Презентация по математике на тему:применение скалярного произведения
Сегодня мы с вами рассмотрим нестандартный способ решения уравнений и систем уравнений с помощью векторного метода, применение которого в большинстве школьных учебников не рассматривается. Однако векторы могут быть успешно применены не только в геометрии, но и при изучении некоторых вопросов школьной алгебры. Довольно большое число задач существенно упрощается по сравнению с решениями, выполненными традиционным путем, а в некоторых случаях, особенно, когда много переменных, только такой подход и приводит к успеху.
Главная идея: Облегчить работу при решении задач, сделать решение более доступным.Задачи: 1.Научиться узнавать задачи, решаемые векторным методом.2.Использовать знания программного материала о векторах, научиться переводить данные и требования задачи с языка алгебры на язык векторов, а именно:найти координаты векторов, их длины и скалярное произведение, выполнять преобразования векторных выражений, переводить полученные результаты с языка векторов на алгебраический язык.3.Научиться исследовать полученное задание.Всё это будет полезно выпускникам школы при подготовке к олимпиадам, конкурсам и итоговой аттестации.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.ab =ab cos( )ab
ppt_yppt_yppt_y
ab =ab cos( )ab ab = 0ab ^Ûab > 0Ûab < 900ab < 0Ûab > 900a 2=a 2 Повторение
ppt_yppt_yppt_y
ab =ab =ab cos 00ab 1ab = 00Если abab =ab cos1800ab -1ab = 1800Если ab= – ab
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
d { 5 ; 4;-3}b {-2; 1;-7}Найдите скалярное произведение векторов Пример( )( ) Скалярное произведение векторов и выражается формулойa {x1; y1;z1}b {x2; y2;z2}= x1x2 + y1y2+z1z2ab 5+ -21 4= 15 -7-3+
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
Условие коллинеарности векторов:Условие перпендикулярности векторовДлина вектора
Как распознать уравнение, которое можно решить векторным методом?Если уравнение содержит алгебраическое выражение вида х2+у2 илих2+у2+𝑧2 - то длина некоторого вектора а(х, у) на плоскости или а(х, у, z) в пространстве. Возможны ситуации, как например: х2+у2+𝑧2=𝑎 можно рассмотреть вектор 𝑏 𝑥,𝑦,𝑧,длина которого равна а2. Если уравнение содержит алгебраическое выражение вида 𝑥1∙ 𝑥2+𝑦1∙𝑦2+𝑧1∙𝑧2, то его можно считать скалярным произведением векторов а и 𝑏 3.Если левую часть уравнения можно представить скалярным произведениемНекоторых векторов, а правую часть – произведением их длин.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ и СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Решить уравнение: 𝟐х+𝟏+𝟒−х=𝟓Обозначим векторы: а2;1и 𝑏𝑥+1;4−𝑥. Тогда а=22+12=5,𝑏=𝑥+1+4−𝑥=5 Cкалярное произведение векторов а 𝑏=2∙𝑥+1+1∙4−𝑥=5(по условию) и а𝑏=𝑎𝑏cos𝜑=5∙5∙𝑐𝑜𝑠𝜑=5cos𝜑. Приравнивая правые части, получаем: 5с𝑜𝑠𝜑=5, откуда сosφ=1, значит 𝜑=0, тогдаа↑↑𝑏, значит их одноимённые координаты пропорциональны 2х+1=14−х;Откуда получаем х=3. Сделав проверку, убеждаемся, что х = 3 – корень уравнения.
2. Решить уравнение c двумя неизвестными:х+2−х∙3+2х+6+у∙6−3х=9Решение. 1.Обозначим векторы а1;2−у;6+у; 𝑏𝑥; 3+2𝑥;6−3𝑥. 2.Найдём длины векторов: а=1+2−у+6+у=9=3;𝑏=х+3+2х+6−3х=9=3. запишем скалярное произведение векторов: а∙𝑏 =1∙𝑥+2−𝑥∙3+2𝑥+6+𝑦∙6−3𝑥 и а∙𝑏=а∙𝑏∙𝑐𝑜𝑠𝜑. Получили, что 9 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 9, отсюда 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1, 𝜑 =0, значитвекторы коллинеарны, тогда их одноимённые координаты пропорциональны.1х = 2−у3+2х = 6+у6−3х 3+2х=х(2−у)6−3х=х(6+у) ху=−36−9х=ху х=1у=−3 Проверкой убеждаемся,что (1;-3) –решение уравнения. 1х=2−у3+2х1х=6+у6−3х
3.Решить уравнение: 2𝟏−𝟐х−х𝟐х+𝟗=𝟏𝟎(𝒙𝟐+𝟒) Решение. О.Д.З.:1−2х≥0;2х+9≥0. 4,5≤х≤0,51.Введем векторы а (1−2х; 2х+9) и 𝑏2;−х2.Находим их скалярное произведение а∙𝑏 =21−2х −х2х+9=10(𝑥2+4) (по условию)3.Вычисляем длины векторов и произведение этих длина=1−2х+2х+9=10, 𝑏=4+𝑥2а∙𝑏=10(4+𝑥2) . Получили, что а∙𝑏= а∙𝑏 , а это возможноЛишь тогда когда 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1, значит векторы коллинеарны, тогда одноимённые координаты пропорциональны 1−2х2=2х+9−хх2(1−2х)=4(2х+9), 2х3−𝑥2+8х+36=0 используя схему Горнера 2 -1 8 36 -2 2 -5 18 0 2𝑥2−5х+18=0 𝐷=25−4∙36<0Значит корней нет. Итак единственный корень уравнения -2 удовлетворяющий О.Д.З.Ответ: -2
4.Решить уравнение: х𝟏+х+𝟑−х=𝟐х𝒙𝟐+𝟏 Попробуйте решить его самиПроверкаstyle.textDecorationUnderline
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