Конспект урока Решение систем уравнений методом введения новой переменной

Открытый урок по теме
«Решение систем уравнений второй степени методом замены переменной»

Цели урока:

1) Открыть совместно с учащимися новый метод решения систем уравнений (метод введения новых переменных), закрепить навыки решения систем уравнений другими методами (графическим, подстановкой и сложением).
2) Формировать потребность приобретения новых знаний, создать условия для контроля (самоконтроля) усвоения умений и навыков.
3) Развивать математическую речь при комментировании решения.
4) Воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе, развивать самостоятельность и творчество.


Задачи урока:

Дидактическая задача:
Оптимально использовать методы обучения, соответствующие возрасту и развитию учащихся, для формирования знаний по изучаемой на уроке теме.

Развивающие  задачи:
1.Создать условия для развития познавательной деятельности учащихся.
2.Способствовать формированию умений переносить знания в новую ситуацию.
3.Развивать математический кругозор, мышление и речь, внимание и память.

Воспитательные задачи:
Содействовать воспитанию  интереса к математике, формировать у учащихся умение осмысленно, целенаправленно организовывать на уроке свою деятельность, осознавать значимость каждого шага для себя.
Воспитывать ответственность за грамотно сформулированные и лаконичные ответы.


Тип урока: комбинированный.

Оборудование: мультимедийный проектор, карточки с заданиями, доска.

Этапы урока:

№ этапа
Название этапа
Время, мин

1
Организационный этап
2

2
Актуализация знаний. Проверка домашней работы.
7

3
Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся
5

4
Первичное усвоение новых знаний
10

5
Первичная проверка понимания
5

6
Первичное закрепление
7

7
Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению
2

8
Рефлексия (подведение итогов занятия)
2



Ход урока:


1. Организационный этап.

Учитель приветствует учеников.
Знакомит учеников с оценочным листом.
Ученики выставляют себе оценки за организационный этап.


2. Актуализация знаний.

Проверим домашнее задание.
Решить систему уравнений тремя различными методами (графическим, подстановкой и сложением)
13 EMBED Equation.3 1415
Для каждого метода записать алгоритм его использования в тетрадь.

1 метод -графический
13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Графиком этой функции является парабола, «ветви» направлены вверх, вершина в точке (0;-4)
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Графиком этой функции является прямая.
х
0
1

у
-1
-3



Точки пересечения (1;-3);(-3;5).
Ответ: (1;-3);(-3;5).

Алгоритм использования графического метода:
1.Построить графики уравнений в одной системе координат.
2. Найти координаты точки пересечения или указать, что таких точек нет.
3. Записать ответ.

2 метод-подстановка.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение
Из второго уравнения выражаем у:
13 EMBED Equation.3 1415.
Подставляем в первое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (1;-3);(-3;5).

Алгоритм использования метода подстановки:
1. Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной равное ему выражение.
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.
4. Найти соответствующее значение второй переменной
5. Записать ответ.

3 метод- алгебраическое сложение
13 EMBED Equation.3 1415
Сложим уравнения системы, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (1;-3);(-3;5).

Алгоритм использования метода алгебраического сложения:
1. Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной.
2. Сложить или вычесть почленно левые и правые части уравнений системы.
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.
4. Найти соответствующее значение второй переменной
5. Записать ответ.

Какой из способов решения системы вам понравился больше?
Ученики ставят себе баллы в оценочный лист.



3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Решим систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415

Давайте повторим.
Какие основные методы решения систем уравнений вы знаете? (графический, подстановкой и сложением)
Какой из этих методов можно было бы применить к этой системе?
Обсуждаем применение графического способа.
Обсуждаем применение способа сложения.
Обсуждаем применение способа подстановки.
Приходим к выводу, что ни один из ранее изученных методов не подходит. Как тогда поступить? Как решать такие системы? Нужен другой метод.
Какую цель мы можем поставить перед собой на сегодняшнем уроке? (изучить другие методы решения систем уравнений второй степени научиться их применять на практике)




4. Первичное усвоение новых знаний.
Итак, решим систему:
13 EMBED
· Equation.3 1415
Где мы можем узнать, как решаются такие системы? (в учебнике, в интернете).
Далее реализуется способ достижения информации.
Учитель предлагает ученикам выбрать для себя источник информации и воспользоваться им.
Учащихся предлагают ввести новую переменную.
Введём новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда первое уравнение системы можно переписать в виде 13 EMBED Equation.3 1415
Умножим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415( так как по условию 13 EMBED Equation.3 1415).
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Делаем обратную замену.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставляя во второе уравнение системы, получаем: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
это уравнение корней не имеет.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставляя во второе уравнение системы, получаем: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: (2;1);(-2;-1)

Решим ещё одну систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Учащиеся делают вывод, что для решения этой системы одной переменной недостаточно, надо вводить две переменные, например:
13 EMBED Equation.3 1415.
Получаем систему:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (1;3);(-7;-1).
Давайте уточним цель нашего урока (научиться решать системы уравнений второй степени с помощью метода введения новых переменных).

5. Первичная проверка понимания.
Составление алгоритма использования метода введения новых переменных.
Учащиеся разбиваются на пары и вместе со своими соседями по парте составляют алгоритм использования метода введения новых переменных.
Различные варианты ответов зачитываются с места.

Алгоритм использования метода введения новых переменных:
1. Ввести одну или две новые переменные.
2. Записать новое уравнение или систему уравнений.
3. Решить новое уравнение или систему уравнений и найти значения введённых переменных.
4. Сделать обратную замену и найти значения переменных из условия.
5. Записать ответ.
Ученики ставят себе баллы в оценочный лист.
13 EMBED Equation.3 1415
6. Первичное закрепление
Решить систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Чтобы помочь затрудняющимся ученикам, даётся подсказка:
Сделаем замену переменной: 13 EMBED Equation.3 1415
Получим новую систему:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

3. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 . Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 .
.
4. Получаем две системы:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Если y = , то x = .
Если y = , то x = .
5. Ответ: ( ; );( ; )

Потом на экране выводится правильное решение.
Сделаем замену переменной 13 EMBED Equation.3 1415. Получим новую систему:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Получаем две системы:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
корней нет 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: (1;2);(2;1)
Ученики ставят себе баллы в оценочный лист.


7. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению
Домашнее задание
Найти в Интернете три системы уравнений, которые можно решить методом введения новой переменной.
Записать в тетрадь их условие и решение.
Самые интересные системы будут разобраны на следующем уроке у доски.


8. Рефлексия (подведение итогов занятия)

Давайте заполним оценочные листы и посмотрим, какие у вас получились оценки.
Чему мы научились на сегодняшнем уроке?
(Решать системы уравнений способом замены переменной)
Что необходимо сделать,  для того чтобы решить систему уравнений таким способом?
(сделать замену переменной, решить новое уравнение, выполнить обратную замену)
Что было наиболее сложным (трудным)?
Какие вопросы остались после проведения занятия?




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native