Рабочая тетрадь для выполнения самостоятельной работы по математике (для групп ПО)
Павлова Н.Г.
Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика»
Рабочая тетрадь предназначена для выполнения внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика».
Для студентов второго курса, обучающихся по специальности 40.02.01 Право и организация социального обеспечения.
Содержание
1. Элементы теории множеств 4
1.1. Понятие множества. Операции над множествами 4
1.2. Мощность множества. Счетные и несчетные множества 12
2. Функция 13
2.1. Понятие функции. Основные свойства функции 13
2.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций 33
3. Пределы 104
3.1. Последовательность. Предел последовательности 104
3.2. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы. 107
3.3. Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины 112
4. Непрерывность функции и точки разрыва 115
1. Элементы теории множеств
1.1. Понятие множества. Операции над множествами
1. Даны множества A, B и C. Выразите множество D через A, B и C при помощи операций ∪, ∩ и \.
D ― множество элементов, принадлежащих всем трем множествам.
D=D ― множество элементов, принадлежащих хотя бы двум из множеств A, B и C.
D=D ― множество элементов, принадлежащих ровно двум из множеств A, B и C.
D=D ― множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A, B и C.
D=D ― множество элементов, принадлежащих ровно одному из множеств A, B и C.
D=D ― множество элементов, принадлежащих A и B, но не принадлежащих C.
D=D ― множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B, но не принадлежащих C.
D=D ― множество элементов, принадлежащих ровно одному из множеств A и B, но не принадлежащих C.
D=2. Заштрихуйте множество D.
D=A∩B∩CA
B
C
D=A∪B∪CA
B
C
D=A∪(B∩C)A
B
C
D=(A∪B)∩CA
B
C
D=(A\B)∩CA
B
C
3. Определите заштрихованное множество D.
A
B
C
D=
A
B
C
D=
4. Найдите все подмножества множества A={1;3;5}.
Ответ:
5. Укажите, какие из представленных множеств являются подмножествами множества -1;5∪6;8.
∅ {6} [6;8] -1;5 {7} (6,5;7,5) (-1;5) (6;8) -1;5∪{6} 6. Даны множества A={1;3;5;7;9} и B={2;3;4;5;6}. Определите результаты операций над множествами.
A∪B=A∩B=A\B=B\A=AΔB=A×B=B×A=7. Определите результаты операций над множествами.
1;5∪∅=1;5∩∅=1;5\∅=∅\1;5=1;5∆∅=1;5∩2;7=1;5∩2;7=1;5\2;7=2;7\1;5=1;5Δ2;7=(-3;5]∪2;7=1;5∩(2;3∪4)=(1;5∪{6;8})\2;7=2;7\(1;5∪{6;8})=(1;5∪{6;8})Δ2;7=-∞;5∪(0;7]=[1;+∞)∩(0;2∪3)=8. Изобразите множество A.
A=-1;3×{1;2}
A=1;3×[-1;2]
A=-2;2×[1;3)
A=(1;2∪{3})×[-1;2]
A=-1;+∞×(-1;3]
9. Сформулируйте свойства операций над множествами.
A∪B=A∩B=A∪A=A∩A=(A∪B)∪C=(A∩B)∩C=A∪(B∩C)=A∩(B∪C)=(A⊂C и B⊂C)⇔(C⊂A и C⊂B)⇔CA(CAB)=CA(B∪C)=CA(B∩C)=(A×B=∅)⇔A×B∪(C×B)=A×B∩(C×D)=
1.2. Мощность множества.
Счетные и несчетные множества
10. Даны множества A={1;2;3;4;5} и B={1;3;5;7;9}. Определите мощности следующих множеств:
cardA=cardB=cardA∪B=cardA∩B=cardA\B=cardB\A=cardA∆B=cardA×B=cardB×A=11. Определите мощности следующих множеств:
card∅=card{0}=card{0;1}=card(0;1)=card[0;1]=card[0;+∞)=cardN=cardZ=cardQ=cardR=cardC=cardN2=cardR2=cardR3=card2∅=card2{0}=card2{0;1}=card2{0;1;2}=12. Укажите, какие из представленных множеств являются бесконечными.
