Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Киселева М.В.учитель математики
МОУ «Средняя школа №17»
Элективный курс
«Обратные тригонометрические функции»
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Определение обратимой функции; условие обратимости функции; определение функции обратной по отношению к функции y=f(x); свойства взаимно обратных функций.
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями
Тождественные преобразования выражений с обратными тригонометрическими функциями
Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции
Тематическое планирование
№ Тема занятияКолич. часовВид занятияТребования к математической подготовке1 Понятие взаимно обратных функций. Свойства. Примеры. 1 часЛекция Знать определение обратной функции; условие обратимости функции; определение функции, обратной по отношению к функции y=f(x); уметь находить функцию, обратную линейной функции y=kx+b; определять область определения и множество значений взаимно-обратных функций. Знать, что графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой y=x, знать примеры взаимно-обратных функций.
2 Обратные тригонометрические функции. Их графики и свойства. Тождества:
arcsin-x=-arcsin⁡(x)arccos-x=π-arccos⁡(x)1 часЛекцияЗнать на каком промежутке какая из тригонометрических функций обратима. Уметь строить графики взаимно-обратных тригонометрических функций, указывать их Df, E(f), характер монотонности. Знать тождества:
arcsin-x=-arcsin⁡(x)
arccos-x=π-arccosx
arctg-x=-arctgx
arcctg-x=π-arcctg⁡(x)
Уметь применять при выполнении упражнений.
3 Вычисление значений обратных тригонометрических функций. Тождества:
cosarcsina=1-a2, a≤1sin(arccosa)=1-a2, a≤11 часУрок-практикумУметь доказывать и применять тождества:
cosarcsina=1-a2, a≤1
sin(arccosa)=1-a2, a≤1
Уметь находить значения выражений типа:
arccoscosα; arcsinsinα в случае если α∉ 0;π α∉-π2;π2
А также выражений типа:
tgarcsina, ctgarcsina,arcsintgα, arccos⁡(tgα)4 Нахождение области определения и множества значений функции; решение уравнений функциональным методом. 2 часаУрок-практикумУметь находить область определения и множество значений функции типа
y=f(arcsinx) или y=arcsinf(x) в несложных случаях. Применять эти умения при решении уравнений функциональным методом.
5 Решение уравнений и неравенств используя свойства монотонности обратных тригонометрических функций, тождества. 2 часаУрок-практикумУметь применять свойство монотонности обратных тригонометрических функций и доказанные ранее тождества при решении несложных уравнений и неравенств.
6 Урок-консультация1 часЛИТЕРАТУРА
Г,В. Дорофеев и др. Пособие по математике для поступающих в вузы, издательства «Наука» М., 1967 г.
Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко Алгебра и элементарные функции. Справочник «науковая думка» киев 1976г.
В.С. Крамор, К.Н. Лунгу Повторяем и систематизируем школьный курс тригонометрии. Пособие для старшеклассников и абитуриентов. АРКТИ, М., 2001 г.
В.К. Бернан, А.Б, Никитин «Математика» (практикум) Санкт-Петербург, издательство Политехнического университета, 2006г.
Б.Г. Зив «Задачи по алгебре и началам анализа от простейших до более сложных» Санкт-Петербург, 1997г, НПО «Мир и семья-95»
В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович Задачник-практикум по математике. Для поступающих в ВУЗы. М., «Мир и Образование», 2005г.
Г.И. Ковалева, Е.В. Конкина Функциональный метод решения уравнений и неравенств. Библиотека «первого сентября». Серия «Математика». М., 2008г.
Математика на вступительных экзаменах в СПбГПУ (под редакцией профессора В.В, Глухова) СПб: издательство политехнического университета 2005г.
«3000 конкурсных задач по математике» М., Айрис-пресс 1998 г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
По данной теме с учащимися проводится беседа следующего содержания.
Сравним две функции y=fxи y=g(x), графики которых изображены на рисунке. Обе они определены на отрезке [a,b], множеством их значений является отрезок [c;d] Функция y=fx обладает таким свойством: какое бы число y0 из множества значений функции ни взять, оно является значением функции в одной точке x 0 y0=f(x0)33204153206755715273050
Функция y=g(x) таким свойством не обладает. Так, выбранного на рисунке значения y0 имеем gx1=y0, gx2=y0, gx3=y0. Иными словами, среди значений функции y=g(x) имеются такие, которые функция принимает более чем в одной точке области определения. Говорят, что функция f(x) обратима, а функция g(x) необратима.
