Презентация по теме Вычисление неопределенного интеграла

ПРЕЗЕНТАЦИЯ К УРОКУ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТЬ СПО 40.02.01 «Право и организация социального обеспечения»Презентацию подготовил: преподаватель ПРИХОДЬКО Ю.В.  ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛАТЕМА УРОКА КОНФУЦИЙ – древнекитайский философ и мыслитель«Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый лёгкий и путь опыта – это путь самый горький».3 Цели урока :Обобщить и закрепить понятие неопределённого интеграла.Повторить основные свойства интеграла.Отработать практические навыки вычисления неопределённого интеграла, используя различные приёмы.4 Организационный этап.Из истории неопределённого интеграла.Фронтальный опрос по теории.Работа по карточкам.Математическая эстафета.Закрепление умений и навыков. Решение примеров по образцу.Применение умений и навыков. Выполнение практической работы.Проверка знаний. Самостоятельная работа.Домашнее задание.Рефлексия деятельности.Подведение итогов урока. План учебного занятия:5 Презентация по математикеИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ИНТЕГРАЛАВыполнили: студенты гр. ДЛC-401Рожковская Cветлана, Репицкая ЛилияПроверил: преподавательПриходько Ю.В.6 Определение Интеграл функции — аналог суммы последовательности. Неформально говоря, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. 7 Символ интеграла был введён Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать.  8 Интеграл в древности Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.). 9 Интеграл в древности Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили. Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести . 10 История возникновения интеграла Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. 11 История возникновения интеграла Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму. 12 История возникновения интеграла На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях "Новая астрономия" (1609 г.) и "Стереометрия винных бочек" (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы). 13 История возникновения интеграла В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм.14 История возникновения интеграла Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. 15 История возникновения интеграла Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано. 16 История возникновения интеграла Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции. 17 История возникновения интеграла Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917). 18 История возникновения интеграла Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.19 История возникновения интеграла Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хинчиным (1894 -1959 гг.)  20 Фронтальный опрос по теории Вопросы1. Дать определение неопределённого интеграла.2. Какие способы вычисления неопределённого интеграла вы знаете?Ответы1. Совокупность всех первообразных F(x)+С для функции f(x).2. 3 способа: способ непосредственного интегрирования, способ замены, способ интегрирования по частям.21


Вопросы для повторенияВопросы3. Что называется интегрированием?4. Чем отличаются друг от друга различные первообразные для данной функции f(x)?Ответы3.Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции.4. Постоянной С.22

Вопросы для повторенияВопросы5. Какая функция называется первообразной для данной функции f(x)?Ответы5. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если для всех х: 23

Вопросы для повторенияВопросы6. Сформулируйте свойства неопределённого интеграла…Ответы- Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;Интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых;Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции;Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению. 24


Таблица неопределенных интегралов 25 Таблица неопределенных интегралов 26 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭСТАФЕТАИнструктаж: Работа в командах (по рядам). На последней парте каждого ряда находится листок с 10 заданиями (по два примера на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые два задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда учитель получается листок с правильно выполненными 10 заданиями. Вы можете решить не только свои задания, но и проверить правильность решения членов своей команды. Побеждает та команда, которая правильно и раньше всех решит все задания.27 Закрепление практических умений и навыковРешение типовых примеров по образцу28 Примеры табличного интегрированияПримеры интегрирования методом подстановкиПример №1Пример №2Пример №3ТренингПример №4Пример №5Пример №6Пример №729 Пример №13𝑥5+4𝑐𝑜𝑠𝑥−2𝑥+1𝑑𝑥 Интеграл суммы выражений равен сумме интегралов этих выражений𝟑𝒙𝟓𝒅𝒙+𝟒𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙−𝟐𝒙𝒅𝒙+𝟏𝒅𝒙 Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла𝟑𝒙𝟓𝒅𝒙+𝟒𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙−𝟐𝒙𝒅𝒙+𝟏𝒅𝒙 𝑥𝑛𝑑𝑥=𝑥𝑛+1𝑛+1+𝑐 𝑥𝑛𝑑𝑥=𝑥𝑛+1𝑛+1+𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑥+с 𝑑𝑥=𝑥+𝑐 𝟑𝒙𝟓+𝟏𝟓+𝟏+𝟒𝒔𝒊𝒏𝒙−𝟐𝒙𝟐𝟐+𝒙+𝑪 𝟏𝟐𝒙𝟔+𝟒𝒔𝒊𝒏𝒙−𝒙𝟐+𝒙+𝑪 30




ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y











Пример №2Записать решение:(3𝑥5−𝑥4+7𝑒𝑥−2𝑥)𝑑𝑥 Проверить решение𝟑𝒙−𝟓−𝒙𝟒+𝟕𝒆𝒙−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝟑𝒙−𝟓𝒅𝒙−𝒙𝟒𝒅𝒙+𝟕𝒆𝒙𝒅𝒙−𝟐𝒅𝒙𝒙 𝟑𝒙−𝟒−𝟒−𝒙𝟓𝟓+𝟕𝒆𝒙−𝟐𝒍𝒏𝒙+𝒄 −𝟑𝟒𝒙𝟒−𝟏𝟓𝒙𝟓+𝟕𝒆𝒙−𝟐𝒍𝒏𝒙+𝒄 ?𝟏𝒂𝒏=𝒂−𝒏 31
ppt_yppt_yppt_y




Пример №3Записать решение:Проверить решение(𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙+𝒙𝟑−𝟑𝒙)𝒅𝒙 𝟒𝒕𝒈𝒙+𝒙𝟒𝟒−𝟑∙𝒙𝟑𝟐𝟑𝟐+𝑪 𝟒𝒕𝒈𝒙+𝟏𝟒𝒙𝟒−𝟐𝒙𝒙+𝑪 (𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙+𝒙𝟑−𝟑𝒙𝟏𝟐)𝒅𝒙 𝟒𝟏𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙+𝒙𝟑𝒅𝒙−𝟑𝒙𝟏𝟐𝒅𝒙 ?𝒏𝒙𝒎=𝒙𝒎𝒏 32



ppt_yppt_yppt_y
(𝟒𝒙−𝟔)𝟓𝒅𝒙 Пример №4Все способы интегрирования имеют целью свести интеграл к табличному.Способ подстановки заключается в следующем:заменяют новой переменной такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения.Определим, к какому табличному интегралу приводится данный интегралОпределим, какую часть подынтегральной функции нужно заменить и записываем заменуНаходим дифференциалы обеих частей, выражаем старый дифференциал через новый Производим замену в интеграле и находим его с помощью таблицыПроизводим обратную замену, то есть переходим к старой переменной𝒖=𝟒𝒙−𝟔 𝒅𝒖=𝟒𝒅𝒙, 𝒅𝒙=𝟏𝟒𝒅𝒖 𝟏𝟒𝒖𝟓𝒅𝒖=𝟏𝟒∙𝒖𝟔𝟔+𝒄=𝟏𝟐𝟒𝒖𝟔+𝒄 𝟏𝟐𝟒(𝟒𝒙−𝟔)𝟔+𝒄 𝒙𝒏𝒅𝒙=𝒙𝒏+𝟏𝒏+𝟏+𝒄 33










Введем новую переменную и выразим дифференциалы:Пример №5𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙+𝟐𝒅𝒙 Записать решение:Проверить решение𝟔𝒙+𝟐=𝒖 𝒅𝒖=𝟔𝒅𝒙,  𝒅𝒙=𝟏𝟔𝒅𝒖 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙+𝟐𝒅𝒙=𝒔𝒊𝒏𝒖∙𝟏𝟔𝒅𝒖=𝟏𝟔𝒔𝒊𝒏𝒖𝒅𝒖=−𝟏𝟔𝒄𝒐𝒔𝒖+𝒄 −𝟏𝟔𝒄𝒐𝒔𝒖+𝒄=−𝟏𝟔𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙+𝟐+𝑪 34


Введем новую переменную и найдем её дифференциалПример №6𝟏+𝒍𝒏𝒙𝒙𝒅𝒙 Записать решение:Проверить решение𝟏+𝒍𝒏𝒙=𝒖 𝒅𝒖=𝟏𝒙𝒅𝒙=𝒅𝒙𝒙 𝟏+𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙𝒙=𝒖𝒅𝒖 𝒖𝟏𝟐𝒅𝒖=𝒖𝟑𝟐𝟑𝟐+𝑪=𝟐𝟑𝟐𝒖𝟑+𝑪 𝟐𝟑𝟐𝒖𝟑=𝟐𝟑𝒖𝒖=𝟐𝟑𝟏+𝒍𝒏𝒙𝟏+𝒍𝒏𝒙+𝑪 35


