Памятка Использование метода введения новой переменной

ПАМЯТКА
Приемы решения дробных рациональных уравнений.

1.
Использование алгоритма решения дробных рациональных уравнений.

При решении дробных рациональных уравнений целесообразно поступать по следующему алгоритму:
1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, предварительно разложив знаменатели на множители;
2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3. решить получившееся целое уравнение;
4. исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
13EMBED Equation.31415 НОЗ: 2х(2 – х)
13EMBED Equation.31415
4х + х(2 – х) = 8;
х2 – 6х + 8 = 0;
D = b2 – 4ac = (-6)2 - 4·1·8 = 36 – 32 = 4 > 0, уравнение имеет 2 корня;
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415;
х = 3 ± 1;
х1 = 3 – 1; х2 = 3 + 1;
х1 = 2; х2 = 4.
Проверка.
Если х = 2, то 2х(2 – х) = 2·2(2 – 2) = 0, не является корнем уравнения.
Если х = 4, то 2х(2 – х) = 2·4(2 – 4)
· 0.
Ответ: 4 (с учетом проверки).

2.
Использование условия равенства дроби нулю для уравнений вида 13EMBED Equation.31415.

Решение уравнений основано на следующем утверждении: дробь 13EMBED Equation.31415 равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля (на 0 делить нельзя!).
Решение уравнения вида 13EMBED Equation.31415проводится в два этапа:
1. решить уравнение f(x)=0;
2. выяснить для каждого корня, обращается ли при найденном значении переменной х знаменатель дроби g(x) в нуль;
3. если g(x)=0, то полученный корень уравнения f(x)=0 не является корнем исходного уравнения.
13EMBED Equation.31415;
1. Решим уравнение:
2х2 – 5х + 3 = 1;
D = b2 – 4ac = (-5)2 - 4·2·3 = 25 – 24 = 1 > 0, уравнение имеет 2 корня.
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415;
х1 = 1; х2 = 1,5.
2. Выполним проверку (не обращает ли каждый из найденных корней в нуль знаменатель).
Если х = 1; то 9х – 13,5 = 9·1 – 13,5
· 0;
Если х = 1,5; то 9х–13,5= 9·1,5–13,5=13,5-13.5=0, не является корнем уравнения.
Ответ: 1 (с учетом проверки).

3.
Использование основного свойства пропорции для уравнений вида 13EMBED Equation.31415 .

Решение уравнений основано на следующем утверждении: в пропорции 13EMBED Equation.31415 произведение крайних членов равно произведению ее средних членов. Т.е. ad = bc.
Решение уравнения вида 13EMBED Equation.31415проводится в два этапа:
1. решить уравнение f(x)·q(x)= g(x)·p(x);
2. выяснить для каждого корня, обращаются ли при найденном значении переменной х знаменатели дробей g(x) и q(x) в нуль;
3. если g(x)=0 или q(x)=0, то полученный корень уравнения f(x)·q(x)= g(x)·p(x) не является корнем исходного уравнения.

13EMBED Equation.31415;
1. Решим уравнение:
(х – 2)(х – 4) = (х + 2)(х + 3);
х2 – 4х – 2х + 8 = х2 + 3х + 2х + 6;
- 6х + 8 – 5х – 6 = 0;
- 11х = -2;
х = -11: (-2);
13EMBED Equation.31415.
2. Выполним проверку (не обращает ли найденный корень в нуль знаменатели дробей).
Если 13EMBED Equation.31415; то х + 2 = 13EMBED Equation.31415 + 2
· 0;
Если х =13EMBED Equation.31415; то х - 4 = 13EMBED Equation.31415 - 4
· 0

Ответ: 13EMBED Equation.31415 (с учетом проверки).

4.
Использование метода введения новой переменной.

Дробные рациональные уравнения решаются с помощью введения новой переменной.
13EMBED Equation.31415;
Введем новую переменную, обозначив х2 + 2х – 3 через у. Тогда исходное уравнение сведется к уравнению с переменной у.
Пусть у = х2 + 2х – 3, тогда х2 + 2х – 8 = (х2 + 2х – 3) – 5 = у – 5 и уравнение примет вид
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415;
24у = (15 + 2у)(у – 5);
24у = 15у – 75 + 2у2 - 10у;
24у - 15у + 75 - 2у2 + 10у= 0;
- 2у2 + 19у + 75= 0;
2у2 - 19у - 75= 0;
D = b2 – 4ac = (-19)2 - 4·2·(-75) = 361 + 600 = 961 > 0, уравнение имеет 2 корня;
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415;
у1 = - 3; у2 = 12,5.
Выполним проверку (не обращает ли каждый из найденных корней в нуль знаменатель).
Если у = -3; то у – 5 = -3 – 5
· 0;
Если у = 12,5; то у – 5 = 12,5 – 5
· 0.
Т.к. у = х2 + 2х – 3, то получим уравнения:
х2 + 2х – 3 = -3 и х2 + 2х – 3 = 12,5.
Решая уравнение х2 + 2х – 3 = 12,5; получим:
13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415.
Решая уравнение х2 + 2х – 3 = -3; получим:
х3 = -2; х4 = 0.
Т.о. найдены четыре корня заданного уравнения.
13EMBED Equation.31415







































Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native