Факультативное занятие по математике на тему Задачи на движение по окружности

Задачи на движение по окружности
Задачи на движение по окружности также являются сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется формула . Но есть одна хитрость, о которой я вам  расскажу.. Из пункта  круговой трассы выехал велосипедист, а через  минут следом за ним отправился мотоциклист. Через  минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через  минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна  км. Ответ дайте в км/ч.
Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за  и . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через  минут, то есть через  часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути  минут, то есть  часа.
Запишем эти данные в таблицу:

велосипедист
мотоциклист
Оба проехали одинаковые расстояния, то есть .
Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через  минут, то есть через  часа после первого обгона.
Нарисуем вторую таблицу.

велосипедист
мотоциклист
А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна  км. Получим второе уравнение:

Решим получившуюся систему.
 
Получим, что . В ответ запишем скорость мотоциклиста.
Ответ: .

. Часы со стрелками показывают  часов  минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Это, пожалуй, самая сложная задача В13. Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через  часа, ровно в .. А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?
За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая  часть круга. Пусть их скорости равны  (круг в час) и  (круга в час). Старт — в .. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.
Минутная стрелка пройдет на  круга больше, поэтому уравнение будет таким: 
Решив его, получим, что  часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через  часа. Пусть во второй раз они поравняются через время . Минутная стрелка пройдет расстояние , а часовая , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

Решив его, получим, что  часа. Итак, через  часа стрелки поравняются во второй раз, еще через  часа — в третий, и еще через  часа — в четвертый.
Значит, если старт был в ., то в четвертый раз стрелки поравняются через часа.
Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением!
На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:, где  — средняя скорость, - общий путь,  — общее время.
Если участков пути было два, то 

. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью  км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью  км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за  (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно , а время, затраченное на полет, равно . Общее время равно . Средняя скорость равна    км/ч.
Ответ: .