Формула Пика в геометрии на клетчатой бумаге.

Комитет по образованию Администрации
Поспелихинского района
Алтайского края
МКОУ «Факел Социализма средняя общеобразовательная школа»
Школьная научно – практическая конференция
Формула Пика в геометрии
на клетчатой бумаге.
Автор:
Оксана Гринько,
ученица 9 класса, МКОУ
«Факел Социализма СОШ»
Руководитель: Федотова
Евгения Владимировна,
учитель математики МКОУ
«Факел Социализма СОШ»
Алтайский край
Поспелихинский район
п. Факел Социализма
2014г
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………....................3
1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1.1. Формула Пика. Решетки. Узлы………………………………….5
1.2.Доказательство формулы Пика. ………………………………7
2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1.Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге……………………………………………..……………9
2.2. Геометрические задачи с практическим содержанием…....13
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………..15
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………..17
ПРИЛОЖЕНИЕ …………………………………………………………18
Введение
«Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь» Д.Пойя
Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» встречаются задачи на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев такие задачи в контрольно – измерительных материалах ГИА и ЕГЭ, я решила исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры. Решения таких задач оригинальны, красивы и часто решаются проще и быстрее, чем аналитическим путем. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.
Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.
Так и была определена тема для исследования.
Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге.
Предмет исследования: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.
Методы исследования:
Теоретические: анализ и синтез.
Эмпирические: сравнение.Индуктивный метод – получение выводов из конкретных примеров.
Эксперимент.
Цель исследования: Проверить формулу Пика для вычисления площадей геометрических фигур в сравнении с формулами геометрии.

Для достижения поставленной цели предусматривается решение следующих задач:
Подобрать необходимую литературу.
Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.
Проанализировать и систематизировать полученную информацию.
Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.
Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.
Гипотеза: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.
При решении задач на клетчатой бумаге понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем. При более внимательном исследовании задач на клетчатой бумаге, убеждаешься в их востребованности, оригинальности, полезности, возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.
Формула Пика. Решетки. Узлы.
При решении задач на клетчатой бумаге необходимы понятия решетки и узла.
Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости.
Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты (Рис. 1). Любой из этих квадратов называется фундаментальным квадратом или квадратом, порождающим решетку. Множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки – узлами решетки.

Рис.1.
Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге (Рис.1), достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицуА также, площадь любого многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим -419108255через вершины нарисованного треугольника. Чтобы вычислить площадь многоугольника, изображенного на рисунке, необходимо достроить его до прямоугольника ABCD, вычислить площадь прямоугольника ABCD, найти площадь заштрихованной фигуры как сумму площадей треугольников и прямоугольников её составляющих, вычесть её из площади прямоугольника. И хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади нам придется потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо, как на следующих рисунках?
30537151205865
Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах решетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика: S = В + Г2 - 1, где S – площадь многоугольника, В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины. Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах решетки.
1.2. Доказательство формулы Пика.
Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины,   — его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S=В+Г2-1.
Пример 1. Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика.
S = В + Г/ 2 – 1
В = 14, Г = 8, S = 14 + 8/2 -1= 17 ( кв.ед.)
110490-156845
Покажу справедливость формулы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата.

Действительно, в этом случае имеем: В=0, Г=4  и S=0+4/2-1=1. Фундаментальный квадрат порождает решетку, то есть решетку можно построить следующим образом. Отметим вершины квадрата. Затем сдвинем его параллельно одной из его сторон на длину этой стороны и отметим две вновь полученные вершины.

Если этот процесс продолжать сначала в одном направлении до длины a, а затем полученную полоску сдвинем параллельно себе в направлении другой стороны квадрата на длину этой стороны до длины b, то получим решетку.
              a               
               
               
               
               
               
               
               
b             

Причем, число узлов решетки, лежащих внутри решетки,
В = (а-1)(b-1), а число узлов решетки, расположенных на его границе,
Г = 2a + 2b.
Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны  и . Имеем в этом случае, В=(а-1)(b-1), Г=2a+2b, тогда по формуле Пика S= (a -1)(b-1) +2a+2b2 -1 = ab-a-b+1+a+b-1=ab. Получили формулу площади прямоугольника со сторонами a, b.
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами a и b. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая, В=а-1b-1-c+2 , 2 Г=2a+2b 2+с-1 и получаем, что  S = a-1b-1-c+22 + a+b+c-12 -1 = ab2 - a2 - b2 - c2 + 32 +a2 + b2 + c2 - 12 - 1 = ab2. Таким образом, получили формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника. Значит, формула Пика верна для прямоугольного треугольника.
Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (Рис.2). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Рис.2.
2.1. Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.
Приведу несколько примеров из заданий ЕГЭ и ГИА на исследование площадей многоугольников.
1) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика
S=12aha=6; h=5.
S= 12∙6∙5=15 см2 S= В+Г2-1Г=12, B=10 .
S=10+122 -1=15см2
2) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник ABC. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика
S=12ahS = 12 ∙ AC ∙ BD
S = 12 ∙ 1 ∙ 1 = 0,5 см2 S= В+Г2-1Г=3, В=0.
S=0+32-1=0,5 см2

