Проект «Математика в азартных играх»
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Основная общеобразовательная школа с.Котоврас Балашовского района Саратовской области»
Учебный проект
«Математика в азартных играх»
Выполнили: учащиеся 9 класса.
Руководитель: Рогачева Т.В., учитель математики 1к.к.
Котоврас
2014
Содержание:
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc282977082"Визитная карточка проекта………………………………………………2
История теории вероятностей. ………………………………………….5
Теория вероятностей игры в кости………………………………………7
Игра в рулетку…………………………………………………………..11
Блек джек: теория вероятности и расчет карт ………………………..13
Вывод…………………………………………………………………….13
Использованные материалы……………………………………………14
Визитная карточка проекта
Тема проекта : «Математика в азартных играх»
Авторы проекта: учащиеся 9 класса: 1. Иванова Н.,
2. Карпушкин А.,
3. Мысенкова Н.,
4. Лиманская Д.,
5. Рогачева О.,
6. Симонов Кирилл.
Предмет, возраст учащихся: Математика, 9 класс
Краткая аннотация проекта: Не секрет, что решение математических задач не всем и не всегда приносит удовольствие? Как изучать математику и получать только удовольствие и позитивные эмоции?
Гипотеза: Предугадать результат игры, в которой властвует случай, можно. Нам вполне под силу определить, справедлива ли та или иная игра, и выгодно ли нам в неё играть.
Вопросы, направляющие проект:
Основополагающий вопрос: Игры в кости, рулетка, русское лото, карты, ипподром – помогает ли в азартных как играх математический расчет?
Проблемные вопросы: Если не играть на деньги, можно ли получить удовольствие от игры, или, если слишком много заниматься расчетом вероятностей, можно потерять интерес к самой игре?
Учебные вопросы : - определение вероятностей случайного события
План проведения проекта
Организационный этап – январь 2014г.
Обозначение темы и целей проекта, постановка вопросов.
Подготовительный этап – февраль 2014г. 1. Определение обучающимися направлений работы. 2. Ознакомление с основными источниками информации и сроками выполнения проекта.
Этап реализации проекта – февраль 2014г.
1. Сбор и систематизация информации по теме, обсуждение информации.
2. Оформление результатов работы.
3. Отчёт о проделанной работе.
Заключительный этап – март 2014г.
1. Подготовка публичного представление в форме электронной презентации.
2. Презентация проекта.
3. Рефлексия участников проекта.
4. Подведение итогов.
Визитная карточка проекта
Презентация
Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности
Интернет - ресурсы
ИСТОРИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теория вероятностей — сравнительно молодая ветвь математики. Ее развитие как самостоятельной науки началось с переписки Паскаля и Ферма в 1654 году, хотя значительно раньше этих ученых многие математики занимались задачами, относящимися к азартным играм. Так, например, Лука Пачиоли (1445 — 1514) в своей книге «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proortiona1ita» рассматривал одну задачу о вероятностях, но пришел к ошибочному решению. Однако уже Кардано (1501 — 1576) и Галилей (1564 — 1642) правильно решали специальные теоретико-вероятностные задачи. Понятие вероятности восходит к древним временам; оно было известно уже античным философам (вспомним, что во втором письме приведена цитата из Платона). Мысль о том, что законы природы проявляются через множество случайных событий, впервые возникла у древнегреческих материалистов. Ее подробное изложение дано в поэме Лукреция Кара «О природе вещей», важнейшие отрывки из которой цитируются в беседе Паскаля и Митона (и в примечаниях), приводимой в четвертом письме. В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости. Уже в древности игра в кости была популярна и любима. В 1658 году появилась книга Христиана Гюйгенса (1629 — 1695) «О расчетах в азартных играх» («De ratiociniis in ludo aleae»), в которой давалось подробное изложение вопросов, рассмотренных Ферма и Паскалем (автор явно опирался на переписку этих двух ученых), но, кроме того, им было выдвинуто и много аналогичных вопросов. С работой Гюйгенса непосредственно связана основная работа Якоба Бернулли (1654 — 1705) «Искусство догадок» («Ars conjectandi»), которая была опубликована лишь после его смерти в 1713 году. В первой части своего труда Бернулли воспроизводит и комментирует книгу Гюйгенса, приводит полные решения тех вопросов, которые Гюйгенс поставил, но не решил. Однако важнейшей частью книги является четвертая, в которой изложен закон больших чисел. Произведение Монморта (1678 — 1719) «Опыт анализа азартных игр» («Essai d'analyse sur les jeux de hazard»), написанное несколько позже, чем «Искусство догадок» Бернулли, появилось раньше (в 1708 году). Оно также опирается на книгу Гюйгенса и тем самым косвенно связано с перепиской Паскаля и Ферма. То же можно сказать и относительно важнейшей работы Абрахама де Муавра (1667 — 1754) «Об измерении случайности, или о вероятностях результатов в азартных играх» («De Мепзига mortis seu de Probabilitate Eventuum in Ludis а Casu Fortuito Pendentibus»), которая была опубликована в журнале Philosophical Transactions в 1711 году. Наряду с задачами азартных игр уже в самом начале возникновения теории вероятностей появились задачи, связанные с составлением таблиц смертности и вопросами страхования. В Лондоне уже с 1592 года велись точные записи о смертности. На основе этих записей Джон Граунт (1620 — 1674) в 1662 году впервые составил таблицы вероятности смерти как функции возраста. Несколькими годами позднее Ван Худде и Ван де Витт в Голландии, проделав аналогичные расчеты, использовали их для вычисления пожизненной ренты. Подробнее эти вопросы в 1693 году были изложены Галлеем. Не доказано, но вполне естественно предположить, что уже Паскаль обратил внимание на связь теории вероятностей с закономерностями смертности и страхованием.
