Знакомые и незнакомые формулы сокращенного умножения, их применение при решении задач

Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся
« Портфолио»
Знакомые и незнакомые формулы сокращенного умножения,
их применение при решении задач
Автор: Монастырева Елена
ученица 11 класса
Россия, Тюменская область
Нефтеюганский район
с.п. Салым
НРМОБУ «Салымская СОШ №1»

Руководитель:
Борисова Н.Н.
Учитель математики
НРМОБУ «Салымская СОШ №1»,
Почетный работник
образования РФ,
учитель 1 категории,
пед. стаж 31 год
2011-2012гг
План исследования
№п/пСодержание Сроки
1 Определение темы, проблемы, выдвижение гипотезы. 1.09-15.09.2011г
2 Обоснование актуальности и практической значимости проблемы сентябрь
3 Работа над исследованием: изучение источников информации; отбор формул, задач октябрь , ноябрь
4 Определение содержания исследования, направлений поиска новых формул, отбор и решение задач ноябрь
5 Анализ полученных результатов. декабрь
6 Отбор формул. Составление справочной таблицы ноябрь - январь 2012г
7 Оформление работы, формулировка умозаключений, выводов, составление списка литературы январь
8 Подготовка компьютерной презентации работы 20.01 -30.01.2011г
9 Представление выполненной работы. Защита работы. март
План работы
Введение. Основные понятия.
Основная часть. Направления исследования:
Первое направление. Формулы разности квадратов; суммы и разности кубов.
. Второе направление. Формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений.
2.3. Третье направление. Произведение двучленов. Коэффициенты многочлена п - й степени. Бином Ньютона. 
. Четвертое направление. Формулы: куб суммы и куб разности.
. Пятое направление. Теорема Виета и теорема о разложении квадратного трехчлена на множители.
. Шестое направление. Сопряженные числа.
Решение различных задач на применение формул сокращенного умножения, новых формул.
Заключение
Список литературы.
Введение. Основные понятия.
При изучении темы: «Многочлены» ([10]) учащиеся профильной группы 11 класса встретились с задачами на разложение многочлена на множители, при решении которых применялись новые формулы сокращенного умножения. Незнакомые формулы вызвали интерес. Из известной формулы квадрата суммы двух выражений, оказывается, выводится формула квадрата суммы трех выражений. А можно ли сумму четырех слагаемых возвести в квадрат: (а+в+с+д)2=? Существуют ли другие, незнакомые формулы сокращенного умножения, которые можно применить при упрощении выражений, разложении на множители, решении уравнений? Задачи, решение которых вызвало затруднение, обнаружили противоречие: с одной стороны в школьном курсе изучены некоторые формулы сокращенного умножения, а с другой стороны - их недостаточно для решения задач, повышенного уровня. Как из известных фактов вывести новые знания? Учителем математики было предложено провести исследование по теме: «Формулы сокращенного умножения, их применение при решении задач». Тема исследования вызвала интерес, поэтому было решено сформулировать её следующим образом: «Знакомые и незнакомые формулы сокращенного умножения, их применение при решении задач». Главная задача исследования - найти необычное в обычных формулах, посмотреть на изученные формулы с разных точек зрения, изучить литературу, материалы Интернета, отыскать новые формулы.
Проблема: Решение нестандартных задач, задач повышенного уровня, олимпиадных задач требует применение знакомых формул сокращенного умножения в незнакомой, нестандартной ситуации и применения новых неизвестных в школьном курсе формул сокращенного умножения. Как получить новые формулы, используя уже изученные в школьном курсе формулы сокращенного умножения? Какие новые формулы сокращенного умножения могут помочь при решении сложных математических задач?
Цель исследования: Вывести новые незнакомые для учащихся формулы сокращенного умножения, проанализировав известные формулы сокращенного умножения и определив направления исследования, поиска новых формул. Показать примеры их применения при решении различных видов задач.
Задачи:
найти необычное в обычных формулах, посмотреть на изученные формулы с разных точек зрения,
изучить литературу о формулах сокращенного умножения; найти информацию в сети Интернет; отыскать новые формулы, отобрать задачи по данной теме,
ознакомится с материалом главы «Многочлены», с другими главами учебника[10], и задачника «Алгебра и начала анализа», 11 класс [11], отобрать задачи из задачника,
проанализировать задачи, предложенные в изученной литературе, подметить закономерность использования формул, выявить направления исследования и получения новых формул,
подобрать конкурсные и олимпиадные задачи, в решении которых используются знакомые и незнакомые для учащихся формулы сокращенного умножения.
составить справочную таблицу формул.
Гипотеза: Решение нестандартных задач, задач повышенного уровня, олимпиадных задач требует применения знакомых формул сокращенного умножения в незнакомой, нестандартной ситуации и применения новых неизвестных в школьном курсе формул сокращенного умножения. Если получить новые формулы, используя уже изученные в школьном курсе формулы сокращенного умножения, то эти формулы можно применить при упрощении выражений, разложении на множители, решении уравнений, что поможет сократить преобразование сложных выражений, незнакомую задачу привести к знакомой и найти способ её решения.
Предмет исследования: Формулы сокращенного умножения
Объект исследования: направления выявления новых формул, новые формулы
Методы: анализ, сравнение, выявление закономерности, аналогия, расчеты, вычисления, решение задач.
Список доступных методов исследования:
самостоятельная работа; помощь других людей, учителя математики;
прочитать литературу о формулах сокращенного умножения;
найти информацию в сети Интернет;
ознакомится с материалом главы «Многочлены», с другими главами учебника и задачника «Алгебра и начала анализ,11 класс», [10], [11]; проанализировать задачи, предложенные в задачнике «Алгебра и начала анализа», 11 класс (профильная группа) [11];
понаблюдать; подметить закономерность,
сформулировать; доказать или опровергнуть гипотезу.
Результат работы - справочная таблица формул, интересных не только ученикам 11 класса, все учащиеся 8-11 классов могут использовать новые формулы при решении различных задач: олимпиадных, конкурсных экзаменационных, таким образом, целая серия новых сложных развивающих задач станет доступна учащимся. В этом выражается актуальность исследования.
Особенность работы заключается в том, что в ходе изучения различной литературы, материалов Интернета отбирались новые формулы, автор предлагает и свои способы доказательства найденным формулам. Таким образом, обзор информации по данной теме дается на протяжении всей работы, есть ссылки на источники. В целом необходимо отметить, что подробная справочная таблица в изученной литературе отсутствует, частично формулы есть в источниках[1], [9], [10], [15] , [17] и основные формулы, знакомые учащимся из школьного курса, есть в любых справочниках по математике.
Основные понятия.
Формула-комбинация математических знаков, выражающая какое-нибудь утверждение [12].
Слово «формула» произошло от латинского «formula» и представляет собой краткое обозначение, которое позволяет выразить какие-либо умозаключения, общие научные правила и частные положения с помощью условных обозначений. В результате даже самые сложные предложения могут быть записаны в простой, удобной, лаконичной форме. Как и все прочие гениальные изобретения, формулы совершили настоящий переворот в науке. Главным их достоинством является то, что ученые со всех концов земного шара могут общаться друг с другом на понятном и универсальном языке, что значительно упрощает координацию масштабных исследований и позволяет сэкономить время[6].
Гипотезой называется предположение, объясняющее какую – либо закономерность; проверка или доказательство гипотезы – это рассуждение, в результате которого гипотеза становится законом (правилом, формулой) или отвергается как ошибочная. [14], [12]. «Биномом» иногда называют многочлен (а+х) (бином – в математике: двучлен) [18],[12].
Формулы сокращенного умножения школьного курса:
Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом, формулами[9]. Рассмотрим эти случаи.