{0;1} {0;1;2} R [0;1] (0;+∞) 2{0;1} 0;1∪{2} N 2(0;1)13. Укажите, какие из представленных множеств являются счетными.
N R R\N Z N2 2N Q m| ∃ n∈N: m=3n2. Функция
2.1. Понятие функции. Основные свойства функции
14. Найдите область определения и множество значений, постройте график таблично заданной функции.
x0 1 2 3 4
f(x)5 4 3 2 1
Df=Ef=
15. Найдите области определения функций.
fx=x2+1, Df=fx=(x+1)-1, Df=fx=(x2+1)-1, Df=fx=x+1, Df=fx=x+1+2-x, Df=fx=x2+1, Df=fx=x2-1, Df=fx=3x2-1, Df=fx=1x2-1, Df=fx=ex+1, Df=fx=ex+1, Df=fx=ln(x+1), Df=fx=ln(x2+1), Df=fx=1ln(x+1), Df=fx=sinx, Df=fx=sin-1x, Df=fx=cosx, Df=fx=tgx, Df=fx=ctgx-π6, Df= fx=arcsinx, Df=fx=arccosx, Df=fx=arctgx, Df=fx=arcctgx, Df=16. Найдите множества значений функций.
fx=x2+1, Ef=fx=x2-1, Ef=fx=(x-1)2, Ef=fx=x2+6x+8, Ef=fx=x+1, Ef=fx=x2+1, Ef=fx=3x2-1, Ef=fx=(x-1)-1, Ef=fx=(x2+1)-1, Ef=fx=1x2-1, Ef=fx=ex+1, Ef=fx=ex+1, Ef=fx=ex+1, Ef=fx=ln(x+1), Ef=fx=ln(x2+1), Ef=fx=|lnx+1|, Ef=fx=ln|x+1|, Ef=fx=1ln(x+1), Ef=fx=sinx, Ef=fx=sin-1x, Ef=fx=sinx, Ef=fx=|sinx|, Ef=fx=tgx, Ef=fx=ctgx-π3, Ef= fx=arcsinx, Ef=fx=arccosx, Ef=fx=arctgx, Ef=fx=arcctgx, Ef=fx=arccos|x|, Ef=fx=|arctgx|, Ef=fx=arcctg|x|, Ef=fx=π+arctgx, Ef=fx=π-arcсtgx, Ef=17. Найдите области определения и множества значений функций, заданных графически.
Df=Ef=
Df=Ef=
18. Укажите графики функций, область определения которых -3;1∪(1;2].
8382039370
-1016039370
8382085090
-5778580645
19. Укажите графики функций, множество значений которых (-1;2].
83820159385
113665-6350
882656985
374656985
20. Сформулируйте определение четной функции.
Функция y=f(x) с областью определения D(f) называется четной, если _________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________
21. Сформулируйте определение нечетной функции.
Функция y=f(x) с областью определения D(f) называется нечетной, если _______________________________________ ________________________________________________________________________________________________________
22. Найдите области определения четных функций.
Df=[;4]Df=-∞;-1∪(-1;0)∪Df=∪0∪(2;5)23. Найдите области определения и множества значений нечетных функций.
Df=-3;, Ef=[;5]Df=-∞;-1∪0∪, Ef= ∪0∪[4;+∞)24. Исследуйте функции на четность ( ч ― четная, н ― нечетная, о ― общего вида).