Определение: функция y=f(x) определенная на промежутке X называется обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке промежутка X.
Иными словами, любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции.
Теорема. Если функция y=f(x) монотонна на промежутке X, то она обратима.
Доказательство: пусть f(x) возрастает на X, тогда лбым двум значениям аргумента x1,x2∈x, таким, что x1>x2 соответствуют значения функции fx1 и f(x2). Таким образом, различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, функция f(x) обратима.
Определение. Пусть обратимая функция y=f(x) определена на промежутке x, а множество её значений является промежуток Y. Поставим в соответствии каждому y из Y то единственное значение x , при котором fx=y (т.е. единственный корень уравнения fx=y). Получим функцию x=g(y) которая называется обратной по отношению к функции y=f(x)Из теоремы следует, что для любой монотонности на X функции y=f(x) существует обратная функция. Чтобы найти ее нужно из уравнения y=f(x) выразить x через y→x=g(y), а затем обозначить аргумент буквой x, а функцию буквой y, как принято: y=g(x).
Если пара чисел (x;y) удовлетворяет уравнению y=f(x), то уравнению y=g(x) удовлетворяет пара чисел (y;x). Этот переход от функции y=fxгде x∈X, y∈Y к обратной функции связана с изменением ролей множества X и Y.
Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной.
График функции y=g(x) получается из графика функции y=f(x) с помощью преобразования плоскости, переводящего точку x,y в точку (y;x). Это преобразование – симметрия относительно прямой y=x.
Итак, графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой y=x.Пример 1.
y=2x-1
Dy:x∈R. функция возрастает на R, поэтому имеет обратную.
Выразим x через y:y+1=2xx=y+12; x=12y+12
Заменяем x на y, y на x: y=12x+12Функция y=12x+12 является обратной для функции y=2x-1.
-60960141605
Графики функций симметричны относительно прямой у= хПример 2. y=x2, x∈0;+∞Функция y=x2возрастает на промежутке 0;+∞, значит, она имеет обратную.
Выразим x через y: x=y;x∈0;+∞ (Заметим x=-y;но x∉0;+∞ )
Заменяем x на y, y на x: y=x;Функция y=x является обратной для функции y=x2, x∈0;+∞График функции y=x строим симметрично графику функции
y=x2, x≥0 относительно прямой y=x144653028575
Пример 3. y=x2-1, x≥0Функция y=x2-1, x≥0 возрастает на промежутке 0;+∞, а значит, имеет себе обратную.
Выразим x через y : y+1=x2x=y+1 (x=-y+1 не удовлетворяет условию x≥0 )Заменим x на y, y на x: y=x+1Функция y=x2-1, x≥0 и y=x+1 взаимно обратные, их графики симметричны относительно прямой y=x.311150309880
Также можно доказать, что если одна из взаимно-обратных функций возрастает, то и другая возрастает.
Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса и выводы, которые следуют из определений, удобно записать в виде таблицы.
arccosa=α, если
cosα=a0≤α≤πarcsina=α, если
sinα=a-π2≤α≤π2arctga=α, если
tgα=a-π2≤α≤π2arcctga=α, если
ctgα=a0≤α≤πcosarccosa=aa ≤1sinarcsina=aa ≤1tg arctg a=aa∈Rctg arcctg a=aa∈Rarccoscosα=αα∈0;πarcsinsinα=αα∈-π2;π2arctgtgα=αα∈-π2;π2arcctgctgα=αα∈0;πДальнейшее объяснение можно вести таким образом.