Теория вероятности игры в кости
Игры в кости относятся к самым древним играм в мире. В них играют с начала развития цивилизации, а первые упоминания появились свыше 5000 лет назад. Погибали цивилизации, но азарт, рожденный играми в кости оставался. Ход игры определяет бросок кости. Вы можете только надеяться, что выпадет нужное число. В играх в кости возможно стратегическое и тактическое вмешательство: - вовремя прекратить бросание костей; - правильно разместить ставки; - использовать элементы блефа при объявлении комбинаций и т.п. Чтобы играть более успешно и получать большее удовольствие, нужно овладеть математическими правилами, лежащими в основе игры в кости. Поскольку кость является простым игровым инструментом, то теория игры также довольно проста и доступна и сводится к несложному расчету вероятности выпадения тех или иных комбинаций, чем успешно пользуются серьезные игроки. Элементарные события при броске монеты. Давайте расмотрим монету, которая вляется более простым средством игры по сравнению с костью. По большому счету монета - это та же кость, которая имеет не 6, а только 2 стороны - "орел" и "решку". Если вы бросите монету, то у вас обязательно выпадет один из двух результатов. Мы не будем рассматривать случай, что монета или кость могут встать на ребро. Следовательно имеется 50% вероятность выпадения "орла" и 50% выпадения "решки", каждое из которых является одним из двух элементарных событий, если вы бросаете монету. Этот факт в математике выражается как 1/2 (одно благоприятное событие из двух вероятных событий). Вероятности из двух элементарных событий "орел" или "решка" составляют в сумме 1 или 100% (1/2 +1/2 = 2/2 = 1) Элементарные события при броске кости. Теория броска кости аналогичнай теории броска монеты. Единственная разница состоит в том, что кость имеет 6 граней, пронумерованных от 1 до 6. Каждое из возможных чисел представляет собой одно из шести вероятных событий. В соответствии с этим вероятность выпадения определенного числа составляет 1/6, т.е. 16,67%. А вероятности для 6 элементарных событий составляют 100% ( 1/6 + 1/6 +1/6 + 1/6 +1/6 + 1/6 = 6/6 = 1). Любые элементарные события одновременно обладают следующими свойствами: - все элементарные события вероятны в равной степени; - случайный результат броска всегда дает одно из элементарных событий; - сумма вероятностей всех элементарных событий всегда дает 1 или 100%. Для монеты элементарные события составляют - "орел", "решка". Для кости элементарные события составляют - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Однако при одновременном броске нескольких монет или костей, элементарные события суммируются и переходят в разряд комбинированных событий, для которых вероятность выпадения комбинаций считается уже по другому. Комбинированные события. Любое комбинированное событие составляет комбинацию из элементарных событий в обшем количестве вероятных событий. Вероятность комбинированного события рассчитывается как сумма благоприятных элементарных событий деленная на общее число вероятных событий. Поясним на двух монетах. Для простоты обозначим "орел" - 0, а "решку" - 1. При бросании двух монет может произойти: - 2 комбинированных события (два одинаковых результата или два разных результата) - 4 элементарных события: 0-0, 0-1, 1-0, 1-1 Следовательно вероятность выпадения комбинированных событий составит: - двух одинаковых результатов (0-0, 1-1) - 1/2 - двух разных результатов (1-0, 0-1) - 1/2 А для элементарных событий вероятность следующая: - две "решки" - 1/4; - два "орла" - 1/4; - "орел"-"решка" - 1/4; - "решка"-"орел" - 1/4. Аналогичный порядок расчета проводится и с костями. Пример: Какова вероятность, что при одном броске кости мы не получим число 3? Следовательно, нас интересует вероятность выпадения чисел 1, 2, 4, 5 или 6. Таким образом, мы имеем 5 благоприятных событий из 6 вероятных элементарных событий. Такая вероятность составляет 5/6. Вероятности 6-ти элементарных событий составляют 1 (единицу), а вероятность выбросить 3 составляет 1/6. Элементарные события для двух костей. Каждое комбинированное событие при броске двух костей является суммой двух элементарных событий. Например, выпадение суммы 3 описывается двумя элементарными событиями 1-2 или 2-1. Таких комбинаций две. В итоге, каждое число первой кости может сочетаться с числом, выпавшим на второй кости. Так что при бросании двух костей мы получаем 36 (6 х 6) элементарных событий. Как правило при игре в кости нас интересует не оба числа отдельных костей, а только их сумма, которая будет находиться между 2 и 12. Пример: насколько высока вероятность получить сумму 3, если бросить 2 кости? Следовательно нас интересует вероятность событий 1-2 и 2-1. Существует 2 благоприятных события из 36, значит вероятность получить в сумме 3 равна 2/36 или 5,55%. Пример: насколько высока вероятность получить сумму 6, если бросить 2 кости? Следовательно, нас интересует вероятность событий 1-6, 6-1, 2-5, 5-2, 3-4 или 4-3. Существует 6 благоприятных событий из 36, значит, вероятность получить в сумме 6 равна 6/36 или 16,67%. На одной кости мы получаем числа от 1 до 6. Эти числа представляют собой элементарные события с одинаковой вероятностью. Некоторые игроки делают из этого ошибочный вывод , что при бросании двух костей суммы от 2 до 12 также являются элементарными событиями с одинаковыми вероятностями. Однако это далеко не так! Пример: какова вероятность дубля, если бросить 2 кости? Следовательно, нас интересует вероятность событий 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5 или 6-6. Существует 6 благоприятных событий из 36, значит, вероятность получить в сумме 6 равна 6/36 или 16,67%. Пример: какова вероятность выпадения не менее одной 6, если бросить 2 кости? Следовательно, нас интересует вероятность событий 1-6, 2-6, 3-6, 4-6, 5-6, 6-6, 6-5, 6-4, 6-3, 6-2, 6-1. Существует 11 благоприятных событий из 36, значит, вероятность получить в сумме 6 равна 11/36 или 30,56%. Вышеприведенный пример еще раз подчеркивает, насколько важно при всех рассуждения исходить из разницы между элементарными событиями и комбинированными событиями (суммой элементарных событий). Старайтесь не принимать поспешных решений, часто это кончается плохо. Вероятность получить не менее одной 6 при бросании одной кости составляет 1/6. Не следует ли из этого, что при броске двух костей вероятность складывается (удваивается) и составит 2/6 или 1/3, или 33,33%? Нет, это совсем не так! Вероятности не складываются. В этом и заключается ошибка. Три кости Также как и в ситуации с двумя костями, элементарные события при бросании трех костей составляют комбинацию из трех чисел. Поскольку каждое вероятное число первой кости может сочетаться с любым вероятным числом второй кости и с любым вероятным числом третьей кости, то при бросании трех костей существует 216 (6 х 6 х 6) элементарных событий. Пример: какова вероятность выпадения суммы 4, если кинуть три кости? Следовательно нас интересует вероятность выпадения 1-1-2, 1-2-1 или 2-1-1, так как это три единственных вероятности получить сумму 4. Таким образом, мы имеем три благоприятных события из 216 элементарных событий. Такая вероятность составляет 4/216 или 1/72, или 1,39% Пример: какова вероятность, что выпадет одна 6, если кинуть три кости? Поскольку каждый бросок трех костей может содержать ни одной, одну, две или три шестерки, то из общего количества элементарных событий мы вычитаем события содержащие три, две и ни одной шестерки и получаем: 216 – 1 – 15 – 125 = 75. Таким образом мы имеем 75 благоприятных событий из 216 элементарных событий. Такая вероятность составляет 75/216 или 34,72%
Игра в рулетку
Разговаривать о теории вероятностей и рулетке в классическом понимании, наверное, даже и не стоит. Отслеживать количество выпадений красных или черных, пытаться найти закономерность бесполезно. Шарик ляжет в одну ячейку, заранее предугадать которую точно будет невозможно. Математическим языком выражаясь, это означает, что закон распределения случайных чисел непрерывен и бесконечен. Математики бились веками, составляя из простых и очевидных истин сложные в понимании для человека неподготовленного правила. Но, когда начинаешь разбираться с теорией вероятностей сам, то все становится до очевидности простым. С уверенностью зная, что после среды идет четверг, с той же стопроцентной уверенностью любой человек должен знать, что, если сейчас выпала семерка красные, то в следующий раз выпадет любая одна из тридцати семи имеющихся комбинаций с вероятностью 1/37, то есть 0,027. Но это опять, же не говорит о том, что, 37 раз поставив на 7 красные, вы выиграете, потому что любые события, которые связаны с законом распределения случайных чисел (бросок костей и т.д.), в том числе и сложные события (состоящие из нескольких простых, например, событие сходить в казино и выиграть, состоит, скажем, из 10 связанных с вероятностью событий - раундов в рулетку), подчиняются все тому же закону. Сказать очень грубо и очень просто, чтобы выиграть две ставки подряд перемножьте вероятности выигрыша каждой ставки. Например, первый раз Вы ставите только на черные, второй раз только на двойку черные. Вероятность успеха в первый раз – 18/37=0,486, а второго – 1/37=0,27, то есть общая вероятность выигрыша обоих ставок составит 0,013. Поэтому актуально делать несколько ставок в одном раунде, ставить на комбинации, выпадение которых наиболее вероятно (на черные или красные), больше, а со ставками в духе «Семь миллионов на одиннадцать черные» быть все-таки поосторожнее.
Сразу же хочется сказать о рулетке с 38 комбинациями. По статистике рулетка с одним нулем приносит доход в казино на 2,7% больше, а рулетка с двумя нулями приносит на 5,3% больше. Из чьих карманов будут изыматься лишние 2,6% и без объяснений ясно.
Ученые, занимающиеся этим вопросом утверждают, что найти какую-то там успешную стратегию игры в рулетке НЕВОЗМОЖНО. Стратегия вообще предполагает долгую игру в рулетку, а чем больше делает ставок игрок, тем меньше у него шансов остаться в плюсе.
Однажды у Эйнштейна спросили, может ли он назвать систему игры в рулетку, которая могла бы гарантировать выпадение заданного числа. Великий физик действительно назвал способ стопроцентного выигрыша: единственная возможность действительно выиграть - украсть фишки со стола, когда крупье отвернется. И все равно каждый будет пытаться выстроить свою систему, когда можно выиграть, обрастать горой примет, прислушиваться к словам соседей. Мы собрали наиболее часто встречающиеся приметы:
- сесть за стол, откуда ушел самый везучий игрок, причем постараться сесть на его место и сразу же, как он встанет;- всегда везет новичкам, случайным прохожим, дуракам и пьяницам; - играйте там, где вам понравится крупье; - играйте там, где игроки чаще выигрывают; - если во время игры вам резко разонравятся соседи или крупье, немедленно пересаживайтесь;- ставьте свои фишки рядом с фишками везунчиков; - деньги на рулетку держите в правом кармане и не забудьте с ними заранее попрощаться; - избегайте столов с неудачником.
Блек джек: теория вероятности и расчет карт
Ни для кого не секрет, что в любой карточной игре можно с определенной долей вероятности предсказать выпадение любой карты. Мастерски выполненный расчет выглядит весьма эффектно и неоднократно использовался в Голливудских фильмах, например в «Человеке дождя» и «Двадцати одном» (еще известном как «Очко» и «21»). Конечно, в кинофильмах подобные трюки по мгновенному расчету карт зачастую доступны только гениям в математике. Однако становится ли от этого расчет карт недоступным для простых игроков? Конечно же нет. Главное в этом – для начала разобраться в основах теории вероятности и - играть. С опытом вам станет все легче предсказывать выпадение карт и строить свою игру на основе этих знаний.Конечно, 100% гарантии выигрыша это не дает, потому как с одной стороны есть вероятность выпадения карты, а с другой – вероятность ее невыпадения, поэтому всегда следует соблюдать осторожность. Тем не менее, некоторое преимущество перед казино вы все-таки получите.
Блек Джек считается одной из наиболее для расчета карт оптимальных игр, потому что игрок видит максимальное количество карт, которые на данный момент находятся в игре или были сыграны. Эти данные – основные параметры, по которым ведется расчет. Еще надо знать число колод карт, находящихся в игре и количество карт в каждой. Таким образом вы выстраиваете свою игру, преимущество казино снижается и можно поднимать ставки.
Вывод: Гипотеза о том, что с помощью математического ожидания можно предугадать результат азартной игры, доказана. Нам хотелось бы, чтобы эта работа помогла людям не совершать ошибки, которые они допускают, играя в азартные игры.
Но если же играть в эти игры (кости, рулетка, русское лото, карты) не на деньги, то можно весело провести время с друзьями? А если еще и проводить при этом расчеты, можно развивать вычислительные навыки, умение анализировать, делать выводы, тренировать память.
Используемые материалы:
ИСТОРИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - http://veroyat.narod.ru/istoriya_teorii_veroyatnostey.htmlТеория вероятностей в азартных играх - http://maerenkovavv.ru/load/tvorcheskie_raboty_uchashhikhsja/kachimova_julija/3-1-0-20Теория вероятностей и расчет карт - http://ruwinners.com/how-win/win-blackjack/bj-raschet.htmlШаблон презентации:
http://chatte.com.ua/sites/default/files/Zavitok_0.png?1370784643