Проект по теме: «Решение уравнений с одной переменной, степень которых больше двух»

Решение уравнений с одной переменной, степень которых больше двух. Уравнения, решаемые методом разложения на множители. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Щурова Е.Н. Алгоритм 1. Разложить левую часть уравнения на множители. - вынесение за скобки общего множителя; - формулы сокращенного умножения; - способ группировки; - деление многочлена на многочлен.2. Приравнять каждый множитель к нулю. - произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а все остальные при этом имеют смысл.3. Решить каждое уравнение отдельно.4. Записать ответ. Уравнения, решаемые методом разложения на множители. Вынести за скобки общий множитель Пример 1 хі – 9х = 0 х (хІ - 9) = 0 Формула сокращенного умножения х (х – 3)(х + 3) = 0 Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а все остальные при этом существуют х = 0 х – 3 = 0 х + 3 = 0 х = 3 х = - 3 Ответ: -3; 0; 3. Пример 2 аі - 2 – а + 2аІ = 0 Применим способ группировки (аі - а) + (2аІ – 2) = 0 Вынесение за скобки общего множителя а (аІ - 1) + 2 (аІ - 1) = 0 Вынесение за скобки общего множителя (аІ - 1) (а + 2) = 0 Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю аІ - 1 = 0 а + 2 = 0 а1,2 = ±1 а = - 2 Ответ: - 2; -1; 1. Пример 3 хі- 2хІ - 5х + 6 = 0 Применить алгоритм деления многочлена на многочлен (х – 1)(х – 3)(х + 2) = 0 Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю х – 1 = 0 х – 3 = 0 х + 2 = 0 х = 1 х = 3 х = -2 Ответ: -2; 1; 3. Вынесение за скобки общего множителя Алгоритм - найти общий множитель; - вынести его за скобки. Пример: ab + ac – ad = a (b + c – d) Формулы сокращенного умножения 1. Формула разности квадратов аІ – вІ = (а – в) (а + в) Пример: 4аІ – 25вІ = (2а – 5в) (2а + 5в) 2. Формула квадрата суммы аІ+ 2ав + вІ = (а + в) І = (а + в) (а + в) Пример: аІ+ 6ав + 9вІ = ( а + 3в)І = (а + 3в) (а + 3в) 3. Формула квадрата разности аІ - 2ав + вІ = (а - в) І = (а - в) (а - в) Пример: 4аІ – 4ав + вІ = (2а – в)І = (2а – в) ( 2а – в) Способ группировки применяется к многочленам, которые не имеют общего множителядля всех членов многочлена. Алгоритм 1. Объединить члены многочлена в группы, имеющие общий множитель. 2. Вынести общий множитель за скобки. Пример: ав – 2с – вс + 2а = (ав – вс) + (2а – 2с) == в (а – с) + 2 (а – с) = (а – с) (в + 2) Алгоритм 3. Найти целый корень многочлена Рп-1(х), если такой есть. (аналогично п.1) Рп-1(х) : (х – х2) = Рп-2 (х) Найти целый корень многочлена Рп(х), если такой есть. - подставляя поочередно каждый делитель в многочлен Рп(х) - выписать все делители свободного члена; вместо переменной х, выяснить, при каком значении х Рп(х) = 0, это значение х и будет корнем многочлена Рп(х). Понизить степень этого многочлена. - разделить многочлен Рп(х) на (х – х1), где х1 - корень многочлена Рп(х) : (х – х1) = Рп-1 (х) 4. Понизить степень многочлена Рп-1(х) - разделить многочлен Рп-1(х) на (х – х2), где х2 - корень многочлена 5. Повторять п.1 и п.2, пока не получим многочлен первой степени. 1. 2. Пример: Р3(х) = хі- 2хІ - 5х + 6 6 делится на -1; 1; -2; 2; -3; 3; -6; 6. если х = -1, то Р3(-1) = (-1)і - 2(-1)І - 5(-1) + 6 ≠ 0 х = -1 не является корнем уравнения - Найти делители числа 6. Найти целый корень многочлена Р3(х) = 0 если х = 1, то Р3(1) = 1і - 2 . 1 – 5 . 1 + 6 = 0 х = 1 является корнем уравнения - Понизить степень многочлена (разделить Р3(х) на (х – 1)) хі - 2хІ - 5х + 6 х - 1 хІ - х - 6 хі - хІ - хІ - 5х - хІ + х - 6х + 6 - 6х + 6 0 Р2(х) = хІ - х - 6 - Найти делители числа 6. 6 делится на 6; 3; 2; 1; -1; -2; -3; -6. - Найти целый корень многочлена Р2(х) = 0 если х = 3, то Р2(3) = 3І - 3 – 6 = 0. Тогда х = 3 является корнем уравнения - Понизить степень многочлена (разделить Р2(х) на (х – 3)) хІ - х - 6 х - 3 хІ - 3х 2х - 6 2х - 6 0 х + 2 Р3(х) = хі- 2хІ - 5х + 6 = (х – 1)(х – 3)(х + 2) Р3 (х) = (х – 1)(хІ - х – 6) Уравнения, сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения сводящиеся к квадратным посредством введения новой переменной дробно-рациональныеуравнения ? ? ? ? возвратные уравнения * Биквадратными уравнениями ах4 + вхІ + с = 0, где а ≠ 0. называют уравнения вида Алгоритм 1. Заменить хІ = t.2. Решить квадратное уравнение аtІ + bt + c = 0 относительно t.3. Решить уравнения хІ = t.4. Записать ответ. Биквадратными уравнениями ах4 + вхІ + с = 0, где а ≠ 0. называют уравнения вида Алгоритм 1. Заменить хІ = t.2. Решить квадратное уравнение аtІ + bt + c = 0 относительно t.3. Решить уравнения хІ = t.4. Записать ответ. Пример. 