Пример №7𝟑−𝟔𝒙𝒅𝒙 Записать решение:Выполняем замену: 𝒖=𝟑−𝟔𝒙Выражаем дифференциалы:𝒅𝒖=−𝟔𝒅𝒙  𝒅𝒙=−𝟏𝟔𝒅𝒖 −𝟏𝟔𝒖𝒅𝒖=−𝟏𝟔𝒖𝟏𝟐𝒅𝒖 −𝟏𝟔∙𝒖𝟑𝟐𝟑𝟐+𝑪=−𝟏𝟔∙𝟐𝟑𝒖𝟑𝟐+𝑪 −𝟏𝟗𝟑−𝟔𝒙𝟑𝟐+С=−𝟏𝟗𝟐(𝟑−𝟔𝒙)𝟑+С −𝟏𝟗(𝟑−𝟔𝒙)𝟑−𝟔𝒙+С Проверить решение𝒖=𝟑−𝟔𝒙 36
ppt_yppt_yppt_y


Найти неопределенный интегралПроверить решениеПроверить решение𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙−𝟒𝒅𝒙 (𝟑+𝟒𝒙)𝟒𝒅𝒙 𝒆𝟔𝒙−𝟑𝒅𝒙 (𝒙𝟓+𝟑𝒙−𝟒)𝒅𝒙 (𝟐𝟓𝒙𝟒+𝟑𝒆𝒙−𝟒𝒙)𝒅𝒙 (𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙+𝒙−𝟑𝒙𝟔)𝒅𝒙 37


Следует отметить, что для функции вида f(kx+b) можно применять упрощенную формулу𝒇𝒌𝒙+𝒃𝒅𝒙=𝟏𝒌𝑭𝒌𝒙+𝒃+𝑪 𝒄𝒐𝒔𝟔−𝟐𝒙𝒅𝒙=−𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔−𝟐𝒙+𝑪 𝟏𝟓𝒙−𝟒𝒅𝒙=𝟏𝟓𝒍𝒏𝟓𝒙−𝟒+𝑪 𝒆𝟐𝒙+𝟏𝒅𝒙=𝟏𝟐𝒆𝟐𝒙+𝟏+𝑪 38

Решение типичных примеров1. Вычислить интеграл:2. Вычислить интеграл методом подстановки: 3. Вычислить интеграл методом интегрирования по частям: 39 1 пример40

2 пример41


style.rotation
3 пример42



Примем царственную позу, добиваясь хорошей осанки. Три раза вдохнём. Массажируем кончики пальцев каждой руки. Поставьте указательный палец на точку между бровями и массажируйте три раза. Закрыть веки, массировать их с помощью легких круговых движений пальца.ФИЗКУЛЬТМИНУТКА 43
r Применение практических умений и навыков«ВЫПОЛНЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ»44 ПРОВЕРКА УМЕНИЙ и НАВЫКОВ Самостоятельная работа по теме: «Вычисление неопределённого интеграла» КРИТЕРИЙ ОЦЕНОК:ОЦЕНКА «5» – за правильное решение всех 3-х примеров; ОЦЕНКА «4» – за правильное решение 2-х примеров;ОЦЕНКА «3» – за правильное решение 1-го примера. 45 Информация по домашнему заданию:Повторить основные понятия и свойства по теме «Неопределённый интеграл».Составить кроссворд (ребус) по теме «Неопределённый интеграл».Выполнить решение примеров по карточкам.46
Ну кто придумал эту математику !У меня всё получилось!!!Надо решить ещё пару примеров.Рефлексия47
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Рефлексия деятельностиБлагодаря сегодняшнему уроку, я …Сегодняшний урок помог мне …Сегодня на уроке мне запомнилось …Сегодня на уроке мне больше всего понравилось …После сегодняшнего урока мне захотелось …Сегодня на уроке я узнал(а) …После сегодняшнего урока я буду знать …После сегодняшнего урока я хочу сказать …Сегодня на уроке я научился …Сегодняшний урок дал мне …48 ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА“Музыка может возвышать или умиротворять душу,Живопись – радовать глаз,Поэзия - пробуждать чувства,Философия – удовлетворять потребности разума, Инженерное дело – совершенствоватьматериальную сторону жизни людей,а математика способна достичь всех этих целей”. американский математик Морис Клайн.49 Спасибоза активноеучастие на уроке!!!50