fx=x2 fx=x2+1 fx=x+12 fx=x3 fx=x3+1 fx=x+13 fx=x+1 fx=|x+1| fx=1x fx=1x-1 fx=1x-1 fx=1x2 fx=1x2-1 fx=1x2-1 fx=x fx=|x| fx=1x fx=1|x| fx=3x fx=13x fx=2x fx=2|x| fx=lnx fx=ln|x| fx=sinx fx=sin|x| fx=|sinx| fx=cosx fx=cos3x fx=sin2x fx=tgx fx=tg|x| fx=ctgx fx=|ctgx| fx=sin(x2) fx=sin(x3) fx=sin(x2+1) fx=sin(x3+1) fx=sin2x fx=sin3x fx=1+sin2x fx=1+sin3x fx=sinx fx=cosx2 fx=cosx3 fx=xsinx fx=x2sinx fx=xcosx fx=x2cosx fx=x+sinx fx=1+sinx fx=1+cosx fx=xtgx fx=xctgx fx=1-tgx fx=x-tgx fx=arcsinx fx=arccosx fx=arctgx fx=arcctgx fx=arctg|x| fx=arcctg|x| fx=arccosx-π2 fx=arcctgx-π2 fx={x} fx=[x] fx={|x|} fx=|x| fx=-x+sin2xcos5x fx=x4-sin2xx2-1 fx=x-1, x<00,x=0x+1, x>0 fx=x4, x≠03,x=0
25. Дорисуйте графики так, чтобы получились графики четных функций.
26. Дорисуйте графики так, чтобы получились графики нечетных функций.
27. Сформулируйте определение периодической функции.
Функция y=f(x) с областью определения D(f) называется периодической с периодом T≠0, если __________________
________________________________________________________________________________________________________
28. Исследуйте функции на периодичность ( н ― непериодическая, п ― периодическая). Для периодических функций укажите их основные периоды.
fx=sinx fx=cosx fx=sinx+cosx fx=tgx fx=ctgx fx=cos2x fx=sin2x fx=sinx2 fx=sinx fx=|cosx| fx=cos|x| fx=1-tgx fx=tgx+π/3 fx=ectgx fx=ctgex fx=ln(sinx) fx=sin(lnx) fx=x fx=|x| fx={sinx} fx=[cosx] 29. Сформулируйте определение возрастающей функции.
Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке X, если _____________________________________________
____________________________________________________
30. Сформулируйте определение убывающей функции.
Функция y=f(x) называется убывающей на промежутке X, если _______________________________________________
____________________________________________________
31. Сформулируйте определение невозрастающей функции.
Функция y=f(x) называется невозрастающей на про-межутке X, если _____________________________________
____________________________________________________
32. Сформулируйте определение неубывающей функции.
Функция y=f(x) называется неубывающей на промежутке X, если _____________________________________________
____________________________________________________
33. Исследуйте на монотонность функцию, заданную графически.
fx↗ при x∈ fx↘ при x∈ 34. Исследуйте на монотонность на [-2;3] функции, заданные графически ( в ― возрастает, у ― убывает, нв ― не возрастает, ну ― не убывает).
1714541910
-3873589535
-59055-1270
-48260-1270
35. Изобразите график функции, зная, что:
а) область определения функции есть промежуток [– 4; 3];б) значения функции составляют промежуток [– 3; 4];в) промежутки убывания функции [– 4; – 2] и [0; 3];г) функция возрастает на промежутке [– 2; 0];д) отрицательные значения функция принимает только в точках промежутка (1; 3].
36. Сформулируйте определение точки локального максимума функции.
Точка x0 называется точкой локального максимума функции y=f(x), если _______________________________________
________________________________________________________________________________________________________
37. Сформулируйте определение точки локального минимума функции.
Точка x0 называется точкой локального минимума функции y=f(x), если _______________________________________
________________________________________________________________________________________________________
38. Проведите исследование функции, заданной графически.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ fx↘ при x∈ fmax=f=fmin=f=39. Постройте график функции y=f-1(x).
2.2. Элементарные функции.
Преобразование графиков функций
40. Постройте график функции y=x. Проведите ее исследование.
1) Область определения.
Df=2) Множество значений.
Ef=3) Четность/ нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈
41. Постройте график функции y=x2. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ fx↘ при x∈ fmin=f=42. Постройте график функции y=x3. Проведите ее исследование.
1) Область определения.
Df=2) Множество значений.