.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a+b)2=a2+2ab+b2 (1) или a2+2ab+b2 = (a+b)2   2. Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a-b)2=a2-2ab+b2 (2) или a2-2ab+b2= (a-b)2    3. Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2 (3) или a2-b2= (a+b) (a-b)
4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (4)
 5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 (5)
 6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (6) или a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
 7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 (7) или a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)
Формулы сокращенного умножения имеют широкое применение в математике, особенно в старших классах. Их используют: при решении уравнений, раскрытии скобок, разложении многочленов на множители, нахождении значений выражений, упрощение выражений. Видите, сколько функций позволяют выполнять формулы сокращенного умножения, поэтому знать их нужно очень хорошо. Анализируя известные формулы сокращенного умножения, выявим направления исследования, с целью получения новых незнакомых для учащихся формул сокращенного умножения, формул сокращенных вычислений.
2.Направления исследования:
2.1. Первое направление. Формулы разности квадратов (формула3); суммы и разности кубов (формулы 6,7).
a 2  –  b 2  = ( a  +  b )( a  –  b ),
a 3  +  b 3  = ( a  +  b )( a 2– ab+  b 2 ),
a 3  –  b 3  = ( a  – b )( a2+ ab + b 2).
Выявив закономерность (гипотеза) в правой части, можно предположить новые формулы: a4 − b4 = (a − b) (a 3 + a2b+  ab2 +b3) ; a 5 - b 5  = (a  - b)(a 4 + a3b+  a2b2 +ab3 +  b 4);
a 5  +  b 5  = (a  +  b)(a 4  –  a3b+  a2b2 -ab3 +  b 4);
a4 − b4 = (a − b)(a + b)(a2 + b2).
все данные формулы доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых в правой части.
Например: Доказать формулу: а) a3+b3= (a+b)(a 2–ab+b2). Имеем (a+b)(a2–ab+b2) =a3–a2 b+ ab 2+ba2–ab2–b3. Приводя подобные слагаемые, мы видим, что (a+ b)(a2– ab+ b2) =a3 +  b 3, что и доказывает нужную формулу.
б) Доказать формулу: a5+ b5= (a+b)(a 4–a3b+ a2b2 -ab3+b4). Имеем (a+ b)(a 4– a3b+a2b2 -ab3+ b4) = а5–а4в+а3в2 –а2в3+ав4 + а4в - а3в2 +а2в3-ав4+в5= а5+ в5. Данная формула доказана.
Вывод. Для любого натурального п справедливы формулы для n-ой степени:
an − bn = (a − b)(an − 1 + an − 2b + an − 3b2 + ... + a2bn − 3 + abn − 2 + bn − 1), где n ϵ N
a2n − b2n = (a +b)(a2n − 1 − a2n − 2b + a2n − 3b2 − ... − a2b2n − 3 + ab2n − 2 − b2n − 1), где n ϵ N
a2n + 1 + b2n + 1 = (a + b)(a2n − a2n − 1b + a2n − 2b2 − ... + a2b2n − 2 − ab2n − 1 + b2n), где n ϵ N.
Применение данных формул.
Данные формулы используются в задачах на делимость чисел, на доказательство кратности чисел, на сравнение чисел: Например. Так как a5+ b5= (a+ b)(a4–a3b+ a2b2 -ab3 +  b4), то a 5  +  b 5   без остатка делится на (a + b), где а и в –натуральные числа.
Задача №2.7(а). ([11]). Докажите, что сумма 1711+511делится без остатка на 22.
Задача. Доказать, что при любом натуральном k значение выражения (3k+1)2-(3k-1)2 делится на 12. [9].
Решение. Воспользовавшись формулой(3): a2– b2  = ( a + b )( a – b ),
упростим данное выражение: (3k+1)2-(3k-1)2=(3k+1-3k+1)(3k+1+3k-1)=2*6k=12k
Полученное выражение 12k делится на 12 без остатка.
Задача. [10]. Найдите значения числового выражения, выполнив соответствующие преобразования: (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) – 216.
Решение. (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) – 216 =(22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) – 216 =
=(24 – 1)(24 + 1)(28 + 1) – 216 = (28 – 1)(28 + 1) – 216 = 216 – 1 – 216 = -1. Ответ: -1
Задача. Разложить на множители многочлен х6-26. Представим данный многочлен х6-26 в виде разности кубов двух выражений и, применив формулу, получим:
х6-26=(х2-22)(х4+4х2+16) =(х-2)(х+2)(х4+4х2+16) .
Этот пример можно решить и вторым способом. Для этого представим данный многочлен х6-26 в виде разности квадратов двух выражений, получим:
х6-26=(х3)2- (23)2=(х3- 23)(х3 +23).
Теперь мы получили выражение, состоящее из двух сомножителей: разности кубов двух выражений и суммы кубов двух выражений. Применим эти формулы:
х6-26=(х3)2- (23)2=(х3- 23)(х3 +23)= (х-2)(х2+2х+4)(х+2)( х2-2х+4)=(х-2)(х+2)(х4+4х2+16) .
Новые формулы:
А). a 5  +  b 5  = ( a  +  b )( a 4  –  a3b+  a2b2 -ab3 +  b 4 );
Б). а6- в6=(а-в) (а+в)(а4+а2в2+в4) = (а-в)(а+в)(а2+ав+в2)(а2 - ав+в2);
а6+в6 =(а2+в2)(а4- а2в2+в4);
а6 – b6= (a − b)(a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5);
a6 – b6 = (a +b) (a5 - a4b + a3b2 - a2b3 + ab4 - b5);
В). а4+а2в2+в4= (а2+ав+в2)(а2 - ав+в2);
Г). a4 − b4 = (a − b)(a + b)(a2 + b2).

2. 2. Второе направление. Формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений.
( a  +  b ) 2  =  a 2  + 2 ab  +  b 2, (1)
( a  –  b ) 2  =  a 2  – 2 ab  +  b 2, (2)
Второе направление поиска новых формул – это формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений.
Часто при решении задач используется формулы:
a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab и (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab.
а2 + в2=(а+в)2-2ав, (а - в)2= (а+в)2- 4ав. [18].
Интересная формула получится, если произведение двух чисел выразить через их разность и сумму, в изученной литературе автор такую формулу не встречал, это новая оригинальная формула легко выводиться из формул (1) и (2).
ав = (а+в2)2 – (а- в2 )2.
При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности надо помнить, что
(– а – b)2 = (а + b)2;
(b – а)2 = (а – b)2. Это следует из того, что (– а)2 = а2.
Формулы (1), (2) употребляются в математике и смежных дисциплинах довольно часто, приведем примеры их использования.
Примеры применения формул.
Задача[9].
Упростить выражение: (x2 –ax+ b)(b + x2 – ax)+(ax–b)(ax–b)+(–ax+ x2 + b)(ax – b)* 2.
Решение: (x2 – ax + b)(b + x2 – ax) + (ax – b)(ax – b) +(– ax + x2 + b)(ax – b)* 2 =
= x2b – axb + b2 + x4 – ax3 + bx2 – x3a + a2x2 – bax + a2x2 – bax + b2 – bax + 2(–a2 x2) + 2x3a + 2bax + 2bax – 2bx2 –2 b2 = x4
Вывод: Вычисление занимает много времени. А для упрощения работы можно применить формулы сокращенного умножения.
2 способ решения. (x2 – ax + b)(b + x2 – ax) + (ax – b)(ax – b) +(– ax + x2 + b)(ax – b)* 2 =
= (x2 – ax + b + ax – b)2 = (x2)2 = x4.
Обратите внимание, как быстро и легко упростили это выражение с помощью формулы квадрата суммы (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, в формуле вместо a и b могут быть числа, одночлены, многочлены и их комбинации и т. д.
Задача №2.39(б). [11]. Найдите все тройки чисел, удовлетворяющих уравнению: х2+у2+z2 – ху - уz – zх = 0.
Решение. Это задача повышенного уровня, легко решается, если умножить обе части уравнения на 2 и применить формулу квадрат разности двух чисел трижды. 2х2+2у2+2z2 – 2ху - 2у z – 2zх = 0. Получим: (х-у)2+(х -z )2 + (у - z)2=0; х =у = z.
Ответ : (t,t,t), t- любое число.

Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле
712 = (70 + 1)2 = 702 + 2 • 70 • 1 + 12 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
912 = (90 + 1)2 = 902 + 2 • 90 • 1 + 12 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
692 = (70 – 1)2 = 702 – 2 • 70 • 1 + 13 = 4900-140+1 = 4761.
Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например: 1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2 • 100 • 2 + 22 = 10 000 + 400 + 4 = 10404;
482 = (50 – 2)2 = 502  – 2 • 50 • 2+ 22 = 2500 – 200 +4 = 2304.
Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5. Проведем соответствующие рассуждения для 852. Имеем:
852 = (80 + 5)2 =802 + 2•80•5 + 52 =80(80+10)+25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Замечаем, что для вычисления 852 достаточно была умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 352 = 1225 (3 • 4 = 12 и .к полученному числу приписали справа 25); 652 = 4225; 1252 = 15625 (12 • 13 = 156 и к полученному числу приписали справа 25).
Найдем общую закономерность и выведем новую формулу:
(10п +5)2= 100п2+100п +25= п(п+1)*100 +25.
(10п +5)2 = п(п+1)*100 +25.
Задача. а) Вычислите 112, 1012, 10012, (10п+1)2= 102п+2*10п+1. Попробуйте угадать закономерность 100…012= , где всего п цифр, используя ее, вычислите 100012,10000012.
б). Попробуйте угадать закономерность и вычислите 9…92, где цифра 9 повторяется п раз. Используя новую формулу (10п - 1)2= 102п - 2*10п+1, вычислите 999992,99999992. [2].
Любопытные обстоятельства, связанные со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), можно дополнить следующим геометрическим рассуждением. Пусть a и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 1).1905019685
Рис. 1. Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b)2. Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а2), квадрат со стороной b (его площадь равна b2), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна аb). Значит, (а+b)2=а2+ b2 +2аb, т. е.получили формулу (1).            
Новые формулы: Если есть квадрат суммы двух выражений, значит можно вывести квадрат суммы трех выражений, четырех и т.д., (а + b+ с)2 = а2 + b2+с2 + 2аb+2ас+2bс.
Это формула имеет геометрическое обоснование. Площадь квадрата со стороной (а+ b+с) равна (а + b+с)2. Этот квадрат можно разрезать на части: по диагонали - квадрат со стороной а (его площадь равна а2), квадрат со стороной b (его площадь равна b2), квадрат со стороной с (его площадь равна с2), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна аb), два прямоугольника со сторонами а и с (площадь каждого такого прямоугольника равна ас). два прямоугольника со сторонами b и с (площадь каждого такого прямоугольника равна bс). Значит, (а + b+ с)2 = а2 + b2+с2 + 2аb+2ас+2bс, т. е. получили данную формулу .            
Если заменить выражение в на – в, то получим новую формулу:(a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac − 2bc.
Если заменить выражение с на – с, то получим формулу:(a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc.
Справедлива формула:
(a - b − c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab − 2ac + 2bc.
Докажем новую формулу:
а) (a + b +c+d)2= a2 + b2+ c2 + d2+2ab + 2ac + 2a d +2bc+2 b d+ 2c d.
Доказательство: (a +b +c+ d)2 =(a +b +c+ d)(a + b +c+ d)=a2 +ab + ac + a d+ ab+b2+bc+bd + ac+ bc+ c2 +c d+ a d+ db + dc+ d2= a2 + b2+ c2 + d2+2ab +2ac + 2a d +2bc+2 b d+2c d, что и доказывает нужную формулу. б) (a + b –c- d)2= a2 + b2+ c2 + d2+2ab - 2ac -2a d -2bc -2 bd+ 2cd.
Аналогичные формулы можно получить, заменяя в на –в и т.п. Новые формулы этого пункта используются при решении задач №1.5,№1.7; №2.11, № 2.12; № 2.5 и других.[11].
Задача.
В учебнике геометрии 11 класс, при решение задачи № 475для нахождения расстояния между точками А и М, вектор
___ __ ___ __
АМ = 1/3( АС+ АВ+ АД), необходимо возвести в квадрат. Формула: (a+b+c)2= a2 + b2 + c2 + 2ab +2ac+2bc, примененная в этой геометрической задаче, намного упрощает решение.
Задача.
Доказать, что при а≠1, каждое число вида а4+4 является составным.
Данная задача предложена француженкой Софьей Жермен, известной своими работами в области теории чисел [3].
Решение: Для доказательства представим а4+4 в виде произведения двух множителей с помощью следующих преобразований
а4+4= (а4+4 +4 а2) - 4 а2=( а2+2)2 – (2а)2=( а2+2 – 2а)( а2+2 +2а).
« Ни один из полученных двух множителей не равен самому а4+4 и не может быть равным единице, потому что а2+2 – 2а = а2 – 2а+1 +1 = (а- 1)2+1, так как а≠1, то эта сумма не может равняться 1» [3] . В книге нет доказательства первой части утверждения, что ни один из полученных двух множителей не равен самому а4+4.
Доказательство, проведенное автором работы:
Предположим, что
а4+4 = а2+2 +2а. Тогда:
а4+4 - а2 - 2 - 2а = 0;
а4 - а2 +2 - 2а = 0;
а2( а2-1) – 2(а - 1) = 0;
а2( а-1)( а+1) – 2(а - 1) = 0;
( а-1) ( ( а+1) а2– 2) = 0;
( а-1) ( а3+ а2– 2) = 0;
Если а≠1, значит а3+ а2– 2 = 0. Данное уравнение не имеет корней, отличных от 1.
Доказательства. Уравнение х3 =-х2+2 имеет один корень х=1.
Графически можно доказать, что данное уравнение имеет только один корень х=1, построив функции у=х3 и у=-х2+2, убедимся, что общая точка одна и она имеет координаты (1;1).
Для любых отрицательных чисел х<-1 выполняется неравенство х3<- х2+2, х3+ х2< 2, х 2 (х +1) < 2, так как отрицательное число всегда меньше положительного. Графики функций у=х3 и у=-х2+2 при х<-1 и при х >1 не имеют общих точек.
Если а4+4 = а2+2 - 2а, тогда:
а4+4 - а2 - 2 + 2а = 0;
а4 - а2 +2 + 2а = 0;
а2( а2-1) + 2(а +1) = 0;
а2( а-1)( а+1) + 2(а +1) = 0;
( а+1) ( ( а- 1) а2 + 2) = 0;
( а+ 1) ( а3 - а2 + 2) = 0; Данное уравнение имеет один корень а= - 1.
Вывод: в условии данной задачи надо отметить, что а – целое число, не равное 1 и -1, иначе при а= -1, выражение а4+4= 5, является простым, а не составным числом.
Новые формулы:
а4+4в4= (а2+2в2 – 2ав)( а2+2в2 +2ав).
а4+4=( а2+2 – 2а)( а2+2 +2а).
Задача №2.4(б).[11].Разложите многочлен на множители: х4+4у4. Применив полученную формулу, решить задачу легко и быстро.
Третье направление. Произведение двучленов. Коэффициенты многочлена
п- й степени. Бином Ньютона. 
Найдем произведение двучленов: (х-а)(х-в) = х2 –ах-вх+ав = х2 –(а+в)х+ав. Аналогично найдем произведение трех двучленов:(х-а)(х-в)(х-с)=х3-(а+в+с)х2+(ав+ас+ вс ) х – авс.
Сформулируем гипотезу:
(х-а)(х-в)(х-с)(х-д)= х4-(а+в+с+д)х3+(ав+ас+ад+вс+вд+ сд))х2–(авс+авд+асд+всд ) х +авсд.
