Научно исследовательская работа по теме ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

Костюков Е.А.,
11класс МБОУ «Лицей №1», г. Чистополь
ewge23@gmail.comНаучный руководитель: Семина М.А.,
доцент кафедры ЕНД
Чистопольского Филиала «Восток»
КНИТУ-КАИ им. А.Н. Туполева
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ
«Играет не только человек, а вся природа»
И. Гете
В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов, и даже сводки погоды сообщают о том, что завтра ожидается дождь с вероятностью 40%.
В жизни человека много интересных и необычных занятий. Можно заниматься экстремальным спортом, ходить в кино, играть в компьютерные игры. Но такое времяпровождение – однообразно. Есть занятие, которое начинается всегда одинаково, но одинакового завершения не имеет никогда. Это – азартные игры.
Азарт (фр. - hasard - случай, риск, от арабского аз-захр – игральная кость) является основной причиной увлеченности чем-либо, а когда в игре от тебя ничего не зависит, это уравнивает шансы всех играющих.
Что же такое азартная игра? Большинство считает, что это игра на деньги (до того, как я занялся исследованием Теории вероятностей, я тоже так считал), это не совсем так. На деньги можно играть и в теннис, и в шахматы. Теннисисты и шахматисты получают большие гонорары за выигрыши в турнирах, но в них главную роль играет все же мастерство, а вот любая игра в карты – азартная игра. Почему? Потому, что в ней главную роль играет случай – от него зависит, какие именно карты окажутся у партнеров. Правда, и в картежной игре умение игрока значит много. Но есть игры, в которых от игроков уже не требуется никакого умения, а все зависит от случая. Например, игра в «орлянку», когда подбрасывают монету и в зависимости от того, какой стороной она упала, определяется победитель. Или другая игра, где властвует случай, - игра в кости.
Актуальность проблемы. Моя тема актуальна, так как математика соприкасается с обыденной жизнью гораздо теснее, чем этому учат традиционно в школе. Уивер Уоррен пишет: «Теория вероятностей и статистика - две важные области, неразрывно связанные с нашей повседневной деятельностью. Мир промышленности, страховые компании в большей степени являются должниками вероятностных законов. Сама физика имеет существенно вероятностную природу; такова же в основе своей биология. Между тем, несмотря на эту важность, универсальный характер теории вероятностей и статистики всё еще не стал общепринятым. Лотереи, азартные игры, выборные кампании, страховые компании и т.п. Как предсказать результат?.. Какую позицию выбрать?..» Для ответа на эти вопросы я и решил заняться этим исследованием.
В качестве объектов изучения выступают различные азартные игры, на основе которых вводятся основные понятия теории вероятностей.
В работе проводится анализ реальных, исторических и современных азартных игр. Общим является способ их решения.
Предмет исследования: задачи об азартных играх.
Цель: привести примеры использования теории вероятностей в различных играх; продемонстрировать возможности теории вероятностей при решении определенных жизненных задач.
Гипотеза: большинство считают, что предугадать результат азартных игр, в которых властвует случай, невозможно. Это не так. Математическое ожидание выигрыша - величина, которая поможет нам определить, справедлива ли та или иная игра, и выгодно ли нам в нее играть.
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В курсе теории вероятностей рассматриваются математические модели случайных событий. Понятие события является первоначальным.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Испытание – любое действие, которое может привести к одному или нескольким результатам.
При осуществлении каждого испытания мы получаем его исходы – конечный результат испытания.
Пример 1. Бросают игральную кость – испытание. Возможные исходы: выпало 1 очко; выпало 2 очка; выпало 3 очка; выпало 4 очка; выпало 5 очков; выпало 6 очков.
Теория вероятности разделяет события на:
1)невероятные (выбросить семь очков, имея одну кость) - вероятность такого события равна нулю;
2) неизбежные (после броска кости одна из граней будет верхней) - вероятность равна единице;
3) вероятные (при первом же броске выпадет шестёрка) - вероятность лежит в пределах от нуля до единицы.
