Задание пространственных геометрических фигур уравнениями и неравенствами.

Геометрия 10 класс14.02.15
Задание пространственных геометрических фигур уравнениями и неравенствами.
Цели урока:Образовательные: формирование знаний о задании пространственных геометрических фигур уравнениями.Развивающие: Способствовать развитию пространственного воображения учащихся; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.Воспитательные: Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.
Ход урока
1. Организационный момент.
2Актуализация знаний
Как найти середину отрезка в пространстве?
Как вычислить расстояние между точками в пространстве?
3. Изучение нового материала.
Плоскость в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением:

где нормаль к данной плоскости
Сфера в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением:
где R ее радиус
Эллипсоид в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением

Коническая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением:

Эллиптический параболоид в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением:

Однополостный гиперболоид в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением:

Двуполостный гиперболоид в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением:

Неравенствами трехмерные поверхности не задаются, неравенства задают лишь область либо внутри поверхности, либо снаружи
Прямая в пространстве может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0;              (3.2)
2) двумя своими точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
= ;                                       (3.3)
3) точкой M 1 (x 1, y 1, z 1 ), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
.                                        (3.4)
Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.
Закрепление
Пример 1.15. Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.
Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.
Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60о.
Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В неравно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями
 .
Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m - 3 = 0, находим его корниm1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.
Домашнее задание