3)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырехугольник ABCD. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика
S=a∙bSкв.KMEN=7∙7=49
Sтр.AKB=1/2∙KB∙AK=1/2∙4∙4=8
Sтр.DCE=1/2∙ DE∙CE = ½ ∙ 4 ∙ 4 =8
Sтр.AND= 1/2∙ND∙AN=1/2∙3∙3=4,5
Sтр.BMC=1/2∙BM ∙ CM= ½ ∙ 3∙3=4,5
SABCD=49-8-8-4,5-4,5=24 см2 S= В+Г2-1В=18, Г=14
S=18+142-1=24 см2
4)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика
S1=12a∙b=1/2∙7∙1=3,5
S2=12a∙b=1/2∙7∙2=7
S3=12a∙b=1/2∙4∙1=2
S4=12a∙b=1/2∙5∙1=2,5
S5=a²=1²=1
Sкв.= a²=7²=49
S=49-3,5-7-2-2,5-1=33см² S= В+Г2-1Г=4; В=32.
S=32+42-1=33см²
5)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика
S=a∙ba=36+36=62b=9+9=32S=62∙32 =36 см2
S= В+Г2-1Г=18, В=28
S=28+182-1=36см2
6)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика
S1=12a∙b=1/2∙3∙6=9
S2=12a∙b=1/2∙6∙6=18
S3=12a∙b=1/2∙3∙6=9
S=9+18+9=36 см² S= В+Г2-1Г=18; В=28.
S=28+182-1=36см²
7)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика
S1=12a∙b=1/2∙3∙3=4,5
S2=12a∙b=1/2∙6∙6=18
S3=12a∙b=1/2∙3∙3=4,5
S4=12a∙b=1/2∙6∙6=18
Sкв.=9²=81см²
S=81-4,5-18-4,5-18=36см² S= В+Г2-1Г=18; В=28.
S=28+182-1=36см²
8)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен
четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика
S1=12a∙b=1/2∙2∙4=4
S2=12ah=1/2∙4∙4=8
S3=12ah=1/2∙8∙2=8
S4=12ah=1/2∙4∙1=2
Sпр.= a∙b=6∙8=48
S5=48-4-8-8-2=26 см² S= Г+В2-1Г=18; В=18.
S=18+182-1=26 см²
Вывод: Таким образом, рассматривая задачи на нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнивая результаты в таблицах, я показала справедливость формулы Пика и пришла к выводу, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по выведенной формуле геометрии.
Итак, моя гипотеза оказалась верной.
2.2. Геометрические задачи с практическим содержанием.
Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.
-118110549275Задача 1. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 3)
Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика:
S = В + - 1
В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)
Рис. 3 1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)
-51435193040 Ответ: 420 000 м²
Задача 2. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 4)
Решение. Найдём S площадь четырёхугольника,
Рис. 4.
изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1
В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)
1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)
Ответ: 320 000 м²15240-3175 Задача 3. Вершины квадрата соединены с серединами его сторон, как показано на рисунке 5. Найдите площадь закрашенного восьмиугольника, если стороны квадрата равны 12.
Рис. 5. Решение: По формуле Пика: S = В + Г /2 – 1. В = 21,
Г = 8, S = 21 + 8 / 2 – 1 = 24 (кв.ед.)
Заключение
В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу. Узнала, что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.
В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.
Я научилась вычислять площади многоугольников, изображенных на клетчатом листке. Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных. Такой способ нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, буду использовать на ГИА для решения задач.
В процессе исследования в 9 классе МКОУ «Факел Социализма СОШ» я провела практический эксперимент: решить задачи по нахождению площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге. Класс разделила на две группы. Учащиеся первой группы решали задачи по формулам геометрии, а учащиеся второй группы при решении использовали формулу Пика.
Результаты эксперимента следующие:
1 группа 2 группа
Всего решено задач:
Выводы:
Допущены вычислительные ошибки.
Затруднения в использовании нужных формул.
Повышенный интерес к решению.
Занимательный момент.
Плотность занятия.
Работоспособность учащихся.
Нет вычислительных ошибок.
Занятия геометрией на клетчатой бумаге создают условия для успешного усвоения геометрического материала, включённого в программу по математике. Клетчатая бумага позволяет проводить многие геометрические построения, помогает лучше понять и изучить свойства фигур. Упражнения на клетчатой бумаге способствуют развитию интуиции, воображения, памяти, внимания.
Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому, я решила продолжить работу в этом направлении и рассмотреть задачи на разрезание, задачи на разрезание с раскраской, вычисления на клетчатой бумаге, которые встречаются на олимпиадах по математике.
Список литературы
Вавилов В.В, Устинов А.В. Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.
Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.
Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2014.
Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.
Математические этюды. etudes.ruСеменов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. – М.: «Экзамен», 2013гг
Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Приложение 1.
Задачи на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге по формуле Пика.
Задача 1.
Найдите площадь прямоугольника АВСD (рис.1).
-33718567310Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 . В = 8, Г = 6
S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)
Ответ: 10 см².
Рис. 1

Задача 2. Найдите площадь параллелограмма АВСD (рис.2)
-327660137160Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 . В = 6, Г = 6
S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)
Ответ: 8 см².
Рис. 2

Задача 3. Найдите площадь треугольника АВС (рис.3)
-32766057150Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 . В = 6, Г = 5
Рис. 3
S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²). Ответ: 7,5 см².
Задача 4. Найдите площадь четырёхугольника АВСD (рис. 4)
-35623554610Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 . В = 5, Г = 7
S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)
Ответ: 7,5 см².
Рис. 4

Приложение 2.
Задания В3 из КИМов ЕГЭ по математике.
-356235407035 Задача 1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (рис. 6). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 . В = 12, Г = 6
S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²). Ответ: 14
Рис. 6


Задача 2. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (рис. 7). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
-30480041275Решение. Воспользуемся формулой Пика:
В = 12, Г = 17
S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)
Рис. 7
Ответ: 19,5

Приложение 3.
Задачи – рисунки, для которых применима формула Пика. ЕГЭ по математике.
Сайт «Решу ЕГЭ». ( № 27543 – 27671)
Найти площадь изображенного на рисунке многоугольника: