Лекция по математике на тему Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Лекция по теме «Разложение вектора по трем некомпланарным векторам»
Если вектор представлен в виде QUOTE
где x, y, и z - некоторые числа, то говорят, что вектор QUOTE разложен по векторам QUOTE , QUOTE и QUOTE . Числа x, y и z называются коэффициентами разложения.
Текст
Если QUOTE
где x, y, и z - некоторые числа, то вектор QUOTE разложен по векторам QUOTE , QUOTE и QUOTE Числа x, y и z –
коэффициенты разложения.
Докажем теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Текст
Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Пусть  QUOTE , QUOTE и QUOTE  - данные некомпланарные вектора. Докажем сначала, что любой вектор р можно представить в виде QUOTE  . Затем докажем единственность коэффициентов разложения. Текст
Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
Дано: QUOTE , QUOTE и QUOTE - некомпланарные; вектор QUOTE
Доказать: 1) QUOTE ;
2) коэффициенты разложения x, y и z определяются единственным образом.
Доказательство: Пусть  QUOTE , QUOTE и QUOTE   - данные некомпланарные вектора QUOTE
  Отметим произвольную точку О и отложим от нее векторы
   QUOTE . Через точку Р проведем прямую параллельную ОС. Р1 точка пересечения прямой с плоскостью АОВ (если Р принадлежит ОС, то в качестве Р1 возьмем точку О). Через Р1 проведем прямую Р1Р2 параллельную ОВ; Р2 точка пересечения этой прямой с ОА (если Р1 принадлежит ОВ то в качестве Р2 возьмем точку О); 
2) По правилу многоугольника QUOTE
Заметим, что векторы ОР2 и ОА, Р2Р1 и ОВ. Р1Р и ОС коллинеарны. Значит, существуют такие числа x, y и z, что QUOTE QUOTE . Получаем, что
QUOTE . Или QUOTE ; Существование разложения доказано.
Текст
Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
Рисунок плоскости и векторов выходящих из одной точки.

Текст
1) ,
Д.П. РР1||OC, P1AOB,
P1P2||OB, Р2ОА
2) QUOTE .


QUOTE .
QUOTE .
Или QUOTE ;
Докажем единственность коэффициентов разложения. Допустим, что имеется ещё одно разложение вектора р QUOTE ; 
 Вычитая это равенство из QUOTE ; получим
QUOTE    
Текст
Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
Допустим,
что QUOTE ; 
Вычитая это равенство из
QUOTE ; получим
QUOTE    
Это равенство выполняется только тогда, когда
QUOTE , QUOTE   QUOTE . Если предположить, например, что  QUOTE , то из этого равенства получим QUOTE
 Тогда, векторы    QUOTE , QUOTE и QUOTE – компланарны. Это противоречит условию теоремы.
Значит, наше предположение неверно, QUOTE , QUOTE   QUOTE Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом. Теорема доказана.
Текст
Тогда
QUOTE , QUOTE   QUOTE .
Если  QUOTE ,
то QUOTE
 Векторы    QUOTE , QUOTE и QUOTE – компланарны.
Противоречие условию теоремы, то есть QUOTE , QUOTE   QUOTE
Коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Решим задачу
Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.
По правилу параллелепипеда вектор ВД1 равен сумме векторов ВА, ВС и ВВ1. Текст
Задача
Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.
Рисунок параллелепипеда.


Решим эту же задачу под буквой б. Здесь нужно разложить вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.
По правилу треугольника из треугольника А1В1D1:
Вектор В1D1 равен сумме векторов B1A1+ А1D1 вектор В1A1 из А1В1B равен сумме .В1B + BA1 . Вектор ВВ1 = АА1. Вектор ВА1 = – А1В.
Получим: Вектор В1D1 = (A1A – A1B)+ А1D1 = A1A – A1B+ А1D1 .
Текст
Задача №360(б)
Разложите вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1
Рисунок параллелепипеда

Текст
=

= QUOTE .