В январе 1963 года английский актёр Шон О' Коннери в трёх партиях подряд выиграл в рулетку около 30000 долларов. Все три раза он ставил на номер 17.
Шансы выпадения одного и того же числа три раза подряд составляют 1 к 46656.
Знание основ теории вероятности поможет оценить свои шансы на выигрыш и адекватность приза риску.
Вероятность события, основанного на чистой случайности, определяется формулой , где p - степень вероятности, c - общее число возможных вариантов, f - количество благоприятных вариантов. В случае с монетой мы имеем соотношение 1 к 2 т.к. число сторон равно 2, а возможность выпадения орла или решки не превышает единицы [1].
Вероятность события - это число случаев благоприятного исхода данного события в сравнении с общим количеством возможных исходов, при условии, что вероятность наступления любого из них абсолютно одинакова.
Для более сложных расчётов используются правило сложения и правило умножения вероятностей.
Вероятность наступления в некоторой операции какого-либо одного (безразлично какого именно) из результатов равна сумме вероятностей этих результатов, если каждые два из них несовместимы между собой.
Пример 2. Пусть мы поставили в рулетку с 36 секторами на 15 и 28 и теперь хотим узнать, какова вероятность выигрыша.
Очевидно, что вероятность угадывания одного числа - 1/36, вероятность угадывания другого числа тоже 1/36. Значит, вероятность угадывания одного из двух чисел - 1/18:
1/36+1/36=2/36=1/18.
Несовместимы - не могут наблюдаться в одной и той же единичной операции: 15 и 28 не могут выпасть одновременно.
В основе всех рассматриваемых в данной задаче операций лежит некоторая определенная совокупность условий К, которые предполагаются выполненными для всех операций. Если при вычислении какой-либо вероятности никаких иных условий, кроме совокупности К, не налагается, то такую вероятность мы назовем безусловной; условной же будет называться вероятность, вычисленная в предположении, что кроме общей для всех операций совокупности условий К, выполняются еще те или другие, точно оговоренные дополнительные условия.
Правило умножения: вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие состоялось.
ВИДЫ АЗАРТНЫХ ИГР
Игры со «сгорающими» очками
Идея рассмотрения игр со «сгорающими» очками возникла по аналогии с карточной игрой в «21 очко», когда есть желание набрать максимальное число очков на извлекаемых из колоды картах, но есть и опасность «сгорания» очков, если получаемая сумма окажется больше 21 очка.
Под играми со сгорающими очками будем понимать игры, в которых участники по очереди проводят какие – либо опыты сериями и могут добровольно передать ход другому игроку после определённого числа испытаний или, набрав то или иное число очков в данной серии, или ход передаётся принуждённо, когда очки серии «сгорели» при определённом исходе испытания. Игра прекращается после проведения одинаково числа серий у участников. Побеждает тот, у которого в результате получается наибольшая сумма очков во всех сериях.
Возможны два подхода к рассмотрению таких игр:
по количеству набранных в серии очков;
по количеству испытаний в каждой серии.РулеткаРулетка – самая старая из существующих игр в казино. Её изобретение приписывали Блезу Паскалю, итальянскому математику Дону Паскуале и некоторым другим. В любом случае колесо рулетки впервые появилось в Париже в 1765 году.
Играть в рулетку очень просто. Колесо вращается, а затем маленький шар бросается в канавку в противоположном направлении движению колеса. В результате шар попадает в углубление в одном из секторов колеса. Естественно, мы предполагаем, что колесо правильное, то есть попадание шара в любой из секторов колеса равновероятно.
Существует несколько различных разновидностей рулетки. Наиболее известные – это американская рулетка (рулетка Лас – Вегаса) и европейская рулетка (рулетка Монте – Карло).Американская рулеткаКолесо американской рулетки имеет 38 секторов, пронумерованные, как 00, 0, и 1 – 36. Секторы 0, 00 зелёные; секторы 1, 3, 5, 7, 9 ,13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35 красные; секторы 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36 чёрные.