Функция y=cosx убывает на отрезке 0;π поэтому имеет себе обратную: y=arccosxФункцияy=cosxy=arccosxD(y)0;π-1;1E(y)-1;10;πХарактер монотонности Функция убывает на отрезке: 0;πФункция убывает на отрезке: -1;1Графики симметричны относительно прямой y=x.539115318135
Функция y=sinx возрастает на отрезке -π2;π2, поэтому имеет себе обратную: y=arcsinxФункцияy=sinxy=arcsinxD(y)-π2;π2-1;1E(y)-1;1-π2;π2Характер монотонности Возрастает на отрезке:-π2;π2Возрастает на отрезке:-1;192011532385
Функция y=tg x возрастает на интервале -π2;π2, поэтому имеет себе обратную: y=arctg xФункцияy=tg xy=arctg xD(y)-π2;π2-∞;+∞E(y)-∞;+∞-π2;π2Характер монотонности Возрастает на интервале -π2;π2возрастает
Докажем тождество arcsin(-x)=-arcsinx, где x≤1 Перепишем его в виде –arcsin(-x)=arcsinx и обозначим arcsin-x=α тогда
sinα=-x и-π2≤α≤π2 . однако sin(-α)=-sinα=x и -π2≤-α≤π2 это означает, что –α=arcsinx. Значит, arcsinx=-arcsin(-x) иarcsin(-x)=-arcsinx, что и требовалось доказать.
Функция y=arcsinx- нечетная.Докажем тождество arccos(-x)=π-arccosx, где x≤1.
Пусть arccos(-x)=α, это означает cosα=-x и 0≤α≤πТогда cosπ-α=-cosα=x, π≤ -α ≤0
0≤ π-α≤π
Это означает, что arccosx=π-α значит,
arccosx=π-arccos-x или arccos(-x)=π-arccosx, что и требовалось доказать.
Функция y=arccosx не является ни четной, ни нечетной.Справедливы также тождества:
arctg –x=-arctg xarcctg –x= π-arcctg xДокажем тождество
arcsinx+arccosx=π2, где x≤1
Данное тождество равносильно следующему:
arcsinx= π2-arccosx , но sinπ2-arccosx=cosarccosx=x т.к. 0≤arccosx≤π, то π2≤π2-arccosx≤π2 из этих условий π2≤π2-arccosx≤π2 и sinπ2-arccosx=x следует, что π2-arccosx=arcsinx или arcsinx+arccosx=π2, что и требовалось доказать.
Справедливо также тождество arctg x+arcctg x=π2.
Вычислим cosarcsina, где a≤1Пусть arcsina=α, причем -π2≤α≤π2 и sinα=a требуется вычислить cosα.
cos2α=1-sin2α, т.е. cos2α=1-a2, α∈-π2;π2.На этом промежутке cosα≥0, поэтому cosα=1-a2. Итак, cosarcsina=1-a2
справедливо также тождество: sinarccosa=1-a2, где a≤1.
БАНК ЗАДАЧ
Задания для устных упражнений.
Вычислить:
arccos-22+arcsin-22;
sin12arccos12;
sin3π2-arccos514;
arccoscosπ4;
cosarcctg (-3)+ arctg -3+arcsin12;
arcsinsin-π7;
sinarccos-12- arctg -13;
Пересекаются ли графики функций:
fx=arccosx и gx= 3x+3,15;
fx=arcsinx и gx=2x+1,58;
Решить неравенствоarcsinx≤-π2arcsinx>π2arctg x ≤ -π2Найти область определения и множество значений функции:
y=arcsinx+arccosxy=arccosx-πy=arcsinx+ x-1Построить графики этих функций.
Задания к занятиям
Вычислить:
arcsin-sin7π3;
Решение:
arcsin-sin7π3= -arcsinsin7π3=-arcsinsin2π+π3=-arcsinsinπ3=-π3 т.к. -π3∈-π2;π2;
arccoscos-17π5;arcsinsin11π10;
arccoscos6π5;
arccoscos10;
Решение:
10∉0;π
3π<10<4π
-π<10-4π<0
0<4π-10<π
arccoscos10=arccoscos4π-10=4π-10
arcsinsin5;
arcsinsin15;
arccoscos-26;
cosarcsin-1213+arcsin45;
sinarcsin-13+3π2;
sinarctg -13+3π2;
cosarctg -13-3π2;Найти область определения функции:
fx=arcsinx-2+x-2fx=arccos(x-1)+1-xfx=arcsin2x-1-xfx=x3arcsinx+1fx=arcsin9x2+3x-1fx=ctg 3arccosxНайти множество значений функции:
fx-sin0,25 arcctg xРешение:
Пусть z=0,25 arcctg x0<arcctg x <π
0<0,25arcctg x<π4
т.о.z∈0;π4
функция y=sinz непрерывна, возрастает на отрезке 0;π2, значит Ey=22;1y=cos0,25arccosx;
Ответ: Ey=22;1;
fx=9πarccos32+sinx-cosx42;
Решение:
Обозначим z=32+sinx-cosx42z=34+142sinx-cosx
z=34+14sinx-π4
z∈12;1
Рассмотрим функцию y=9πarccosz, убывающую на отрезке -1;1yнаим=y1=9πarccos1=0
yнаиб=y12=9πarccos12=9π∙π3=3
Ey=0;3
Ответ: 0;3y=3πarccos0,125cosx-sinxОтвет: Ey=2;1.
