Исследовательская работа по теме: «Золотое сечение»

Краевое государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение
«Красноярский техникум социальных технологий»













Исследовательская работа по теме:
«Золотое сечение»















Выполнила: Пуртова Людмила,
обучающаяся 2 курса
Руководитель: Вяземская Алла Владимировна,
преподаватель математики и информатики.








Исследовательская работа по теме «Золотое сечение»

Цель исследования: выявить, что же такое золотое сечение, исследовать принцип “золотого сечения – красоты и гармонии” в окружающем мире.

Задачи:
Изучить понятие «золотое сечение»;
Рассмотреть историю «золотого сечения»
Рассмотреть применение «золотого сечения » в архитектуре, искусстве, биологии
Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.

Методы исследования:
Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
Социологический опрос.
Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Объект исследования: материалы, подтверждающие, что золотое сечение есть божественная мера красоты.

Предмет исследования: золотое сечение в картинах, аксессуарах, в пропорциях человеческого тела.

Актуальность:
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес, к форме какого – либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике, музыке и природе. Поэтому, не только в древние времена скульпторы, художники, музыканты, архитекторы уделяли большое внимание сечению и гармоническому отношению, но и настоящее время помнят и используют это сечение.

Вступление.
Впервые с понятием «золотое сечение» мы встречаемся в школе. В техникум я обучаюсь по профессии портной, закройщик и конечно меня как будущего специалиста очень привлекает красота и гармония. Общепринято мнение, что золотая пропорция является не только мерилом гармонии в природе и в произведениях искусства, но и основой красоты, источником эстетического удовлетворения. Меня заинтересовало это понятие, и я решила его изучить. Перед тем как начать работу по теме « Золотое сечение», я провела опрос среди обучающихся 1-3 курсов, преподавателей нашего техникума. Нужно было ответить на вопрос «Знаете ли вы, что такое « золотая пропорция» или «золотое сечение»? Результаты опроса изображены на диаграмме.
13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s 1415
Большая часть преподавателей знают что такое « Золотая пропорция» и « Золотое сечение», а обучающиеся 1-3 курсов не имеют представления о «Золотом сечении» и « Золотой пропорции». И я решила рассказать вам про это.
История «золотого сечения».
В дошедшей до нас античной литературе «золотое сечение» впервые встречается во II книге «Начал» Евклида, где дается геометрическое построение «золотого сечения», равносильное решению равенства квадратного уравнения вида x(a+x) = aІ. Евклид применяет «золотое сечение» при построении правильных 5- и 10-угольников, а также в стереометрии при построении правильных 12- и 20-гранников. Несомненно, что «золотое сечение» было известно и до Евклида. Весьма вероятно, что задача «золотого сечения» была решена еще и пифагорейцами, которым приписываются построение правильного 5-угольника и геометрические постороения, равносильные решению квадратных уравнений. После Евклида исследованием золотого сечения занимались Гипксил (2 в. до н.э.), Папп Александрийский (3 в. н.э.) и др. В средневековой Европе с «золотым сечением» познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик и комментатор Евклида Дж. Кампано из Новары (13 в.) добавил к книге «Начал» предложение, содержащее арифметическое доказательство несоизмеримости отрезка и обеих частей его «золотого сечения».
В 15-16 вв. (в эпоху Возрождения, или Ренессанс) усилился интерес к «золотому сечению» среди ученых и художников в связи с его применениями как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Например, итальянский мыслитель Лука Пачолли посвятил «золотому сечению» трактат «О божественной пропорции». Термин «золотое сечение» был популяризован Леонардо, который придавал большое значение гармоническим соотношениям в живописи, архитектуре и строении человеческого тела. Гуманизм Возрождения заключался, в частности, в том, что пентаграмма была выведена из черной магии, а пропорции «золотого сечения» Леонардо усмотрел в строении человеческого тела.
Ряд Фибоначчи. С историей «золотого сечения» косвенным образом связано имя итальянского математика-монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышел в свет его математический труд “Книга об абаке” (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, 8 + 13= 21; 13 + 21= 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34= 0,617, а 34: 55= 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618: 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в «золотой» пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Золотое сечение в математике.
Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. В истории утвердилось ещё одно название – «золотая пропорция».
Пусть, С13 EMBED Equation.3 1415АВ, и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка
13 EMBED Equation.3 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

