«Величины и их измерение»

Для внеклассных занятий по математике
Величины и их измерение
Без величин нельзя изучать природу, реальную действительность. В соответствующих величинах отражены свойства различных объектов, явлений реального мира. В силу этого величины являются предметом рассмотрения многих наук, в том числе и математики.
Важность понятия величины в математике, ее значительный удельный вес подчеркиваются Ф.Энгельсом: «Математика – это наука о величинах. Она исходит из понятий величины». Математику как науку, изучающую свойства величин, «поскольку они перечисляются и измеримы», представляет Д, Аламбер (1717 – 1783).
Понятие величины, как и другие понятия математики, формировалось постепенно в результате абстрагирования от качественных особенностей свойств реальных объектов, в результате чего выделились только количественные отношения. Величины – это не сама реальность, а лишь ее отображения, но они верно отражают свойства окружающей действительности. Среди философов и математиков имеются представители односторонней количественной концепции. Одним из них был Р. Декарт (1596 – 1650). Он приходит к выводу, что материя и количество оказываются тождественными, совпадают в самой своей сущности. Тело и его величина, число и «сочтенная» вещь, по Декарту, одно и то же. В процессе длительной эволюции понятие величины обобщалось. Такие первые обобщения длины, площади, объема были даны еще Евклидом.
После введения единицы измерения «сантиметр» результат измерения (численное значение длины) представляется как число, показывающее, сколько сантиметров укладывается на измеряемом объекте. Дальше рассматривается сложение и вычитание длин отрезков и их свойства. С таких же позиций рассматриваются и другие величины (масса, емкость, площадь, время, стоимость) и их свойства. Такие формируемые знания о величинах и их измерениях являются отражением объективных законов природы, некоторыми математическими моделями реальных ситуаций. Чтобы глубже их осознать, понять их материальные истоки, обратимся к истории измерений некоторых величин, проследим эволюцию образования понятий и соответствующих названий (терминов).
В нелегком диалоге с природой человеку в нелегкие исторические времена приходилось постепенно постигать не только искусство счета, но и измерений. В связи с изготовлением простейших орудий труда, со строительством жилищ и добыванием пищи с незапамятных времен возникает необходимость измерять расстояния, а затем площади, емкости, массу, время. Подобно тому как при счете человек пользовался вначале пальцами рук и ног, так и при измерении расстояний он прибегал к рукам и ногам. Научные данные неопровержимо подтверждают, что люди всегда искали меры среди самой природы.
О системах мер древних народов имеются некоторые сведения в дошедших до нас памятниках, однако не всегда удается с достаточной точностью и достоверностью определить размеры вводимых единиц. Так, например, введенная в Вавилоне, а затем перешедшая к грекам мера длины стадий не является для нас достаточно определенной. В Вавилоне за стадий принимали расстояние, которое человек проходит спокойным шагом за промежуток времени от появления первого луча солнца при восходе его до того момента, когда солнечный диск окажется над горизонтом. Если этот выход солнца продолжается примерно две минуты, то за это время человек при средней скорости ходьбы проходит от 185 до 195 м. Как видим, мера эта весьма относительна. Да и странной на первый взгляд кажется такая единица длины, определяемая через время. Но это лишь на первый взгляд, ибо сейчас нередко в быту мы пользуемся такими мерами. И это бывает удобно. На вопрос: «Как далеко?» - можно услышать ответ: «День пути». Или, например, на вопрос: «Далеко ли до соседней деревни?» - редко услышите в ответ: «Примерно 1400 м», обычно ответят: «Минут 20 ходьбы». А разве не встречаются такие выражения расстояния – три часа езды автобусом, двое суток по железной дороге? Даже в старинных научных трактатах можно встретить подобные изречения. Например: «Печенегия отстояла от хазар на пять дней пути. От алан – на шесть дней. От Руси – на один день, от мадьяр – на четыре дня и от болгар дунайских – на полдня пути.
В данной ситуации не так важно само расстояние, как время. Необходимое для его преодоления. Недаром говорят, что реактивная авиация сократила расстояния. Существенный недостаток таких мер – их неопределенность –заметили еще древние. Известна притча о том, что Эзоп на вопрос путника: «Сколько дней пути до города?», в который шел, ответил: «Иди». Еще дважды повторил путник свой вопрос и, получив тот же ответ, пошел прочь от нелюбезного прохожего. Но вскоре до него донеслось: «Тебе три дня пути». Только увидив, как скоро ходит путник, Эзоп мог сказать, сколько времени он будет идти. Мера длины (расстояния ) не может быть такой неопределенной, она должна быть одинаковой и для тихохода, и для чемпиона по бегу подобно тому, как пуд гвоздей и пуд ваты должны быть одинаковы по массе.
Почти у всех народов источниками линейных мер стали части человеческого тела – пальцы, локти, ступни. Не было народа, который не избрал бы свои единицы измерений. Например, строители египетских пирамид эталоном длины считали локоть (расстояние от локтя до конца среднего пальца), древние арабы – волос из ослиной морды, англичане до сих пор пользуются королевским футом (в переводе с английского фут означает нога), равным длине ступни короля.
Большая мера длины, названная ярдом, была введена королем Эдгаром и равнялась расстоянию от кончика носа его величества до кончика среднего пальца вытянутой в сторону руки. Как только сменился монарх, ярд стал иным удлинился, так как новый король был более крупного телосложения. Чем его предшественник. Затем, при следующей смене короля, ярд снова стал короче. Такие частые изменения единицы длины вносили неимоверную путаницу. Король Генрих I узаконил постоянный ярд и приказал изготовить из вяза эталон. Этим ярдом в Англии пользуются до сих пор(длина его равна 0,9144 м).
Для измерения небольших длин употреблялась длина сустава большого пальца – дюйм (в переводе с голландского дюйм означает большой палец). Значение дюйма в Англии узаконилось как длина трех ячменных зерен, вынутых из средней части колоса и приставленных одно к другому своими концами. В английском быту и теперь употребляется мера ячменное зерно, равное одной трети дюйма. В XVI в. вводится геометрический фут как ширина шестидесяти четырех ячменных зерен.
Почти у всех народов расстояния измеряли шагами. Но для измерения полей и других больших расстояний шаг был слишком малой мерой, поэтому была введена мера трость или двойной шаг, а затем и двойная трость, или перша. В морском деле трость называлась штоком.
В Риме в употребление вводится мера, равная тысяче двойных шагов, получившая название миля ( от слова миле, милиа – тысяча). Обычная миля, принятая в Англии и Америке, равна 1760 ярдам или5280 футам ( свыше 1609 м), а географическая, морская или геометрическая имеет 6080,27 футов=1853,25 м и называется морским или адмиралтейским узлом.
Выбор меры длины обуславливается как измеряемой длиной, так и другими факторами (например, ткань или веревку неудобно мерить шагами).
Русская система мер складывалась как в связи с мерами, принятыми у других народов, так и самостоятельно. Одними из древнейших мер длины являются локоть и сажень. Длина локтя считалась от локтя до переднего сустава среднего пальца и равнялась половине английского ярда.
Название сажень происходит от славянского слова сяг – шаг. Первоначально оно означало расстояние, на которое можно шагнуть, а затем стали различать сажени – маховую, косую. Казенную, мерную, морскую, трубную… Этой последней , например, меряли длину труб, да и то только на соляных промыслах. Маховая сажень – расстояние между вытянутыми пальцами раскинутых (размахнутых) рук (примерно152 см). В таких маховых саженях, которые легко отсчитывать, выражена, например, высота колокольни Ивана Великого в Кремле. Введенная в начале XVII столетия казенная, или мерная, сажень была длиннее – около216, 36 см. В таком виде она сохранилась до Великой Октябрьской революции.
Относительно косой сажени имеются различные предположения, наиболее правдоподобным из которых является гипотеза академика Б. А. Рыбакова. По его мнению косая сажень есть диагональ квадрата, стороной которого является маховая сажень. Полученные диагонали и стали называть косыми саженями.
Небольшие расстояния на Руси измеряли четвертями, пядями и аршинами (отсюда и поговорка «мерять на свой аршин»). Четверть – расстояние между раздвинутым большим и указательным пальцем, пядь – расстояние от конца большого пальца до конца мизинца при наибольшем их раздвижении. Четыре четверти составляли аршин, который, в свою очередь, трижды вмещался в косую сажень. Аршин заимствован у восточных народов и близок к турецкому локтю, называемому также аршином, и к персидской мере арши.
Для измерения больших расстояний в древности была введена мера, называемая поприще, а затем взамен ее появляется верста. Название это происходит от слова вертеть, которое первоначально означало поворот плуга, а потом ряд, расстояние от одного поворота плуга до другого поворота при пахоте. Длина версты принималась в разные эпохи различной - от 500 до750 саженей. Да и верст-то было не одна, а две: путевая – ею измеряли расстояния(пути) – и межевая – ею меряли земельные участки.
