Конспект урока по математике методы решения иррациональных уравнений

Тема урока: “Методы решения иррациональных уравнений”.
(Урок-лекция рассчитан на два академических часа)

Цели урока:
Расширить представления учащихся о методах решения иррациональных уравнений.
Продолжить работу по формированию у учащихся умений решать иррациональные уравнения.
Развивать логику, учить рассуждать последовательно, доказательно, не теряя из виду ни одного момента.

На стенде “Вести с урока” - перечень методов решения, текст самостоятельной работы и примеры решения иррациональных уравнений.
Попробуйте без алгебры прожить,
Без логарифмов и без уравнений,
Поверьте мне, будете потом тужить,
Здесь никаких не может быть сомнений.
Сообщение темы и цели урока.
Сегодня на уроке мы рассмотрим различные методы решения иррациональных уравнений.
Определение: уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называется иррациональным.
Например: Даны уравнения. Какое из них иррациональное?
13 EMBED Equation.3 1415=2, 13 EMBED Equation.3 1415=3, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Повторение.
Вспомните понятие корня n–ой степени: (корнем –ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а), т.е. 13 EMBED Equation.3 1415=b, где 13 EMBED Equation.3 1415, b-всякое.
Все предыдущие операции-действия обладали одним свойством – они были однозначны (9+2; 7-2; 9*2; 27/3). А вот извлекая 13 EMBED Equation.3 1415, мы увидели, что эта операция неоднозначна; как же ее обозначить? Ответ приводит к понятию арифметического корня. В некоторых старых русских учебниках применялся специальный символ 13 EMBED Equation.3 1415арифметический знак корня.
Введение арифметического корня автоматически приводит к появлению еще одного понятия «модуль числа». Действительно, чему равен 13 EMBED Equation.3 1415?
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415; если 13 EMBED Equation.3 1415<0, то 13 EMBED Equation.3 1415.
А если же нам ничего неизвестно о знаке, например,
· sin2x , мы вынуждены придумать новое понятие “модуль числа”: 13 EMBED Equation.3 1415
Запишите:
Попытка обозначить операцию 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. сделать ее такой же, как все операции, рассматриваемые в курсе алгебры ранее, привело не только к понятию «арифметического знака корня», но и к понятию «модуль».
13 EMBED Equation.3 1415
Свойства корней.
Отметим важные свойства корней, которые необходимо помнить при решении иррациональных уравнений:
-Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла.
-Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения.
Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.
Рассмотрим несколько уравнений (устно, по заранее подготовленным записям):
13 EMBED Equation.3 1415
Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.
13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 величина 13 EMBED Equation.3 1415 неотрицательна, а величина 13 EMBED Equation.3 1415 положительна. Следовательно, их сумма всегда больше 0. Поэтому уравнение решений не имеет.
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем область допустимых значений для левой части уравнения.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного 13 EMBED Equation.3 1415. Т.о. вопрос о решении этого уравнения снимается - ведь нельзя даже осуществить операцию сложения в левой части, т.е. не существует сама сумма 13 EMBED Equation.3 1415. Каков же вывод?
Данное уравнение заведомо не может иметь решений, т.к. левая часть этого уравнения не существует ни при одном значении неизвестного 13 EMBED Equation.3 1415.
Нельзя ставить вопрос о том, при каких значениях 13 EMBED Equation.3 1415 некоторое алгебраическое выражение равно определенному числу (больше или меньше некоторого числа), если это выражение не существует.
Из того факта, что алгебраическое выражение написано, не следует, что оно существует. Строго говоря, следует выяснить, существует ли оно, и если существует, то где, и лишь после этого решать поставленную задачу: решить уравнение (неравенство), строить график и т.д.
Еще раз подчеркнем, что это уравнение заведомо не может иметь решений.
Ответ: данное уравнение заведомо не может иметь решения.
13 EMBED Equation.3 1415
Левая часть уравнения есть разность двух корней, при этом при любых значениях 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415-3<13 EMBED Equation.3 1415+9, следовательно, эта разность всегда отрицательна и не может быть равна неотрицательному значению корня 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, это уравнение не имеет решения.
Запись: 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415, уравнение не имеет корней,
если 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение равносильно уравнению 13 EMBED Equation.3 1415.
Этот метод называется метод освобождения от знака радикала.

Методы решения иррациональных уравнения.

Метод приведения уравнения к простейшему виду путем возведения обеих частей уравнения в такую степень, чтобы освободиться от корня (радикала).
13 EMBED Equation.3 1415 проверка:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 11-8=3,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 11-корень
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
6-8=-2, 6-не корень.
Ответ: 11.

13 EMBED Equation.3 1415 проверка:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415-3= -3.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 2=2.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: -2, 3.




13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 пусть 13 EMBED Equation.3 1415 тогда
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 3, 4.