Решить уравнения, используя определение обратных тригонометрических функции.
4arctg 3x-1x+3=π4arctg x2-3x+3=πarcsintg π4-arcsin3x-π6=0Ответы: а. 4; б.1; в. 4;
Решить уравнения методом введения новой переменной:
2arcsinx2-5arcsinx+2=02arcsinx2+π2=3πarcsinx9arccos2x2-3πarccos2x=2π2 Ответы: а. sin12; б. 1; в. -14.
Решить уравнение (неравенство), используя тождество arcsinm+arccosm=π2arcsinx2+x+12=arccosx2+x+12Решение:
arcsinx2+x+12=π2-arcsin x2+x+12
arcsinx2+x+12=π4
x2+x+12=12
x2+x=0
x=0x=-1
Ответ: -1;0.
arcsin5x-13+2arccos5x-13=5π6arccosx-arcsinx=π6arcsinx+2arccosx>2π3Решение:
π2-arccosx+2arccosx>2π3
arccosx>π6
arccosx>arccos32
Т.к. функция y=arccost убывающая, то x<32Область определения неравенства -1;1Учитывая это, имеем -1≤x<32Ответ: x∈-1;32Решить уравнение (неравенство) используя тождества:
arcsinx=arccos1-x2
arccosx=arcsin1-x2
arccosx=arcsin2xРешение:
Область определения уравнения:
-1≤x≤1,-1≤2x≤1; x≤1,x≤12,x≥-12; т.е. x∈-12;12arccosx=arccos1-4x2
x=1-4x2
x2=1-4x2
x2=15
x=15x=-15
arccosx∈0;π
arcsin2x∈-π2;π2 , значит, равенство достигается, если arccosx∈Iчетверте иarcsin2x∈IчетвертеПоэтому x=15 посторонний корень.
Ответ: x=15arccosx+arccosx2=π2Решение:
Область определения уравнения: -1;1arccosx2=π2-arccosx
arccosx2=arcsinx
arccosx2=arccos1-x2
x2=1-x2
1-x2=x24x≥0
x2=45; x=25x=-25x=-25 не удовлетворяет условию x≥0Ответ: x=25arcsin2-2x<arccosxРешение:
Область определения неравенства
-1≤2-2x≤1,-1≤x≤1; 12≤x≤32,-1≤x≤1;x∈12;1
arcsin2-2x<arcsin1-x2
Т.к. функция y=arcsint возрастающая, то 2-2x<1-x2Решим неравенство 1-x2>2-2x2-2x≥0,1-x2>2-2x2; или 2-2x<0,1-x2≥0;x≤1,5x2-8x+3<0; x>1,x2-1≤0;5x2-8x+3<0 x2-1≤05x2-8x+3=0 x2-1=0x=1x=0,6 x=1x=-132956589535
Решение системы 0,6;1Решением неравенства является интервал 0,6;1.
Учитывая область определения неравенства, имеем x∈0,6;1Ответ: 0,6;1arcsin2x<arccos1-x;arcsin2x+arccos1-x<0Решение:
Область определения неравенства:
-1≤2x≤1,-1≤1-x≤1; -12≤x≤12,-2≤x≤0;x∈-12;0-arcsin2x>arccos1-x
Т.к. функция y=arcsint нечетная, то:
arcsin-2x>arccos1-x
arcsin-2x>arcsin1-1-x2
Т.к. функция y=arcsint возрастающая то -2x>1-1-x2Решим неравенство:
-2x-x2<-2x
-2x≥0,-2x-x2<4x2,-2x-x2≥0; x≤0,5x2+2x>0,x2+2x≤0;
5x2+2x>0 x2+2x≤0
5x2+2x=0 x2+2x=0
x5x+2=0 xx+2=0
x=0x=-0,4 x=0x=-2
-55626051435
Решением системы является интервал -2;-0,4Учитывая область определения, записываем решение неравенства x∈-0,5;-0,4Ответ: -0,5;-0,4Решить уравнения, взяв синус (косинус) от обеих частей уравнения.