Практические потребности выдвигали задачу измерения не только длины(расстояния), но и площади, емкости, массы. Задача измерения площади выдвигалась прежде всего потребностями измерения земельных участков. Основными мерами площади земель на Руси были четверть (четь) и десятина. Так как крестьянские пашни были невелики, то где уж там измерять их десятинами – меряли их четями (четвертями), равными 0,5 десятины. Почему же тогда название четверть, а не половина? Оказывается. Что эта мера берется не по отношению к десятине, а по отношению к количеству высеваемого зерна, т. е. мера площади определяется мерой сыпучих тел. Четверть земли – это та площадь, на которой высевается четверть ржи, а последняя является мерой емкости, составляющей четверть кади, или окова, большой бочки. Оков – специально приспособленная бочка для измерений, сверху обтянутая металлическим обручем, «чтобы нельзя ее урезати». В самом деле , жуликоватый купец мог легко обрезать верх неокованной кади и отпускать за ту же плату меньше зерна. Кадь была слишком велика, поэтому чаще зерно покупали четвертями. Сенные покосы меряли копнами (мера, равная 0,1 десятины).
У римлян, а затем и у славян были и такие меры площади, как югер (ярмо). Под этой мерой подразумевался участок земли, вспахиваемый за день парой волов, впряженных в ярмо.
Весьма сложной была система мер емкости, причем для жидкостей были одни меры, для сыпучих веществ – другие.
Основной мерой жидкости было ведро, определившееся как объем 30 фунтов перегнанной воды при наибольшей ее плотности, что равно примерно 750, 5 кубического дюйма. Более мелкие меры: штоф –десятая часть ведра, полуштоф, четверть и сотка – сотая часть ведра.
Мерами сыпучих тел были бочка и кадь (оков), о чем уже упоминалось. Кадь была хлебной мерой, вмещавшей 14 московских пудов ржи (около 230 кг). Делилась она на две половины или восемь осьмин (четвериков), позже появляется гарнец, равный 1/8 четверика. Название гарнец идет от глагола загребать и означает деревянную или железную посудину для зерна. Существовало много и местных мер6 коробья, пуз, рогожа, лукно и др.
Древнейшей единицей массы ( в те времена веса) была гривна, или гривенка, получившая затем название фунт. Русский фунт (409, 5 г) был меньше английского (453, 6г). Термин фунт, как и пуд, происходит от латинского корня и обозначает вес, тяжесть. Фунт подразделяется на 96 золотников, а золотник – на 96 долей. Интересно заметить, что число 96 оказалось очень удобным для изготовления фунтового разновеса. В него входил набор гирь в 1, 2, 3, 6, 12, 24 и 48 золотников. В таком разновесе ни одна гиря не повторялась, а сумма всех их как раз и составляла один фунт. Помимо торгового фунта, употреблялся аптекарский, или нюренбергский фунт, который по образцу римского делился на 12 унций.
Более крупными единицами массы (веса) был пуд, равный 40 фунтам, и берковец, равный 10 пудам. Термин берковец происходит от слова беркун – большая плетеная корзина, короб для подноса корма скоту, для переноски сена, соломы. Кстати, сходное происхождение имеет и хорошо знакомая нам тонна – это не что иное, как английское слово тун – бочка.
В древней Руси единица веса (массы) гривна служила одновременно и денежной единицей. Гривна – слиток серебра, масса которого приблизительно равна позднейшему фунту. Во времена Ярослава Мудрого гривна содержала 20 ногат или 50 резан. Различались гривны кунные, серебряные и золотые. Кунные готовились из низкопробного серебра и стоили вчетверо дешевле настоящих серебряных. Золотая гривна была в 12,5 раз дороже серебряной. Позже гривну стали рубить пополам, и новый слиток в половину денежной гривны, названный рублем, стал основной денежной единицей. Как денежная единица гривна давно вышла из употребления, однако в литературе слово это еще сохранилось. Например, в поэме «Кому на Руси жить хорошо» говорится: «Иная гривна медная дороже ста рублей».
Одним из названий монетной единицы было слово деньга. Эта единица равнялась полукопейке. Шесть денег составляли алтын (алтын от татарского алты – шесть), приравненный к трем копейкам. Название копейка происходит от маленьких монет, выпущенных при Иване грозном, с рисунком всадника с копьем. При Петре I появились гривенники (10-копеечные монеты) и полтинники (50-копеечные монеты).
