Исследовательская работа по математике Красивые задачи в математике

ОГЛАВЛЕНИЕ

13 TOC \o "1-2" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc259040934" 14ВВЕДЕНИЕ 13 PAGEREF _Toc259040934 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc259040935" 14Глава I. «Красота» в математике 13 PAGEREF _Toc259040935 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc259040936" 14Глава II. Классификация красивых задач 13 PAGEREF _Toc259040936 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc259040937" 142.1 «Красивые» задачи по содержанию 13 PAGEREF _Toc259040937 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc259040938" 142.2 «Красивые» задачи по чертежу 13 PAGEREF _Toc259040938 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc259040939" 142.3 «Красивые» задачи по решению 13 PAGEREF _Toc259040939 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc259040940" 142.4 «Красивые» олимпиадные задачи 13 PAGEREF _Toc259040940 \h 1491515
13 LINK \l "_Toc259040941" 14ЗАКЛЮЧЕНИЕ 13 PAGEREF _Toc259040941 \h 14111515
13 LINK \l "_Toc259040942" 14СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 13 PAGEREF _Toc259040942 \h 14121515
15

ВВЕДЕНИЕ

Математика – один из удивительных школьных предметов. Именно на уроках математики мы столкнулась с выражением «красивые задачи». Возник вопрос: «Красивые» задачи в математике – какие они?»
Четких формулировок и определений «красивой» математической задачи в изученной литературе не оказалось, поэтому возникла проблема
– какие математические задачи считать «красивыми», как определить грань между «красивой» задачей и задачей обычной?
Было принято решение провести исследование по возникшей проблеме, подготовить исследовательскую работу на научно-практическую конференцию по теме: «Красивые задачи в математике». Актуальность выбранной темы была подтверждена в ходе обсуждения ее с руководителем, который одобрил выбор темы исследования. Действительно, дать определение «красивой» задачи, подобрать такие задачи, классифицировать их определенным образом и, возможно, создать сборник таких задач было очень заманчиво. Мы понимали, что такой сборник будет иметь и практическую значимость для учащихся и педагогов.
Были определены:
Объектная область исследования - учебный предмет «математика».
Объект исследования – решение математических задач.
Предмет исследования – математические задачи определенного типа.
Изучив научную литературу по данному вопросу, выдвигаем
гипотезу исследования – если окажется возможным из множества математических задач выбрать определенные («красивые») задачи и классифицировать их по некоторым признакам, то возможно создание сборника таких задач и использование его в качестве математического саморазвития.
Цель нашего исследования – создать сборник «красивых» математических задач.
Задачи:
изучить научную литературу, научные публикации по данной теме.
Определить понятие «красивая» задача в математике.
Классифицировать найденные задачи по разделам.
Подготовить материалы для сборника «красивых» математических задач.
Методы исследования:
Теоретические.
Эмпирические.
Математические.
Ожидаемые результаты:
Классификация «красивых» математических задач.
Подготовка материалов для сборника «красивых» задач по математике.
Использование материалов сборника учащимися при подготовке к олимпиадам, к урокам, для развития математических способностей.
Использование материалов сборника учителями школы для организации работы с учащимися.






