Проверяется предположение выполнением умножения двучленов, с последующией группировкой слагаемых с одинаковыми степенями х. Выведенные формулы можно использовать при определение коэффициентов многочлена п- й степени. [18]
Пусть требуется найти произведение п таких двучленов, раскрывая скобки и группируя члены с одинаковыми степенями х, получим многочлен, расположенный по убывающим степеням х: Рп (х) = (х-а)(х-в)(х-с)(х-д)…(х-р).
Рп(х)= хп- хп-1(а+в+с+д+…+р) + хп-2(ав+ ас+ ад+…) -хп-3(авс +авд+…) +…. +( 1)п (авсд…)
Рп (х) = а0 хп+ а1хп-1+а2хп-2+…+ап.
Нетрудно заметить, что:
Старший коэффициент а0 многочлена Рп (х) равен 1.
Члены имеют знакочередующиеся коэффициенты;
Каждый коэффициент ак равен сумме всевозможных произведений вторых членов, стоящих в скобках, по к сомножителей в каждом произведении. [18]
Вывод: Если найти произведение п одинаковых двучленов, раскрывая скобки и группируя члены с одинаковыми степенями х, получим многочлен, расположенный по убывающим степеням х, например:
(х-а) (х-а)= х2 –(а+а)х+аа= х2 –2ах+а2.
(х-а) (х-а) (х-а) = х3  - 3 а х 2  + 3 а 2 х  - а 3,  
(х-а) (х-а) (х-а) (х-а)= х 4  - 4 а х 3  + 6 a2 х2 - 4 a3х   +  а 4,  
формулы для четвёртой степени
(х-а)4= х 4  - 4 а х 3  + 6 a2 х2 - 4 a3х   +  а 4,  
(х+а)4= х 4  + 4 а х 3  + 6 a2 х2 +4 a3х   +  а 4. 

При решении задач иногда необходимо раскрыть скобки, умножая шесть двучленов (п-3) (п-2)(п-1) (п+1)(п+2) (п+3).
Если применить полученный нами результат, то имеем:
(п-3)(п-2)(п-1)(п+1)(п+2)(п+3)=п6+(-3-2-1+1+2+3)п5+(6+3-3-6-9+2-2-4-6-1-2-3+2+3+6)п4+(-6+6+12+18+3+6+9-6-9-18+2+4+6-4-6-12-2-3-6+6)п3+49п2+(-3*(-2)*(-1)*1*2*3)=п6–14п4+ 49п2 -36 = п2(п4 – 14п2 +49) -36 =п2 (п2 -7)2-36.
Количество слагаемых в первых скобках равно шести, во вторых скобках: С62=15, в третьих скобках: С63=20, в четвертых скобках: С6 4=15. Для подсчета слагаемых в четвертой скобке можно использовать таблицу перебора произведений четырех сомножителей из шести чисел:
Числа Сумма
-3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Произведение
чисел -6 -12 -18 12 18 36 18 6 9 -18 4 6 12 -12 -6 49
Необходимо отметить, что это не лучший способ раскрытия скобок. Другой, более удобный способ, с использованием формул сокращенного умножения, предложен далее.
Применение полученных формул.
Задача. [5] Проверим, что имеет место тождество для п>3:
(п-3) (п-2)(п-1) (п+1)(п+2) (п+3) +36 = п2 (п2 -7)2.
Заметим, что (п-3)(п+3) = п2-9, (п-2)(п+2) = п2-4, (п-1)(п+1) = п2-1.
Умножая скобки (п2-9) ( п2-4) ( п2-1) получим п6 – 14п 4+49п2 -36.
п6 – 14п 4+49п2 -36+ 36 = п2(п4 – 14п2 +49) =п2 (п2 -7)2, что и требовалось доказать.
Многие формулы являются частным случаем бинома Ньютона. [18]
Бином Ньюто́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой не отрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид:
, где Спк=
 — биномиальные коэффициенты, n - неотрицательное целое число.
(х-а)п =хп - п а хп-1+Сп2а2 хп-2- Сп3а3 хп-3+…+(-1)п а п.
Коэффициенты Спк берутся из таблицы, которую называют таблицей биноминальных коэффициентов. [18]
n=1 1
n=2 2, 1
n=3 3, 3, 1
n=4 4, 6, 4, 1
n=5 5, 10, 10, 5, 1
n=6 6, 15, 20, 15, 6, 1
n=7 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
n=8 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1
n=9 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 ит.дНапример:
а) (х+а)6= х 6  + 6 а х 5  +15 а2 х 4+20 а3 х 3 + 15 a4х2  +6 a5 х   +  а 6. 
б) (a+b)8=a8b0+8a7b1+28a6b2+56a5b3+70a4b4+56a3b5+28a2b6+8a1b7+a0b8=
=a8+8a7b+28a6b2+56a5b3+70a4b4+56a3b5+28a2b6+8ab7+b8.
Из формулы: (х-а)п =хп - п а хп-1+Сп2а2 хп-2- Сп3а3 хп-3+…+(-1)п апМожно вывести целую серию формул для п=5,6,7…: (а- в)5 ; (а- в)6 ; (а- в)7 и так далее .
В таком виде формула бином Ньютона была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век), ал-Каши (XV век) и М. Штифелю (середина XVI). И. Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного,отрицательного и др.)
В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.
В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:
Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность.
Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!». Позже это же выражение упомянуто в фильме «HYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BA%D0%B5%D1%80_%28%D1%84%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BC%29" \o "Сталкер (фильм)"Сталкер» А. А. Тарковского.
Бином Ньютона упоминается: в фильме «Расписание на послезавтра»; в повести Льва Толстого «Юность» в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым; в романе Е. И. Замятина «Мы», в прологе к «назидательным новеллам» Унамуно. [18].
Четвертое направление. Формулы: куб суммы и куб разности.
Четвертое направление поиска новых формул определяют формулы: куб суммы, куб разности. ( a  +  b ) 3  =  a 3  + 3 a 2 b  + 3 ab 2  +  b 3; 
( a  –  b ) 3  =  a 3  – 3 a 2 b  + 3 ab 2  –  b 3. 
Новые формулы: ( a  +  b ) 3  =  a 3  +  b 3  + 3 ab ( a  +  b );
( a  –  b ) 3 =  a 3  –  b 3  – 3 ab ( a  –  b );
a 3  +  b 3=   ( a  +  b ) 3  -  3 ab ( a  +  b );
a 3  +  b 3=   ( a  +  b ) (( a  +  b )2 -  3 ab);
a 3  –  b 3  =( a  –  b ) 3  +  3 ab ( a  –  b ).
Применение формул:
П р и м е р. Вычислить  99³,используя формулу куб разности. Р е ш е н и е : 99³ = (100 – 1)³ = 1000000 – 3 · 10000 · 1 + 3 · 100 · 1 – 1 = 970299.
Задача №1.5(в) . [11]. Запишите многочлен в стандартном виде: (2-х)3 + (х-1)3.
Можно использовать первые две формулы и привести подобные слагаемые. Применение новой формулы: a 3  +  b 3=   ( a  +  b ) 3  -  3 ab ( a  +  b ), позволит сократить вычисления и получить результат быстрее.
Решение: Если а =2-х, в = х-1, то
(2-х)3+(х-1)3 = (2-х +х-1)3–3 (х-1)(2-х)(2-х +х-1) = 1 – 3(2х-х2-2+х) = 1-9х+3х2+6 =3х2-9х+7
Вывод: Новые формулы п.2.4. позволяют сокращать преобразования, могут быть использованы при решении задач на уроках алгебры профильного уровня, а также при решении экзаменационных и конкурсных задач.
Пятое направление. Теорема Виета и теорема о разложении квадратного трехчлена на множители.
Пятое направление поиска неизвестных формул - это теорема Виета и теорема о разложении квадратного трехчлена на множители: ах 2 +вх +с = а(х-х1)(х-х2), где х1 и х2 –корни квадратного трехчлена.
