Презинтация по математику на тему Вычесление двойного и тройного интеграла (студентов ВУЗа)
КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕКОВИЧ
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
Цель темы:Ознакомить студентов с новой темой, объяснить как заменять двойные интегралы. С помощью таких тем все больше заинтересовать студентов к математике. Стараться связывать предмет математики с жизненными примерами, что вызывает большой интерес у студентов.Студенты должны хорошо усвоить данный материал.
План:Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах Применение формулы ЯкобианВопросы по пройденной темеПримеры на самостоятельное решениеСписок использованной литературы
ВопросыЧто называется двойным интегралом?Какими свойствами обладает двойной интеграл?Геометрический смысл двойного интеграла?Напишите интегральную сумму для функции f(x,y) в области D?
Замена двойного интегралаПредположим, что в двойном интеграле необходимо перейти к новым переменным по формулам В функции на , иными словами имеются обратные функции Если область в плоскости на криволинейные параллелограммы. Обозначим на плоскости бесконечно малый прямоугольник
ppt_xxshearppt_x
ppt_xxshearppt_x
Поскольку параметрические уравнения кривой ABCE параллелограмм, который построен на векторах В этом случае, рассматривая третью координату эквивалентной , прибегнем к формуле, которая определяет площадь параллелограмма через модуль векторного произведения:
Запишем обозначение Итак, элемент площади в соответствии с формулой(*) Запишем формулу замены переменной в двойном интеграле здесь используется в качестве образа в системе . Определитель именуют якобианом преобразования координат. При ненулевом якобиане, преобразование имеет смысл или является невырожденным.Следует отметить, что формула (*) может быть использована и в случае - мерного пространства.
Пример 1: Измерить порядок интегрирования в интеграле Решение. В рассматриваемом примере следует начинать с построения области интегрирования, поскольку интегралы заданы с указанием порядка интегрирования и пределов по соответствующим переменным. Напомним, что переменные пределы интегрирования внутреннего интеграла являются границами изменения x при фиксированном y. Поэтому область интегрирования G1 для первого интеграла можно задать неравенствамиГде иПредставляют собой дуги параболы Лежащие выше оси OxЛежащие ниже оси OxОбласть интегрирования во втором интеграле имеет вид: Где кривыеиПредставляют собой дуги параболы И дугу окружности
Пусть G = G1UG2 (рис. 6). Тогда каждая прямая x = const, пересекает множество G по отрезку с концамииСледовательно, область G можно представить в видеА значит
Пример 2: Вычислить интегралгде область G ограничена линиями: и y=0 (Рис.7)При каждом фиксированном значении y,значение x меняется от до x=(2-y)e. Поэтому Интегрируя теперь функциюпо y в пределах от y = 0 до y = 1, получимПри вычислении интегралаиспользуем форму интегрирования по частям. Имеем
Двойной интеграл в полярных координатахПусть на плоскости Оху одновременно введена и полярная система координат Orφ(рис. a): Оp — полярная ось, которая совпадает с осью Ох; φ — полярный угол; r — полярный радиус точки М. Тогда, как известно: (2.12)Рис. 2.9
style.rotationppt_wppt_y
Для полярной системы координатная сетка представляет собой пересечение окружностей увеличивающихся радиусов r с лучами, выходящими из точки О под возрастающими углами φ к полярной оси (рис. 2.10). Рис.2.10Рис.2.11
style.rotationppt_wppt_y
Рассмотрим элементарный участок полярной сетки (рис. 11). Тогда его площадь ΔS можно найти как разность площадей S1 и S2 полярных секторов радиусовr + Δr и r с раствором угла Δφ: При Δr → 0, Δφ → 0 получаем ΔS ≈ r · Δr · Δφ. Таким образом, при замене переменных по формуле (2.12) дифференциал площади в полярной системе координат преобразуется так:2.13 В декартовой системе координат Оху прямоугольная сетка дает dS = dx · dy.
Замечание.Формулу (2.13) можно получить и по-другому, используя Якобиан J - "коэффициент искажения" площади при переходе к другой системе координат. А именноЧто совпадает с (2.13)
ppt_xxshearppt_x
ppt_xxshearppt_x
Теорема: Если область D - является правильной в полярной системе координат Оrφ, то двойной интеграл в этих координатах вычисляется так:
Пример 3: Вычислить двойной интегралгде область D есть первая четверть кругаРешение. Построим область D в декартовой системе координат . В двойноминтеграле перейдем к полярным координатам:Полярный угол φ в области D изменяется от 0 доа полярный радиус r – от 0 до R, следовательно:
Пример 4: Вычислить двойной интеграл где область D верхняя часть кругаРешение. Перейдем к полярным координатам в двойном интегралеЗначения переменных φ и r заключены в пределах 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 1, поэтомуКаждый из линейных интегралов в правой части равенства можно вычислить отдельно, так как пределы постоянны:
Находя первообразные и подставляя пределы окончательно получим:
ЗнаюХочу узнатьУзнал З Х У
Заключение В первой части темы рассмотрели замену переменных в двойном интеграле.Рассмотрели теоретические основы. Привели примеры на измерение порядка интегрирования в интеграле, а также вычисление и применение. Вторая часть темы двойной интеграл в полярных координатах. Тут ознакомились формулой Якобиан, а так же были приведены примеры.
Задания по пройденной теме1. Изменить порядок интегрирования (сделать чертеж области).2.Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.где область D, ограничена линиямиy = x . где область D, ограничена линиями y = x,y = 2x, x = 2, x = 3.а) б)
Список используемой литературы1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1999.2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000.3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.4. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 2005.