АС: АВ =СВ: АС (1)

Золотым сечением называется такое деление отрезка, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая часть к большей.
Если длину отрезка АВ обозначить через а, а длину АС – через х, то (а-х)- длину отрезка СВ, и пропорция (1) примет вид:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (2)
В пропорции, как известно, произведение крайних членов равно произведению средних и пропорцию (2) перепишем в виде:
х2 = а (а – х).
Получаем квадратное уравнение:
х2 +ах – а2 = 0
Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней , следует выбрать положительный
Х=13 EMBED Equation.3 1415 или Х =13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Число 13 EMBED Equation.3 1415 обозначается буквой 13 EMBED Equation.3 1415 в честь древнегреческого скульптора Фидия (родился вначале V века до н. э), в творениях которого это число встречается многократно. Число 13 EMBED Equation.3 1415 приблизительно равно 0,61803398
Таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

Золотые фигуры.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.
Деление отрезка прямой по золотому сечению[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618, если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382 Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая 38 частям.

Деление прямоугольника линией второго золотого сечения[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.
Построение правильного пятиугольника и пентаграммы
Пентаграмма служил символом Пифагорейского союза. Пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей, а гармония приводит противоположности к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) – мужскими. Число 5 – как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) – считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов. Пятиконечная звезда пентаграмма очень красива, недаром ее помещают на свои флаги и гербы многие страны.! Ее красота, оказывается, имеет математическую основу.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (14711528). Пусть O центр окружности, A точка на окружности и Е середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Построение золотого треугольника[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Золотое сечение в архитектуре
В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.)
Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора.
Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.
Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам эстетическое наслаждение.











На рисунке виден целый ряд закономерностей, связанных с коэффициентом золотого сечения.
Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр - дам де Пари)
Фасад и другие части этого замечательного здания построены с учетом золотой пропорции


