Методические рекомендации для выполнения практических работ по Математике по специальности Технология продукции общественного питания (Математика ЕН.01).
Методические рекомендации
для выполнения практических работ
по дисциплине «Математика»
по специальности «Технология продукции общественного питания»
Преподаватель:
Огнева Т.В.
г. Шуя 2015 г
Пояснительная записка
Практические занятия служат связующим звеном между теорией и практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения практических знаний. Практические задания выполняются обучающимся самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений, полученных от преподавателя при выполнении практического задания. К практическому занятию от обучающегося требуется предварительная подготовка, которую он должен провести перед занятием. Список литературы и вопросы, необходимые при подготовке, обучающийся получает перед занятием из методических рекомендаций к практическому занятию.
Практические задания разработаны в соответствии с учебной программой. Зачет по каждой практической работе обучающийся получает после её выполнения и предоставления в печатном или электронном виде, оформленного отчета в котором указывает полученные знания и умения в ходе выполнения практической работы.
Содержание
Практическая работа №1. Функции одной переменной и их свойства.
Практическая работа №2. Предел последовательности и предел функции.
Практическая работа №3. Замечательные пределы.
Практическая работа №4. Непрерывность функции, точки разрыва
Практическая работа №5. Производная функции.
Практическая работа №6. Геометрический смысл производной. Практическая работа №7. Производная высших порядков.
Практическая работа №8. Дифференциал функции.
Практическаяработа№9. Правило Лопиталя.
Практическая работа №10. Неопределенный интеграл.
Практическая работа №11. Интегрирование по частям.
Практическая работа №12. Вычисление определенного интеграла. Практическая работа №13. Применение определенного интеграла для вычисления площади фигур.
Практическая работа №14. Вычисления длины дуги.
Практическая работа №15 Вычисление объема фигур.
Практическая работа №16. Элементы теории вероятностей.
Практическая работа №17. Вычисление полной вероятности.
Практическая работа №18. Формула Бернулли.
Практическая работа №19.Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.
Практическая работа №20. Решение задач в области профессиональной деятельности.
Практическая работа №1
Тема: Функции одной переменной и их свойства.
Цель: сформировать умение использовать свойства функции для ее исследования, решать задачи и упражнения по данной теме.
Теоретические сведения к практической работе
Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие элемент у множестваY, то говорят, что на множестве Х определена функция со значениями в множестве Y, и записывают y=f(х).
Множество Х называется областью определения функции D(f), а множество Y – областью значений функции E(f).
Пример 1. Найти область определения функции
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Основные свойства функции:
Четность и нечетность. Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-x)=f(x), и называется нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция y=f(x) называется функцией общего вида.
Пример 2. Установить четность или нечетность функции.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Монотонность. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х из области определения, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Ограниченность. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке Х из области определения, если существует число М>0, такое, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для любого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Периодичность. Функция y=f(x) называется периодической с периодом Т>0, если для любых значений х из области определения f(x+T)=f(x-T)=f(x).
Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q – количество товара, которое потребители готовы купить по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция спроса, и пишут q=f(p).
Эта функция определена для тех значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для которых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и множество ее значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
График функции спроса называют кривой спроса.
Пример 3. Функция спроса на некоторый товар имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:
Область определения и множество значений этой функции
Функцию цены в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Объем спроса при ценах на товар: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Цену за единицу товара, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
Выручку продавцов в каждом из этих случаев.
Решение: 1) Получим систему неравенств:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Выразим значение p через q:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Из закона спроса следует, что с увеличением цены р от нуля до 3500 руб. спрос должен падать. В нашем случае функция q убывает в промежутке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, следовательно, множество значений функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Функция цены имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Выручка от продажи составляет 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q – количество товара, которое производители готовы продать по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция предложения, и пишут q=
·(p).
