Статья по математике на тему Задачи на проценты. Простой и сложный процентный рост

Задачи на проценты. Простой и сложный процентный рост .

Решения задач с процентами у учащихся нередко вызывают трудности. Одной из причин является то, что в широко используемых учебниках математики, как правило, даются стандартные задачи на проценты. Текстовые задачи, в том числе задачи на проценты встречаются в тестах ЕГЭ по математике, как в 9-х, так и в 11-ых классах. В статье изложена методика решения задач на простой и сложный процентный рост (так называемых «банковских задач»). Данная работа может быть использована учителями для разработки элективного курса, посвященного текстовым задачам с процентами, а также будет полезна учащимся общеобразовательных учреждений для самостоятельной подготовки к итоговым тестам.
Это полезно знать.
Полезно понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов.
Например, в сообщениях «заработная плата бюджетникам с января повышена на 50%» и «заработная плата бюджетникам с января повышена в 1,5 раза» говорится об одном и том же. Точно так же, увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза- значит на 200%, уменьшить в 2 раза- значит уменьшить на 50%.
Следует запомнить:
Если значение а выросло на p%, то новое значение будет 13 QUOTE 1415
Если значение с уменьшилось на p%, то новое значение будет 13 QUOTE 1415
Если А больше В на p%, то 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Выразим из последней формулы p:
(1+13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;

13 QUOTE 1415формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов А больше, чем В.
Если В меньше А на q%, то
В=А-13 QUOTE 1415А; 13 QUOTE 1415
Если требуется ответить на вопрос: на сколько процентов В меньше, чем А, то из последней формулы, выразив q, получим

Внимательный читатель заметил, что если А больше, чем В на p%, то это не означает, что В меньше А на p%. Убедимся в этом высказывании ещё раз, решив следующую задачу: В классе мальчиков на 25% больше, чем девочек. На сколько процентов девочек в этом классе меньше, чем мальчиков?
Читая данную задачу можно сразу дать ответ: на 25%. Но это не так.
Решение:
Пусть м- количество мальчиков, d- количество девочек; (м, d N);
25%= 13 QUOTE 1415
По условию м=d+ 13 QUOTE 1415 м= 13 QUOTE 1415
Тогда d= 13 QUOTE 1415 d=(1- 13 QUOTE 1415)м; d=м- 13 QUOTE 1415м; 13 QUOTE 1415 =20%
Ответ: девочек на 20% в классе меньше.
Простой процентный рост.
Рассмотрим задачу. Пусть S- ежемесячная квартплата, пеня составляет p% квартплаты за каждый день просрочки платежа, n- число просроченных дней. Какую сумму должен заплатить человек после n дней просрочки?
Решение:
Обозначим сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки Sn. За n дней просрочки пеня составит (pn)% от S или 13 QUOTE 1415S, а всего придется заплатить S+ 13 QUOTE 1415S или, что то же самое, (1+ 13 QUOTE 1415S
Получим Sn=(1+ 13 QUOTE 1415)S
Эта формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула имеет специальное название: формула простого процентного роста.
Рассмотрим задачу. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент внёс 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?
Решение: Для решения задачи подставим в формулу величину процентной ставки p=2, числа месяцев n=6 и первоначального вклада S=500:
S6=(1+ 13 QUOTE 1415500=1,12500=560(руб.)
Ответ: через полгода будет 560 рублей.
Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшится за данный период времени на определённое число процентов. В этом случае 13 QUOTE 1415
Эта формула также называется формулой простого процентного роста. Хотя заданная величина в действительности убывает.
Сложный процентный рост.
В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте начисляется p% от неё. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги- «проценты».
Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года p% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. При этом ещё говорят, что эти проценты капитализируются. При такой системе, начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.
Решим задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна Sn рублей.
P% от S составляет (13 QUOTE 1415 рублей и через год на счёте окажется сумма S1=S+ 13 QUOTE 1415S=(1+ 13 QUOTE 1415
Через два года на счёте будет сумма
S2=S1+ 13 QUOTE 1415S1=(1+ 13 QUOTE 1415)S1=(1+ 13 QUOTE 1415)(1+ 13 QUOTE 1415)S=(1+ 13 QUOTE 1415)2S
Аналогично, S3=(1+ 13 QUOTE 1415)3S и так далее.
Другими словами, справедливо равенство
Sn=(1+ 13 QUOTE 1415)nS
Эту формулу называют формулой сложного процентного роста или просто формулой сложных процентов.
Решим задачу.
Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 5000 рублей?
Решение:
Подставим формулу Sn=(1+ 13 QUOTE 1415)nS
Значение процентной ставки p=10, количество лет п=4 и величину первоначального вклада S=5000 рублей.
Получим
S4=(1+ 13 QUOTE 1415)45000=1,145000=1,46415000=7320,5(руб.)
Ответ: через 4 года на счёте будет 7320,5 рублей.
Полученная выше формула применима, естественно, не только к задачам о росте вклада, но и к любой ситуации, когда рассматривается величина, которая за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения. При уменьшении величины на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, проявляется знак минус.
Рассмотрим задачу.
Численность населения в городе Т. В течение двух лет возрастала на 2% ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в городе Т. Первоначально?
Решение:
Пусть х человек (хN) было первоначально. Тогда согласно условию задачи через два года количество жителей составило х(1+ 13 QUOTE 1415)2 или (х+11312) человек. Получим уравнение:
х(1+ 13 QUOTE 1415)2=х+11312
х1,022= х+11312
х(1,022-1)= 11312
х(1,02-1)(1,02+1)=11312
х= 13 QUOTE 1415
х=280000
Ответ: 280000 жителей было в городе Т. Первоначально.

Список литературы
Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией Сканави М.И. М.: «ОНИКС 21 век», «Мир и Образоване», «Альянс-В», 2003г.
2. Г.Г.Гильмиева, Р.Г.Хамитов. Задачи с процентами. Решаем с легкостью. Учебно-методическое пособие, 2008г. Риц «Школа».

15