О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший.
Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.
Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число «пи» и золотое сечение, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т.п. Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись выдумкой.
Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.
Очевидно, размеры пирамиды: площадь ее основания и высота - не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.
Методической ошибкой многих исследователей является то, что они использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах.
Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды. У египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).
Трудно допустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях.
Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны основания пирамиды (L) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и был определен в 500 локтей.
Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо. Одним из чудес великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м2 нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую идею», положенную в основу сооружения.
Угол наклона граней пирамиды еще в 1837 году определил английский полковник Г.Вайз: он равен 13 EMBED Equation.3 1415. Указанному значению угла отвечает тангенс, равный 1,272. Эта величина, отвечающая отношению высот пирамиды к половине ее основания, очень близка к корню квадратному из золотой пропорции 13 EMBED Equation.3 1415= 1,27202 и является иррациональной величиной. Поэтому, скорее всего, в основу треугольника OMN пирамиды Хеопса и было заложено отношение OM/MN, равное 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, примем отношение катетов, т.е. высоты пирамиды H к половине ее основания, равным 1,272. При этом высота пирамиды Хеопса будет равна точно 318 локтей, или 148,28 м. Такую высоту, очевидно, имела пирамида Хеопса при завершении ее сооружения ( или должна была иметь по проекту).
Таким образом, основные элементы конструкции пирамиды имели следующие размеры: сторона основания – 500 локтей, высота – 318 локтей. Отсюда следует, что апофема боковой грани ON равна 404,5 локтя.
А теперь посмотрим, какие интересные соотношения следуют из этих геометрических размеров. Отношения сторон в треугольнике OMN пирамиды равно: OM/MN=ON/OM=1,272=13 EMBED Equation.3 1415; ON/MN=Ф.
Рассмотрим теперь поверхность пирамиды. Она состоит из четырех треугольников и квадрата основания. Основание треугольника BOC равно 500 локтям, высота его равна 404,5 локтя. По теореме Пифагора можно рассчитать длину боковых ребер OB и OC . Они равны 475,5 локтя.
Площадь основания пирамиды равна 250000 кв. локтей, площадь боковой грани 101125 кв. локтей, а площадь четырех граней пирамиды равна 404500 кв. локтей. Отношение поверхности граней к площади основания также равно золотой пропорции.
Еще Геродот, основываясь на рассказах египетских жрецов, писал, что площадь квадрата, построенного на высоте пирамиды, равна площади каждой из его боковых граней.
По нашим расчетам, квадрат высоты равен 3182 = 101127 кв. локтей, что почти точно отвечает площади боковой грани (101125 кв. локтей).
Многие исследователи указывают, что отношение удвоенной стороны основания 2L к высоте пирамиды H отвечает числу «пи». Однако в связи с тем, что высота пирамиды принималась равной современной и не всегда однозначной, число «пи» получалось разным: 3,16-3,18. На почве этого возникали сомнения, предпринимались различные подгонки, стали говорить даже о некоем «египетском (», равном 3,16. Если принять высоту пирамиды равной 318 локтям, то отношение 2L/H=1000/318 будет равно 3,144. Эта величина очень близка к современному значению числа «пи» (3,14159).
Интересно сравнить два основных отношения, установленных нами при изучении геометрических пропорций пирамиды: 2H/L=13 EMBED Equation.3 1415 и 2L/H=(. Отсюда получаем простую и красивую формулу, связывающую число «пи» и золотую пропорцию: 4/(=13 EMBED Equation.3 1415.
Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (т.е. неизмеримые) величины – ( и Ф со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях.


В качестве примера «золотого сечения» в России можно полюбоваться фасадом знаменитого Большого театра в Москве.



Золотая пропорция и тело человека

Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. “Человеческое тело – лучшая красота на земле”, - утверждал Н.Чернышевский. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. И не случайно величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений.
Разработку теории пропорций человеческого тела в эпоху Возрождения начал Альбрехт Дюрер. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Pост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.
Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.

Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.




Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона
Аполлон Бельведерский

Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.
Но проанализируем другие пропорции знаменитой статуи. Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя “Дорифор”, изваянная Поликлетом.

Фигура юноши выражает единство прекрасного и доблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Широкие плечи почти равны высоте туловища, высота головы восемь раз укладывается в высоте тела , а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета.
Расстояние от подошвы копьеносца до его колена равна (3, высота шеи вместе с головой - (4, длина шеи до уха - (5, а расстояние от уха до макушки - (6 . Таким образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем (: 1, (, (2, (3, (4, (5, (6.

Расстояние от подошвы копьеносца до его колена равна (3, высота шеи вместе с головой - (4, длина шеи до уха - (5, а расстояние от уха до макушки - (6 . Таким образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем (: 1, (, (2, (3, (4, (5, (6.
Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал « золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского ( которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.
Афина Парфенон
Общепринято мнение, что золотая пропорция является не только мерилом гармонии в природе и в произведениях искусства, но и основой красоты, источником эстетического удовлетворения.

Анализ антропометрических данных населения нашей страны.

МУЖЧИНА
ЖЕНЩИНА

Рост
1680
1567

Длина руки
723
661

Длина ноги
900
835

Высота линии талии
1035
976

Высота колена
506
467

Ширина плеч
380
349

Рост сидя
1310
1211

Длина бедра
590
568

Многие пропорции человеческого тела можно выразить отношением небольших целых чисел, если пренебречь некоторой погрешностью. Для этого можно воспользоваться средними статистическими (антропометрическими) данными населения нашей страны.

