Контрольно измерительные материалы для студентов заочного отделения

Специальность: 15.02.08 Технология машиностроения
Предмет: Математика
Преподаватель: Афонина Надежда Евгеньевна






Правила выполнения и оформления
контрольных работ
 
1.     На титульном листе работы должны быть разборчиво написаны фамилия и инициалы студента, номер варианта (соответствует последней цифре в номере зачётной книжки)
2.     Решения задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
3.     Перед решением задачи следует выписать полностью ее условие.
4.     Решение задач излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.
5.     Если после проверки контрольной работы поставлена отметка "Неудовлетворительно", необходимо в этой же тетради сделать работу над ошибками и представить работу для повторной проверки. Это необходимо сделать в кратчайшие сроки.
6. Контрольная работа выполняется на листах формата А-4 в папке со скоросшивателем.
























Вариант 1.


1.Вычислите А
· В, если:13 EMBED Equation.3 1415

А = 13 EMBED Equation.3 1415, В = 13 EMBED Equation.3 1415

2.Найдите обратную матрицу и сделайте проверку, если:


А = 13 EMBED Equation.3 1415
3. Найдите матрицу 3А – 5В, если:

А = 13 EMBED Equation.3 1415, В = 13 EMBED Equation.3 1415

4. Вычислите определители:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.:








6. Найти
; б) ;
в) ; г) .


7. Найти производные заданных функций.
а) ;
б) ;

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления
функцию и построить ее график.



9. Найти неопределенные интегралы.
а) ; б) ;



10.Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) ; б) .





















Вариант 2.


1.Вычислите А
· В, если:13 EMBED Equation.3 1415


А = 13 EMBED Equation.3 1415, В = 13 EMBED Equation.3 1415.


2.Найдите обратную матрицу и сделайте проверку, если:


А = 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
3. Найдите матрицу 4А – 3В, если :
А=13 EMBED Equation.3 1415 В=13 EMBED Equation.3 1415

4. Вычислите определители:


13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:



Задание 6. Найти пределы функций.
а) ; б) ;
в) ; г) .

Задание 7. Найти производные заданных функций.
а) ;
в) ;

Задание 8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

Задание 9. Найти неопределенные интегралы.
а) ; б) .


Задание 10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) ; б) .






.
















Вариант 3.

1.Вычислите А
· В, если:13 EMBED Equation.3 1415

А = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415В=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415


2. Найдите обратную матрицу сделайте проверку, если:


А = 13 EMBED Equation.3 1415

3. Найдите матрицу -2А+ 4В, если:

А =13 EMBED Equation.3 1415
В = 13 EMBED Equation.3 1415

4. Вычислите определители:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:



6. Найти пределы функций.
а) ; б) ;
в) ; г) .


7. Найти производные заданных функций.
а) ;
в) .

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.


9. Найти неопределенные интегралы.

а) ; б) .



10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) ; б) .














Вариант 4.

1.Вычислите А
· В, если:13 EMBED Equation.3 1415

А=13 EMBED Equation.3 1415 В = 13 EMBED Equation.3 1415


2. Найдите обратную матрицу и сделайте проверку, если:


В = 13 EMBED Equation.3 1415

3. Найдите матрицу -3А+ 3В,


если: А=13 EMBED Equation.3 1415 В =13 EMBED Equation.3 1415.


4. Вычислите определители:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:




6. Найти пределы функций.
а) ; б) ;
в) ; г) .


7. Найти производные заданных функций.
а) ;
в) ;


8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.



9. Найти неопределенные интегралы.

а) ; б) .


10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) ; б) .















Вариант 5.


1.Вычислите А
· В, если:13 EMBED Equation.3 1415

А = 13 EMBED Equation.3 1415, В = 13 EMBED Equation.3 1415.

2. Найдите обратную матрицу и сделайте проверку , если:


В = 13 EMBED Equation.3 1415

3. Найдите матрицу -3А+ 3В, если:

А=13 EMBED Equation.3 1415 В =13 EMBED Equation.3 1415.


4. Вычислите определители:

13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415

5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:




6. Найти пределы функций.
а) ; б) ;
в) ; г) .

7. Найти производные заданных функций.
а) ;
в)

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.


9. Найти неопределенные интегралы.


а) ; б) ;
в) ; г) .



10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) ; б) .











Вариант 6.

1.Вычислите А
· В, если:13 EMBED Equation.3 1415

А = 13 EMBED Equation.3 1415, В = 13 EMBED Equation.3 1415


2. Найдите обратную матрицу и сделайте проверку , если:


А = 13 EMBED Equation.3 1415

3. Найдите матрицу 2А- 3В, если:

А=13 EMBED Equation.3 1415 В =13 EMBED Equation.3 1415.



4. Вычислите определители:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415



5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:


6. Найти пределы функций.
а) ; б) ;
в) ; г) .


7. Найти производные заданных функций.
а) ;
в) ;


8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.





9. Найти неопределенные интегралы.


а) ; б) .



10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) ; б) .












Вариант 7.


1.Вычислите А
·
· В, если:13 EMBED Equation.3 1415

А = 13 EMBED Equation.3 1415, В = 13 EMBED Equation.3 1415.

2. Найдите обратную матрицу и сделайте проверку , если:


В = 13 EMBED Equation.3 1415

3. Найдите матрицу -2А-3В, если:

А=13 EMBED Equation.3 1415 В =13 EMBED Equation.3 1415.


4. Вычислите определители:

13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415


5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:




6. Найти пределы функций.
а) ; б) ;
в) ; г) .


