Исследовательская работа по теме Треугольник Рело

Исследовательская работа по математике
На тему
Введение
«Математик сделает лучше»
Г. ШтейнгаусИногда в основе любой ширины и толщины нужно сделать отверстие с идеальным квадратным сечением. А вы когда-нибудь задумывались над тем, как сверлят квадратные отверстия? Советов, как добиться максимальной точности при минимальных затратах, множество. И самыми распространенными являются следующие рекомендации:
если основа не очень толстая, советуют воспользоваться штамповкой или специальными прессами и просто «прорубить» отверстие нужного сечения и размера.
В детали со значительной толщиной, точнее в их формы перед литьем сразу закладывают необходимую область требуемого квадратного проема иными материалами. После литья их вынимают и получается квадратное отверстие.
Просто использовать лазерную резку.
Специальные дисковые резки.
Я задумалась над вопросом, а как бы с этой задачей справился математик и смог бы он сделать лучше. Ответ оказался положительным. Оказывается,существует еще один способ для вырезания квадратных отверстий, в реализации которого косвенно поучаствовал математик. Итак, квадратные отверстия можно сделать при помощи специального сверла, в сечение которого заложена форма треугольника Рёло.Меня заинтересовал не сам инструмент, а этот треугольник и его форма. Именно поэтому я решила посвятить работу изучению его свойств и рассмотрению области применения.
Работая над этим проектом, я поставила перед собой задачи:
- узнать как можно больше о треугольнике Рёло;
- изучить его свойства;
-рассмотреть математическую модель этого сверла;
- выяснить области, кроме сверления, в которых применяется треугольник Рёло.
Глава 1. Треугольник Рёло и его свойства
Треугольник Рёло– это область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло (рис. 1).
Треугольник Рёло-плоская фигура постоянной ширины, и если его вращать между двух параллельных прямых, расположенных на фиксированном расстоянии друг от друга, то он будет постоянно касаться их обеих.
Если добавить пару параллельных прямых, касающихся треугольника Рёло и образующих с уже имеющимся углом прямой угол, то получится квадрат. Если вращать треугольник Рёло специальным образом, то он постоянно будет находиться внутри квадрата и в любой момент времени касаться всех его сторон. Но квадрат этот будет иметь немного скругленные углы (рис. 2).

Рис. 1. Рис. 2.
Теперь рассмотрим свойства треугольника Рёло:
Треугольник Рёло, как было уже сказано выше, является кривой постоянной ширины.
Если сторона треугольника равна a, то его площадь равна
а периметр равен P=πa.
Среди всех фигур постоянной ширины   у треугольника Рёло наименьшая площадь. Чтобы найти площадь треугольника Рёло, нужно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60 градусов.



Замечательные точки треугольника. Центры вписанной, описанной окружностей, ортоцентр и центр тяжести совпадают. Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей равна ширине треугольника Рёло (рис.3).


Рис. 3
Треугольник Рёло обладает осевой и центральной симметрией.
Однако, из всех фигур постоянной ширины треугольник Рёло обладает центральной симметрией в наименьшей степени. Существует несколько различных способов дать определение степени симметричности фигуры. Один из них — это мера Ковнера — Безиковича. В общем случае для выпуклой фигуры  она равна:

где  µ — площадь фигуры,  — содержащаяся в  центрально-симметричная выпуклая фигура максимальной площади. Для треугольника Рёло такой фигурой является шестиугольник с искривлёнными сторонами, представляющий собой пересечение этого треугольника Рёло со своим образом при центральной симметрии относительно своего центра. Мера Ковнера - Безиковича для треугольника Рёло равна:

Другой способ — это мера Эстерманна:

где  — содержащая  центрально-симметричная фигура минимальной площади. Для треугольника Рёло — это правильный шестиугольник, поэтому мера Эстерманна равна:

Качение по квадрату.
Если треугольник Рёло вписать в квадрат, то он может вращаться в нем, постоянно касаясь всех четырех сторон. Каждая вершина треугольника  при его вращении проходит почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах – там вершина описывает дугу эллипса. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата (рис. 4), а его большая и малая оси повернуты на угол в 45о относительно сторон квадрата и равны

Все четыре эллипса касаются смежных сторон квадрата на расстоянии

от угла (рис. 5).