Заслуживает внимания тот факт, что в древнерусской системе мер проявляется тенденция ввести десятичное деление мер (десятина, копна, штоф, сотка, дюйм, линия, точка, монетная система). Однако, как видно из приведенного краткого обзора, соотношения между единицами мер были самые разнообразные. У всех народов складывалась очень сложная и запутанная, весьма пестрая система мер. Каждое маленькое государство, каждый хоть немного самостоятельный народ, каждый город стремились измерять своими мерами. Вот уж воистину « что город, то норов, что деревня, то и обычай!». Отсюда пошла поговорка «Другого на свою меру не меряй». Неудобства в отсутствии стандартизации мер ощущали люди и в давние времена. Ясно, что всякого рода учет материальных ценностей (особенно при торговле) нуждается в стандартных мерах измерения – эталонах. Попытка ввести такие эталоны предпринята еще в 1136 г. в Великом Новгороде. Там был утвержден устав « О церковных судах, и о людях, и о мерах торговли». «Мерила торговли включали в себя: пуд медовый, гривенку рублевую, локоть еваньский». Всем торговым людям предписывалось «торговые все весы и мерила блюсти без пакости, ни умаливати, ни умноживати, а на всякий год извещати…», т.е. соблюдать эталоны длины и веса, а также ежегодно сверять с ними свои гири и мерила. Сами же эталоны хранились в церкви Евань (Ивана) на Опоках. Нарушителям закона эталонов устав грозил карами вплоть до «предания казни смертию». Однако плутоватые купцы зачастую мошенничали, надеясь на ловкость рук и на «искупительное покаяние вкупе со мздой Ивану на Опоках».
С образованием и расширением централизованного Московского государства, с развитием торговых связей с иностранными государствами все острее ощущается потребность в унификации системы мер. При Иване Грозном, когда уничтожались последние пережитки феодальной раздробленности, проводятся мероприятия к установлению единообразных мер во всем государстве. Рассылаются «печатные медные ведра», запрещается иметь частные весы и предписывается взвешивать товары у пудовщиков. Иноземным купцам строго предписывается «весить всякие заморские и русские товары в таможнях». В приказе большой казны было взвешено «100 золотых, добрых и правдивых», изготовлена «заорленая» гиря и послана к Архангельскому городу для производства расчета с иностранными купцами. В Москве была Померная изба с образцами мер.
Развитие производительных сил и приобретение промысловыми предприятиями фабричного характера при Петре I актуализировали потребность в упорядочении системы мер. Указом Петра I русская система мер была увязана с английской простым соотношением: русская сажень, подразделявшаяся на 3 аршина, была принята равной 7 английским футам. Бургомистрам поручается надзор за мерами, контролерам адмиралтейств и верфей вменяется в обязанность каждое полугодие осматривать меры и весы в « магазинах», «дабы упредить воровские умыслы». Комиссия о мерах и весах установила точную величину аршина по сохранившемуся в кабинете Петра I полуаршину в 14 английских дюймов и образцовый фунт. По которому был изготовлен платиновый эталон. Закон о мерах и весах 1797 г. был свидетельством передового характера метрологической мысли в России той эпохи. В работах по совершенствованию отечественной метрологии деятельное участие принимал «добрый гений Российской Академии» Л. Эйлер.
Не только в XVIII, но даже в XIX в. обсуждать проблему эквивалентного измерения, особенно в международном масштабе, было весьма затруднительно. Комиссия образцовых мер и весов 1827 г. разработала «Систему российских мер и весов», которая действовала до введения у нас метрической системы. Законом о мерах и весах 1842г. создано «Депо образцовых мер и весов для хранения эталонов», преобразованное затем в «Главную палату мер и весов», ученым-хранителем которой был Д. И. Менделеев. Была проведена большая работа по возобновлению прототипов русских мер, изданию законов о мерах и весах. Проведению исследовательской работы по метрологии. Для сравнения метрологический центр в Германии был основан в 1887г., в Англии – в1900, в США –в 1901г.
Система мер и весов, сложившаяся в России в XVI – XVIII вв., с небольшими изменениями дожила до Октябрьской революции. Система эта была хороша, когда появилась. Унифицируя местные меры, она отвечала потребностям тогдашней экономики. Но как русская система мер, так и все другие старые системы страдали многими недостатками. Во-первых, единицы мер были неточными, так как устанавливались как среднее некоторых переменных. Во-вторых, единичные отношения мер одной и той же величины были различны, что значительно затрудняло вычисления. Например, в сажени – 3 аршина или 7 футов, в аршине – 16 вершков или 28 дюймов, в пуде – 40фунтов. В-третьих, не существовало никакой простой связи между основными единицами мер для разных величин. В-четвертых, система мер не была согласована с общепринятой десятичной системой счисления. Практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц было бы постоянным и равнялось бы основанию системы счисления – десяти. Именно этим требованиям отвечает метрическая система мер.