Вывод: при возведении обеих частей уравнения в четную степень не может происходить потери корней (могут быть получены посторонние корни). Следовательно, решая уравнения достаточно найти все корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 а затем исключить посторонние. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

Как правило, иррациональные уравнение сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: -1.

Метод уединения корня.
13 EMBED Equation.3 1415
Удобно ли проводить проверку, если корни дробные или иррациональные числа? Нет. Тогда, как же лучше поступить в таком случае?
Запись: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 0.


13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 14
·15
В этом уравнении лучше сначала найти область допустимых значений, т.к. подкоренные выражения просты для решения.
Ответ: 5, 17.



Метод введения новой переменной (метод подстановки).
13 EMBED Equation.3 1415
пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415
пусть 13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 3.

13 EMBED Equation.3 1415
пусть 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: -4,5; 2.


Метод умножения обеих частей на сопряженное выражение.
В некоторых иррациональных уравнениях разность подкоренных выражений в одной части совпадает с другой частью или является множителем ее. В этом случае целесообразно использовать данный метод.
13 EMBED Equation.3 1415, (1).
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (2)
Сложим (1) и (2) и получим
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: -4,5; 2.

13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ. 13 EMBED Equation.3 1415
Умножим обе части на выражение 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 - неверное равенство,
посторонний корень.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 - верное равенство.
Ответ: -1.



Метод разложения на множители.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1, 3.

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 5.

Применение группировки.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1, 4.





Метод выделения полного квадрата.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 1415.

_________________________________________
0 2 3




13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
решений нет. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
решения системы



Осуществим подстановку 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Метод оценки.
И наступят тяжелые времена
И будет неизвестная Величина
О, ее спаситель, за дело возьмись,
С этим уравнением разберись!

13 EMBED Equation.3 1415
Преобразуем данное уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415
Оценим левую и правую части этого уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415 (1).
13 EMBED Equation.3 1415 (2),
Сложим почленно равенства (1) и (2)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, левая часть данного уравнения не меньше 5, а правая не более 5.Равенство достигается только в том случае, если каждая часть исходного уравнения равна 5. Это возможно в том случае, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: -1.


Метод использования свойств функций, входящих в уравнение.
Метод обращения к монотонности функции чаще всего применяется в двух случаях.
Во-первых, тогда, когда данное уравнение имеет в одной части функцию возрастающую, а в другой - постоянную. Такое уравнение не может иметь более одного действительного корня.
Например: (устно), 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем область допустимых значений (или область существования уравнения). Итак, левая часть уравнения существует для любого 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Давайте внимательно посмотрим на левую часть. Выражение 13 EMBED Equation.3 1415
Представляет сумму двух монотонно возрастающих функций – функцию монотонно возрастающую.
Для 13 EMBED Equation.3 1415 эта функция будет принимать наименьшее значение при 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 а далее только возрастать, поэтому график функции 13 EMBED Equation.3 1415 никогда не пересечет прямую 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, уравнение не будет иметь решений.

Заметим, что при решении этого уравнения мы учитывали не только область допустимых значений переменной 13 EMBED Equation.3 1415, но и область значений функции 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Во-вторых, тогда, когда одна часть уравнения представляет собой возрастающую функцию, а другая – убывающую. Графики таких функций не могут иметь более одной общей точки. Следовательно, уравнение не может иметь более одного корня.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решим уравнение, используя свойства монотонности функций.
Предположим, что 13 EMBED Equation.3 1415 корень уравнения. Подставив его, мы получим верное
равенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 определена и дифференцируема на R. Исследуем ее на монотонность: 13 EMBED Equation.3 1415. Найдем критические точки функции, решив уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 1415, D<0,
Значит, уравнение действительно корней не имеет; поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 при любых значениях 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 строго возрастает на R.
Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 1415 Она определена на R и дифференцируема на R, кроме 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 так как 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 строго убывает на R.
Поскольку функция 13 EMBED Equation.3 1415убывает, а 13 EMBED Equation.3 1415- возрастает на R, то уравнение 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415имеет не больше одного корня, т.е. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2.



При наличии времени классу предлагается решить иррациональные уравнения, содержащие корни степени выше второй, разные:
13 EMBED Equation.3 1415 ответ: 0; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 ответ: 1; 2; 10.
Данные уравнения, предложены учащимся для самостоятельной работы.

В конце урока проведена самостоятельная работа, текст которой учитель может подобрать, учитывая индивидуальные особенности детей.



Подведение итогов урока.
Учитель еще раз обращает внимание на методы решения, которые были использованы при решении иррациональных уравнений. После этого подводится общий итог.


Задание на дом.
Подобрать из разных источников иррациональные уравнения, решаемые различными методами.

13 EMBED Equation.3 1415








13PAGE 15


13PAGE 14915




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeЗаголовок 115