Авторская программа элективного курса Задачи с процентами решаем с лёгкостью
Пояснительная записка
Настоящая программа предназначена для изучения элективного курса "Задачи с процентами решаем с лёгкостью" в 9 классах средних общеобразовательных школ в рамках предпрофильной подготовки и рассчитана на 17 часов.
Актуальность курса
Разработка программы данного курса обусловлена непродолжительным изучением темы «Проценты» на первом этапе основной школы (5-6 классы), когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получить полноценное представление о процентах, об использовании полученных знаний в повседневной жизни. На последующих этапах обучения математике (7-9 классы) повторного обращения к этой теме не предусматривается. Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. Текстовые задачи включены в материалы итоговой аттестации за курс основной и средней школы. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся. Большинство школьников не имеет прочных навыков использования знаний о процентах в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико. Оно затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Предлагаемый курс демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства: ориентирует учащихся на обучение по естественно-научному и социально-экономическому профилю. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков процентных вычислений, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию предмета, а также познавательной и социальной активности.
Цель курса
-сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту применения процентных расчётов в реальной жизни;
-способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.
Задачи курса:
Образовательные:
сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности;
научить решать основные задачи на проценты, применять формулу простого и сложного процентного роста;
привить учащимся основы экономической грамотности;
помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.
учить ребёнка соединять воображение с логикой;
Развивающие:
развивать умение отстаивать свою точку зрения, видеть главное в рассуждениях одноклассников и учителя;
развивать умение анализа и самоанализа, оценки и самооценки.
развивать интеллектуальные умения и мыслительные операции − анализ и синтез, сравнение, обобщение
Воспитательные:
воспитывать культуру ведения дискуссии при групповой работе, при беседах и других формах работ.
Методический инструментарий.
Формы организации занятий:
самостоятельная работа по добыванию информации с помощью ИКТ;
выполнение практических работ;
оформление и защита работ учащихся;
Методы:
Эмпирические методы:
изучение литературы;
наблюдение;
анализ;
опросы, анкетирование;
тестирование;
Теоретические методы:
сравнение;
обобщение;
анализ;
классификация.
Средства обучения: компьютеры, проектор, этикетки пищевых продуктов, таблицы, литература и печатные издания.
Ожидаемые результаты обучения:
В результате изучения курса ученик должен
понимать содержательный смысл термина «процент» как специального способа выражения доли величины.
уметь соотносить процент с соответствующей дробью (особенно в некоторых специальных случаях)
производить прикидку и оценку результатов вычислений
повышение интереса к предмету математика.
Требования к уровню подготовки учащихся
Учащиеся должны знать:
определение процента, основные способы решения стандартных задач на проценты (арифметический способ, алгебраический способ, с помощью пропорций);
схему расчета банка с вкладчиками и заемщиками;
основные понятия в задачах на смеси, растворы и сплавы;
основные этапы решения задачи на смеси, растворы и сплавы.
Уметь:
решать стандартные задачи на проценты «Нахождение процентов от числа», «Нахождение числа по его процентам», «Изменение величины в процентах»;
решать задачи на начисление простых и сложных процентов; решать с помощью уравнений, систем уравнений задачи на «смеси», «сплавы», «концентрации».
Содержание
Проценты. Основные задачи на проценты (5 часов)
История появления процентов, устранение пробелов в знаниях по решению основных задач на проценты (нахождение процента от числа и нахождение числа по его проценту, нахождение процента одного числа от другого). Решение задач на проценты различными способами: арифметический способ, с помощью составления уравнений, с помощью пропорций.
Актуализируются знания об арифметических приемах решения задач.
Методы: лекция, беседа, объяснение.
Формы контроля: тест
Процентные вычисления в жизненных ситуациях (4часа)
Показ широты применения в жизни процентных расчетов. Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата, бюджетный дефицит, изменение тарифов, пеня и др. Решение задач связанных с банковскими расчетами: вычисление ставок, процентов в банке, процентный прирост, определение начальных вкладов. Целесообразно решение одной и той же задачи рассмотреть различными способами и вырабатывать навык отбора рационального способа решения. При решении задач на проценты необходимо развивать вычислительные навыки учащихся, формировать у учащихся умение выполнять прикидку или оценку результата вычислений, для этого учащимися предлагаются задачи из повседневной практики.
Выполнение тренировочных упражнений.
Форма занятий: объяснение, практическая работа.
Методы обучения: выполнение тренировочных задач
Задачи на сплавы, смеси, растворы (5часов)
Основные понятия в задачах на смеси, растворы, сплавы. Термины «смесь», «чистое вещество». Понятие доли чистого вещества в смеси, понятие процентного содержания чистого вещества в смеси. Основные этапы решения задач на «смеси»: выбор неизвестных, выбор чистого вещества, переход к долям, отслеживание состояния смеси, составление уравнения, решение уравнения (или системы уравнений) запись ответа. Примеры решения задач на смеси. Примеры усложненных задач на смеси. Формирование умения работать с законом сохранения массы. Обобщение полученных знаний при решении задач на проценты. Формы занятий: комбинированные.
Методы обучения: лекция, выполнение практических заданий
Решение задач по всему курсу (3 часа)
Решение разнообразных задач.
Форма занятий: практическая работа
Методы обучения: беседа, творческие задания
Календарно-тематическое планирование
№п/п Тема Цель урока Виды контроля
1 Что такое «процент» Знать понятие процента
Уметь применять его при решении задач 2 Нахождение процента от числа Знать правило нахождения процента от числа
Уметь применять его при решении задач 3 Нахождение числа по его проценту Знать правило нахождения числа по его проценту
Уметь применять правило нахождения числа по его проценту при решении задач тест
4 Нахождение процентного отношения двух чисел Знать правило нахождения процентного отношения двух чисел
Уметь применять понятие процентного отношения двух чисел при решении задач 5 Разные задачи Научить решать задачи проверочная работа
6 Простой процентный рост Знать формулу простого процентного роста
Уметь применять формулу простого процентного роста при решении задач 7 Решение задач Уметь применять формулу простого процентного роста при решении задач тест
8 Сложный процентный рост Знать формулу сложного процентного роста
Уметь применять формулу сложного процентного роста при решении задач 9 Решение задач Уметь применять формулу простого и сложного процентного роста при решении задач 10 Задачи на смеси Знать понятие концентрации вещества в смеси, массовая концентрация, процентное содержание вещества
Уметь применять понятия концентрации вещества в смеси, массовая концентрация, процентное содержание вещества при решении задач тест
11 Задачи на сплавы Знать понятие концентрации вещества в сплаве, массовая концентрация, процентное содержание вещества
Уметь применять понятия концентрации вещества в сплаве, массовая концентрация, процентное содержание вещества при решении задач 12 Задачи на растворы Знать понятие концентрации вещества в растворе, массовая концентрация, процентное содержание вещества
Уметь применять понятия концентрации вещества в растворе, массовая концентрация, процентное содержание вещества при решении задач 13 Решение задач на сплавы, смеси, растворы Знать: теоретический материал по теме
Уметь: решать задачи проверочная работа
14 Решение задач на сплавы, смеси, растворы Знать: теоретический материал по теме
Уметь: решать задачи 15 Решение задач Знать: теоретический материал по теме
Уметь: решать задачи тест
16 Решение задач Знать: теоретический материал по теме
Уметь: решать задачи 17 Решение задач Знать: теоретический материал по теме
Уметь: решать задачи Занятие №5
Решение разных задач
1)Первого октября цена на ягоды выросла на 20%,а первого ноября на 10%. На сколько процентов поднялась цена на ягоды?
Решение:
Утверждать, что цена выросла на 30% нельзя, поскольку «первые» 20% подсчитываются от цены в конце сентября, а «вторые» 10% - от другой величины, цены на конец октября.
Пусть х - первоначальная цена; 20%=0,2
х+0,2х=(1+0,2)х=1,2х - цена в октябре (120% от х)
10%=0,1
1,2х+0,1(1,2х)=1,2х(1+0,1)=1,1·1,2х=1,32х- цена в ноябре
1,32 = 132%; 132% -100% = 32%
Ответ: цена выросла на 32%
2)Число промысловых рыб в заливе в первый год сократилось на 30% , а затем 3 года подряд возрастало соответственно на 25%, 35%,40%. В итоге число промысловых рыб достигло 132300.Сколько промысловых рыб в заливе было первоначально30%?
Решение:
Пусть х рыб было в заливе, х∈ N. Согласно условию задачи в первый год их число составило х-0,3 х = (1-0,3)х = 0,7х.
