х:
13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415
Умножаем числитель и знаменатель на произведение 13 EMBED Equation.3 1415 и затем сокращаем дробь на 4 – х.
13 EMBED Equation.3 1415
Вообще, если требуется найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения, в случае, когда пределы числителя и знаменателя равны нулю, нужно иррациональность перенести из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, сделать необходимые преобразования и перейти к пределу.
5. 13 EMBED Equation.3 1415
Данная функция в предельной точке не определена (случай 13 EMBED Equation.3 1415). Преобразуем функцию так, чтобы использовать 1-й замечательный предел (2.5.1).
13 EMBED Equation.3 1415.
6. 13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь, чтобы использовать 1-й замечательный предел, сделаем замену переменной: 1 – х = t. Тогда при х 1 будет t 0 и
13 EMBED Equation.3 1415.
II. Случай, когда при х хo или х
· функция f(x) представляет отношение двух бесконечно больших величин (случай 13 EMBED Equation.3 1415).
Примеры.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя в функцию предельное значение аргумента, убеждаемся, что имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Делим числитель и знаменатель дроби на переменную в наибольшей степени (здесь х2).
13 EMBED Equation.3 1415.
При х
· величины 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 являются бесконечно малыми.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
ІІІ. Случай, когда при х хо или х
· функция f(x) представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую (случай 0
·
·). Этот случай нахождения предела функции приводится путем преобразования функции к одному из двух рассмотренных случаев, т.е. к случаю 13 EMBED Equation.3 1415 или к случаю 13 EMBED Equation.3 1415.

Примеры.
Найти пределы.
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
При указанном изменении аргумента имеем неопределенность вида 0
·
·.
Преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю или к бесконечности.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415
Положим arcctg x =
·, тогда x = ctg
·.
13 EMBED Equation.3 1415.
IV. Случай, когда х хo или х
· функция f(x) представляет разность двух положительных бесконечно больших величин (случай
· –
·).
Этот случай нахождения предела функции можно привести к случаю 13 EMBED Equation.3 1415 или к случаю 13 EMBED Equation.3 1415 путем преобразования функции к виду дроби.
Примеры.
Найти пределы.
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
При указанном поведении аргумента функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин (случай
· –
·).
Приведем функцию к общему знаменателю и полученную в результате дробь сократим на х – 2.
13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассматривая данную функцию как дробную со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель дроби на х:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
V. Случай, когда при х хo или х
· функция f(x) представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности (случай I
·).
В этом случае для нахождения предела функции используется 2-й замечательный предел:
13 EMBED Equation.3 1415.

Примеры.
Найти пределы:
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
При указанном изменении аргумента функция представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности. Далее преобразуем функцию так, чтобы использовать 2-й замечательный предел.
13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
Положим 13 EMBED Equation.3 1415
При x
· t 0
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

2.15. Непрерывность функции в точке.

Определение. Функция f(x) является непрерывной в точке x = xо, если она отвечает трем условиям:
1. Она определена в этой точке.
2. Она имеет конечный предел в этой точке.
3. Предел функции равен значению функции в этой точке:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример.
Исследовать непрерывность в точке x = 0 заданных функций:
a) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
а) В точке х = 0 функция 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2.10) не является непрерывной, т.к. нарушено первое условие непрерывности – существование f(x).
б) В точке х = 0 нарушено второе условие – отсутствует конечный предел (здесь существуют односторонние пределы – предел слева 13 EMBED Equation.3 1415, предел справа 13 EMBED Equation.3 1415, но они не равны).
Функция не является непрерывной (рис. 2.11).



















в) В этой функции (рис.2.12) два условия непрерывности выполнены - существует 13 EMBED Equation.3 1415 и конечный предел 13 EMBED Equation.3 1415, но нарушено третье условие 13 EMBED Equation.3 1415.
г) В точке х = 0 функция у = х2 непрерывна, т.к. выполнены все три условия непрерывности.
Замечание. Если функция непрерывна в точке х = хо, то бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Аргументу х = хо соответствует значение функции f(хо). Дадим аргументу хо приращение
·х, тогда новое значение функции будет f(xo+
·x).
Приращение функции
·y, вызванное приращением аргумента
·х, будет равно
·у = f(xo+
·х) – f(xo).
13 EMBED Equation.3 1415
Определение. Функция, непрерывная в каждой точке заданного интервала, является непрерывной в этом интервале.

2.16. Свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале.

Определение. Функция называется непрерывной на замкнутом интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а,b], то она обладает следующими свойствами.
1. На этом интервале она по крайней мере имеет одно наибольшее и одно наименьшее значения (рис.2.13).












рис.2.13

2. На этом интервале, по крайней мере, один раз она равна нулю, если на концах интервала она имеет значения противоположных знаков.
Геометрически, если одна из точек f(a) = a лежит ниже оси ОХ, а другая f(b) = b выше оси ОХ, то график ab по крайней мере один раз пересекает ось OX (f(c) = 0) (рис. 2.14).











Pис.2.14

3. Она ограничена на этом интервале (рис.2.15).










Pис.2.15








13PAGE 15


13PAGE 14215



































































































































































































































O

Y

X

3

3

-1,5

-1,5

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

О

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

X

Y

O

1

-1

1

Рис. 1.3

13 EMBED Equation.3 1415

Y

X

1

1

-1

O

Рис. 1.4

13 EMBED Equation.3 1415

X

Y

O

1

-1

1

Рис. 1.5

13 EMBED Equation.3 1415

Y

X

1

1

-1

O

Рис. 1.6

1

1

O

-1

13 EMBED Equation.3 1415

X

Y

Рис. 1.7

1

1

O

-1

13 EMBED Equation.3 1415

X

Y

Рис. 1.8

13 EMBED Equation.3 1415

Y

X

1

0 < а < 1

O

Рис. 1.9

а > 1

Рис. 1.10

13 EMBED Equation.3 1415

Y

X

0 < а < 1

O

а > 1

1

13 EMBED Equation.3 1415

Y

X

1

O

Рис. 1.11

-2
·

-
·

2
·


·

-1

13 EMBED Equation.3 1415

Y

X

1

O

Рис. 1.12

-2
·

-
·

2
·


·

-1

13 EMBED Equation.3 1415

Y

X

O

Рис. 1.13

-3
·/2

-
·/2

3
·/2


·/2

13 EMBED Equation.3 1415

Y

X

O

Рис. 1.14

-2
·

-
·

2
·


·

х0

х5

х4

х3

х2

х1

х1

х3

х4

х5

х2

х0

х2

х4

х5

х6

х0

х7

х3

Y

A +
·

A

A -
·


Xo -
·

Xo

Xo +
·



·


·

X

13 EMBED Equation.3 1415

X

Y

Ѕ

1

1

2

O

u

v

v

X

Y

A1

A2

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

x

x

x xo - 0

x xo + 0

Y

X

N

A+
·

A–
·

A

A

B

C

O

r

x

О

Y

X

B

45o


·

x

A

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 2.9

13 EMBED Equation.3 1415

Y

X

O

Y

X

1

-1

Рис. 2.11

О

Y

X

1

Рис. 2.12

О

Y

X

a

c

d

b

O

13 EMBED Equation.3 1415

f(с) – наименьшее значение,
f(d) – наибольшее значение

A

Y

O

B

X

a

c

b

y = f(x)

Y

X

a

b

O

13 EMBED Equation.3 1415


Y

X

x1

А












Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native