4х 4- 5хІ + 1 = 0 Заменим х на t І Пусть х 2 = t, тогда 4t 2- 5t + 1 = 0 Решим квадратное уравнение а = 4 Д = в2 – 4ас t = -в±√Д ; 2а t = - (-5)±√9 ; 2 .4 t = 1 ; 4 t = 1 Д = (- 5)2 – 4 . 4 . 1 Д = 9 > 0 два корня в = - 5 с = 1 то х 2 = 1 4 х 1,2 = ±√ 1 4 Х1,2 = ± 1 2 1. 2. то хІ = 1 Х1,2 = ± √ 1 Х1,2 = ± 1 Ответ: - 1 ; -1; 1 ; 1. 2 2 Если t = 1, Если t = 1 ; 4 Решим уравнение хІ = t Уравнения, сводящиеся к квадратным посредством введения новой переменной (axІ + bx)І – c (axІ + bx) + d = 0 Алгоритм 1. Найти в левой части уравнения дважды встречающиеся выражения (один раз в квадрате, другой раз в первой степени). axІ +bx 2. Ввести новую переменную, подставив ее в уравнение вместо повторяющегося выражения. axІ + bx = ttІ - ct + d = 0 3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной . Найти t. 4. Решить уравнения axІ +bx = t. 5. Записать ответ. Пример (хІ + 2 х + 4)І– 7 ( хІ + 2 х + 4) + 12 = 0 Найдем дважды встречающееся выражение Введем новую переменную Пусть хІ + 2х + 4 = t, тогда tІ - 7 t + 12 = 0 Решим квадратное уравнение Применим теорему обратную теореме Виета: t1 + t2 = 7t1 . t2 = 12 t1 = 3; t2 = 4 Решим уравнениехІ+ 2х + 4 = t 1. Если t = 3, то хІ + 2х + 4 = 3 хІ + 2х + 1 = 0 х1 + х2 = - 2х1 . х2 = 1 х1 = - 1 х2 = - 1 2. Если t = 4, то хІ+ 2х + 4 = 4 хІ + 2х = 0 х ( х + 2) = 0 х = 0 х = - 2 Ответ: - 2; - 1; 0. Возвратные уравнения ax4 + bxі+ cxІ + dx + m = 0 от произвольного уравнения четвертой степениего отличает то, что крайние коэффициентыа и m связаны с коэффициентами b и d следующим соотношением уравнения вида Алгоритм 1. Так как , обозначим , тогда 2. Уравнение примет вид. аx 4 + bxі+ cxІ + bex + aeІ = 0 3. Объединить I и V , II и IV слагаемые. Разделить обе части уравнения на хІ (хІ≠0, т.к. m≠0 ). Вынести общие множители за скобки. 4. Ввести новую переменную тогда 5. Сделать подстановку в уравнение из пункта 3 и решить получившееся квадратное уравнение. Найдем у. 6. Вернуться к уравнению и решить его. 7. Записать ответ. Пример: x 4 + 2xі - 18xІ - 10x + 25 = 0 Объединим I и V, II и IV слагаемые (x 4 + 25) + (2xі - 10x) - 18xІ = 0 Разделим обе части на хІ, вынесем общий множитель за скобки Введем новую переменную Пусть у = х – 5 , х у 2 = х 2 – 10 + 25 х тогда х 2 + 252 = у 2 – 10 х следовательно 2 , Уравнение примет вид уІ + 10 + 2у – 18 = 0 уІ + 2у – 8 = 0 у = 2 у = - 4 1. Если у = 2, то х – 5 = 2 х х = 1 + х = 1 - 2. Если у = - 4, то х – 5 = - 4 х х = 1 х = - 5 Ответ: - 5; 1 - ; 1 ; 1+ Вернемся кпеременной х (хІ + 25 ) +2 (х – 5 ) – 18 = 0 хІ х Дробно – рациональные уравнения уравнения вида Р1 (х) Q1 (x) Р 3(х) Q3 (x) Р2 (х) Q 2(x) + + + … + Рm (х) Q m(x) = 0 где Р1 (х); Р2 (х); Р3 (х); …; Рm (х); …; Q1(x); Q2 (x); Q3(x); …; Qm(x); … – многочлены от неизвестного х Алгоритм 1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 3. Решить получившееся целое уравнение. 4. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель. 5. Записать ответ. Пример: х – 3 + 1 = х + 5__ х – 5 х х(х – 5) Найдем общий знаменатель дробей Общий знаменатель дробей х(х – 5) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель х(х – 3) + (х – 5) = х + 5 хІ - 3х – 10 = 0 Упростим уравнение Найдем корни квадратного уравнения х = -2; х = 5. Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения Пусть х = -2, тогда -2(-2 – 5) ≠ 0 общий знаменатель х(х – 5) не обращается в ноль, значит число 5 не является корнем уравнения. х – 5 х(х – 5) Пусть х = 5, тогда 5(5 – 5) ≠ 0 - 2 является корнем уравнения общий знаменатель х(х – 5) обращается в ноль, выражения х – 3 и х + 5 теряют смысл. Ответ: -2.