Презинтация по математику на тему Двойной интеграл (студентов ВУЗа)

Вычисление двойного интеграла КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕКОВИЧ Двойной интеграл ДИ в декартовых координатахЗамена переменных в ДИДИ в полярных координатахОтработка отдельных блоков схемы вычисления ДИЗадания по теме 1/13 ДИ в декартовых координатах Рассмотрим область R2 и проведем вертикальные прямые х=с (с=const) так, чтобы они пересекали область . Область R2 называется вертикально-правильной, если каждая вертикальная прямая х=с (с=const) пересекает границу области  не более, чем в двух точках Р1(х,у1) и Р2(х,у2). Вертикально-правильную область  можно задать системой неравенств : (1)где [a,b] — проекция области  на ось ОХ. Двойной интеграл по вертикально-правильной области , заданной системой неравенств (1), вычисляется с помощью повторного интеграла: ДИ в декартовых координатах Область R2 называется горизонтально-правильной, если каждая горизонтальная прямая у=с (с=const) пересекает границу области  не более, чем в двух точках Р1(х1,у) и Р2(х2,у).[c; d] - проекция  на ОУ.Область  можно задать системой неравенств : (2) Двойной интеграл по горизонтально-правильной области , заданной системой неравенств (2), вычисляется с помощью повторного интеграла  Замена переменных в двойном интеграле Заменим переменные x и y : Если функции x и y имеют в некоторой области D* плоскости 0uv непрерывные частные производные и не равный нулю определитель: а функция f(x, y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле: определитель Якоби (якобиан) Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная функция z = f(x, y). 2/13 Замена переменных в двойном интеграле Вычислить двойной интеграл если область D ограничена линиями: xy = 1; xy = 2; y = x; y = 3x. x y 0 D y = 1/x y = 2/x y = x y = 3x Сделаем замену переменных: 3/13 Найдем уравнения линий, ограничивающих область D* Замена переменных в двойном интеграле 4/13 Выразим переменные x и y через u и v. Найдем частные производные от получившихся функций: Замена переменных в двойном интеграле 5/13 Найдем якобиан преобразования: Замена переменных в двойном интеграле 6/13 u v 0 1 1 2 2 3 D* Построим область D*. Расставим пределы интегрирования, пользуясь формулой (1): Вычислим двукратный интеграл: Замена переменных в двойном интеграле 7/13 Двойной интеграл в полярных координатах Рассмотрим частный случай замены переменных: замену декартовых координат x и y полярными координатами r и φ. В качестве u и v возьмем полярные координаты r и φ. Они связаны с декартовыми координатами формулами: Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования равен: 8/13 Формула замены переменных принимает вид: Двойной интеграл в полярных координатах Область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат Пусть область D* задана линиями в полярной системе координат: Лучами α β D* r = r2(φ ) r = r1(φ ) Кривыми Такая область называется правильной областью в полярной системе координат: луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в двух точках. r 0 9/13 Расставим пределы интегрирования: Внутренний интеграл здесь берется при постоянном φ. Двойной интеграл в полярных координатах α β D* r = r2(φ ) r = r1(φ ) r 0 10/13 Замечания 1 2 Переход к полярным координатам целесообразен, когда подынтегральная функция имеет вид f(x2+y2) ; область D есть круг, кольцо или части таковых. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены Двойной интеграл в полярных координатах Уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а совмещают декартовы и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и φ. 3 11/13 Вычислить Перейдем к полярным координатам: Двойной интеграл в полярных координатах Изобразим область D в декартовой системе координат. x y 0 3 D 12/13 x y 0 3 D В полярной системе координат эта область будет определяться неравенствами: r = 3 φ Двойной интеграл в полярных координатах 3 0 0 2π 13/13 Отработка отдельных блоков схемы вычисления ДИ Пример № 1. Вычислить повторный интеграл РешениеВычислим внутренний интеграл, рассматривая в нем переменную х как параметр (т.е. const):2. Вычислим внешний интеграл Пример № 2.Вычислить повторный интеграл Решение1. Вычислим внутренний интеграл, рассматривая в нем переменную у как параметр (т.е. const):2. Вычислим внешний интеграл Вычисление можно записывать короче: Задания по теме 1. Вычислить двукратные (повторные) интегралы:Ответы: 26; -11,2; ; .2. Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах: Ответы: 3. Вычислить двойной интеграл , где область D - треугольник, ограниченный прямыми х=0; у=0; х+у=3. Ответ: 9.4. Вычислить двойной интеграл , если область D задана неравенствами ; ух; 0х2. Ответ: .5. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями a) ; y=0; y= ; б) ; y=0; y=x; x+y=/2; в) ; x=y2; y=x2.  Ответы: a5 ; 1/2; -1/504.