7. Найти производные заданных функций.
а) ;
в) ;

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.



9. Найти неопределенные интегралы.


а) ; б) .





10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) ; б) .



















Вариант 8.


1.Вычислите А
· В, если:13 EMBED Equation.3 1415

А = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415В=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

2. Найдите обратную матрицу сделайте проверку, если:


А = 13 EMBED Equation.3 1415

3. Найдите матрицу -3А+ 5В, если:

А =13 EMBED Equation.3 1415
В = 13 EMBED Equation.3 1415

4. Вычислите определители:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:





6. Найти пределы функций.

а) ; б) ;
в) ; г) .



7. Найти производные заданных функций.
а) ;
в) ;

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.



9. Найти неопределенные интегралы.
а) ; б) .


10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) ; б) .



















Вариант 9.


1.Вычислите А
· В, если:13 EMBED Equation.3 1415

А = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415В=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415


2. Найдите обратную матрицу сделайте проверку, если:


А = 13 EMBED Equation.3 1415

3. Найдите матрицу -3А+ 3В, если:

А =13 EMBED Equation.3 1415
В = 13 EMBED Equation.3 1415

4. Вычислите определители:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:



6. Найти пределы функций.
а) ; б) ;
в) ; г) .


7. Найти производные заданных функций.
а) ;
в) ;

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.



9. Найти неопределенные интегралы.
а) ; б) .


10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) ; б) .
























Методические указания к выполнению контрольной работы



1. .Найти произведение матриц  и .

Решение.
Имеем: матрица А размера 2·3, матрица В размера 3·3, тогда произведение АВ = С
существует и элементы матрицы С равны
с11 = 1Ч1 +2Ч2 + 1Ч3 = 8, с21 = 3Ч1 + 1Ч2 + 0Ч3 = 5, с12 = 1Ч2 + 2Ч0 + 1Ч5 = 7,
с22 =3Ч2 + 1Ч0 + 0Ч5 = 6, с13 = 1Ч3 + 2Ч1 + 1Ч4 = 9, с23 = 3Ч3 + 1Ч1 + 0Ч4 = 10.
.

2.Дана матрица 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите обратную матрицу и сделать проверку.


Решение.
Обратная матрица: 13 EMBED Equation.3 1415.

Вычислим определитель: 13 EMBED Equation.3 1415.

Вычислим алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы А:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
Тогда обратная матрица будет иметь вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Проверка.
13 EMBED Equation.3 1415
Вывод. Матрица 13 EMBED Equation.3 1415 является обратной матрице А, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415.



3.Найдите матрицу -4А+ 3В, если:

А =13 EMBED Equation.3 1415
В = 13 EMBED Equation.3 1415

Решение.

-413 EMBED Equation.3 1415+313 EMBED Equation.3 1415=


13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

5. Решите систему 13 EMBED Equation.3 1415 методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.

Решение.
Вычислим определитель матрицы 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.
1) Метод Крамера: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.

2) Метод обратной матрицы:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

3) Метод Гаусса:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Вывод. Сравнивая результаты во всех трёх случаях, видим, что решения совпадают: 13 EMBED Equation.3 1415.






6. Найти пределы функций.

а)
Здесь непосредственно теорему о пределе дроби применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби при не имеют конечных пределов. Это неопределенность вида . Для раскрытия ее разделим числитель и знаменатель на х в высшей степени, т.е. на , и затем перейдем к пределу.
.
Здесь - бесконечно малые функции при , и поэтому их пределы равны нулю.


б) .
Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. Для значения имеем тождество
.
Поэтому пределы этих функций равны между собой:
.

в).

Непосредственная подстановка приводит к неопределенности вида . Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, выделим множитель в числителе и в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные, соответственно, числителю и знаменателю:

.
Тогда
.

г).
Здесь имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности преобразуем функцию так, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом.
.
Введем новую переменную. Пусть , тогда , при , . Следовательно:

.


7. Найти производные заданных функций.
а) .
Преобразуем функцию: . Тогда
.

в) .
Находим производную сложной функции:


.

8. Исследуйте функцию 13 EMBED Equation.3 1415 и постройте график.
Решение.
1. Область определения функции.
13 EMBED Equation.3 1415

2. Чётность, нечётность функции.
13 EMBED Equation.3 1415 функция не является чётной.
13 EMBED Equation.3 1415 функция не является нечётной.
График функции не симметричен ни относительно начала координат, ни оси OY.

3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Ох: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
График пересекается с осью Ох в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
Пересечение с осью Оу: х=0.
13 EMBED Equation.3 1415.
График не пересекается с осью Оу , т.к. 13 EMBED Equation.3 1415

4. Асимптоты.
13 EMBED Equation.3 1415. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415 - вертикальная асимптота.
13 EMBED Equation.3 1415. Горизонтальной асимптоты нет.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, 13 EMBED Equation.3 1415наклонная асимптота.

5. Промежутки возрастания и промежутки убывания. Экстремумы.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю.
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.


6. Промежутки выпуклости. Точки перегиба.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Дробь 13 EMBED Equation.3 1415отлична от нуля, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415


Точек перегиба нет.

7. График.



9. Найти неопределенные интегралы.

а).
.
б)
Используем метод интегрирования по частям.
Обозначим через , тогда.
Находим и . Тогда


.

10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) .


б) Примем за , тогда .
Найдем , . Тогда

















Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeмEquation NativeEquation Native(Equation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeРисунок 21Рисунок 23Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 102Рисунок 108Рисунок 115Рисунок 53Рисунок 46Рисунок 45Рисунок 32Рисунок 25Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native