Эта функция определена для тех значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для которых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и множество ее значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 4. Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:
Область определения и множество значений функции q
Объем предложения при ценах за единицу товара: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение: 1) Найдем область определения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Множество значений функции q при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
При 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найдем функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы:
Задание 1. Найти область определения функции
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 2. Установить четность или нечетность функции.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 3. а) Функция спроса на некоторый товар имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:
Область определения и множество значений этой функции
Функцию цены в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Объем спроса при ценах на товар: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Цену за единицу товара, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
Выручку продавцов в каждом из этих случаев.
б) Функция спроса на некоторый товар имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:
Область определения и множество значений этой функции
Функцию цены в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Объем спроса при ценах на товар: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Цену за единицу товара, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
Выручку продавцов в каждом из этих случаев.
Задание 4. а) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:
Область определения и множество значений функции q
Объем предложения при ценах за единицу товара: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:
Область определения и множество значений функции q
Объем предложения при ценах за единицу товара: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №2
Тема: Предел последовательности и предел функции.
Цель: сформировать умение находить пределы последовательностей и пределы функций.
Теоретические сведения к практической работе
Пусть существует последовательность действительных чисел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Число а называется пределом последовательности
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 3. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 4. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Число А называют пределом функции f(x) при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (и пишут 13 EMBED Equation.DSMT4 1415), если для любого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 найдется число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 зависящее от , такое, что для всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, удовлетворяющих условию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, выполняется неравенство 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теоремы о пределах:
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (c=const).
2. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 то:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Чтобы найти предел элементарной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х=х0 принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х=х0. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415если13 EMBED Equation.DSMT4 1415если a>1.
Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями; к ним относятся неопределенности видов:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 5. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 6. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 7. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание 1. Вычислить пределы последовательностей:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 2. Вычислить пределы функций:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №3
Тема: Замечательные пределы.
Цель: сформировать умение использовать замечательные пределы для нахождения пределов.
Теоретические сведения к практической работе
Первый замечательный предел: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Второй замечательный предел (число е = 2,718):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Замечательные пределы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 3. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 4. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание: Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №4
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва.
Цель: сформировать умение исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва, определять род точек разрыва.
Теоретические сведения к практической работе
Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется непрерывной в точке х0, если она: 1) определена в точке х0; 2) имеет конечный предел при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) этот предел равен значению функции в этой точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Функция называется непрерывной, если:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Пример 1: Доказать, что функция13 EMBED Equation.DSMT4 1415 непрерывна на (-
·;+
·)
Решение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Точка х0 называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполнено хотя бы одно из условий 13 непрерывности функции. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.
Классификация точек разрыва:
х0 – точка устранимого разрыва, если а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) в точке х0 функция не определена
х0 – точка разрыва I рода, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - скачок функции
х0 – точка разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует
Пример 2:
Найти точки разрыва функции и установить их тип
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание 1. Доказать, что функция является непрерывной
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 2. Найти точки разрыва и установить их тип
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №5
Тема: Производная функции.
Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом виде, находить производные сложных функций.
Теоретические сведения к практической работе
Производной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется конечный предел отношения приращения функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к приращению независимой переменной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при стремлении последнего к нулю:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
Обозначения производной в точке х0:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и другие.
Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).
Процесс отыскания производной называется дифференцированием.
Правила дифференцирования
№ пп
U = u(x), V=V(x) дифференцируемые функции
№ пп
U = u(x), V=V(x) дифференцируемые функции
I
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
VI
Производная сложной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
II
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
VII
Функция задана параметричес-кими уравнениями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
III
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
IV
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
VIII
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 взаимно обратные функции, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
V
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Формулы дифференцирования основных элементарных функций
№ пп
с=const, х независимая переменная, u = u(x) диф ференцируемая функция
1
С’= 0
9
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2
x’= 1
10
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3
13 E
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Пример 1. Найти производные функций:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t=1, получим:(
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v, т. е. v=1;( используя формулу (3), получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III и формулы (3), (14), учитывая, что t=1, получим:(
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2. Найти производную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если функция задана парамет-рически: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Используем правило VII 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 3. Найти производную функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 логарифмическим дифференцированием
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·DSMT4 1415
Задание 2. Найти производную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функции y=у(x), заданной параметрически: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6)13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 3. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием: 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №6
Тема: Геометрический смысл производной.