Затем 3 года подряд число рыб возрастало соответственно на 25%, 35%, 40%, то есть получим
а)0,7х + 0,25(0,7х) = 1,25 ∙0,7х = 0.875х = 78х;
б) 78х+0,35∙ 78х=1,35 ∙ 78хв) 1,35 ∙ 78х+0,4∙(1,35 ∙ 78х)=1,4∙1,35∙ 78х=1323800хВ итоге количество рыб достигло 1323800хПолучим уравнение 1323800х=132300
х=80000
Ответ: 80000 рыб было первоначально
3) Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достичь первоначального уровня?
Решение:
Пусть х продукции выпускало предприятие, х>0
х - 0,2х = 0,8х продукции стало выпускать после того, как уменьшило на 20%.
Пусть на р% (р>0) нужно увеличить выпуск продукции, чтобы достичь первоначального уровня, тогда получим уравнение:
0.8Х+ р100∙(0,8х) = х;
(1+р100)∙0,8х=х(1+р100)=10,8р100=14
р=25
Ответ: на 25%
4)Ежемесячный доход семьи складывается из заработной платы отца и матери. Заработная плата отца увеличилась на 35%, матери на 5%. В результате семейный доход увеличился на 30%.Во сколько раз заработная плата отца до повышения была больше заработной платы матери?
Решение:
Пусть х условных единиц заработная плата отца до повышения, у условных единиц - зарплата матери, х>0, у>0.
Согласно условию задачи зарплата отца стала равной х + 0.35х = 1.35х, а матери: у + 0,05у = 1,05у. Семейный доход составил (1,35х + 1,05у) условных единиц с одной стороны и (х + у) + 0,3(х + у) = 1,3(х + у) условных единиц с другой стороны. Получим уравнение с двумя неизвестными:
1.35х + 1,05у = 1,3(х + у)
Нужно узнать, во сколько раз зарплата отца до повышения была больше зарплаты мамы, то есть необходимо найти
1,35х + 1,05у=1,Зх + 1,Зу;
0,05х = 0,25у;
ху=5Ответ: в 5 раз зарплата отца была больше зарплаты матери.
7) Во втором круге футбольного чемпионата команда «Зубило» увеличила по сравнению с первым кругом количество забитых голов на 65%, а команда «Метеор» - на 40%. В итоге общее число голов, забитых обеими командами, возросло в 1,5 раза. Сколько процентов от общего числа голов, забитых обеими командами в первом круге составляли голы, забитые командой «Метеор»?
Решение:
Пусть в первом круге х, у - количество забитых голов командой «Зубило» и «Метеор» соответственно, х € N, у € N. Общее число голов в первом круге составит х+у. По условию задачи во втором круге команда «Зубило» забила х+0.65х = 1,65х голов, а «Метеор» - у + 0,4у = 1,4у голов. Общее число голов во втором круге составило 1,65х+1,4у, а, с другой стороны возросло в 1,5 раза по сравнению с первым кругом, то есть составило 1,5(х+у).
Получим уравнение:
1,65+1,4у=1,5(х+у);
0,15х = 0,1у;
1,5х = у;
Отвечая на вопрос задачи, найдем
ух+у∙100%=1,5хх+1,5х∙100%=1,52,5∙100%=60%Ответ: 60% от общего числа голов, забитых обеими командами в первом круге составляли голы, забитые командой «Метеор».
Занятие №13
Задачи на сплавы, смеси, растворы
В задачах на смеси (сплавы, растворы) можно выделить несколько приемов, удобных для их решения:
1)В некоторых задачах со смесями рассматриваются смесь двух веществ. При этом количество одного из веществ смеси изменяется, а другого остается постоянным. Обычно в условии сообщается доля, которую составляет в смеси меняющееся вещество. В таких задачах удобно пересчитывать сначала долю неизменного вещества и при составлении уравнения использовать неизменность количества этого вещества в процессе преобразования смеси. Часто такой метод называют методом «сухого остатка».
2)Если в задаче идет речь о смешивании нескольких различных смесей, каждая из которых включает одни и те же вещества, то бывает удобно разделить исходные смеси на составляющие их вещества - компоненты и учитывать, что в итоговой смеси количества этих компонентов вкладываются из их количеств в исходных смесях.
3)Если со смесью двух веществ последовательно производят несколько действий, то бывает удобно отслеживать количество одного из веществ в смеси после каждого из совершаемых действий.
Для такого отслеживания часто используют понятие концентрации вещества в смеси, то есть вычисляют какую массовую или объемную долю составляет данное вещество.