Рис. 4 Рис. 5
Глава 2. Области применения треугольника РёлоТреугольник Рёло назван в честь немецкого ученого-инженера Франца Рёло, которого считают первооткрывателем свойств этой геометрической фигуры, так как он первый широко использовал свойства и возможности треугольника в своих механизмах.
Иные исследователи первооткрывателем этой фигуры называют Леонарда Эйлера(18 век), который уже тогда продемонстрировал возможность его создания из трех окружностей.
А третьи «увидели» треугольник Рёло в рукописях Леонардо да Винчи. Созданная им карта мира имеет вид четырех сферических треугольников (рис.6).

Рис.6
Но кто бы ни был первооткрывателем этого треугольника, он получил широкое распространение в современном мире.А именно:
Сверло Уаттса. В 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрел инструмент для сверления квадратных отверстий. Сверло Уаттса представляет собой просто-напросто треугольник Рёло, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены режущие кромки (рис. 7).

Рис. 7
Двигатель Ванкеля. В 1957 году немецкий изобретатель Ф. Ванкель создал уникальный механизм, где внутри камеры цилиндрической формы по сложной траектории передвигается ротор-поршень, созданный в форме треугольника Рёло. При его постоянном движении каждая его грань, контактируя со стенками камеры, образует сразу три камеры, названные позже «камерами сгорания» (рис. 8).

Рис. 8
Грейферный механизм кинопроекторов. В  данном  случае  треугольник  Рёло  находится  внутри  квадрата  и  двигает  рамку,  посредством  вращения  вокруг  одного  из  своих  углов.  Зуб,  который  находиться  на  рамке,  входит  в  перфорацию  киноплёнки,  протаскивает  её  на  один  кадр  вниз  и  выходит  обратно (рис. 9).

Рис. 9
Основа кулачкового механизма для зигзагообразного шва в швейных машинках, а также в паровых двигателях и часовых механизмах.
Музыкальные инструменты.
У такого музыкального инструмента, как баян, есть минус, при  нажатии  на  клавиши  близко  стоящие  во  2  и  3  ряду  они  цепляют  друг  за  друга  из-за  небольшого  смешения,  что  недопустимо при игре.  Если  же  клавиши  сделать  в  форме  треугольника  Рёло,  и  расположить  их,  как  показано  на  рисунке,  то  такой  проблемы  можно  избежать (рис. 10). 

Рис. 10
Каток.
Для перемещения тяжелых предметов на небольшие расстояния их кладут на плоскую платформу, установленную на катках. По мере продвижения платформы освободившиеся задние катки заносят вперед и укладывают перед ней. Для того, чтобы движение по каткам было прямолинейным, их сечение должно представлять собой фигуру постоянной ширины. Чаще всего сечением был круг, однако сечение в виде треугольника Рёло будет ничуть не хуже и позволит передвигать предметы столь же прямолинейно. Но несмотря на это, такая форма не подходит для изготовления колес, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной оси вращения.
Люки канализации.
Фигура постоянной ширины не может проходить через отверстие такой же фигуры с меньшей шириной. Поэтому треугольник Рёло можно использовать в качестве люков. Тут можно поспорить с тем, что и круглый люк не проваливается, так как круг тоже фигура постоянной величины, но нам уже известно, что у треугольника Рёло меньше площадь, чем у круга, а значит и материала расходуется меньше на крышку люка (рис. 11). 