Цель: сформировать умение составлять уравнение касательной и нормали к графику функций, знать геометрический смысл производной.
Теоретические сведения к практической работе
Геометрический смысл производной.
Если кривая задана уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке (13 EMBED Equation.DSMT4 1415).
Уравнение касательной к кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точке х0 (прямая М0Т) имеет вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
а уравнение нормали (М0N):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2)
Пример: Составить уравнение касательной и нормали к кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415в точке с абсциссой х0=2.
Используем уравнения касательной (1) и нормали (2):
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Подставим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в уравнения и получим: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 уравнение касательной.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 уравнение нормали.
Содержание практической работы
Задание: Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х0.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа № 7
Тема: Производная высших порядков.
Цель: сформировать умение находить производные высших порядков.
Теоретические сведения к практической работе
Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.
Производная второго порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Производная третьего порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и т. д.
Пример: Найти производную второго порядка функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поэтому найдём производную первого порядка, а затем второго.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Содержание практической работы
Задание. Найти производную второго порядка функции y=f(x).
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа № 8
Тема: Дифференциал функции.
Цель: сформировать умение находить дифференциала функции.
Теоретические сведения к практической работе
Для дифференциала функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 справедлива формула 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.
Пример 1. Найти дифференциалы функций:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание: Найти дифференциалы функций:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №9
Тема: Правило Лопиталя.
Цель: сформировать умение применять правило Лопиталя для нахождения пределов.
Теоретические сведения к практической работе
Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или б.б. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5)
Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и затем использовать формулу (5).
Пример: Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, определим предел числителя и знаменателя.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 т. к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Аналогично: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Используем правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание: Найти пределы, используя правило Лопиталя.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №10
Тема: Неопределенный интеграл.
Цель: сформировать умение вычислять неопределенные интегралы, используя непосредственное интегрирования и метод замены переменной.
Теоретические сведения к практической работе
Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, определенная на интервале 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, называется первообразной для функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, определенной на том же интервале 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 первообразная для функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то любая другая первообразная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415для функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 отличается от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на некоторое постоянное слагаемое, т. е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Неопределенным интегралом от функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.
Свойства неопределенного интеграла:
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Таблица основных интегралов
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. 13 EMBED Equation.DSMT
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·on.DSMT4 1415 15. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
16. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 17. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
18. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.
Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Проверка:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Проверка:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Метод замены переменной
Теорема 1. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
При этом, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функция, обратная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Алгоритм замены переменной:
1) Связать старую переменную интегрирования 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с новой переменной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с помощью замены 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2) Найти связь между дифференциалами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.
4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание 1. Вычислить интегралы.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменного.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED E
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Практическая работа №11
Тема: Интегрирование по частям.
Цель: сформировать умение вычислять неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.
Теоретические сведения к практической работе
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям
Если производные функций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 непрерывны, то справедлива формула:
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3)
называемая формулой интегрирования по частям.
В качестве 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.
Некоторые стандартные случаи функций, интегрируемых по частям, указаны в таблице 1. Там же дается способ выбора множителей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Таблица 1
Вид интеграла
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вид интеграла
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equa
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· многочлен от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 степени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т. е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример: Проинтегрировать по частям.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание: Проинтегрировать по частям.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №12
Тема: Вычисление определенного интеграла.
Цель: сформировать умение вычислять определенные интегралы, используя основные свойства и различные методы интегрирования.
Теоретические сведения к практической работе
Определенный интеграл, его вычисление и свойства
Определенный интеграл от функции13 EMBED Equation.DSMT4 1415, непрерывной на отрезке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 первообразная для функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т. е. 13 EMBED Equ
·ation.DSMT4 1415
Формула (1) называется формулой Ньютона Лейбница.