В пункте 2.3 было отмечено, что
(х-а)(х-в) = х2 –ах-вх+ав = х2 –(а+в)х+ав.
(х-а)(х-в)(х-с) = х3-(а+в+с)х2 +(ав+ас+вс)х – авс.
(х-а)(х-в)(х-с)(х-д)=х4-(а+в+с+д)х3+(ав+ас+ад+вс+вд+сд))х2–(авс+авд+асд + всд ) х +авсд.
Рп (х) = (х-а)(х-в)(х-с)(х-д)…(х-р).
Рп(х)= хп- хп-1(а+в+с+д+…+р) + хп-2(ав+ ас+ ад+…) -хп-3(авс +авд+…) +…. +( 1)п (авсд…)
Рп (х) = а0 хп+ а1хп-1+а2хп-2+…+ап.
Рассмотрим утверждение, которое полезно при нахождении корней многочленов.
Теорема 1 ( обобщенная теорема Виета). [19].
Если уравнение хп+а1хп-1+а2хп-2+…+ап =0 имеет корни х1, …хп, то справедливы следующие равенства: а1= -(х1+х2 +….+хп), а2=х1(х2 +х3 + ….+хп) + х2(х3+х4 + ….+хп) +…хп-1*хп, …,ап=(-1)п х1х2..хп.
В первой из этих формул в скобках стоит сумма всех корней, во второй, если раскрыть скобки, то получим сумму всех попарных произведений корней, и так далее. В последней формуле видим произведение всех корней с коэффициентом (-1)п.
Применим эту теорему к кубическому уравнению х3+ вх2+сх+д=0 с корнями х1, х2 , х3, получим равенства в= -( х1+х2 +х3); с= х1х2 + х2х3+х1 х3, d= - х1 х2 х3.
Известная теорема Виета для корней квадратного уравнения является частным случаем данной теоремы.
Теорема 2(теорема Виета). Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2+ вх+с=0, то справедливы условия: х1 + х2 = - ва ; х1 х2 = са . [19].
Следствия из теоремы: 1х1 + 1х2 =- вс.
Используя теорему Виета, можно вычислять некоторые симметрические выражения от корней уравнения, не находя самих корней.
Следующие формулы иногда полезны при решении уравнений и систем методом введения новых переменных, если а+в = р, ав = q.
1/а +1/в =р/q,
   a²  + b² = ( a + b )²  - 2ab = р 2  -  2q,
a 3  +  b 3=   ( a + b ) 3 - 3 ab ( a +  b )= р 3  -  3 р q
   a4 + b4 = ( a2 + b2 )²  - 2a 2b2 = (р 2  -  2q)2-2 q2, [15].
При решении задач №2.9, 2.10. задачника[11] , формулы п.2.5 упрощают преобразования.
Интересные задачи и новые формулы по этому направлению есть в книге «Сборник задач по алгебре для 8-9кл», учеб. пособие для школ и классов с углубл. изуч. математики/ М.Л. Галицкий и др, с.7-9, с.53, [2], а также в сборнике ЕГЭ 2012 [15], и [19].
Шестое направление. Сопряженные числа.
Шестое направление поиска новых формул связано с сопряженными числами. Соображения симметрии очень важны не только в геометрии, но и в алгебре. В трудных математических задачах иногда бывают ситуации, в которых число вида a+b√d полезно заменить сопряженным a - b√d. Пары сопряженных чисел появляются, когда решаем квадратное уравнение, а корень из дискриминанта не извлекается: например уравнение
х2 –х – 1 =0 имеет пару «сопряженных» корней: 0,5 (1-5) и 0,5 1+ 5.Интересны сопряженные числа тем, что произведение двух иррациональных чисел равно рациональному числу: (a+b√d) (a - b√d) = a2 – b2d. Формула разности квадратов
(a +b)(a –b)= a²–b² часто используется при преобразовании иррациональных выражений, при освобождении от иррациональности в знаменатели дроби.
При изучении темы: «Преобразование выражений, содержащих радикалы» учащиеся профильной группы 11 класса, решая задачи № 7.35 – 7.43 ([11]), испытали затруднения.
В задачнике «Кванта»: Математика. Часть 3/ Под ред. Н.Б.Васильева[4], на странице 56 предложена задача №6, повышенной сложности:
Задача. [4]. Освободится от иррациональности 11+ 2+√3 .
Для учащихся 11 класса подобные задачи предлагаются в задачнике [11], с.41-46. Поэтому в данную работу был включен раздел «Сопряженные числа».
Вопрос: какое число считается сопряженным числу 1+ 2+√3?
У данного числа три «сопряженных» числа: 1-2+√3, 1+ 2- √3, 1-2- √3.
Освобождение от знаменателя в данной задаче необходимо провести в два этапа.
1*(1+ 2- 3)1+ 2+3*(1+ 2- 3) = 1*(1+ 2- 3)1+ 2 )(1+2-3 = 1+ 2- 31+2 2+2-3 = 1+ 2-3 * 2 22 2*(2 2)= 1+ 2-3 * 2 28 = 2 2+ 4-2 6 8.
Применение при решении задач.
Задача. Напишите уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен х=1+ 2+√3. [4]
Решение. Уже было отмечено, что пары сопряженных чисел появляются при решении квадратных уравнений, когда корень из дискриминанта не извлекается.
Гипотеза: Можно предположить, что вместе с данным числом, уравнению с целыми коэффициентами удовлетворяют и сопряженные числа:
1-2+√3, 1+ 2- √3, 1-2- √3. Тогда искомое уравнение имеет вид:
(х -1- 2-√3) (х - 1- 2+√3) (х - 1+ 2+√3) (х- 1+ 2-√3)=0.
Умножая первую и третью скобки, вторую и четвертую, используя формулу разности квадратов двух выражений, получим
((х-1)2 -5-((х-1)2 -5-2√6)( (х-1)2 -5+2√6)=0;
((х2-2х -4) - 2√6)( ((х2-2х -4) +2√6) =0;
(х2-2х -4)2 – 24 =0;
Применяя уже рассмотренную ранее формулу: (a - b − c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab − 2ac + 2bc, получим искомое уравнение
х4 – 4х3 -4 х2-16х -8 =0.
Можно, подставляя сопряженные числа 1-2+√3, 1+ 2- √3, 1-2- √3 убедиться, что они действительно являются корнями данного уравнения. Гипотеза подтвердилась. Ответ: х4 – 4х3 -4 х2-16х -8 =0.
Интересные формулы[4] :
(1+ 2+3)п =q +r2 +s√3 +t6, где q , r, s,t- целые числа.
Если а и в – рациональные числа, а число √d – иррациональное, то
(a+b√d)п= q +r√d и (a - b√d)п= q - r√d
Вывод: Если выражение, зависящее от √d, равно q +r√d и всюду в этом выражении заменить √d на - √d , то новое выражение будет равно q - r√d.
Применение при решении задач.
Задача. Доказать, что уравнение не имеет решений в рациональных числах х, у, z и t
(х +у√5)4 + (z +t√5) 4= 2 +5.Можно применить формулы сокращенного умножения. И приравнять коэффициенты слагаемых в левой и в правой частях, содержащих 5 и не содержащих 5.
Но есть удивительно простой способ решения – «заменить плюс перед 5 на минус».
(х - у√5)4 + (z - t√5) 4= 2 - 5.
Слева стоит неотрицательное число, справа – отрицательное. Равенство неверно, значит, уравнение не имеет решений в рациональных числах х, у, z и t. [4].
Задача. Докажите, что существует бесконечно много пар (х; у) натуральных чисел, для которых х2 отличается от 2 у2 на 1: | х2 - 2 у2|= 1. Можно ли записать общую формулу для этих решений? [4]
Решение. Найти ответ на вопрос поможет число 1+2 и ему сопряженное число1- 2.
