Графическое решение квадратных уравнений

Графическое решение квадратных уравнений Цель работы: на примере графического решения одного и того же уравнения показать, что его корни не изменятся, независимо от выбора способа решения. 1 способх2 – 2х – 3 = 0 Построим график функции y = x2 – 2x – 3 1)Имеем: a = 1, b = -2, x0 = -b ч 2a = 1, y0 = f(1) = 12 – 2 – 3 = -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы – прямая x = = 1.2)Возьмём на оси x две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки x = -1 и x = 3. 3)Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).4)Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболы.Построим прямую y=0Корнями уравнения x2 – 2x – 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы x1 = -1 и x2 = 3Ответ: х = -1 и х = 3 2 способ. х2 – 2х – 3 = 0 Преобразуем уравнение к виду x2 = 2x + 3. Построим в одной системе координат графики функций y = x2 и y = 2x + 3. Они пересекаются в двух точках А (-1; 1) и В (3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит, х1 = -1, х2 = 3.Ответ: х = -1 и х = 3 3 способ. х2 – 2х – 3 = 0 Преобразуем уравнение к виду х2 – 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у = х2 – 3 и у = 2х. Они пересекаются в двух точках А (-1; -2) и В (3; 6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому х1 = -1, х2 = 3.Ответ: х = -1 и х = 3 4 способ х2 – 2х – 3 = 0 Преобразуем уравнение к виду х2 – 2х +1 – 4 = 0 и далее х2 – 2х + 1 = 4, т.е. (х – 1)2 = 4Построим в одной системе координат параболу у = (х – 1)2 и у = 4. Они пересекаются в двух точках А (-1; 4) и В (3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, х1 = -1, х2 = 3.Ответ: х = -1, х = 3 5 способ х2 – 2х – 3 = 0 Разделив почленно обе части уравнения на х, получим х – 2 – 3 / х = 0. И далее х – 2 = 3/х. Построим в одной системе координат гиперболу у = 3 / х и у = х – 2. Они пересекаются в двух точках А (-1; -3) и В (3; 1). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, следовательно, х1 = -1, х2 = 3. Ответ: х = -1, х = 3 Преобразуют уравнение к виду ах2 ч х + bх ч х + с ч х = 0 ч х, т. е. ах + b + c ч x = 0 и далее с ч х = -ах – b. Строят гиперболу у = с ч х (это гипербола при условии, что с не равно 0) и прямую у = -ах – b; находят точки их пересечения 5 способ Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду а (х + l)2 + m = 0 и далее а (х + l)2 = -m. Строят параболуу = а (x + l)2 и прямую у = -m, параллельную оси х; находят точки пересечения параболы и прямой. 4 способ Преобразуют уравнение к виду ах2 + с = -bx, строят параболу у = ах2 + с и прямую у = -bx (она проходит через начало координат); Находят точки их пересечения. 3 способ Преобразуют уравнение к виду ах2 = -bx – с, строят параболу у = ах2 и прямую у = -bx – c, находят точки их пересечения ( корнями уравнения служат абсциссы точки пересечения, если, разумеется, такие имеются ). 2 способ Строят график функции у = ax2 + bx + c = 0 и находят точки его пересечения с осью х. 1 способ Итак, квадратное уравнение x2 – 2x – 3 = 0 мы решили графически пятью способами. Давайте проанализируем, в чем суть этих способов Вывод. Я решал одно и то же уравнение графически, строя различные графики, но получил одни и те же корни. Это говорит о том, что независимо от выбора способа решения уравнения, корни не изменяются.Заметим, что первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида ах2 + bх + с = 0, а пятый - только к тем, у которых с не равен 0. На практике можно выбирать тот способ, который нам кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который нам больше нравится (или более понятен). Графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения.