: Задание пространственных геометрических фигур уравнениями и неравенствами. Уравнение плоскости.

Бурковская Нина Дмитриевна
Преподаватель математики,
Уральский технологический колледж «Сервис»

Тема урока: Задание пространственных геометрических фигур уравнениями и неравенствами. Уравнение плоскости.
Цель урока: Формировать у учащихся умение записывать уравнение плоскости перпендикулярной вектору, составлять уравнение плоскости перпендикулярной вектору и проходящей через точку, составлять уравнение сферы.
Тип урока: Изучение новой темы, формирование зун.
Методы ведения: лекция
Оборудование урока презентация

ХОД УРОКА:


Организационный момент – 1 – 2 мин.
Приветствие учащихся.
Отметить отсутствующих.
II. Опрос по домашнему заданию
1.Уравнение прямой на плоскости.
2.Уравнение окружности.
3. Расстояние между точками в пространстве.
4. Координаты середины отрезка.

III. Объяснение нового материала. Краткий конспект.
Множество всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии R от данной точки С, называется сферой радиуса R с центром в точке С.
Другими словами, сфера радиуса R с центром в точке С это множество всех точек М пространства, удовлетворяющих условию


|CM| = R.     (1)
Отрезок,    соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр,   называется    диаметром  сферы. Очевидно, что длина диаметра сферы   радиуса R равна 2R.
Если в пространстве задана некоторая прямоугольная декартова система кородинат и (а; b; с) координаты точки С, а (х; у; z) координаты точки М, то условие (1) принимает вид

·(x a)2 + (y b)2 + (z c)2   = R.
Отсюда следует, что сфера радиуса R с центром в точке С (а; b; с) имеет уравнение
(x a)2 + (y b)2 + (z c)2   = R2               (2)
B частности, сфера радиуса R с центром в начале координат имеет уравнение
х2 + у2 + z2  = R2           (3)  
Множество всех точек пространства, расстояние которых от данной точки С не превосходит данного числа R, называется шаром радиуса R с центром в точке С. Иначе, шар радиуса R с центром в точке С это множество всех точек М пространства, удовлетворяющих условию
|CM| < R.
В координатах это условие имеет вид:
(x a)2 + (y b)2 + (z c)2   <   R2.
Сфера радиуса R с центром в точке С называется поверхностью соответствующего шара. Про нее говорят, что она ограничивает шар радиуса R с центром в точке С.
Вывод:
Уравнение сферы с центром в точке О(0;0;0)имеет вид:
x2 + y2 +z2 =R2 ;
Уравнение сферы с центром в точке А (a;b; c) имеет вид:
( x - a)2 +( y - b)2 +(z - c)2 =R2;
Уравнение плоскости перпендикулярной вектору n(a;b; c) имеет вид:
ax + by + cz + d = 0
IV. Закрепление нового материала:
Задача 1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
Решение: Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим х2 + у2 + z2  = 25.
Задача 2. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; 3; 5) и радиусом, равным 6.
Решение: Подставив значение координат точки С и значение радиуса в уравнение (2), получим (x   2)2 + (y + 3)2 + (z  5)2 = 36.
Задача 3. Найти центр и радиус сферы
(х + 4)2 + (y  3)2 + z2 =100.
Решение: Сравнивая данное уравнение с уравнением сферы (2), видим, что   а = 4, b = 3, с = 0, R = 10.  Следовательно, С(4; 3; 0), R = 10.
Задача 4. Доказать, что уравнение
х2 + у2 + z2   2х + 4у  6z + 5 = 0 является уравнением сферы.
Решение: Преобразуем левую часть данного уравнения, выделив квадраты двучленов, содержащих соответственно х, у и z:
х2  2х + у2 + 4у + z2  6z + 5 =
= (x   1)2   1 + (y + 2)2  4 + (z  3)2  9 + 5 =
= (x   1)2 + (y + 2)2 + (z  3)29.
Следовательно, данная поверхность имеет уравнение
(x   1)2 + (y + 2)2 + (z  3)2 = 9.
Это уравнение представляет собой уравнение сферы с центром в точке С(1; 2; 3) и радиусом R = 3.
Задание на дом §23 №179
Литература: А.Е. Абылкасымова и др. Алгебра и начала анализа 10, 11
классы.
Ж. Кайдасов, В. Гусев, А Кагазбаева Геометрия 10, 11 классы. Дидактический материал по алгебре и начала анализа для 10, 11 класов. Дидактический материал по геометрии для 10, 11 классов.

Рисунок 2Описание: http://oldskola1.narod.ru/Jakovlev/625.gif15