Глава I. «Красота» в математике

Человек немыслим без такого качества, как восприятие мира в его красоте и гармонии. Поэтому сегодня одним из основных направлений развития школы является поворот обучения к человеку, его ценностному потенциалу.
Многие из учащихся считают математику строгой наукой, при изучении которой нет места эмоциям, хотя очень многие заинтересованы этим предметом.
Известно, что решение задачи – одно из основных средств математического развития школьников. Каждая математическая задача служит конкретным целям обучения, но основная её цель – развитие творческого и математического мышления, формирование и развитие эстетического вкуса. Еще Д. фон Нейман отмечал, что математика «движима почти исключительно эстетическими мотивами». Попытки раскрыть содержание понятий «чувство красоты», «красивая задача» предпринимаются многими математиками.
Например, Г. Биркгоф дал интересную характеристику эстетической
привлекательности математического объекта:
13 EMBED Equation.3 1415,
где М – мера красоты,
О – мера порядка,
С – мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта.
Из этой формулы следует, что для ученика красивыми математическими объектами будут те, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями с его стороны. Эстетическая мера объекта будет увеличиваться с упорядочиванием структуры.
Многие планиметрические задачи напрямую связаны с понятием «красивая», то есть «доставляющая наслаждение, приятная внешним видом, гармоничностью, стройностью». Восприятие эстетической стороны такой задачи начинается с условия и чертежа.
Например, задача построения с помощью циркуля фигуры, изображенной
на рисунке,
13 EMBED PBrush 1415
привлекает внимание обучающихся прежде всего условием (красивый узор). Но затем они начинают фантазировать на данную тему, и у них получаются оригинальные узоры, построение которых возможно лишь с помощью циркуля.
Решение «красивых» задач, мы считаем, должно быть наглядно, неожиданно, просто. Задачи, удовлетворяющие такому требованию, согласно нашим наблюдениям, неизменно вызывают интерес учащихся и побуждают их к поиску более коротких и простых путей решения, что способствует развитию креативности.
Изучив множество литературы, мы пришли к выводу, что «красивая» математическая задача должна отвечать определенным требованиям:
1) Условие задачи должно быть интересно; если задача геометрическая, то чертеж к ней – красивый.
2) Задача должна содержать нестандартный элемент, отличающий ее от большинства задач по данной теме, предлагаемых в учебниках. При этом нестандартность может проявляться как в самом условии, так и в методах решения. Особый интерес в этом смысле представляют задачи, имеющие несколько различных методов решения, и многовариантные задачи, имеющие несколько ответов (причем желательно, чтобы факт наличия нескольких ответов не был явно указан в формулировке условия).
3) Задача может устанавливать интересный факт, порой неожиданный.
4) 3адача должна быть доступна как по формулировке условия, так и по сложности и объему используемого в решении материала. Если сильные и слабые ученики окажутся при постановке проблемы в изначально неравных условиях, то предложенная задача потеряет долю своей прелести и «сработает» только на часть класса.
5) Желательно, чтобы в решении красивой задачи не использовались искусственные приемы, особенно если они известны части учеников (например, посещающим занятия-кружка или факультатива).
Наконец, основное: в решении задачи обязательно нужно спрятать «изюминку», чтобы оно было наглядно и удивительно просто.
Учась в среднем звене и готовясь к математическим олимпиадам, мы сталкивались со множеством задач, среди которых были такие, которые отвечали данным требованиям и мы поняли, что их можно классифицировать на несколько групп:
1) «Красивые» задачи по решению; 2) «Красивые» задачи по чертежу;3) «Красивые» задачи по содержанию; 4) «Красивые» олимпиадные задачи.
Глава II. Классификация красивых задач

2.1 «Красивые» задачи по содержанию
Некоторые «красивые» задачи привлекают учеников изюминкой, находящейся в содержании поставленной задачи. Приведем пример:

Маленький Петя подпилил все ножки у квадратного табурета и четыре отпиленных кусочка потерял. Оказалось, что длины всех кусочков различны и что табурет после этого стоит на полу, пусть наклонно, но по-прежнему касаясь, пола всеми четырьмя концами ножек. Дедушка решил починить табурет, однако нашел только три кусочка с длинами 8, 9 и 10 см. Какой длины может быть четвертый кусочек?
Решение. Пусть А, В, С, D – концы исходных ножек табуретки, а А1, В1, С1, D1 – подпиленных. А1А + В1В = С1С + D1D. Поскольку табуретка стоит, касаясь пола четырьмя ножками, то точки А1, В1, С1 и D1 лежат в одной плоскости. Табуретка квадратная, значит, плоскости АВА1В1 и СDС1D1 параллельны. Следовательно, А1В1 // С1D1. Аналогично,
В1С1 // А1D1. таким образом, четырехугольник А1В1С1D1 – параллелограмм, и его диагонали пересекаются в точке О1. Пусть О – центр квадрата АВСD. Заметим, что отрезок ОО1 – средняя линия как в трапеции АСС1А1, так и в трапеции ВDD1В1, а значит , А1А+ С1С= 2ОО1= В1В+ D1D.
Теперь переберем возможные длины отпиленной части, расположенной по диагонали от потерянной. При этом получим, что длина отпиленной части удовлетворяет одному из равенств:
8+x=9+10, 9+x=8+10, 10+x=8+9, x=7, x=9,x=11.
Поскольку длины всех кусков различны, =9, и остаются только варианты 7 и 11.
Ответ: 7,11.

2.2 «Красивые» задачи по чертежу

Задачи на построение чертежей, вызывают интерес именно условием (красивый чертеж). Поэтому учащиеся начинают фантазировать на данную тему, и у них получаются оригинальные чертежи.
Задача
Зигзаг разделил правильный девятиугольник на треугольники, как показано на рисунке. Какая часть площади больше: закрашенная или незакрашенная?



Решение. Проведем в девятиугольнике еще несколько диагоналей.

13 EMBED Paint.Picture 1415

Девятиугольник разбился на 13 треугольников. На рисунке образовалось много параллелограммов и трапеций с диагоналями. Расставим номера треугольников, причем одинаковым номером отметим равные треугольники разных цветов. 12 из них разбились на пары, а тринадцатому, который оказался закрашенным, пары не хватило. Значит, закрашенная часть площади девятиугольника больше его незакрашенной части.
Ответ: закрашенная.