Составим таблицу 1:
п(1+2) пХпУп(1 – 2)п1 1+21 1 1 - 22 3+22.3 2 3 - 22.3 7+527 5 7 - 524 17+12217 12 17- 1225 41 +29241 29 41 - 2926 7 8 577 + 408 2577 408 577 - 408 2Какой будет шестая строчка? а) (1+2)6=(41 +292)* (1+2)=99+702.Или: (1+2)6= 16+ 62 +15(2) 2 +20 (2)3 + 15(2) 4 +6(2 )5+(2)6 = 99+702.б) Для вычисления (1+2)8 удобнее использовать данную таблицу, а не пользоваться формулой: (a+b)8 =a8+8a7b+28a6b2+56a5b3+70a4b4+56a3b5+28a2b6+8ab7+b8
Коэффициенты х и у в числе х+у2= (1+2)п будут давать искомую пару. Можно вывести формулы для нахождения Хп и Уп. Колонка таблицы из сопряженных чисел дает равенство: х - у2=(1-2)п. Перемножая два последних равенства, получим
х2 –2у2 = (1+2)п(1- 2)п= (-1)п. Выражение х2 – 2у2 попеременно равно 1 или -1. Складывая и вычитая эти же два равенства , получим формулы:
Хп = ((1+2)п +(1- 2)п)/2, Уп = ((1+2)п +(1- 2)п)/22.
При решении задач полезны формулы, выражающие пару последующую через пару предыдущую: хп+1= хп+2уп ; уп+1= хп+упТеперь легко вычислить седьмую и восьмую строчки таблицы, учитывая, что х6=99, у6=70:
х7 = 99+140= 239, у7=99+70= 169,
х8=239 + 338 = 577; у8=239 +169= 408.
Вывод: таблица1. интересна тем, что она помогает быстро вычислять п-ю степень числа 1+2 : (1+2)п = х+у 2. Комплексные числа   a +i b и   a – ib , где i –мнимая единица, тоже называют сопряженными. Интересны знакомые формулы сокращенного умножения на множестве комплексных чисел:
                              [1]       ( a +i b )²  =  a²  + 2iab - b² ,
                              [2]       ( a – ib )²  =  a² – 2i ab - b² ,
                              [3]       ( a + ib ) ( a – ib ) = a²  + b²,
                              [4]       ( a + ib )³  =  a³  + 3a²i b - 3ab²  - ib³ ,
                              [5]       ( a – ib )³  =  a ³  – 3i a² b - 3ab²  +ib³ ,
                              [6]       ( a +i b )( a²  – iab - b² ) =  a³ - ib³ ,
                              [7]       ( a – ib )( a ²  + iab - b² ) =  a³+i b³ .
Решение различных задач на применение формул сокращенного умножения, новых формул.
Задача. Разложить на множители: (х2-1+х)( х2-1+3х) +х2. ([8])
Решение.
1 способ (способ решения, предложенный автором работы, отличный от способа, предложенного в пособии).
Из формулы: (а+в+с)2= а2+ в2+ с2+2ав+2ас+2вс, получим новую формулу: (а- в+с)2= а2+ в2+ с2- 2ав+2ас- 2вс, изменив в на –в.
Выполним преобразование:
(х2-1+х)( х2-1+3х) +х2= х4 - х2+3 х3- х2+1-3х + х3- х+3 х2+ х2=
= х4+4 х3+2 х2-4х+1= (х2)2+ 1+ (2х)2 - 2 х2+4 х3-4х= (х2 – 1+2х)2.
Результат преобразований представили в виде суммы трех квадратов и удвоенных произведений выражений со знаками «+» и «-», применив формулу квадрата алгебраической суммы трех слагаемых, получили : (х2-1+х)( х2-1+3х) +х2= (х2 – 1+2х)2
2 способ (способ решения, предложенный автором работы, отличный от способа, предложенного в пособии).
Введем подстановку х2-1+2х= а, тогда х2-1+х = а- х, х2-1+3х=а+х.
Данное в условии выражение приводится к известной формуле разности квадратов двух выражений: ( а-х) (а+х) +х2= а2 - х2+ х2= а2 = (х2-1+2х)2.
(х2-1+х)( х2-1+3х) +х2= (х2 – 1+2х)2
3 способ, предложенный в учебном пособии.
Введем подстановку х2-1+х= м, тогда х2-1+х = м, х2-1+3х=м+2х.
Данное в условии выражение приведем к виду:
м* (м+2х) +х2= м2 +2мх + х2= (м+х)2 . Знакомая формула квадрата суммы двух выражений, позволяет без особых затруднений разложить данное выражение на множители. (х2-1+х)( х2-1+3х) +х2= (х2-1+х+х)2= (х2 – 1+2х)2
При разложении на множители использованы формулы сокращенного умножения, знакомые и новые: формулы «квадрат суммы двух слагаемых», «разность квадратов» и «квадрат алгебраической суммы трех слагаемых».
Автор работы предлагает свои задачи:
1. Разложить на множители (х2-2+3х)( х2-2+9х) +8х2.
Решение. Используя второй или третий способы решения, получим
(х2-2+3х)( х2-2+9х) +8х2= (х2-2+5х)( х2-2+7х).
Решите уравнение: А). (х2-2+3х)( х2-2+9х) +8х2=0. Б). (х2-1+х)( х2-1+3х) +х2=0.
Данные уравнения решаются способом разложения правой части на множители.
Задача. ХХХV Всероссийская математическая олимпиады школьников. Региональный этап, 2009год.
Докажите, что 1-ав является квадратом рационального числа, если рациональные числа а и в удовлетворяют равенству а3в +ав3 + 2а2в2+ 2а+2в+1=0. (Р.Женодаров)
Решение. В материалах олимпиады предлагается два способа решение, автор работы предлагает свой способ решения. Зная формулу (а + b+ с)2 = а2 + b2+с2 + 2аb+2ас+2bс, можно заметить, что 2а+2в+1 – это удвоенные произведения и квадрат числа, необходимо добавить еще два квадрата и одно удвоенное произведение, получим
2а+2в+1+2ав + а2 + в2.
Из данного в условии равенства имеем: 2а+2в+1 = -а3в - ав3 - 2а2в2. К обеим частям прибавим 2ав + а2 + в2, получим
2а+2в+1+2ав + а2 + в2 = -а3в - ав3 - 2а2в2+ 2ав + а2 + в2.
Применим формулы сокращенного умножения (1) и новую формулу квадрат суммы трех слагаемых, получим: (а + b+ 1)2 =(а + b)2- ав (а + b)2 (*),
(а + b+ 1)2 =(а + b)2(1 - ав ). Отсюда 1 - ав = ( а + b+ 1а + b )2. Заметим, что а+в≠0, ибо в противном случае 1=0 (см равенство (*).
Значит, 1 - ав = ( а + b+ 1а + b )2 , если по условию числа а и в рациональные, то а + b+ 1а + b - рациональное число, утверждение задачи доказано.

Два способа решения, предложенные в материалах олимпиады:
Умножим данное равенство на ав и преобразуем:
а2в2(а+в)2 +2ав(а+в)+ ав =0, отсюда, прибавляя 1 к обеим частям и перенесся ав в правую часть, получим: 1-ав = (ав(а+в) + 1)2.
Из последнего равенства следует утверждение задачи.
Преобразуем исходное равенство : ав(а+в)2 +2(а+в)+ 1 =0,
(ав-1)(а+в)2 +(а+в)2 +2(а+в)+ 1 =0, (ав-1)(а+в)2 +(а+в+1)2 =0, так как а+в≠0, то имеет место равенство 1 - ав = ( а + b+ 1а + b )2, что и требовалось доказать.
Задача. Точный квадрат. ([13])
Докажите, что число1994*1995*1996*1998*1999*2000+36 является квадратом натурального числа.
Решение. Используем ранее доказанное тождество (новую формулу):
(п-3) (п-2)(п-1) (п+1)(п+2) (п+3) +36 = п2 (п2 -7)2 для п>3.
Применив его при решении , получим , что число в условии задачи равно
19972*(19972- 7)2, т.е. является квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.
Автор предлагает аналогичную свою задачу:
Задача.
Докажите, что число2008*2009*2010*2012*2013*2014+36 является квадратом натурального числа.
Задача легко решается по формуле: (п-3) (п-2)(п-1) (п+1)(п+2) (п+3) +36 = п2 (п2 -7)2,
причем п = 2011.
Задача. ([21])В статье И Петракова «Особые приемы решения уравнений», газета «Математика» №3/95,с. 6, подобраны интересные сложные задачи, решать которые помогают новые формулы, отмеченные в данной работе, задачи №15- №21:
№15. Решить систему х4+у4=17,
х+у = 3.
Указание. Используя формулу: a4 + b4 = ( a2 + b2 )²  - 2a 2b2, преобразуем систему к виду
( х2 + у2 )²  - 2х 2у2= 17,
( х2 + у2 ) + 2ху= 9.
Данная система легко решается методом введения новых переменных u = х2 + у2 , v= ху, где u ≥0.
№19. Решить систему х6- у6= 665,
х4+х 2у2 +у4=133.
Решение. Формула из заключительной таблицы данной работы:
а6- в6=(а-в) (а+в)(а4+а2в2+в4) позволяет первое уравнение системы представить в виде:
(х2 - у2) (х4+х 2у2 +у4)=665; (х2 - у2) *133=665; х2 - у2=5.
Второе уравнение можно привести к виду: (х2 - у2)2 + 3 х 2у2 = 133, выполнив преобразования: х4+х 2у2 +у4= х4 – 2 х 2у2 +у4+ 3 х 2у2 = (х2 - у2)2 + 3 х 2у2.
Имеем: х2 - у2=5,
25 + 3х2 у2=133.
х2 + (- у2)=5,
х2 (-у2)= - 36. Числа х2 и (- у2) являются корнями квадратного уравнения: а2-5а -36=0.
Ответ: (3,2), (3,- 2), (- 3,2), (-3,- 2).
№20.Найти действительные решения уравнения
3 (х2+у2+z2) =2(ху + уz + zх) +16z – 56 +8у.
Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть и раскроем скобки. Заметим, что 56= 4+16+36 (квадраты чисел,2,4 и 6) , есть также квадраты чисел х,у и z, и всевозможные удвоенные произведения. Применим формулу квадрат суммы четырех слагаемых: (а + b+ с+d)2 = а2 + b2+с2+d2 + 2аb+2ас+2bс+ 2аd + 2b d +2сd.
( х+у- z -2)2 + (х -у + z -4)2+(х – у - z +6)2=0
Так х,у, z= действительные числа , то данное уравнение равносильно системе:
х+у- z -2=0;
х -у + z -4=0;
х – у - z +6=0
Откуда х=3, у=4; z=5
Задача
№21.Решить систему:
х2+у2+z =8;
х +у + z2 =12;
х у+ у z +хz =11., где х,у, z- целые числа.
Решение: Умножим третье уравнение на 2 и сложим все уравнения почленно, получим уравнение (х +у + z)2 +( х +у + z) – 42 =0. Отсюда найдем, что х +у + z = -7, х +у + z = 6.
Из второго уравнения системы и последних двух уравнений найдем z, а затем, используя третье уравнение системы, найдем х и у. Ответ: (2;1;3) , (1;2;3).
Задача([7]). При каких значениях а система
х2 -2х+у2+1+ х2 -2ау+а2+у2 = 1+а2, |у| = |х |+ 1 + | 𝖨у𝖨 - 𝖨х 𝖨 - 1 | имеет более одного решения? Решение. В первом уравнении системы, применив формулу (2) сокращенного умножения, и формулу расстояния между точками ( из геометрии), получили, что сумма расстояний АВ + ВС равна расстоянию АС. А это значит, что точки А(1,0), В(х,у) и С(0 ,а) лежат на одной прямой. Уравнение этой прямой у = -ах+а. Не составило труда построить график второго уравнения и определить, при каких значениях а, прямая у = -ах+а пересекает область решений второго уравнения более чем в одной точке. Ответ: а≥1, а≤-1
Заключение.
В ходе проведения исследования я узнала, что существуют другие, незнакомые формулы сокращенного умножения, которые можно применить при упрощении выражений, разложении на множители, решении уравнений, ответила на вопрос: « Как получить новые формулы, используя уже изученные в школьном курсе формулы сокращенного умножения?».
Проанализировав известные формулы, определила направления исследования с целью получения новых незнакомых для учащихся формул сокращенного умножения. Рассмотрено шесть направлений поиска новых формул, полезных при решении задач повышенной сложности, найдены новые формулы, с помощью которых решены многие трудные олимпиадные задачи. Исследование показало, что данная тема объемная, практически во всех разделах школьной математики применяются формулы сокращенного умножения: «Многочлены», «Корень п-й степени», «Преобразование рациональных и иррациональных выражений», «Преобразование тригонометрических выражений», «Решение уравнений, систем уравнений, неравенств».
Выводы: Упражнения из задачника «Алгебра и начала анализа, 11 класс» [11], решение которых вызвало затруднение у учащихся, проанализированы, решены, из известных фактов выведены новые знания, новые формулы. Показано их применение при решении задач из различных источников; есть задачи, составленные автором работы; удалось посмотреть на изученные формулы с разных точек зрения, изучить литературу, материалы Интернета. В результате исследования выведены новые формулы, составлена справочная таблица, заполнена таблица для нахождения чисел х и у в формуле: (1+2)п = х+у 2. На примере решения задач автор показал, как новые формулы и навыки видеть возможные неизвестные формулы помогают при решении сложных задач. Цель работы реализована, задачи решены. Надо отметить: данная работа привлекает внимание к известным формулам сокращенного умножения, подобраны упражнения, которые практически невозможно решить без применения новых знаний. Таким образом, целая серия новых сложных развивающих задач стала доступна учащимся. Новые формулы оформлены в справочную таблицу, с которой имели возможность познакомиться ученики 8 -11 классов школы. Принимая участие в заочной математической олимпиаде «Атомных станций», которую проводила московская школа «Авангард» в ноябре 2011года для 9 классов, учениками была решена сложная задача №5([7]), в нестандартной ситуации применение формул сокращенного умножения привело к результату. Формулы школьного курса следует знать наизусть, так как они применяются практически во всех разделах математики. Новые же формулы достаточно применять при решении задач. Тема исследования оказалась настолько интересной, что изучая литературу, решая трудные задачи, выявляли все новые и новые формулы.
Вот некоторые из них([5], с.136, с132):
х3+у3+z3 – 3 хуz = 12 (х+у+ z) ((х –у )2+(у – z)2+(х – z)2).
(аd – bc)2 + (ac + bd)2 = (a2+ b2)( c2+d2)
( х+у) (у+ z) = ( х+у+ z)у + х z.
Задача № 2.5 повышенного уровня, дает новую формулу (([11])):
( х+у+ z)3 - х3- у3- z3 = 3( х+у)(у+ z)( х+ z).
«Сборник задач по алгебре для 8-9 классов» ([2]), с.7-9.
Если а+в+с=2р, то 4в2с2 – (в2+с2-а2)2=16р(р-а)(р-в)(р-с)
Применение формул сокращенного умножение часто встречается в решении упражнений «Сборника задач по математике для поступающих» Сканави М.И.([17]) с. 13-15. В сборнике подготовки к ЕГЭ 2012г. Рязановского А.Р. ([15]) есть целый раздел, посвященный формулам сокращенного умножения. Это подтверждает актуальность данной темы для учащихся 11 класса, личную заинтересованность автора работы.