Свойства определенного интеграла:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7) Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла, т. е. замену переменной, интегрирование по частям и т. д. Однако есть ряд особенностей. При замене переменной по формуле (1) необходимо в соответствии с заменой менять пределы интегрирования:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 обратная к 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функция.
Формула интегрирования по частям (1) приобретает вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3)
Пример 4. Вычислить определенный интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание: Вычислить определенный интеграл.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №13
Тема: Применение определенного интеграла для вычисления площади фигур.
Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления площади фигур.
Теоретические сведения к практической работе
Площади плоских фигур
1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат
Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и прямыми 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то ее площадь вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
Рис. 1
Рис. 2
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:
X
0
1
–1
2
–2
3
–3
4
–4
Y
–2
–1
–1
2
2
7
7
14
14
Для построения прямой достаточно двух точек, например 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найдем координаты точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 пересечения параболы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Для этого решим систему уравнений
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Итак, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Площадь полученной фигуры найдем по формуле (1), в которой
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поскольку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, заданными параметрически
Если функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеют непрерывные производные первого порядка для всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то площадь плоской фигуры, ограниченной линией 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 прямыми x = a, x = b, где a = x(t0),
b = x(t1), и осью OX, вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2)
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Для построения фигуры составим таблицу значений координат (x, y) точек кривой, соответствующих различным значениям параметра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
T
0
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
X
2
0
–2
0
2
Y
0
3
0
–3
0
Рис. 3
Нанесем точки (x, y) на координатную плоскость XOY и соединим плавной линией. Когда параметр 13 EMBED Equation.DSMT4 1415изменяется от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 до 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, соответствующая точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 описывает эллипс (известно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 параметрические формулы, задающие эллипс с полуосями a и b). Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей OX и OY, найдем её площадь S, умножив на 4 площадь криволинейной трапеции AOB. Согласно формуле (2) получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №14
Тема: Вычисления длины дуги.
Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления длины дуг.
Теоретические сведения к практической работе
Длина дуги плоской кривой
1. Вычисление дуги плоской кривой в декартовых координатах
Рис. 4
Если кривая задана уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет непрерывную первую производную при всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то длина дуги 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис. 4) этой кривой, заключенной между точками 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
2. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически
Если кривая задана параметрически 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеют непрерывные производные 1-го порядка при всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то длина дуги 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, соответствующей изменению параметра от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 до 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2)
Пример. Найти длину дуги кривой
а)13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (1). Найдем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и подставим в (1):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (2). Найдем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415и подставим в (2):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание: Найти длину дуги кривой.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №15
Тема: Вычисления объема фигур.
Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления объема фигур.
Теоретические сведения к практической работе
Вычисление объемов тел вращения
Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, осью OX и прямыми 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис. 1), то его объем вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
Рис. 1
Рис. 2
Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 2).
Чтобы получить объем тела вращения из объема 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По формуле (1) найдем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (ед. объема);
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (ед. объема);
13 EMBED Equation.DSMT4 1415(ед. объема).
Содержание практической работы
Задание: Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №16
Тема: Элементы теории вероятностей.
Цель: сформировать умение решать задачи на нахождение вероятностей
Теоретические сведения к практической работе
Классическое определение вероятности
Раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называется теорией вероятностей.
Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называют отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов испытания.
Пример 1: В партии из 30 миксеров 2 бракованных. Найти вероятность купить исправный миксер.
Аксиомы вероятностей:
Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.
Если события А1, А2 попарно несовместны, то Р(А1+А2+)=Р(А1)+Р(А2)+
Свойства вероятностей:
Вероятность невозможного события равна нулю Р=0.
Вероятность достоверного события равна единице Р=1.
Вероятность произвольного случайного события А заключается между 0 и 1: 0<Р(А)<1.
Пример 2: Из 34 экзаменационных билетов, пронумерованных с помощью чисел от 1 до 34, наудачу извлекается один. Какова вероятность, что номер вытянутого билета есть число, кратное трем.