Эти данные для мужчин и женщин существенно различаются и приводятся раздельно.
Используя эти статистические данные, можно рассчитать пропорции различных частей тела, например, по отношению к росту человека. Полученные таким образом пропорции оказались очень близкими к целочисленным отношениям. Характерно, что размеры частей тела
мужчин и женщин существенно различаются, но отношения этих частей отвечают в большинстве случаев отношениям тех же целых чисел.
Идеализированная модель человеческого тела.
Неоднократно предпринимались попытки создать идеализированную эталонную модель гармонически развитого человеческого тела
Такая модель нашла отражение и в построениях Леонардо да Винчи и Дюрера.
Займемся «инвентаризацией» частей человеческого тела. У него одно туловище, одна голова, одно сердце и т. д. Многие части тела и органы
парные, например, руки, ноги, глаза, почки. Из трех частей состоят ноги, руки, пальцы рук. Как видно из приведенного перечисления частей человеческого тела, в его членении на части присутствуют все числа Фибоначчи от 1 до 34, что особенно отчетливо проявляется на костях скелета. Общее число костей скелета не является строго постоянным, некоторые кости могут присутствовать у одних людей и отсутствовать у других. Но вот что интересно: общее число костей скелета человека близко к 233, то есть отвечает еще одному числу Фибоначчи. Трудно предположить, что все это лишь случайное совпадение. Более очевидно наличие определенной закономерности развития организма, закономерного итога его эволюции от простейших по строению далеких предков до «вершины эволюции» человека. Человек, как и другие живые творения природы, подчиняется всеобщим законам развития. Корни этих законов нужно искать глубоко в строении клеток, хромосом и генов, и далеко в возникновении самой жизни на Земле.


Фотография и «золотое сечение»
Производя съемку, фотохудожник каждый раз решает непростую задачу -добиться реалистичного изображения трехмерного пространства на плоской поверхности.
В этом ему помогает не только совершенная фотографическая техника, но и знание приемов композиции, правила выбора освещения и многое другое. Есть по крайней мере один из простейших приемов композиции, которым легко может пользоваться любой фотолюбитель.
В его основе лежат известные из школьного курса математические факты.Даже начинающий фотограф знает, что если объект съемки поместить в центр кадра, то фотография получится невыразительной. Возникает вопрос: где разместить основной объект, чтобы выделить его среди второстепенных объектов, гармонично с ними сочетать и учесть массу других деталей?
Выбрать точку расположения объекта съемки помогает знание «золотого сечения». В эпоху Возрождения правило «золотого сечения» с успехом применяли в архитектуре и живописи для построения гармоничных композиций. Было замечено, что определенные точки изображения всегда привлекают внимание зрителя независимо от размеров картины. Таких точек зрительных центров всего четыре. Чтобы их найти, надо стороны прямоугольного картинного полотна дважды разделить по принципу «золотого сечения» и через точки деления провести прямые. На пересечении этих прямых и будут расположены дополнительные центры.
Правило «золотого сечения» распространилось и на искусство фотографии. Оно стало одним из базовых в композиции.
Основной объект съемки следует располагать или вдоль прямых, делящих кадр в «золотом сечении», или в зрительных центрах. Конечно, конкретное расположение зависит от типа объекта, его размера, замысла фотографа и т.п., но для достижения наибольшей выразительности правило «золотого сечения» должно быть обязательно учтено либо во время съемки, либо при подготовке фотографии к печати.
На практике не так-то легко на глаз построить «золотое сечение». Поэтому при съемке можно использовать несколько упрощенный композиционный прием так называемое правило третей, когда стороны кадра делятся не по «золотому сечению», а просто на три равные части.

Золотое сечение в искусстве.
Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.
Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.
Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.
Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всем на свете”.
Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.
Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.
Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу.
Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество. Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...
Портрет Монны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).
На картине Леонардо да Винчи
«Тайная вечеря» просматриваются мотивы золотого сечения.
Основа композиции картины основана на золотых прямоугольниках.