2.3 «Красивые» задачи по решению

Нестандартность решения может проявляться и в методах решения. Особый интерес в этом смысле представляют задачи, имеющие несколько различных методов решения, и многовариантные задачи, имеющие несколько ответов (причем желательно, чтобы факт наличия нескольких ответов не был явно указан в формулировке условия).
Задача
Дан острый угол А, вершина которого недоступна (находится за пределами чертежа). Постройте биссектрису данного угла.
Эту задачу можно решить, как минимум, тремя способами, каждый из которых по-своему красив.
Способ 1 опирается на тот факт, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Взяв две произвольные точки В и С на сторонах данного угла, получим треугольник АВС (с одной недоступной вершиной), две биссектрисы которого можно построить. Точка пересечения этих биссектрис лежит на искомой биссектрисе. Аналогично можно найти и вторую точку.

Способ 2 использует свойство углов с соответственно параллельными сторонами: проведя на равных расстояниях от сторон данного угла прямые А1В1и А1С1, параллельные соответственно сторонам АВ и АС, так чтобы точка их пересечения лежала внутри угла, получим угол В1А1С1, равный данному. Очевидно, что биссектриса В1А1С1 лежит на искомой биссектрисе угла ВАС.


2.4 «Красивые» олимпиадные задачи

Олимпиадные задачи всегда пользовались успехом у учеников 5-11 классов, приведем пример «красивой» олимпиадной задачи.
Задача
Дана белая доска размером 100*100 клеток. Двое по очереди красят ее клетки в черный цвет, причем первый всегда закрашивает квадрат 2*2, а второйтри клетки, образующие «уголок». Уже покрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?
Ответ: второй











Решение. В одном из углов доски второй игрок своим первым ходом закрашивает три клетки в прямоугольнике 2x3, а три оставшиеся клетки из этого прямоугольника объявляет резервом. В дальнейшем второй игрок делает все возможные ходы, не затрагивая резерва. Если такой ход становится невозможным, то закрашиваются клетки резерва. Ясно, что ответного хода у первого игрока нет.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа по выбранной теме осуществлялась в соответствии с планом исследования, а именно: были определены объектная область, объект и предмет исследования, сформулирована гипотеза, поставлены цели и задачи, а также определены ожидаемые результаты. Были указаны используемые методы исследования, определена проблема, обоснована актуальность.
Анализируя выполнение поставленных задач, можно сказать следующее:
В ходе исследования дано определение «красивой» математической задачи, проведена классификация таких задач по определенным признакам, а именно:
Задачи, «красивые» по решению
Задачи, «красивые» по содержанию
Задачи, «красивые» по чертежу
«Красивые» олимпиадные задачи.
Изучена литература по вопросу исследования, всего изучено 10 научных публикаций и других источников. Самыми интересными, на наш взгляд, оказались Бахтина Т.П. Раз задачка, два задачка..-М.:Аскар,2001 и Леман И. Увлекательная математика/ Пер. с нем. Ю.А. Данилова. М., 1985.
Подготовлены материалы для сборника «красивых» математических задач.
В ходе данного исследования были использованы заявленные методы (теоретические, эмпирические, математические).
Анализируя планируемые ожидаемые результаты исследования, можно отметить, что как основной результат работы проведена классификация «красивых» математических задач.
Считаем, что практическая значимость данной работы заключается в следующем:
Автор работы, изучив литературу по данному вопросу, получил дополнительные знания в области математики, укрепив свой интерес к этой науке.
Подготовленные материалы для сборника «красивых» математических задач могут быть использованы всеми учащимися при подготовке к урокам, олимпиадам, другим занятиям.






СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Бахтина, Т.П. Раз задачка, два задачка...-М.:Аскар,2001.
Ковалёва, С.П. Олимпиадные задания по математике 9 класс – В.: Учитель 2005.
Леман, И. Увлекательная математика/ Пер. с нем. Ю.А. Данилова. М., 1985.
Лихтарников, Л.М. Задачи мудрецов: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение: АО «Учебная литература», 1996.
Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. – М.: Наука, 1986.
Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе – М.: Айрис пресс, 2002.
Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе 5-11 класс – М.:Айрис пресс, 2005.
Фарков, А.В. Готовимся к олимпиадам по математике – М.: Экзамен, 2006.
Математические олимпиады и олимпиадные задачи – http://www.zaba.ru.
Международный математический конкурс «Кенгуру» - http://.Kenguru.sp.ru.-
Московская математическая олимпиада школьников -http://olympiadas.mccme.ru/mmo/







13PAGE 15


13PAGE 141215




Заголовок 1Заголовок 2Заголовок 3Заголовок 515