Исследования по данной теме можно продолжить. Следует отметить, что формулы сокращенного умножения – это крайне универсальный инструмент отображения данных. Какие бы открытия ни делались в современное время, все они могут быть описаны с помощью формул. Не будет преувеличением сказать, что и спустя несколько десятков, а то и сотен лет, формулы не потеряют своей актуальности. Возможно всего лишь их видоизменение, но никак не полный отказ от подобных условных обозначений. В математике регулярно используются более 300 основных формул. В общем и целом, формулы позволили ученым перейти от абстрактных рассуждений к максимально точному и подробному описательному процессу всех явлений, происходящих в нашем мире, что позволит человечеству добиваться новых свершений и постоянно двигаться вперед.
Результат работы: справочная таблица формул.
Таблица 2. Формулы, позволяющие сократить преобразования выражений и упростить решения сложных задач.
№ п/п Формула
1 а2 + в2=(а+в)2-2ав
2 (а - в)2=(а+в)2-4ав
3 a 3  +  b 3=   ( a  +  b ) 3  -  3 ab ( a  +  b ),
4 a 3  –  b 3  =( a  –  b ) 3  +  3 ab ( a  –  b ).
5 a 3  +  b 3=   ( a  +  b ) (( a  +  b )2 -  3 ab),
6 ( a  +  b ) 3  =  a 3  +  b 3  + 3 ab ( a  +  b ).
7 ( a  –  b ) 3 =  a 3  –  b 3  – 3 ab ( a  –  b ).
8 a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2)
9 a4 + b4 = ( a2 + b2 )²  - 2a 2b2,
10 a 5  +  b 5  = ( a  +  b )( a 4  –  a3b+  a2b2 –ab3 +  b 4 )
11 а6- в6=(а-в) (а+в)(а4+а2в2+в4) =(а-в)(а+в)(а2+ав+в2)(а2 – ав+в2).
12 а6+в6 =(а2+в2)(а4- а2в2+в4).
13 а6 – b6= (a – b)(a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5)
14 an –bn=(a–b)(an –1+an –2b+an –3b2 +…+ a2bn – 3+abn – 2+ bn – 1) , где n ϵ N
15 a2n–b2n=(a +b)(a2n – 1–a2n – 2b+a2n – 3b2−…– a2b2n – 3+ab2n – 2–b2n – 1), n ϵ N
16 a2n + 1+b2n + 1=(a+b)(a2n–a2n – 1b+a2n – 2b2 −…+ a2b2n – 2–ab2n – 1+b2n), n ϵ N
17 (10п +5)2 = п(п+1)*100 +25, например 352= 3*4*100+25=1225
18 (10п+1)2= 102п+2*10п+1
19 (10п - 1)2= 102п - 2*10п+1
20 (х+а)6= х 6 +6 а х 5+15 а2 х 4+20 а3 х 3+15 a4х2  +6 a5 х+а 6.
21 (a+b)8= a8+8a7b+28a6b2+56a5b3+70a4b4+56a3b5+28a2b6+8ab7+b8
22 (а + b+ с)2 = а2 + b2+с2 + 2аb+2ас+2bс.
23 (а + b+ с+d)2 = а2 + b2+с2+d2 + 2аb+2ас+2bс+ 2аd + 2b d +2сd.
24 (a - b − c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab − 2ac + 2bc.
25 (х2-1+х)( х2-1+3х) +х2= (х2 – 1+2х)2
26 (х2+2х – 1)2=(х2-1+х)( х2-1+3х) +х2
27 Если выполняется равенство а3в +ав3 + 2а2в2+ 2а+2в+1=0, то
(а + b+ 1)2 =(а + b)2(1 - ав ),
1-ав = (ав(а+в) + 1)2; 1 - ав = ( а + b+ 1а + b )2
28 (п-3) (п-2)(п-1)(п+1)(п+2)(п+3) +36 = п2 (п2 -7)2.
29 а4+а2в2+в4= (а2+ав+в2)(а2 – ав+в2).
30 п4+4=(п2+2-2п)(п2+2+2п)
31 а4+4в4= (а2+2в2 – 2ав)( а2+2в2 +2ав).
32 ав = (а+в2)2 – (а- в2 )2.
33 ( х+у+ z)3 - х3- у3- z3 = 3( х+у)(у+ z)( х+ z).
34 (аd – bc)2 + (ac + bd)2 = (a2+ b2)( c2+d2)
35 ( х+у) (у+ z) = ( х+у+ z)у + х z.
36 (1+2)п = х+у 2 (см. таблицу 1), где n ϵ N
Достоверность формул подтверждается расчетами. В заключение необходимо отметить, что иногда формулы сокращенного умножения при решении задач применять не требуется. Ниже приведен пример.
Задача. Найти значение выражения где .
Формулы квадрат суммы и куб разности в данной задаче применять не требуется, задача решается, используя свойства степени и вынесения общего множителя за скобки.
Есть притча: Хозяин, принимая работника на работу, спросил его:
- Что ты умеешь делать?
- Копать,- ответил работник.
-Что еще умеешь делать?
- Не копать!
Всегда предстоит, изучив условие задачи, решить: применять формулы сокращенного умножения или другие, предложенные в работе, формулы, или не применять. Данная работа привлекает внимание к формулам, которые помогут незнакомую задачу привести к знакомой и найти способ её решения.
Литература.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, Москва, 1958
Галицкий М.Л и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся школ. И классов с углубл. изучением математики/ М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И Звавич. 2-е изд.- М.: Просвещение 1994.- 271с., с.7-8, с.53
Глейзер Г.И. История математики в школе 7-8 кл. Пособие для учителей.- М.: Просвещение, 1982.
Задачник «Кванта»: Математика. Часть 3./ Под ред. Н.Б.Васильева. – М.: Бюро Квантум, 1997, с 47-56
Математика в школе. Научно – методический журнал, № 6. М. – «Педагогика». 1989г, с. 136.
Материал из Википедии — свободной энциклопедии, тема: Формулы сокращённого умножения многочленов
Материалы заочной математической олимпиады «Атомных станций», московская школа «Авангард» 2011г.
Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в 5-8 классах: пособие для учителя. – Львов, журнал «Квантор» №3, 1991год, с. 20-21
Михайленко Алевтина Николаевна, учитель математики «Формулы сокращенного умножения" Обобщающий урок . Материалы Фестиваля педагогических идей «Открытый урок»
Мордкович А.Г, Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа. Часть 1. Учебник для учащихся 11 класса общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2010 г. .Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала анализа. Часть 2. Задачник для учащихся 11 класса общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2010г.
Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка.Российская академия наук. Институт русского языка им. В.В.Виноградова.- М.: Аэбуковник, 1999.
Произволов В. Задачи учат думать. Газета «Математика»№18,1997год, с.16
Развитие исследовательской деятельности учащихся: Методический сборник. М.: Народное образование,2001. с. 272
Рязановский А.Р. ЕГЭ2012.Математика.Решение задач.Сдаем без проблем!/ А.Р. Рязановский, В.В.Мирошин.- М. :Эксмо, 2011.-496с.-(ЕГЭ. Сдаем без проблем) Савенков А.И.. Исследователь. Материалы для подростков по самостоятельной исследовательской практике.
«Сборника задач по математике для поступающих. Учеб. пособие/ В,К. Егерев , Б.А. Кордемский, В.В Зайцев и др. под редакцией Сканави М.И..- М.:«Столетие»1997г, с. 13-15.
Халамайзер А.Я Комбинаторика и бином Ньютона: Пособие для учащихся 9-10 кл.- М.: Просвещение, 1980.
Чуваков В.П. Квадратичная функция. Югорский физико-математический лицей. Учебно-методическое пособие. Ханты-Мансийск, 2008г, с.11
ХХХV Всероссийская математическая олимпиады школьников. Региональный этап, 2009год.
«Математика» газета «Первое сентября», №3/95,с. 6, статья И. Петракова «Особые приемы решения уравнений».