Нестандартные способы решения задач ЕГЭ типа С
Нестандартные способы решения задач ЕГЭ типа С
Попова Татьяна Спартаковна, учитель математики
Практика показывает, что задачи с параметрами представляют для выпускников наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена.
На экзаменах часто встречаются задачи, отличающиеся большим разнообразием идей и необходимостью применения очень разные методы решений. Первое решение задачи редко бывает лучшим, и естественно нужно стремиться к тому, чтобы найти более простое и красивое решение. Умение выбрать подходящий метод вырабатывается в процессе решения одной и той же задачи различными методами. Получив несколько решений данной задачи, нетрудно выделить лучшее и оценить методы решения.
В данной работе приведены наиболее рациональные и красивые способы решения некоторых задач части С, предлагаемых на ЕГЭ. Например, при решении следующей и подобных ей задач, часто применяется исследование корней квадратного трехчлена на числовой оси в зависимости от параметра а. Теперь рассмотрим другое решение.
1. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка [-3; -1) значение выражения х4-7х2-3 не равно значению выражения ах2.
Решение:
Рассмотрим функции у= х4-7х2-3 и у= ах2. Введем замену х2=t. Задача получает следующую формулировку:
Найдите все значения а, для которых при каждом t из промежутка (1; 9] значение выражения t 2-7 t -3 не равно значению выражения аt.
График функции f(t)= t 2-7 t -3 представляет собой параболу на интервале (1;9], графиком функции у= аt является прямая, проходящая через начало координат (см. рис1) Значит, нужно найти такие а, что прямая и парабола на интервале (1; 9] не имеют общих точек. Для этого найдем значения функции f(t) на концах интервала: f(1)=-9 и f(9)=15. Так как а есть тангенс угла наклона прямой у= аt, получаем, что а13 EMBED Equation.3 1415 и а13 EMBED Equation.3 1415.
Три числа, принадлежащие интервалам (0;2), (2;3), (3;5) являются членами арифметической прогрессии. Какие значения может принимать величина 13 EMBED Equation.3 1415, если число а принадлежит промежутку (0;2), d- разность прогрессии?
Решение: по условию задачи 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
На координатной плоскости с горизонтальной осью d и вертикальной осью а построим прямые а=0; а=2; а+d=2; а+d=3; а+2d=3; а+2d=5. Замкнутая область в виде шестиугольника, ограниченная прямыми, есть множество чисел, удовлетворяющих условию (см. рис2). 13 EMBED Equation.3 1415- уравнение окружности с центром в начале координат, радиус которой должен принимать значение из данной области. Наименьшего значения радиус достигает в точке (1;1) и равен 13 EMBED Equation.3 1415, наибольшее значение равно 2,5 в точке (2,5;0). Ответ: (13 EMBED Equation.3 1415;2,5).
Найти все значения а, при которых уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеют одинаковое число корней.
Решение:
1) Построим графики функций 13 EMBED Equation.3 1415 и у=ах на одной координатной плоскости. Видно, что при а=0 уравнение имеет 2 корня. Рассмотрим производную функции 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415. Теперь найдем точку касания х0 и угловой коэффициент касательной: зная, что угловой коэффициент касательной есть производная в точке касания х0 и в то же время тангенс угла наклона касательной выпишем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. х0=0. Находим, что а=4. Значит при13 EMBED Equation.3 1415уравнение имеет 3 корня. При 13 EMBED Equation.3 1415уравнение имеет 1 корень. Рассматривая функцию 13 EMBED Equation.3 1415 на промежутках (13 EMBED Equation.3 1415 находим, что а=-4. Значит, при 13 EMBED Equation.3 1415 функция имеет 2 корня, при 13 EMBED Equation.3 1415 1 корень.
2) Рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415 и у=ах. Рассуждая аналогично, находим, что при 13 EMBED Equation.3 1415 и при а=-4 прямая у=ах служит касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415. Делаем вывод, что при а=0 нет решений, при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеется 1 корень, при 13 EMBED Equation.3 1415 и а=-4 2 корня, при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеется 3 корня. Теперь сопоставляя эти промежутки, выясняем, что при (-4;0) и (13 EMBED Equation.3 1415;4) уравнения имеют одинаковое количество корней.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native