Исследовательский проект Исследование Ленты Мёбиуса и её свойств: топологический курьез или удивительное открытие в мире науки?

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 22
ГОРОДА ТЮМЕНИ
XX НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
«ЖИЗНЬ КАК ПОИСК ИСТИНЫ»
 
 
 
 
Исследовательский проект
 Исследование Ленты Мёбиуса и её свойств:
топологический курьез или удивительное открытие в мире науки?
 
 
 
 
Ученицы 7 «В» класса 
Терлецкой Александры
 
 
Руководитель: 
Берсенёва Надежда Владимировна
учитель математики
МАОУ СОШ № 22
 
 
 
Тюмень 2016
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение…………………………………………………………………………... PAGEREF _Toc196828403 \h 3Глава 1…………………………………………………………………………… 4
1.1 Что такое топология…………………………………………………………..41.2 Историческая справка5
1.3 Топологические свойства листа Мёбиуса………………………………… 7
Глава 2
2.1 Использование Ленты Мёбиуса……………………………………………..
2.2 Эксперименты с листом Мёбиуса ……………………………………………
Заключение. 12Приложения…………………………………………………………………… 13
Литература.2 PAGEREF _Toc196828409 \h 1
Введение
Тема исследования листа Мёбиуса, является актуальной, так как в последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела ветвь геометрии - топология. На основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Бумажное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность. И это полезно тем учащимся, у которых недостаточно развито пространственное воображение.
Я выбрала тему листа Мёбиуса, потому что считаю, что она имеет наиболее важное научное и практическое значение и просто интересна для ученика. В своей работе я рассмотрела ленту Мёбиуса и её применение в науке, технике. Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи и т.д. Самое интересное, когда мы начинаем разрезать ленту Мёбиуса. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Меня так заинтересовал этот лист, что я стала искать про него разную информацию и проводила с ним разные опыты, о результатах которых вам расскажу в своей работе.
Цель: «Исследовать поверхность ленты Мебиуса и её свойства»

Задачи :-Познакомиться с историей появления ленты Мебиуса.
-Выявить и исследовать свойства ленты Мебиуса, установить области применения ленты Мебиуса
- Провести эксперименты, используя кольца Мёбиуса
Объект исследования: Лента Мёбиуса.
Предмет исследования: Свойства Ленты Мебиуса.
Глава 1
1.1 Что такое топология
Тополо́гия - раздел математики, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов: не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. С точки зрения топологии, кружка и бублик неотличимы. Топология в основном изучает поверхности тел и она находит математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку, макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных отношениях они совершенно различны. Примером топологических объектов являются: буквы Л и П, Я и Д. Можно считать, что топология изучает фигуры, сделанные из пластилина, т.к. фигуры из этого материала можно растягивать, сжимать, без разрывов и склеиваний, и получать топологически равные. Примерами топологически равных фигур в жизни могут  быть  шар и тарелка, гайка и баранка, баранка и макаронина. Если, деформируя одну фигуру, можно перевести ее в другую без разрывов, разрезов и склеиваний, то обе фигуры считаются топологически неразличимыми. Взяв шарообразный ком сырой глины, можно совершить с ним на гончарном круге целый ряд превращений, которые ни один тополог не признает изменением формы. Приплюснув ком сверху ладонью, получим вместо шара эллипсоид, затем продавим в середине вмятину и, постепенно углубляя и расширяя ее, сделаем глиняную чашу. Вытянув верхнюю часть чаши, преобразим ее в кувшин, у которого можно даже оттянуть спереди "носик". Для тополога все это будет одна и та же фигура. Вот если теперь оторвать кусочек глины и прилепить к кувшину ручку, мы получим совершенно новую топологическую фигуру. Ведь мы проделаем сразу две запретные  операции - разорвем материал, а потом склеим его в другом месте. Пример топологии -таинственный и знаменитый лист Мебиуса. Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения этой новой науки. Меня очень заинтересовала эта тема. Я решила углубить свои познания в этой области.
Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.
1.2 Историческая справка
История создания ленты (листа)Мёбиуса.
Лист Мебиуса - символ математики, Что служит высшей мудрости венцом…Он полон неосознанной романтики:В нем бесконечность свернута кольцом.В нем – простота, и вместе с нею – сложность,Что недоступна даже мудрецам:Здесь на глазах преобразилась плоскость.В поверхность без начала и конца… (Наталия Юрьевна Иванова)

Как-то незаметно для окружающих в 26 лет Мёбиус стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил поражать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро…
На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.
На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.
Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.
Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.
Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.
1.3 Топологические свойства листа Мёбиуса
Основными свойствами ленты Мебиуса являются:
односторонность,
непрерывность,
связность,
ориентированность,
“хроматический номер”.ОдносторонностьСвойства ленты Мёбиуса хорошо известны: 1) она имеет одну поверхность, 2) однако в каждом поперечном сечении эта поверхность имеет "внешнюю" и "внутреннюю" стороны, которые по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.
Непрерывность3886200548640Тополог может, как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.
Представьте себе, что по наружной поверхности обычного кольца путешествует муравей. Если муравей не пересекает рёбра, а идёт вдоль листа, он вернётся в исходную точку, обойдя наружную поверхность. На ленте Мёбиуса путешествие муравья будет длиться вдвое дольше: муравей, не пересекая рёбер, обойдёт обе поверхности – наружную и внутреннюю.
СвязностьЕсли квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.
Ориентированность.
Ориентированность – свойство, отсутствующее у ленты Мёбиуса. Так, если бы человек смог путешествовать по всем изгибам ленты Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение.
Хроматический номер“Хроматический номер” равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его 3429000457200склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер ленты Мёбиуса? Он, как ни поразительно, равен шести.
Глава 2
2.1 Использование Ленты Мёбиуса
1.Применение в технике.
Уже сегодня удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях. Многие ученые в своих изобретениях использовали принцип ленты Мебиуса.
В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера — энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.

Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры ленты увеличивать нельзя? Несколько лет назад изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: размеры ленты увеличились вдвое.
Есть фильтры, в которых жидкость пропускают сквозь ленту из фильтрующего материала. Постепенно эта лента засоряется, приходится её менять. На фильтр с лентой Мёбиуса тоже выдано авторское свидетельство.
Есть авторское свидетельство и на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофонная пленка, соединенная таким образом, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мебиуса вдвое дольше, чем обычную.
Скольких людей приводили в восторг аттракционы “Американские горки”. Лента Мебиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.
А всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.
2.Использование идеи в творчестве.
Мёбиусовая лента понравилась не только математикам, но и фокусникам.
Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).
Чудесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. Лист Мёбиуса был эмблемой известной серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе А.Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".
Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. Не зря ведь, наверное, сейчас у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.
Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса.




Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах
книга Инженерно- производственная фирма Мебиус
Ресторан «Лента Мебиуса»футболка серьги компьютерный салон Международный символ переработки
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Ленте Мебиуса посвящают стихи:
Лист Мёбиуса.
Наталия Юрьевна ИвановаЛист Мебиуса - символ математики,Что служит высшей мудрости венцом…Он полон неосознанной романтики:В нем бесконечность свернута кольцом.В нем – простота, и вместе с нею – сложность,Что недоступна даже мудрецам:Здесь на глазах преобразилась плоскостьВ поверхность без начала и конца.Здесь нет пределов, нет ограничений,Стремись вперед и открывай миры,Почувствуй силу новых ощущений,Прими познанья высшего дары:Познай любовь и ненависть изведай,Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.Ты в одночасье насладись победойИ горечь пораженья испытай.На грани бесконечного блаженстваИспытывая суеверный страх,Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,Окажешься в таинственных мирах.И, вдохновленный этим дерзновеньем,По экспоненте поднимаясь в высь,Ты ощутишь восторг освобожденья,Почувствуешь, как возникает Мысль.Покажется, что распростерлась Вечность,Что взломан Мироздания пароль.И вдруг твое стремленье в бесконечностьТебя вернет к исходной точке: в ноль.Как о порог, об этот ноль споткнешься.Но как бы ни был прежний путь тернист,Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)Путь в бесконечность – Мёбиуса лист!
Как замыкается пространство.Стихотворение Вадима Соколова:
В бессрочной ленте бытия,Где не мешает слов убранство,Поступков лживости змея.Бескомпромиссно, непорочно,Бесстрастно в вечности своей.Одностороннее построчно,Объемно в матрице полей.Незрима грань ума и сердца.Её попробуй пересечь…Придется только там вертеться,Где точка всех разлук и встреч.Как странна точка перегиба,Что отделяет жизнь и смерть….В жизнь прибегаешь торопливо,Боясь, наверно, не успетьПройти весь длинный путь до срока…Бежишь, не видя ничего,И в том, что выбрал ты, нет прока…И счастье-то – несчастливо,Беда, ведь, в сущности, не горе,А горе – вовсе не беда…Вот, себялюбие – в позоре,А глупость – горе навсегда.И всё бежишь, не зная меры.Дверь приоткрыта, вечность ждёт…Ты здесь один, и всё без веры….А благодать к тебе сойдет?Да полно ждать благословенья,Когда граница всех дорогУж пред тобой. Одно мгновенье –И вот уже нажат курок,Не пистолета, не винтовки,Судьба-оружие бьет цель.И, как всегда, наизготовку,Кладет на черную постель.Преодолев земные страсти,Пути другие ты пройдешь.Ты будешь прежним лишь отчасти,Когда сюда ты вновь придешь.Так замыкается пространствоВ бессрочной ленте бытия.Всегда наш путь – дорога странствийИ поиск именно себя.
2.2 Эксперименты с листом Мёбиуса
Описание экспериментов.
I опыт: Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придем снова в отмеченную точку.
II опыт: Закрасим полностью только одну сторону колец. Раскрасим внутреннюю и внешнюю сторону обычного кольца разными красками. Попробуем раскрасить ленту Мебиуса. «Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?»
III опыт: Закрасим непрерывной линией только один край колец. Закрасим узенькую полоску края ленты.
IV опыт: На внутреннюю сторону обычного кольца посадим зайца, а на наружную волка. Разрешим им бегать как угодно, запретив перелезать через края кольца. Посадим на ленту Мебиуса зайца и волка. Разрешим им бежать в разных направлениях.
V опыт: Разрежем кольца пополам вдоль. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)
VI опыт: Разрежем кольцо вдоль, отступив от края 1/3. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)
VII опыт: Разрежем результат I опыта (уже разрезанную ленту) пополам вдоль.
VIII опыт: Склеим ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, не сминая бумаги.
IX опыт: Склеим ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, складывая бумагу.
X опыт: Опыты с многоразовым перекручиванием и разрезанием.
Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4...
Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорится: "просто, как все гениальное". Видимо, верно, и обратное утверждение: "гениально, как все простое".
Проведение экспериментов.Результаты моих экспериментов с бумагой и экспериментальных исследований свойств ленты Мебиуса представлены в Таблице 1.
Таблица 1
I Поставь точку на одной стороне каждого кольца и черти непрерывную линию вдоль него, пока не придешь снова в отмеченную точку
Обычное кольцо Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая сторона остается чистой
Лента Мебиуса Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке II Закрась полностью только одну сторону колец
Обычное кольцо Одна сторона закрашена, другая – нет
Лента Мебиуса Лента закрашена целиком III Закрась непрерывной линией только один край колец
Обычное кольцо Один край кольца закрашен, второй край нет
Лента Мебиуса Линия края получилась, непрерывно закрашена на всем кольце IV На внутренней поверхности стоит заяц, а по внешней идет в любую сторону волк
Обычное кольцо Заяц и волк никогда не встретятся, не пересекая края