Рис. 11
Дробильные машины. Создание  и  использование  машины  для  дробления  камней  в  шахтах. Для  этого  необходимо  изготовить  два  вала,  которые  при  фронтальном  срезе  будут  в форме  треугольника  Рёло,  причем  вершины  треугольника  имеют  зубья,  глубина которых  равна  разнице  расстояния  от  центра  до  вершины,  и  расстоянию  от  центра  до  самой  удаленной  точки  на  стороне.
Которые  надо  расположить  таким  образом,  что  их  оси  будут  находиться  на  расстоянии,  равном  двум  расстояниям  от  самой  удаленной  точки  стороны  треугольника  (назовем  её  х)  до  его  центра,  плюс  15  %  от  этого  расстояния,  и  начать  их  вращать. При  вращение  мы  будем  наблюдать  две  фазы.  Первая,  когда  точки  х  обоих  валов  будут  на  не  большом  (15  %)  расстоянии  друг  от  друга,  и  вторая,  когда  зубчатые  вершины  треугольника  Рёло  будут  входить  друг  в  друга  с  небольшим  зазором. В  первой  фазе  камни  будут  попадать  в  зазор,  а  во  второй  дробиться.  Причем,  если  по  той  же  технологии  расположить  круглые  валы,  то  вероятность  того,  что  конструкция  заклинит  выше,  потому  что  при  вращение  круглых  валов,  всего  одна  фаза,  при  которой  камни  и  попадают  в  дробильный  механизм,  и  дробятся  одновременно.  В  случае  с  машиной,  в  которой  применен  треугольник  Рёло,  фазы  две,  и  даже,  если  при  дроблении  камень  застрял,  то  в  следующей  фазе  механизм  образует  зазор,  и  машина  не  застопорится (рис. 12).  К  тому  же, 
современная  дробилка  устроена  таким  образом,  что  в  ней  присутствует  возвратно-поступательный  механизм.  На  примере  сравнения  двигателя  Ванкеля  и  поршневого  двигателя.

Первая фаза Вторая фаза
Рис. 12
В архитектуре.
Форма треугольника Рёло используется в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку. Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге (рис. 13), а также в шотландской церкви в Аделаиде. Как элемент орнамента он встречается на оконных решетках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив. Также его используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник», в сечении представляет собой именно треугольник Рёло (рис. 14).

Рис. 13 Рис. 14
Глава 3 Обобщения и аналоги треугольника РёлоЛежащую в основе треугольника Рёло идею построения можно обобщить, если использовать для создания кривой постоянной ширины не равносторонний треугольник, а звездчатый многоугольник, образованный отрезками прямых равной длины. Если из каждой вершины звездчатого многоугольника провести дугу окружности, которая соединит две смежные ей вершины, то полученная замкнутая кривая постоянной ширины будет состоять из конечного числа дуг одного и того же радиуса. Такие кривые, а также ограничиваемые ими фигуры, называются многоугольниками Рёло.
Среди многоугольников Рёло выделяют класс кривых, построенных на основе правильных звездчатых многоугольников. Этот класс носит название правильных многоугольников Рёло (рис.15). Все дуги, из которых составлен подобный многоугольник, имеют не только одинаковый радиус, но и одинаковую длину. Форма таких многоугольников используется в монетном деле: монеты ряда стран(например, 20 и 50 пенсов Великобритании) выполнены в виде правильного семиугольника Рёло.

Рис. 15 Рис. 16
Трехмерным аналогом треугольника Рёло является тетраэдр Рёло – пересечение четырех одинаковых шаров, центры которых расположены в вершинах правильного тетраэдра, а радиусы равны стороне этого тетраэдра (рис. 16). Однако тетраэдр Рёло не является телом постоянной ширины: расстояние между серединами противоположных граничных криволинейных ребер, соединяющих его вершины, в
раз больше, чем ребро исходного правильного тетраэдра.
Заключение
Таким образом, изобретенный в прошлом веке треугольник Рёло широко используется сегодня. Однако его изучение не стоит на месте. Его свойства как характеристики фигуры постоянной ширины находятся в постоянном теоретическом и практическом изучении. И это правильно, ведь чем лучше будут изучены свойства треугольника Рёло и остальных фигур постоянной ширины, тем больше возможностей будет открываться для их использования в нашей жизни.
Итак, в ходе выполнения этой работы мы изучили свойства треугольника Рёло, затронули историю открытия, рассмотрели области применения.
Однако данный проект является лишь каплей в море в изучении данной темы, ведь столько интересного осталось за его рамками.
Список использованной литературы
Интернет-ресурс http://aurahome.ruИнтернет-ресурс http://funnymath.ruБронштейн, И. Н., Семендяев, К. А., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – М.: Просвещение, 1962
Дорофеев, Г. В., Шарыгин, И. Ф., Суворова, С. Б. Математика. – М.: Просвещение, 1987.
Кушнир. И. А., Треугольник в задачах. – Киев, Лебедь, 1994.