Ef=3) Четность/ нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈
43. Постройте график функции y=x4. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ fx↘ при x∈ fmin=f=44. Постройте график функции y=1x. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↘ при x∈ 45. Постройте график функции y=1x2. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx>0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ fx↘ при x∈ 46. Постройте график функции y=1x3. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↘ при x∈ 47. Постройте график функции y=x. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈
48. Постройте график функции y=3x. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ 49. Постройте график функции y=2x. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx>0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ 50. Постройте график функции y=12x. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx>0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↘ при x∈ 51. Постройте график функции y=ex. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx>0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ 52. Постройте график функции y=log2x. Проведите ее исследование.
1) Область определения.
Df=2) Множество значений.
Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является
4) Периодичность.
Функция является
5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ 53. Постройте график функции y=log0,5x. Проведите ее исследование.
1) Область определения.
Df=2) Множество значений.
Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является
4) Периодичность.
Функция является
5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↘ при x∈ 54. Постройте график функции y=lnx. Проведите ее исследование.
1) Область определения.
Df=2) Множество значений.
Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является
4) Периодичность.
Функция является
5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ 55. Постройте график функции y=lg x. Проведите ее исследование.
1) Область определения.
Df=2) Множество значений.
Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является
4) Периодичность.
Функция является
5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ -16116305908675-16163936250622-16116305661660-1764030530987056. Постройте график функции y=sin x. Проведите ее исследование.
-2622555573395-12757156212840-12757156212840 1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность. Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ fx↘ при x∈ fmax=f=fmin=f=-16116305908675-16163936250622-16116305661660-1764030530987057. Постройте график функции y=cos x. Проведите ее исследование.
-2622555573395-12757156212840-12757156212840 1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность. Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ fx↘ при x∈ fmax=f=fmin=f=
-16116305908675-16163936250622-16116305661660-1764030530987058. Постройте график функции y=tg x. Проведите ее исследование.
-2622555573395-12757156212840-12757156212840 1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность. Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ -16116305908675-16163936250622-16116305661660-1764030530987059. Постройте график функции y=ctg x. Проведите ее исследование.
-2622555573395-12757156212840-12757156212840 1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность. Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↘ при x∈ 60. Постройте график функции y=arcsinx. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈ 61. Постройте график функции y=arccosx. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↘ при x∈ 62. Постройте график функции y=arctgx. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈
63. Постройте график функции y=arcctgx. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx>0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↘ при x∈
64. Постройте график функции y=[x]. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x∈ fx>0 при x∈ fx<0 при x∈ 65. Постройте график функции y={x}. Проведите ее исследование.
1) Область определения. Df=2) Множество значений. Ef=3) Четность/нечетность.
Функция является 4) Периодичность.
Функция является 5) Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
fx=0 при x= fx>0 при x∈ 6) Экстремумы. Интервалы монотонности.
fx↗ при x∈
66. Постройте график функции y=f(x+1).
67. Постройте график функции y=f(x-1).
68. Постройте график функции y=fx+1.
69. Постройте график функции y=fx-1.
70. Постройте график функции y=f-x.
71. Постройте график функции y=f2x.
72. Постройте график функции y=fx2.
73. Постройте график функции y=f-2x.
74. Постройте график функции y=f-x2.
75. Постройте график функции y=f|x|.
76. Постройте график функции y=-fx.
77. Постройте график функции y=2fx.
78. Постройте график функции y=0,5fx.
79. Постройте график функции y=-2fx.
80. Постройте график функции y=-0,5fx.
81. Постройте график функции y=f(x).
82. Постройте график функции y=fx-1.
83. Постройте график функции y=fx+1.
84. Постройте график функции y=f(x).
85. Постройте график функции y=f(x).
86. Постройте график функции y=fx+g(x).
87. Постройте график функции y=fx-g(x).
88. Постройте график функции y=fxg(x).
89. Постройте график функции y=1f(x).
90. Постройте график функции y=f(x)g(x).
91. Постройте график функции y=f2(x).
92. Постройте график функции y=f(x).
93. Постройте график функции y=2f(x).
94. Постройте график функции y=ln(fx).
95. Постройте график функции y=sin(fx).
96. Постройте график функции y=arccos(fx).
97. Постройте график функции y=x-2-1.
