Задания по математике к олимпиаде СПО 2 курс

Министерство образования Оренбургской области
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
«Педагогический колледж» г. Орска
Олимпиадные задачи по дисциплине ЕН.Математикадля студентов СПО 2 курса
в 2016/2017 учебном году
Составитель: Деревяшкина Юлия Владимировна
Преподаватель математики
_____________________________ (подпись)
«_____»________________20____г.
Орск,2017
Задания межколледжной олимпиады по дисциплине ЕН.Математика (2 курс)
№ 1. Найти производные следующих функций. (2балла: по 0,5б за каждое задание)
1)y=cos5x;
2)y=(5x-7)120;
3)y=3x-8;
4)y=ctg35x; № 2. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, найти:
(2 балла: по 1б за каждое задание)
1) 2)
№3. Решить систему уравнений: 101-lg3x-y=2,4x2-y-15=0
(4 балла)
№ 4. При каких значениях параметра а выражение (х1 – 7х2 )( х2 – 7х1), где х1 и х2 – корни квадратного трехчлена х2- 3ах+а - 14 , принимает наибольшее значение?
(5 баллов)
№ 5.(4 балла)
Образующая усеченного конуса l составляет с плоскостью нижнего основания угол α и перпендикулярна к прямой, соединяющей верхний конец ее с нижним концом противоположной образующей. Найти боковую поверхность усеченного конуса.

Ответы и решение заданий межколледжной олимпиады по математике (2 курс):
№ 1.
-5sin5x; 2) 600 (5х-7)119; 3) 3х-8 ln3; 4) - 15cos2 5xsin4 5x№ 2.
1)-156; 2) 1/2 π
№3. Решить систему уравнений: 101-lg3x-y=2,4x2-y-15=0
Решение:
Область определения системы: 3х-у > 0. Упростим I –е уравнение системы, используя основное логарифмическое тождество: 10·10-lg3x-y=2, или 10lg3x-y-1=15 , или 13х-у=15 откуда 3х-у=5. Имеем равносильную систему уравнений 4х2-у=153х-у=5Вычитая из I-го уравнения II-е , получим 4х2 –3 х – 10=0, откуда находим х1 =2,
х2 = -54, тогда у=3х-5, или у1 = 1, у2= - 354. Обе пары удовлетворяют условию 3х-у > 0
Ответ: (2;1), (-54; - 354)№4.
При каких значениях параметра а выражение (х1 – 7х2 )( х2 – 7х1), где х1 и х2 – корни квадратного трехчлена х2- 3ах+а - 14 , принимает наибольшее значение?
Решение: по теореме Виета имеем х1+х2=3ах1х2=а-14Тогда (х1 – 7х2 )( х2 – 7х1) = х1 х2 -7 х22 -7 х12 +49х1 х2 =50 х1 х2 – 7(х12 + х22 =50 х1 х2 –(( х1 + х2)2 --2 х1 х2) = 50(а - 14) - 7(9а2 – 2(а - 14))= - 63 а2 +64а-16
Графиком функции у = - 63 а2 +64а-16 является парабола, ветви которой направлены вниз, так как -63<0, значит , наибольшее значение функции достигается в вершине параболы, абсциссы которо0 х0=-b12a1=3263 , где х0 в данном случае – параметр а. Итак а = 3263. Остается проверить существование корней х1 и х2 при а = 3263 :
х2-33263х+3263-14=х2-3221х+65252, D4=16212-65252=256441-65252 > 0
Ответ: при а = 3263№ 5.
Образующая усеченного конуса l составляет с плоскостью нижнего основания угол α и перпендикулярна к прямой, соединяющей верхний конец ее с нижним концом противоположной образующей. Найти боковую поверхность усеченного конуса.
Дано: АВВ1А1 –усеченный конус; АА1 = l – образующая; <А1АС= α; АА1 и А1В перпендикулярны
Найти: Sбок
Решение: Sбок = π l (R+r), где l = АА1, R =АО, r =А1О1. Из треугольника AA1C (прямоугольный) имеем:     АС = l cos α.

Так как АА1 и А1В перпендикулярны (по условию),то треугольник  АА1В прямоугольный.  Из треугольника  АА1В  находим АВ = 2R = l/cos α, так  что АО = R = l/2cos α
Значит,