Решение: Найдем количество чисел от 1 до 34, кратных трем. Это числа 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. Всего таких чисел 11. Таким образом, искомая вероятность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
События А и В называются совместными, если они могут одновременно произойти, и несовместными, если при осуществлении одного события не может произойти другое.
События А и В называются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или нет.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Пример 3: Вероятность поражения одной мишени – 0,7, а другой – 0,8. Какова вероятность, что будет поражена хотя бы одна мишень, если по ним стреляют независимо друг от друга.
Решение: Т.к. события совместны, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Р(А)+Р(13 QUOTE 1415)=1
Условная вероятность – вероятность одного события, при условии, что другое событие уже произошло.
Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ)=Р(А)
·Р(А/В) или Р(ВА)=Р(А)
·Р(В/А)
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей сомножителей: Р(АВ)=Р(А)
·Р(В).
Пример 4: В двух коробках лежат ручки разного цвета. В первой коробке – 4 красных и 6 черных, во второй – 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимают по одной ручки. Найти вероятность, что обе ручки красные.
Решение: Найдем вероятности вытащить красную ручку из каждой коробки
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тогда вероятность того, что обе ручки красные: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание: Используя классическое определение вероятности события, решить следующие задачи:
1. В коробке 4 красных, 5 зеленых, 8 желтых, 7 белых и 1 черный шар. Найти вероятность вытащить: красный шар; синий шар; белый шар; цветной шар; или зеленый или белый шар; не красный шар; шар одного из цветов светофора.
2. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – девочка, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 4 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?
4. В одном ящике 3 белых и 7 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 8 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
5. Издательство отправило газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,9, во второе - 0,7, в третье - 0,85. Найти вероятность следующих событий:
а) только одно отделение получит газеты вовремя;
б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
6. В первой урне находятся 12 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 10 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми?
7. В партии из 25 деталей находятся 8 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.
8. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна шестерка.
9. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, большее 4.
10. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, не меньшее 2 и не большее 5.
Практическая работа №17
Тема: Вычисление полной вероятности.
Цель: сформировать умение решать задачи на нахождение полной вероятности.
Теоретические сведения к практической работе
Полная вероятность. Формула Байеса
Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий Н1, Н2, , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Если выполняются все условия, имеющие место для формулы полной вероятности, и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то выполняется равенство, называемое формулой Байеса:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1: В первой партии 20 ламп, во второй – 30 ламп и в третьей – 50 ламп. Вероятности того, что проработает заданное время, равна для первой партии 0,7, для второй – 0,8 и для третьей партии – 0,9. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа проработает заданное время? Найти вероятность, что эта лампа принадлежит первой партии?
Решение: Пусть событие А – наудачу взятая лампа проработает заданное время.
Тогда, пусть Н1 – лампа из первой партии, Н2 – лампа из второй партии и Н3 – лампа из третьей партии. Тогда событие А/Н1 – лампа из первой партии проработает заданное время, А/Н2 – лампа из второй партии проработает заданное время и А/Н3 – лампа из третьей партии проработает заданное время. Найдем вероятности
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теперь, используя формулу Байеса найдем вероятность того, что эта лампа принадлежит первой партии
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2: Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 5 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?
Решение: Пусть событие А – извлекается белый шар.
Тогда, пусть Н1 – шар из первой урны, Н2 – шар из второй урны и Н3 – шар из третьей урны. Тогда событие А/Н1 – белый шар из первой урны, А/Н2 – белый шар из второй урны и А/Н3 – белый шар из третьей урны. Найдем вероятности
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание: Используя формулы полной вероятности и Байеса, решить следующие задачи:
1. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 2 урны?
2. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру =0,5, ко второму =0,6. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером =0,94, а вторым =0,92. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная равна 0,9, а второго – 0,8. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь – стандартная.
4. Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 6 синих и 4 черных шаров, во второй – только синие и в третьей – только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар синий?
5. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 1 урны?