98. Постройте график функции y=x+2, x<-2, 4-x2, -2≤x≤0, 2-x, x>0.
99. Постройте график функции y=x2.
100. Постройте график функции y=x2.
101. Постройте график функции y=1x2+1.
102. Постройте график функции y=x+1-1.
103. Постройте график функции y=e-x.
-16116305908675-16163936250622-16116305661660-17640305309870104. Постройте график функции y=ln(sinx).
-2622555573395-12757156212840-12757156212840
-16116305908675-16163936250622-16116305661660-17640305309870105. Постройте график функции y=cos(lnx).
-2622555573395-12757156212840-12757156212840
-16116305908675-16163936250622-16116305661660-17640305309870106. Постройте график функции y=esinx.
-2622555573395-12757156212840-12757156212840
-16116305908675-16163936250622-16116305661660-17640305309870107. Постройте график функции y=arctg(ex).
-2622555573395-12757156212840-12757156212840
3. Пределы
3.1. Последовательность. Предел последовательности
108. Найдите общие члены последовательностей.
1; 14; 19; 116;⋯xn=-12; 13; -14; 15;⋯xn=17; -29; 311; -413;⋯xn=109. Сформулируйте определения.
limn→∞xn=a опр.limn→∞xn≠a опр.∄limn→∞xn опр.limn→∞xn=∞ опр.limn→∞xn=+∞ опр.limn→∞xn=-∞ опр.110. Найдите пределы числовых последовательностей.
limn→∞n+22n-1=∞∞=limn→∞nn==limn→∞=limn→∞5n2+n-15n3+n2-1=∞∞=limn→∞==limn→∞=limn→∞5n3+n2-15n2+n-1=∞∞=limn→∞==limn→∞=limn→∞n+1-n=∞-∞==limn→∞==limn→∞=limn→∞n2+2n-n=∞-∞==limn→∞==limn→∞=limn→∞= =limn→∞= limn→∞1+12n3n=1∞=limn→∞1+12n2n=limn→∞1-12n3n=1∞=limn→∞1-12n==limn→∞nn+1n=111. Укажите, какие из представленных числовых последовательностей являются сходящимися.
xn, xn=(-1)n xn, xn=(-2)n xn, xn=(-0,5)n xn, xn=n xn, xn=nn xn, xn=nn xn, xn=1nn xn, xn=nn+1 xn, xn=nn+1 xn, xn=n2n+13.2. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
112. Сформулируйте определения.
limx→x0f(x)=A опр.limx→x0f(x)≠A опр.∄limx→x0f(x) опр.limx→x0+f(x)=A опр.limx→x0-f(x)=A опр.limx→x0f(x)=∞ опр.limx→x0f(x)≠∞ опр.limx→x0fx=+∞ опр.limx→x0fx=-∞ опр.limx→x0+f(x)=∞ опр.limx→x0+fx=+∞ опр.limx→x0+fx=-∞ опр.limx→x0-f(x)=∞ опр.limx→x0-fx=+∞ опр.limx→x0-fx=-∞ опр.limx→∞f(x)=A опр.limx→∞f(x)≠A опр.∄limx→∞f(x) опр.limx→+∞f(x)=A опр.limx→-∞f(x)=A опр.limx→∞f(x)=∞ опр.limx→∞f(x)≠∞ опр.limx→+∞f(x)=∞ опр.limx→-∞f(x)=∞ опр.limx→∞fx=+∞ опр.limx→+∞fx=+∞ опр.limx→-∞fx=+∞ опр.limx→∞fx=-∞ опр.limx→+∞fx=-∞ опр.limx→-∞fx=-∞ опр.113. Найдите пределы функций.
limx→0x2-1x2-3x+2= limx→0=limx→1x2-1x2-3x+2=00= limx→1==limx→1=limx→2x2-1x2-3x+2=limx→∞x2-1x2-3x+2=∞∞=limx→∞x-17x7-1=∞∞=limx→+∞3x+2x2-3x=limx→-∞3x+2x2-3x=limx→0x+1-1x= limx→+∞(x2+x-x2-x)= limx→0sin5x7x=00=limx→0sin5xsin7x=00=limx→01-cos4x5x2=00= limx→∞1-3x2x=1∞= limx→∞x-2x+33x-1=1∞=
3.3. Бесконечно малые величины.