Решая таким методом, нужно учитывать что равенство тригонометрических функций влечет за собой равенство углов, если эти углы лежат, например в 1 четверти.
2arcsin2x=arccos7xРешение:
Область определения уравнения:
-1≤2x≤1,-1≤7x≤1; -12≤x≤12,-17≤x≤17;x∈-17;17
возьмем косинус от обеих частей уравнения, получим:
cos2arcsin2x=cosarccos7x
Т.к. cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α, то
1-2sin2arcsin2x=7x
1-2∙2x2=7x
8x2+7x-1=0
x=-1x=18
-1∉-17;17
18∈-17;17
Т.к. 2arcsin14∈1 четверти иarccos78∈1 четверти , то x=18 - корень уравнения
Ответ: 182arcsinx=arccos2xОтвет: -1+32arcsin2x+arcsinx=π3Решение:
Область определения уравнения – отрезок -12;12arcsin2x=π3-arcsinx
Возьмем синус от обеих частей уравнения:
sinarcsin2x=sinπ3-arcsinx
2x=sinπ3∙cosarcsinx-cosπ3∙sinarcsinx
2x=321-x2-12x
31-x2=5x
x=328
arcsin2328=arcsin37;
arcsin37∈1 четверти
2<arcsin1237<π4
π3-arcsin1237∈1четверти
Следовательно, x=328 – корень уравнения.
Ответ: 1237Докажите, что уравнение не имеет решений.
log2x-7arccosx =0Решение:
Найдем область определения уравнения.
x-7>0,x≤1; x>7,x≤1;Система решений не имеет; область определения уравнения – пустое множество; поэтому уравнение не имеет решений.
arcsin(x+2)+2x-x2=x-2Решить уравнение:
arcsinx2-2x+2=πx2Решение:
Найдем область определения уравнения.
-1≤x2-2x+2≤1
x2-2x+1≤0,x2-2x+3≥0;
x2-2x+1≤0 x2-2x+3≥0
x-12≤0 x-12+2≥0
x=1. x-любое число
Решение системы x=1
область определения уравнения состоит из одного числа x=1проверим является ли 1 корнем уравнения
arcsin1=π2 - верное равенство т.о. x=1- корень уравнения.
Ответ: x=1.arccos6x-x2-10=πx3Ответ: 3.
Решить неравенство:
arcsin2x+x-1>1Решение:
Найдем область допустимых значений:
-1≤2x≤1,x-1≥0;
x∈2;+∞
0<2x≤1
0<arcsin2x≤π2 и x-1≥1
Т.о. при x∈2;+∞ выполняется неравенство arcsin2x+x-1>1Ответ: 2;+∞x-1+2arcsin1x>1Ответ: 1;+∞Решить уравнение (неравенство) функциональным методом3πarccos(x-1)=3+x4-4x3+4x2arccos(x+4)=-log23x2-84πarcsin(x-1)=2+x2-x-22x>arcsinx-π22arccosx>arccosx-π3arcsinx+πx-π=0arcsin(-x)=π∙4x∙34x+1Ответы: а). 0; б). 3; в).2; г). -1;1; д). -1;1; е). 0,5; ж).-0,5.
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Найти значение выражения:
cosarctg -37
tg arcsin13
arcsinsin33π7
sinarctg -54
ctgarcsin56
arccoscos46π7
Упростить выражение
cosarccosx+arccosy
sin2arcctg x
sinarccosx+arcsiny
cos2arctg x
Найти область определения, множество значений функции. Построить график.
y=sinarcsinx+1
y=cosarccosx-1
Решить неравенствоarccosx<π3
arccos1-x<arcsin1-x
arcsinx<arcsin1-x
arccosx+1>arcsinx+1
Решить уравнение
arcsinx-arccosx=π6
4arctg 2x-1-x=π
Решить уравнение функциональным методом:
log2x2-9∙arccosx=0
6x2-4arcsinx=0
arcsinx=π31-x
3arccosx=π2(1+2x)
1πarcsin(-x)=12+x4+2x3+x2
2πarccos(-0,5x)=2+x2-x-28