МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ НАВЫКОВ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ ПРИ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ К ЕГЭ.
Методические основы формирования навыков решения неравенств обобщенным методом интервалов
при подготовке учащихся к егэ.
При подготовке учащихся к итоговой аттестации в форме и по материалам ЕГЭ необходимо вырабатывать навыки решения неравенств. Существует много методов их решения. Ученики не всегда могут правильно определить, каким именно способом наиболее рационально решать конкретное неравенство.
Обобщенный метод интервалов наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Поэтому именно ему я отдаю предпочтение, вместе с тем рассматриваю и другие методы и не ограничиваю своих учеников в их выборе.
Первое знакомство с обобщенным методом интервалов можно начать уже в 9 классе. На этом этапе можно решать неравенства, содержащие модули, иррациональные выражения. В 10 классе – показательные и логарифмические неравенства, в 11 – смешанные неравенства.
Схема решения выглядит следующим образом:
Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция 13 EMBED Equation.3 1415, а в правой 0.
Найти область определения функции 13 EMBED Equation.3 1415
Найти нули функции 13 EMBED Equation.3 1415, то есть – решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство)
Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.
Определить знаки функции 13 EMBED Equation.3 1415 на полученных интервалах.
Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.
Рассмотрим примеры решения неравенств обобщенным методом интервалов, некоторые нюансы в определении знака и особенности упрощенной записи.
9 КЛАСС
Пример 1. 13 QUOTE 1415
Решение:
Перенесем 1 в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю. Имеем 13 QUOTE 1415. Для того чтобы разложить на множители числитель данной дроби, решим уравнение:13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415, т.е. 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415первое уравнение не имеет корней, из второго получим 13 QUOTE 1415
Т. о. получим неравенство 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415
Пример 2. 13 QUOTE 1415
При решении этого примера хочу обратить внимание на возможный упрощенный вариант оформления.
Решение:
13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415
Пример 3. 13 QUOTE 1415
Решение:
Перейдем к системе неравенств: 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415Первое неравенство получено из области определения выражения в числителе дроби. Согласно схеме метода решения надо найти нули функции, т. е. 13 QUOTE 1415, откуда имеем 13 QUOTE 1415 Соответственно получим второе неравенство системы.
Ответ: 13 QUOTE 1415).
Замечание: В 9 классе с обобщенным методом интервалов лучше знакомить наиболее подготовленных учащихся на факультативных занятиях. На данном этапе лучше оформлять решение строго в соответствии с классической схемой.
Задания для самостоятельного решения:
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415).
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ:13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415
10 КЛАСС
Пример 4. 13 QUOTE 1415
Решение:
13 QUOTE 1415,
Ответ:13 QUOTE 1415
Пример 5. 13 QUOTE 1415
Решение:
Перейдем к системе неравенств:
Т. о. 13 QUOTE 1415
Ответ:13 QUOTE 1415
Первое неравенство системы получено в результате нахождения нулей функции 13 QUOTE 1415 , второе – ее область определения.
Пример 6. 13 QUOTE 1415
Решение:
Перейдем к системе неравенств:
Система составлена из трех неравенств, первое получено нахождением нулей функции, второе и третье есть область определения логарифмических функций, находящихся в числителе и знаменателе дроби.
Ответ: 13 QUOTE 1415
Задания для самостоятельного решения:
13 QUOTE 1415 Ответ:13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 Ответ:13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 Ответ:13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415
11 КЛАСС
В 11 классе необходимо выработать навыки решения смешанных неравенств, но при наличии времени и соответствующего уровня подготовки учащихся ряд примеров можно рассмотреть и в 10 классе. Начинать нужно с простейших. Особое внимание надо уделить смене знака неравенства.
Пример 7. 13 QUOTE 1415
Решение:
Т. к. логарифмическая функция с основанием 13 QUOTE 1415 убывает, то лучше сразу перейти к основанию 2. Знак неравенства меняется на противоположный. На этот момент надо обратить особое внимание учащихся.
Перейдем к системе неравенств:
13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415
Пример 8. 13 QUOTE 1415
Решение:
Перейдем к числовому основанию, например, 2. Выбор основания логарифма не имеет значения, т. к. числитель и знаменатель полученной дроби будет приравниваться к нулю, а любое число в нулевой степени равно 1.
Приведем дроби к общему знаменателю:
Числитель и знаменатель данной дроби приравняем к нулю, учтем область определения логарифмической функции и получим равносильную систему неравенств:
13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415
Теперь рассмотрим более сложные примеры, в процессе решения которых меняется знак неравенства.
Пример 9. 13 QUOTE 1415
Решение:
Перейдем к основанию 2.
13 QUOTE 1415,
2) 13 QUOTE 1415
Перейдем к системе неравенств:
Знак первого неравенства изменился на противоположный по отношению к исходном, т. к. в процессе решения уравнения13 QUOTE 1415 было деление на –1. Учащиеся часто не обращают внимание на данный нюанс, решая уравнение устно, поэтому надо особо остановиться на этом моменте.
Для проверки правильности ответа можно взять число из полученного промежутка 13 QUOTE 1415подставить в исходное неравенство и проверить:
Пусть 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 функция возрастает, т.к. 1,5>1,
13 QUOTE 1415
0,75<1,5. Т.о. решение неравенства верно.
Ответ: 13 QUOTE 1415
Замечание: Если последнее неравенство неверно, то допущена ошибка в смене знака в решении. Возможны ситуации, когда деление на отрицательное число происходит два и более раз, тогда каждое деление приводит к смене знака.
Пример 10. 13 QUOTE 1415
Очевидно, что в процессе решения неравенства произойдет смена знака13 QUOTE 1415, потому что коэффициент при старшем члене выражения 13 QUOTE 1415 (число –2), стоящего под знаком логарифма отрицателен. Других делений на отрицательное число не будет. На этот факт надо обратить внимание учащихся, но можно данный вывод сделать и в процессе решения, если у детей возникают затруднения. Кроме того, стоит напомнить и о возможности проверки решения.
Решение:
Перейдем к основанию 2.
Перейдем к системе неравенств:
Ответ:13 QUOTE 1415
Пример 11. 13 QUOTE 1415
Решение:
Т.к. 13 QUOTE 1415, то
13 QUOTE 1415.
Ответ: 13 QUOTE 1415
Пример 12. 13 QUOTE 1415
Решение:
Воспользуемся формулой перехода логарифма к новому основанию:
1)13 QUOTE 1415
Ответ:13 QUOTE 1415
Задания для самостоятельного решения:
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ:13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ:13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ:13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ: (3;13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 Ответ: (0;1)13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ:13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 Ответ: 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415Ответ:13 QUOTE 1415
На уроках можно решать неравенства из учебников и сборников, перечисленных в списке использованной литературы, а также других, имеющихся у преподавателей.
Список использованной литературы:
Обобщение метода интервалов / Г. В. Дорофеев. Математика в школе, 1969, №3.
Алгебра 9. Часть 2. Задачник / А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2008.
Алгебра 10-11. Часть 2. Задачник / А. Г. Мордкович и др.– М.: Мнемозина, 2008.
Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – М.: Просвещение, 1999.
Сборник заданий для подготовки к выпускному экзамену по алгебре и началам анализа / Е. А. Семенко и др. – Краснодар, 1996.
ЕГЭ. Математика. Тематическая тетрадь. 11 класс / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров. – М.: МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2010.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 141215
-5 -2 2 3 5 X
+ – + – +
Root Entry