Если не считать 0 и 00, секторы на колесе рулетки чередуются между красным и чёрным. Такой странный порядок чисел на колесе предназначен для того, чтобы большие и маленькие числа, так же как чётные и нечётные числа, имели тенденцию чередоваться.
Ставки
Как и азартные игры в кости, рулетка популярна в казино из-за богатого разнообразия ставок.
Вот ставки, которые используются в казино:
Прямая ставка или ставка на число – является ставкой на единственное число и оплачивается в случае выигрыш 35:1, т.е. при выпадении выбранного вами числа выигрыш равен 35 единицам, в других случаях вы поигрываете одну единицу (ставку).
Ставка на 2 числа является ставкой на два смежных числа в таблице на столе рулетки. Фишка ставится на черту, разделяющую два номера. Выигрыш оплачивается как 17:1, если выпадает любое из выбранных чисел.
Ставка на 3 числа (или ставка на строку C) является ставкой на три числа в вертикальной строке таблицы. Фишка ставится на вертикальную черту, ограничивающую ряд справа. Выигрыш оплачивается как 11:1, если при одном вращении колеса рулетки выпадет одно из трёх чисел.
Ставка на 4 числа (D) является ставкой на четыре числа, которые образуют квадрат на столе рулетки. Фишка ставится на угол между четырьмя номерами. Выигрыш оплачивается как 8:1, если при одном вращении колеса рулетки выпадает одно из 4 чисел.
Ставка на 5 чисел (E) является ставкой на числа 0, 00, 1, 2, 3. Выигрыш оплачивается как 6:1, если при одном вращении колеса рулетки выпадет одно из 5 чисел.
Ставка на 6 чисел (F) является ставкой на шесть чисел в двух смежных строках. Выигрыш оплачивается как 5:1, если выпадает одно из выбранных чисел.
Ставка на 12 чисел. Ставки на 12 чисел могут быть сделаны несколькими способами. Ставка на столбец (G) делается на любой из трёх столбцов, расположенных горизонтально на столе. Фишка ставится на поле возле выбранной колонки.
Другие ставки на 12 чисел (H) – первая дюжина (1 – 12), средняя дюжина (13 – 24) и последняя дюжина (25 – 36). Ставки на 12 чисел
оплачиваются как 2:1, если выпадает одно из выбранных чисел. Ставка на 12 чисел проигрывает, если выпадает 0 или 00.
Ставки на 18 чисел. Ставка на цвет (I) является ставкой на красное или чёрное. Ставка на чёт – нечёт (K) является ставкой на чётные числа от 1 до 36 или на нечётные числа от 1 до 36. Малая ставка (J) является ставкой на числа 1 – 18, и большая ставка является ставкой на числа от 19 до 36. Ставки на 18 чисел оплачиваются 1:1, если при одном вращении колеса рулетки выпадает одно из выбранных чисел. Ставка на 18 чисел на 18 чисел проигрывает, если выпадает 0 или 00.
Интересно: есть ли в американской рулетке ставки, более выгодные для игрока? Чтобы ответить на этот вопрос, надо определить математическое ожидание для каждой ставки. Как это сделать? Для примера хочу решить несколько задач на определение ожидаемого выигрыша.
Пример 3. Определить величину ожидаемого выигрыша при единичной ставке на число в американской рулетке.
Решение.
Случайная величина X={величина выигрыша}.
Составим закон распределения случайной величины X для данной ставки [3].
Таблица 1
X -1 35
P (X)

Так как полученное число меньше ноля, но не намного, то это игра является несправедливой лишь немного.
Пример 4. Определить величину ожидаемого выигрыша при единичной ставке на 2 числа в американской рулетке.
Решение.
Эта задача подобна предыдущей.Тут также необходимо составит закон распределения случайной величины для данной ставки и затем найти её математическое ожидание.
Таблица 2
X -1 17
P (X)

Эта игра, как и предыдущая, является лишь немного несправедливой. А вообще, если проверить, математическое ожидание любой ставки в американской рулетке будет везде одинаково и будет всегда равно
Сам собой напрашивается вопрос: «Интересно, а чему равно математическое ожидание в европейской рулетке и одинаково ли оно для всех ставок?»
Давайте вместе попробуем ответить на него, но сначала разберёмся в основных принципах европейской рулетки.Европейская рулетка (рулетка Монте – Карло)Колесо рулетки Монте - Карло имеет 37 секторов, в отличие от американской рулетки содержит только один зеленые сектор – «0».
Правила игры и ставки в основном совпадают с правилами и ставками американской рулетки, но есть несколько различий. При игре в европейскую рулетку, когда делается ставка на 18 чисел (на красное / чёрное, на чёт / нечёт, на меньшее или большее), при выпадении сектора «0» (zero) в различных казино могут быть предложены различные варианта продолжения игры.
Рассмотрим некоторые из них.
1. Правило «LaPartage». В этом случае игрок теряет половину своей ставки.
2. Правило «EnPrison». В этом случае ставки не сгорают, а попадают в «тюрьму» на игровом столе до следующего розыгрыша числа. Если же ставка, находящаяся в «тюрьме» при следующем броске шарика выигрывает, она возвращается игроку без выплаты выигрыша, если же ставка проигрывает, или выпадает «0», ставка теряется.
3. Сложная «Тюрьма». В этом случае, так же как и в предыдущем, ставка помещается в «тюрьму». Если ставка сыграет на следующем броске, то она возвращается игроку, а если ставка не сыграет, то она проигрывается. Если же выпадает «0» и при следующем броске, то ставку помещают в «двойную тюрьму». Когда ставка находиться в «двойной тюрьме» и выигрывает, то она возвращается в простую «тюрьму», и игра продолжается, как прежде. Если ставка, находящаяся в «двойной тюрьме», не сыграла или выпал «0», то ставка проигрывается.
Теперь, чтобы ответить на наш вопрос, решим пары задач на определение математического ожидания выигрыша игрока при различных ставках.
Пример 5. При игре в европейскую рулетку игрок поставил на «красное». Найти математическое ожидание выигрыша игрока, если казино придерживается правила «LaPartage».
Решение.
Случайная величина X={величина выигрыша без учёта ставки}.
Составим граф распределения случайной величины Х и вычислим по нему математическое ожидание [3].

Рис. 1

Таким образом, это игра является несправедливой, но лишь немного.
Пример 6. При игре в европейскую рулетку игрок поставил на число 17. Необходимо найти математическое ожидание выигрыша игрока.
Решение.
Случайная величина X={величина выигрыша}.
Составим закон распределения случайной величины для данной ставки.
X -1 35
P (X)
Таблица 3

Таким образом, при игре в европейскую рулетку ожидаемые величины выигрышей для различных ставок различаются, но всегда
являются отрицательными для игроков.
Я показал, что при игре в американскую рулетку математические ожидания выигрыша для всех ставок одинаковы. А при игре в европейскую рулетку – различны. На основе сделанного исследования я советую: чтобы меньше проиграть, нужно ставить ставку с наибольшим математическим ожиданием. В европейской рулетке это ставки на 18 чисел. «А какую же ставку выбрать при игре в американскую рулетку?»
Реальный средний выигрыш будет приближаться к ожидаемому, если играть достаточно долго (в идеале бесконечно). При ограниченном числе игр результаты могут значительно отличаться от ожидаемых как в ту (выигрыш), так и в другую (проигрыш) сторону. Кроме математического ожидания, важными характеристиками случайных величин являются дисперсия и среднеквадратическое отклонение, которые показывают, насколько результат единичного испытания может отличаться от ожидаемого. Чем выше дисперсия, тем больше возможные отклонения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приведенные в работе задачи раскрывают широкий круг задач на виды азартных игр, решаемых при помощи понятий теории вероятностей, повышают интерес к изучаемой теме. Подобранные задачи с решениями можно использовать при изучении тем теории вероятностей в старших классах.
Список литературы
Антипов И.Н. Избранные вопросы математики / И.Н. Антипов - М: Просвещение, 1979. - 191 стр.
Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях. – М.: Просвещение, 1979 - 176 с.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. – М.: Наука, 1985 - 86 с.