Бесконечно большие величины
114. Укажите, какие из представленных функций являются бесконечно малыми величинами.
fx=x при x→0 fx=x-1 при x→0 fx=x-1 при x→1 fx=x2 при x→0 fx=(1-x)2 при x→1 fx=(1+x)2 при x→1 fx=1/x при x→∞ fx=e1/xпри x→0- fx=sinx при x→0 fx=sinx/x при x→0 fx=sinx/x2 при x→∞ fx=cosx/x при x→∞ fx=arctgx при x→0 fx=arctg(1/x) при x→∞ fx=arctgx-π/2 при x→∞115. Укажите, какие из представленных функций являются бесконечно большими величинами.
fx=x при x→∞ fx=x2 при x→∞ fx=1/x при x→0 fx=e1/xпри x→0+ fx=sinx/x при x→∞ fx=sinx/x при x→0 fx=sinx/x2 при x→∞ fx=sinx/x2 при x→0 fx=arctgx при x→∞ fx=arctg(1/x) при x→∞ fx=1/arctgx при x→∞ fx=1/arctgx при x→0116. Сравните порядки следующих бесконечно малых величин относительно αx=x при x→0
(в ― б.м.в. является б.м.в. более высокого порядка малости относительно αx=x при x→0,э ― б.м.в. и б.м.в. αx=x при x→0 являются б.м.в. одного порядка малости,н ― б.м.в. является б.м.в. более низкого порядка малости относительно αx=x при x→0).
βx=x2 βx=x βx=x(1+x) βx=x(1+x) βx=x(1-x) βx=sinx βx=sin2x βx=cos2x-1 βx=xex βx=tgx βx=3x3+x βx=ln(x+1) βx=xe-x βx=xcosx3tg2x117. Определите порядок малости б.м.в. αx относительно б.м.в. β(x) при x→0.αx=x3, βx=x, k=αx=sin2x, βx=x, k=αx=5ln(1+x), βx=x, k=118. Определите пары эквивалентных бесконечно малых величин при x→0.x/2 sinxxsin2xxtg2xx1-cosxxarcsinx2xarctgx2xln(x+1)x2/2(ex-1)/2
119. Найдите пределы c помощью эквивалентных бесконечно малых.
limx→01-e2xx= limx→0=limx→0sinx22x2= limx→0=limx→0tg32xsin3x= limx→0=limx→03x2ln1+x2= limx→0=limx→0arctg3xarcsinx= limx→0=4. Непрерывность функции и точки разрыва
120. Сформулируйте определение функции, непрерывной в точке.
Функция f(x), определенная в точке x0, называется непрерывной в точке x0, если ___________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
121. Сформулируйте определение функции, непрерывной на некотором промежутке.
Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если _______________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
122. Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
123. Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
124. Сформулируйте первую теорему Больцано-Коши.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
125. Сформулируйте вторую теорему Больцано-Коши.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
126. Укажите, какие из представленных функций являются непрерывными в точке x0.
fx=1x+1, x0=0 fx=1x+1, x0=-1 fx=xx+1, x0=0 fx=xx+1, x0=-1 fx=x2-1x+1, x0=-1 fx=x2-1x2+1, x0=-1 fx=x2+xx, x0=0 fx=sinxx, x0=0 fx=arctg1x, x0=0 fx=arctg1x2, x0=0 fx=x2, x≤0,2x, x>0, x0=0 fx=2x, x<2,4, x≥2, x0=2 fx=|x|x, x0=0 fx=lnx+1, x0=-1127. Определите типы точек разрыва следующих функций.
fx=sinxx в точке x0=0 fx=|x|x2+1 в точке x0=0 fx=x2-2xx2-4 в точке x0=2 fx=1x в точке x0=0 fx=e1/x в точке x0=0 fx=arctg1x в точке x0=0 fx=arctg1x2 в точке x0=0