Пусть даны два различных вещества А и В соответственно с массами mA. и mB .Масса смеси, составленной из этих веществ,
равна mA+ mB =т. Массовой концентрацией вещества А в смеси называется величина mAm=m вещества В величина mBm=m При этом выполняется равенство mAm+mBm=1/77 т
Процентными содержаниями веществ А и В в данной смеси называются величины mAm*100% и mBm*100% соответственно.
Задача №1
1)Соляной раствор до выпаривания содержал 99% воды, после выпаривания 98% воды. Масса раствора до выпаривания равна 1 тонне. Чему равна масса раствора после выпаривания?
Решение:
Соляной раствор содержит 99% воды, значит 1% составляет соль.
1т =1000 кг
Найдем 1% от 1000 кг.: 0,01-1000=10 кг соли содержится в первоначальном соляном растворе. После выпаривания количество соли в растворе не меняется, то есть 10 кг соли соответствует 100%-98%=2%. Найдем массу раствора после выпаривания: 2%=0,02; 10:0,02=500 кг
Ответ: 500 кг масса раствора после выпаривания.
Задача №2
В 12 %-й раствор уксусной кислоты добавили 3 л чистой воды, после чего получили 3%-й раствор уксусной кислоты. Определите первоначальный объем раствора в литрах.
Решение:
Пусть х (л) - первоначальный объем раствора (х>0).
В первоначальном растворе уксусной кислоты содержится -0,12х( л)- «чистого» уксуса. В новом растворе количество «чистого» уксуса не изменится и равно 0,03(х+3) л. Получим уравнение:
0,12х=0,03(х+3);
0,09х=0,09;
х=1.
Ответ: первоначальный объем раствора 1 литр.
Задача №3
Из сосуда, доверху наполненного 97%-м раствором кислоты, отлили 2 л жидкости и долили 2 л 45%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получили 81%-й раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?
Решение:
Пусть х(л) (х>0) вмещает сосуд. Количество "чистой" кислоты в сосуде составляло -0,97х( л). После того, как отлили 2 л раствора, в сосуде "чистой" кислоты осталось 0,97(х-2) л. После этого долили 2 л 45%-го раствора этой же кислоты, в которой "чистой" кислоты содержится: 0,45∙2=0,9 л. В новом растворе объем "чистой" кислоты равен- 0,81х( л)
Получим уравнение:
0,97(х-2)+0,9=0,81х;
0,16х=1,04;
х=6,5
Ответ: 6,5 литра вмещает сосуд.
Задача №4
Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди. Второй слиток 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили и их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определите массу (в граммах) куска, взятого из первого слитка.
Решение:
230+20=250 г240+60=300 г
Пусть от первого куска взяли х г, от второго - у г, 0<х<250; 0<у<300 Найдем процентное содержание, например, золота, в каждом куске.
В первом: 230250*100%=92, во втором:240300*100%=80После того, как от каждого слитка взяли по куску (х г и у г), сплавили их и получили 300 г сплава, то в нем оказалось 84% золота, значит
0,92х+0,8у=0,84 -300, где у=300-х
0,92х+0,8(300-х)=252;
0,12х=12;
х=100.
Ответ: 100 г куска взяли из первого слитка.
Литература
Литература для учителя.
1.Никольский С.Н., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра в 8 классе: методические материалы. –М: Просвещение, 2010
2.Галицкий М.Л. и др.Сборник задач па алгебре для 8-9 классов, М: Просвещение,1999
3.Вигдорчик Е, Нежданова Т. Элементарная математика в экономике и бизнесе.
4.Водинчар М.И., Лайкова Г.А., Рябова Ю.К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений. // Математика в школе.
5.Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления.// Методическое пособие.
6.Гильмиева Г.Г., Хамитов Р.Г.Задачи с процентами решаем с лёгкостью. Учебно- методическое пособие. Казань: РИЦ «Школа»,2008
7. Мордкович А.Г.Алгебра-8, Методическое пособие для учителя. М:Мнемозина,2011
Литература для учащихся.
1.Виленкин Н.Л. За страницами учебника математики. – М: Просвещение.
2.Виленкин Н.Л., Жохов В.И., Чесноков А.С. Математика 6. – М: Дрофа.
3.Семёнов А.Л., Ященко И.В.Типовые экзаменационные варианты. М:Национальное образование,2014
4.Шевкин А.В. Текстовые задачи. – М: Просвещение.
5 .Никольский С.Н., Потапов М.К., Решетников Н.Н, Шевкин А.В., Математика ,6 ,М: Просвещение, 2011
6.Мордкович А.Г.Алгебра-8,М:Мнемозина,2011