На картине И.И. Шишкина "Сосновая роща" просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины приблизительно в золотом сечении. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит в золотом сечении правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины в пропорциях золотого сечения. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда художник создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

Живопись и киноискусство.
В композиции интереснейших произведений живописи «работает» та же пропорция.
Анализируя знаменитое полотно Василия Сурикова «Боярыня Морозова», Эйзенштейн делает открытие. Высшая точка «золотого сечения» проходит не через поднятую двуперстием руку боярыни, не через ее голову, не через горящие глаза, как кажется многим, а оказывается перед ртом увозимой в изгнание боярыни-старообрядки. Самое главное, на что указывает точка «золотого сечения», пластически неизобразимо, ведь это летящее к народу из уст боярыни слово, огненное слово убежденного в своей правоте опального лидера, как мы бы сказали сегодня. Самой точкой «золотого сечения» художник приковал наше внимание не только к лицу выдающейся личности, каковой была Морозова, но словно бы к самому пламенному призыву, вылетающему из ее уст.
Это знание было сознательно положено создателем «Броненосца „Потемкин“ в композицию фильма. Там, как утверждал Эйзенштейн, не только каждая отдельная часть, но вся картина в целом, включая два ее кульминационных момента (в точке полной неподвижности тема мертвого Вакулинчука и в точке максимального взлета точке апогея, когда над мятежным кораблем взвивается красный флаг, на черно-белой пленке был прокрашен красным цветом именно флаг), самым строгим образом следуют закону «золотого сечения».
Наш соотечественник, математик и композитор Михаил Марутаев сформулировал три числовых закона гармонии, вытекающих один из другого: 1) качественная симметрия, 2) нарушенная симметрия, 3) «золотое сечение». «Золотое сечение», известное с незапамятных времен, приобрело в концепции Марутаева новое содержание. В результате были получены некоторые основные числа и производные от них числовые ряды. Ряд основных чисел совпал с загадочными физическими константами, например с магическим числом 137. Тройка, семерка, туз из „Пиковой дамы“ то же самое число 137, гениальная догадка Пушкина. В теме ля-минорной сонаты Моцарта Марутаев вычислил отношение 37: 27, то есть 1,37037 Фантастическая точность!

Золотое сечение в природе
Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.
Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.
Золотое сечение. Спираль Архимеда[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.
Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д.
Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».
Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.
Золотое сечение. Цикорий[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий 38, четвертый 24 и т. д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.
Золотое сечение. Ящерица живородящая[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.
И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.
Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.
Золотое сечение. Яйцо птицы[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Исследование: присутствия золотого сечения в окружающей жизни.

Исследование№1 «Золотое сечение в картинах»
Золотое сечение есть и в картинах. Эти соотношения мы нашли в тех картинах, которые имеются в наших домах.








На живописном полотне существуют четыре точки повышенного внимания.
Зрительные центры расположены на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев любой картины и фотографии. В первой картине парус расположен в одной из этих точек, а во второй картине – две березы.

Исследование№2 «Золотое сечение в одежде»
Исследуем форму узла, используем полоску бумаги постоянной ширины и мужской галстук.
Бумажную ленту постоянной ширины завяжем простым узлом и расправим так, чтобы узел был плоским. Получается узел, имеющий форму пятиугольника. Измерения сторон и углов пятиугольника доказывают, что ABCDE - правильный пятиугольник.


Отношение стороны правильного пятиугольника к диагонали равно числу13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично проведем эксперимент с мужским галстуком.


У Пифагора и его учеников пентаграмма была священным символом телесно-духовной гармонии и на этом основании стала знаком здоровья.
Таким образом, узел на бумажной ленте и узел на мужском галстуке имеет форму правильного пятиугольника, т.е. пентаграммы. Пентаграмма – это геометрический символ гармонии, здоровья и мистических сил.
Может быть, поэтому мужчины выбрали себе в качестве украшения галстук, ведь узел галстука имеет форму пентаграммы.