Практическая работа №18
Тема: Формула Бернулли.
Цель: сформировать умение решать задачи с помощью формулы Бернулли.
Теоретические сведения к практической работе
Формула Бернулли
Вероятность того, что событие А наступит ровно m раз при проведении n независимых испытаний, каждый из которых имеет ровно два исхода вычисляется по формуле Бернулли 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1: Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,2. Найти вероятность, что из 6 приобретенных билетов 2 окажутся выигрышными.
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2: Прибор состоит из шести элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за определенное время равна 0,6. Для безотказной работы прибора необходимо, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность, что за данное время прибор будет работать безотказно?
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, наступит не менее m1 и не более m2 раз вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 3: Найти вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Наивероятнейшее значение m0 числа наступления события А при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 4: Магазин получил 50 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,05. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в партии.
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание: Используя формулу Бернулли, решить следующие задачи:
1. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
2. Найти вероятность осуществления от одного до трех разговоров по телефону при наблюдении шести независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,6.
3. Прибор состоит из пяти элементов, включенных в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за время Т равна 0,5. Для безаварийной работы прибора достаточно, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность того, что за время Т прибор будет работать безотказно?
4. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету =0,3. Какова вероятность того, что из семи приобретенных билетов три билета окажутся выигрышными?
5. Магазин получил 40 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,04. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии.
6. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найдя вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных, найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных, указав его вероятность.
7. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?
8. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек =0,3. Какова вероятность того, что при шести бросках 3 кольца окажутся на колышке?
9. На самолете имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна р. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе.
10. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?
Практическая работа №19
Тема: Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.
Цель: сформировать умение решать задачи на нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения.
Теоретические сведения к практической работе
Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики
Случайная величина Х – это числовая функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, определенная на пространстве элементарных событий. Случайные величины, имеющие счетные множества возможных значений, называются дискретными. Дискретная случайная величина определена, если известны все ее значения и соответствующие им вероятности. Соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называют распределением вероятностей случайной величины. Для дискретной случайной величины это соответствие может быть записано в виде таблицы: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
xi
x1
x2
xn
pi
p1
p2
pn
Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формулам:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называют корень квадратный из дисперсии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если случайная величина Х имеет биномиальное распределение вероятностей, то
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1: Случайная величина Х задана таблицей распределения вероятностей. Найти М(Х), D(Х),
·(Х).
хi
2
5
8
9
рi
0,1
0,4
0,3
0,2
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2: Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,05.
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Содержание практической работы
Задание: Найти числовые характеристики дискретных случайных величин:
1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:
хi
3
5
2
рi
0,1
0,6
0,3
2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:
хi
1
2
5
рi
0,3
0,5
0,2
4.Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:
хi
2
3
5
рi
0,1
0,6
0,3
5. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появления события в этих испытаниях.
Практическая работа №20
Тема: Решение задач в области профессиональной деятельности.
Цель: сформировать умение решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности с использованием свойств пропорции и процента числа.
Теоретические сведения к практической работе
Пример 1: Дана следующая рецептура мясного бульона:
мясо – 300г
морковь – 8г
петрушка (корень) – 6г
лук репчатый – 8г
вода – 1250г
_____________________
Выход: 1000г
Вычислите содержание белка для данного блюда и его процентное содержание.
Решение: Для решения данной задачи необходимо воспользоваться данными
«Содержание белка в 100г продукта»:
1.Сыры, нежирный творог, мясо, рыба, бобовые, грецкие орехи и фундук (более 15г).
2.Жирный творог, колбасы вареные, сосиски, яйца, мука, макароны, крупы: манная, гречневая, овсяная, пшено (10-15г)
3.Молоко, кефир, сметана, сливочное масло, шпинат, цветная капуста, овощи, фрукты, ягоды, грибы (4.9-0.4г)
4.Хлеб ржаной, пшеничный, рис, перловка, зеленый горошек (5-9.9г).