Лента Мебиуса Заяц и волк встретятся, не пересекая края в любом случае V Разрежь кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям
Обычное кольцо Получилось два кольца, уже, чем исходное, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого
Лента Мебиуса Получилось одно кольцо в виде восьмёрки V.A Для проверки: какая получилась поверхность, на полученных в опыте V кольцах необходимо провести непрерывную линию
Обычное кольцо Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца Лента Мебиуса Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца. (Получилась не лента Мебиуса) VI Разрежь кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца
Обычное кольцо Получилось 2 кольца одно уже, другое шире
Лента Мебиуса Получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое VI.A Для проверки: какая получилась поверхность, на полученных в опыте VI кольцах необходимо провести непрерывную линию
Обычное кольцо Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца Лента Мебиуса Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне большого кольца (не лента Мебиуса), по всей поверхности маленького кольца будет проходить линия с двух сторон (лента Мебиуса) VII Разрежь результат V опыта (уже разрезанную ленту) пополам вдоль
Обычное кольцо Получаются отдельные кольца все уже и уже
Лента Мебиуса Получилось два больших кольца, переплетенные между собой в виде восьмерки VIII Склеить ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны не сминая бумаги
Обычное кольцо Получится «труба» Лента Мебиуса Невозможно осуществить на практике, не сминая бумаги IX Склеить ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны складывая бумагу
Обычное кольцо Получится «труба» Лента Мебиуса Получим ленту Мебиуса X Опыты с многоразовым перекручиванием и разрезанием

Экспериментальные выводы.
Итак, на основе проведенных мною теоретических и практических исследований можно сделать следующие выводы:
Лента Мебиуса имеет 1 край.
Лента Мебиуса имеет одну поверхность.
Лента Мебиуса имеет одну искривленную поверхность, и если по ней двигаться, можно с внутренней части переместиться на внешнюю.
Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски.
Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.
Если закрашивать одну сторону ленты Мебиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты.
Если пустить по поверхности ленты Мебиуса, движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго.
Лента Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины.
Если допустить, что можно взять квадрат или прямоугольник любого размера и при этом можно сгибать бумажную поверхность, то мы сможем склеить ленту Мебиуса.
Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена – но не лента Мебиуса.
Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края 1/3 ее ширины, то получится два кольца, сцепленные между собой, одно большое – не лента Мебиуса, другое маленькое – лента Мебиуса.
Примером односторонней поверхности является Бутылка Клейна.

Бутылка Клейна
В результате исследования обнаружилось, что можно многократно перекручивать при склеивании ленты Мебиуса, и тогда нас ждет непредсказуемый витиеватый узор.
Тема ленты Мебиуса пользуется популярностью у творческих личностей: в мире существует множество художественных произведений посвященных этой теме (литература, скульптура, живопись, графика и т.д.).
Обнаружилось, что существуют и технические применения ленты Мебиуса.
Заключение
Лента Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыл ученый. Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по – прежнему привлекает к себе внимание ученых, изобретателей, художников. В ходе данного проекта-исследования мною была прочитана и переработана большая разнообразная информация, посвященная объекту моего исследования, различные источники сети Интернет, мне встречались также и работы учащихся, я проводила сравнение различных источников и анализировала прочитанное.
Я познакомилась с историей создания ленты Мёбиуса. В своей работе я пыталась описать свойства этой прекрасной поверхности – листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лента Мебиуса – топологическая фигура. Таким образом, используя теоретические и эмпирические методы, (опираясь на теорию о ленте Мебиуса, на её конструирование) мне удалось добиться следующих результатов:
1.Лента Мебиуса имеет один край.
2.Лента Мебиуса имеет одну сторону.
3.Лента Мебиуса топологический объект.
4.Один край и одна сторона ленты Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.
5.Лента Мебиуса представляет собой неориентированную поверхность.
Я сумела получить интересный математический материал. Я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.
Мною не исчерпаны опыты с лентой Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения.
Литература
М.Гарднер. Математические чудеса и тайны. – М: Наука, 1978.
Е.С. Смирнова. Курс наглядной геометрии. – М: Просвещение, 2002.
И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Еранжиева. Наглядная геометрия. 5-6 класс. – М: Дрофа, 2000.
Энциклопедия для детей «Математика». – М: Аванта+, 2005.
Гарднер М.Математические досуги. М. Мир,1972.
Барр С. Россыпи головоломок. Москва, Мир, 1987.
Левитин К. Геометрическая рапсодия. Издательство «Знание», Москва,1984
Материалы сайтов:
http://arbuz.uz/t_lenta.htmlhttp://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htmhttp://www.kvant.info/http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/