Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике. Некоторые выборочные задания с решениями

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике2013-2014 учебный год Некоторые выборочные задания с решениями 5 класс 2. Произведение четырех последовательных натуральных чисел равно 7920. Найти эти числа.Ответ: 8, 9, 10, 11 Ответ школьник может и не обосновывать.Найти ответ можно, например, так: число 7920 не делится на 7.Поэтому, все сомножители больше 7. А произведение 9x10x11x12 слишком велико.Критерии: 7 баллов - есть ответ. 0 баллов – ответа нет, или он ошибочный. 6 класс 1. Найти все такие двузначные числа ( с ненулевыми цифрами), каждое из которых при перестановке его цифр становится меньше исходного не менее чем в три раза.Ответ: 51, 61, 71, 81, 91, 92.Если последняя цифра единица, то подходят только 51,61,71,81,91.Если последняя цифра 2 , то подходит только 92.Для других последних цифр таких чисел нет.Критерии: 1 балл за правильный ответ без обоснования.Внимание! Возможное правильное решение – полный перебор всех (!) двузначных чисел, оценка за полный перебор–7 баллов. 6 класс 3. Можно ли составить из цифр 1,2,3,…,8,9 такое девятизначное число, что между цифрами 1 и 2 стоит нечетное количество цифр, между цифрами 2 и 3 - также нечетное количество цифр, …, между цифрами 8 и 9 - также нечетное количество цифр? 6 класс (продолжение) Ответ: Нет, нельзя. Отметим все цифры, стоящие на нечетных местах ( их пять), и все цифры, стоящие на четных местах ( их четыре). Если бы указанное число в условии было бы возможно, то все девять цифр оказались бы на местах одной четности, что невозможно.Критерии: За правильный ответ без обоснования баллов не даётся. 7 класс 5. Натуральные числа x, y, z таковы, что 28x+30y+31z=365. Какие значения может принимать сумма x+ y+ z ?Ответ: 12Значение 12 получается при x=1, y=4, z=7 (смотри календарь на год).Если x+ y+ z 11, тогда 28x+30y+31z 31 11= 341.Если x+ y+ z 13, тогда 28x+30y+31z 28 11+30+31= 369.Критерии: За правильный ответ без обоснования - 1 балл. 8 класс 1. В вершинах и центре правильного восьмиугольника расставляют цифры от 1 до 9 ( каждую по одному разу) так, чтобы суммы чисел вдоль всех больших диагоналей были одинаковы. Какие значения может принимать число в центре?Ответ: 1, 5, 9 Понятно, что больших диагоналей 4. поэтому сумма цифр на их концах должна делиться на 4. Вся сумма девяти цифр – 45. Значит, вычитать ( ставить в центр) надо только числа, дающие остаток 1 при делении на 4. Необходимо привести способ расстановки восьми из цифр в каждом из трех вариантов. Критерии: За правильный ответ без обоснования - 1 балл.За неполный ответ с обоснованием (неполным) - 1 балл. 9 класс 2. Каких шестизначных чисел больше: представимых в виде произведения двух трехзначных или остальных?Ответ: остальных больше.Решение. Заметим, что всего существует 900000 шестизначных чисел и 900 трехзначных чисел. Подсчитаем общее количество чисел, представимых в виде произведения двух трехзначных чисел. Имеется не более чисел, представимых в виде произведения двух различных трехзначных чисел, и еще 900, представимых в виде произведения двух одинаковых трехзначных чисел. Итого, получаем не более 405450 таких чисел. Шестизначных таких чисел будет еще меньше, т.е. меньше половины от всех шестизначных чисел.Комментарий. Угаданный ответ без обоснования: 0 баллов. 10 класс 1. Карлсон задумал трехзначное число и выписал его на длинной стене 2013 раз подряд без пробелов, получив многозначное число. Могло ли оно делиться на 2013?Ответ: Да, могло.Решение. Заметим, что 2013=3·671. Если выписать 2013 раз подряд число 671, то полученное 6039-значное число будет делиться на 671. Кроме этого, сумма цифр этого 6039-значного числа равна (6+7+1)·2013=14·3·671 — делится на 3. Значит, по признаку делимости на 3, выписанное число делится и на 3. Поскольку 3 и 671 — взаимно простые, то оно делится и на их произведение.Комментарий. Угаданный ответ без обоснования: 0 баллов. 10 класс 2. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелка часов взаимно перпендикулярны?Ответ: 44.Решение. В сутки часовая стрелка делает 2 оборота, а минутная 24. Отсюда минутная стрелка обгоняет часовую 22 раза и каждый раз с часовой стрелкой образуется по два прямых угла, т.е. ответ: 44.Комментарий. Угаданный ответ без обоснования: 1балл. 11 класс 4.Докажите, что для всех действительных чисел x и y выполнено неравенство.Решение1. Пусть . Умножим на (x-y):Функция f монотонна, поэтому 11 класс (продолжение) Решение2. Сделаем замену: Спасибо за внимание!