Определим содержание белка в данном блюде:
мясо - (15г * 300г) : 100г = 45г
морковь - (0,9г * 8г) : 100г = 0,072г
петрушка - (0,4 * 6г) : 100г = 0,024г
лук - (0,6 * 8) : 100г = 0 ,048г
Тогда полное содержание белка равно: 45г + 0,072г + 0,024г + 0 ,048г = 45,144г
· 45г.
Найдем % содержание белка в данном блюде:
.
Ответ: 45г; 4,5 %.
Пример 2: Определить энергетическую ценность 100г хлеба пшеничного 1-го сорта.
Решение. Согласно справочнику: «Химический состав пищевых продуктов» в 100г хлеба содержится 7,6г белка, 0,9г жира и 49,7г углеводов.
Следовательно, энергетическая ценность 100г этого хлеба будет равна:
4ккал (16,7кДж) * 7,6 = 30,4ккал (126,92кДж)
9ккал (37,7 кДж) * 0,9 = 8,1 ккал (33,93 кДж)
4ккал (16,7 кДж) * 49,7 = 198,8 ккал (829,99кДж)
_______________________________________________
30,4ккал + 8,1 ккал + 198,8 ккал = 237,3ккал
126,92кДж + 33,93 кДж + 829,99кДж = 990,84кДж
Ответ: 237,3ккал или 990,84кДж.
Содержание практической работы
Задание:
1. Определить энергетическую ценность следующих пищевых продуктов:
а) молоко цельное – 200г; б) картофель – 300г;
в) мясо говяжье – 150г; г) капуста белокочанная – 250г.
2. Масса навески муки до высушивания - 5г, после высушивания – 4,3г. Чему равна влажность муки? Сколько в муке сухих веществ?
3. Чему равна влажность крахмала, если масса навески картофельного крахмала - 5г, бюксы с крахмалом до высушивания – 14,9г, после высушивания 14,3г?
4. Какой % крошки в сахаре, если в мешке с прессованным колотым сахаром массой нетто 70кг оказалось 2,3кг кусочков массой менее 5г? Соответствует ли это допустимым нормам по стандарту?
5. Чему равна зольность муки, если масса тигля с мукой до сжигания муки – 9г, после сжигания – 7,01г, а масса тигля – 7г?
6. Масса навески хлеба – 5г, после высушивания - 2,5г. Чему равна влажность хлеба? Соответствует ли полученная вами влажность стандарту?
7. Масса замороженной говяжьей туши 244кг, потери сока из тканей мяса при размораживании составляет 1,2% массы туши. Определите массу туши после оттаивания и массу естественной убыли.
8. Охлажденная птица массой 1,5кг подверглась замораживанию до температуры - 8С в толще грудной мышцы, это сопровождалось потерей массы до 0,6%. Определите массу птицы после замораживания и массу естественной убыли.
9. При замораживании печени массой 3,5кг в открытом виде естественная убыль составила 1,3%, а при замораживании в металлических формах с крышками – 0,6%. Определите массу печени после замораживания различными способами и сделайте выводы.
10. Энергетическая ценность 50г отварной говядины 146ккал. Каким количеством молочных сосисок можно заменить отварную говядину, чтобы не изменилась энергетическая ценность?
(в 100г сосисок молочных содержится12,3% белка и 25,3% жира.)
Рекомендуемая литература
Основные источники
Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. – М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2013
Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. – М: Издательский центр «Академия», 2013
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2010
Дадаян А.А. Математика: учеб.- М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2012
Дополнительные источники
Математика и информатика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В./ - М.: Издательский центр «Академия», 2011
Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для образовательных учреждений нач. и сред. образования / В.А. Гусев, С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина. – М.: Издательский центр «Академия», 2011
Спирина М.С. дискретная математика: учеб. – М.: Издательский центр «Академия», 2011
Омельченко В.П. Математика. – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2012
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
N
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native5Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native°Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native(Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1349Equation NativeРисунок 1350Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1376Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1383Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1413Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1Описание: hello_html_m4f146c9.gif