Исследование №3 «Золотое сечение в пропорциях тела человека»
Для того чтобы проверить , выполняется ли золотое сечение в пропорциях тела человека я провела исследование среди учащихся 7– 11 классов. У каждого участника были сняты мерки двух видов: мерка от верхней точки головы до талии, мерка от талии до пола. Их отношение сравнивалось с числом отношения золотого сечения.



Ученик (ца)
От головы до талии (в)
От талии до пола (а)
а/в

1. Ольга Щ.
65
103
1,584

2. Анастасия Б.
68
104
1,529

3. Ирина Б.
69
109
1,579

4. Лаура И.
66
105
1,590

5. Ульяна К.
58
99
1,706

6. Чаяна К.
61
101
1,655

7. Ырыскул М.
59
93
1,576

8. Людмила П.
65
104
1,6

9. Оксана П.
64
99
1,546

10. Любовь П.
68
100
1,470

11. Раджик Г.
68
109

1,602

12. Азизбек К.
66
108
1,661

13. Кристина Т.
60
94
1,566

14. Виктор С.
71
107
1,507

15. Сергей О.
69
111
1,608


Из 15-ти человек, участвовавших в исследовании наименьшее отклонение от золотого сечения среди юношей имеют: обучающийся 1 курса Раджик Г. (0,023) и обучающийся 3 курса Сергей О. (0,017). Среди девушек –обучающаяся 1 курса Людмила П. имеет пропорции тела точно соответствующие золотому сечению. Те обучающиеся, у которых пропорции тела близки к золотому сечению, на мой взгляд, они действительно имеют хорошую фигуру.

Заключение.

Значение золотого сечения в современной науке очень велико. Эта пропорция используется практически во всех областях знаний.
Её пытались изучить многие известные ученные и гении: Аристотель, Геродот, Леонардо Да Винчи, но никому полностью этого сделать не удалось.
Наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т.е. пытались вывести формулу красоты. Ряд формул красоты известен. Это правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник. В ходе выполнения исследовательской работы я выяснила, что действительно существует «формула красоты», которая не является выдумкой человека. В данной работе рассмотрены способы нахождения «Золотого сечения», изложены примеры, взятые из областей науки, искусства и жизни, в которых отражается эта пропорция: математика, архитектура, живопись, скульптура, ботаника.
В наибольшей степени определение «формула красоты» подходит к понятию «золотая пропорция» -золотое сечение. Эта пропорция обладает наиболее отчетливыми признаками гармоничности прекрасного. Золотая пропорция не только является господствующей во многих произведениях искусства, она определяет закономерности развития многих организмов, её присутствие отмечают почвоведы, химики, биологи, геологи, математики, астрономы.
Золотое сечение являлось критерием гармонии и красоты ещё во времена Пифагора и является настоящей формулой красоты в настоящее время.
В своей работе я хотела продемонстрировать красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни. Проведенные исследования доказали, что многое в окружающем мире подчиняется правилу золотого сечения.
Мне понравилось освещать эту тему. Было интересно! Хочу дальше продолжить изучение этой темы «Золотое сечение».







Список литературы:

А. Азевич “Двадцать уроков гармонии” – М., “Школа-Пресс”, 1998
Н. Васютинский “Золотая пропорция” – М.,”Молодая гвардия”, 1990
М.В.Величко “Математика 9-11 классы. Проектная деятельность учащихся” – Волгоград: Учитель, 2007
М. Гарднер “Математические головоломки и развлечения” – М., “Мир”, 1971
Д. Пидоу “Геометрия и искусство” – М., “Мир”, 1989
Математика и законы красоты [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю. Котова “Я познаю мир. Математика” – М.: АСТ: Астрель: Хранитель, 2007
Энциклопедический словарь юного математика – М.,1989Журнал “Квант”, 1973, № 8
Журнал “Математика в школе”, 1994, № 2, № 3
Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. - М.: Аванта+, 1998.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
www.goldenmuseum.com











А

В

С

E

D