Опорные задачи по теме Перпендикулярность прямой и плоскости (10 класс)

Опорные задачи
Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости»
Задача №1: Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
Решение: пусть а - прямая и А - точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость . В плоскости через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.
Задача №2: Докажите, что через любую точку А можно прoвести прямую, перпендикулярную данной плоскости .
Решение: Проведем в плоскости две пересекающиеся прямые с и b. Через точку их пересечения проведем плоскости и перпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит и плоскости . Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме (Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой) она перпендикулярна плоскости .
Задача №3: Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
Решение: Пусть а - данная прямая и - данная плоскость. Возьмем на прямой а две произвольные точки Х и Y. Их расстояния до плоскости - это длины перпендикуляров ХХ1 и YY1, опущенных на эту плоскость. По теореме (Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны) прямые ХХ1 и YY1 параллельны, следовательно, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость по прямой Х1Y1.Прямая а параллельна прямой Х1Y1, так как не пересекает содержащую её плоскость . Итак у четырехугольника ХХ1YY1 противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм, а значит ХХ1=YY1.

Задача №4: Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
Решение: Пусть А, В, С - точки касания сторон треугольника с окружностью, О - центр окружности и S - точка на перпендикуляре. Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной) отрезок SА есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина - расстояние от точки S до стороны треугольника. по теореме Пифагора SА2=OА2+SO2=r2+SO2, где r - радиус вписанной окружности. Аналогично получаем SВ2=r2+SO2 и SС2=r2+SO2, т.е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.
Задача №5: Даны прямая а и плоскость . Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости .
Решение: Через произвольную точку прямой а проводим прямую b, перпендикулярную плоскости . Через прямые а и b проводим плоскость . Плоскость перпендикулярна плоскости по теореме (Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны).