Урок-ділова гра Арифметична та геметрична прогресія
Оріхівська районна державна адміністрація
Відділ освіти
Районний методичний кабінет
Урок-ділова гра у 9 класі
"Арифметична та геометрична прогресія"
Вчитель Комишуваської ЗОШ
І-ІІІ ступенів: Пісоцька В.В.
2009 р
Тема: арифметична та геометрична прогресія.
Мета: узагальнити і закріпити основні поняття і властивості з теми « Арифметична та геометрична прогресії»; формувати вміння використовувати отримані знання в нестандартних ситуаціях; набути досвіду поведінки в ситуаціях близьких до реального життя.
Тип уроку: засвоєння знань, умінь, навичок. Комбінований.
Обладнання: проектор, картки із завданнями.
Хід уроку.
І. Орг. момент (2 хв.)
ІІ. Актуалізація опорних знань (3 хвилини)
Вступне слово вчителя.
Задумаймося на такими простими запитаннями:
Чи важливо для сучасної людини вміння робити економічні та фінансові прогнози?
- Як треба планувати своє життя, щоб потреби і можливості співпадали?
І взагалі, чи існує економічна наука без математичних розрахунків?
Чи можна бути неграмотним ? Можна. Але це незручно, а іноді дуже принизливо: людина не може прочитати те, про що відомо всім навколо.
Будь-яка цивільна людина обов'язково зацікавиться, звідкіля беруться гроші, як виконуються розрахунки за реалізовану продукцію, як зберегти гроші від інфляції, як отримати кредит. Навіть для того, щоб перевірити, чи правильно тобі нарахували заробітну плату, необхідні певні знання.
ІІІ. Мотивація діяльності. (7 хв.)
Перед тим, як почати наш урок, дозвольте пояснити деякі моменти. Ця ділова гра проводиться при вивченні теми « Арифметична та геометрична прогресії». Ви вже знаєте означення прогресій, вмієте їх розрізняти, знаходити n- й член арифметичної та геометричної прогресій, суму n перших членів прогресій, але ви ще не настільки розуміюєте, як важлива ця тема для розв'язування багатьох економічних проблем. Я пропоную вам наблизитися до реалій життя і спробувати обдумати найпростіший бізнес план по створенню своєї фірми, наприклад міні-маркет.
Пропоную переглянути презентацію, в якій зібрані основні формули та поняття теми "Арифметична і геометрична прогресія". Презентація називається "Найвідоміші числові послідовності". Зверніть увагу, крім названих прогресій, до вашої уваги запропонована послідовність чисел Фібоначчі. Цією послідовністю захоплювалися ще в Середньовіччя. Обчисливши відношення послідовних чисел, отримували число, яке близьке до 1,618. Ще в давнину з цим числом пов'язували своє уявлення про красу і гармонію. Грецькі скульптори добре знали про відповідність правильних пропорцій людського тіла цьому магічному числу. І недаремно античні зодчі використовували його у своїх безсмертних творіннях. Відношення довжини храму Парфенон до його висоти приблизно дорівнює 1,618. Геній епохи Відродження Леонардо да Вінчі вважав, що з багатьох відношень, які використовує Творець, існує одне, єдине і неповторне. Саме його він назвав "золотим перерізом". Про це ви можете прочитати у одному з випусків нашої шкільної газети.
1 слайд. "Найвідоміші числові послідовності". 9 клас.
2 слайд. Арифметичною називається прогресія, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається одне й те саме число. Це число називають різницею арифметичною прогресією і позначають d.
3 слайд. Основні формули арифметичної прогресії:
D=an+1-an – різниця
An=a1+d(n-1) –формула n–го члена
An=(an-1+an+1):2 – властивість
Sn=(a1+an).n:2=(2a1+d(n-1))n:2- формула суми n-перших членів
4 слайд. Геометричною прогресією називають послідовність із відмінним від 0 першим членом, кожний член якої , починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме відмінне від нуля число. Це число називають знаменником геометричної прогресії і позначають q.
5 слайд. Основні формули геометричної прогресії:
Q=bn+1:bn –знаменник
Bn=b1.qn-1- формула n-го члена
Bn2=bn-1.bn+1- властивість
Sn=(b1.(qn-1)):q-1 – сума n-перших членів
6 слайд. Послідовність(un), задана рекурентно такими співвідношеннями: u1=u2=1, un+2=un+1+un.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
Члени цієї послідовності називають числами Фібоначчі.
7 слайд. Італійський математик і купець Леонардо Пізанський (Фібоначчі) перший установив зв'язок між цією послідовністю і задачею про розмноження кролів. Уцій задачі досліджується чисельність потомства однієї пари кролів, яка щомісяця виводить пару кроленят, а ті через місяць також дають потомство.
8 слайд. Числа Фібоначчі трапляються в багатьох явищах природи.
В голівці соняшника чи ромашки насіння розміщене у вигляді двох сімейств спіралей, які закручуються в двох протилежних напрямках. Кількість спіралей у цих сімействах є сусідніми членами послідовності Фібоначчі. Подібну властивість можна виявити в структурі соснових шишок.
9 слайд. . « Немає жодної галузі математики, якою б абстрактною вона не була, котра коли-небудь не виявиться застосовною до явищ дійсного світу»
М.І.Лобачевський
IV. Основна частина. Ділова гра. (30 хв.)
Вчитель: Ви мали можливість переконатися як тісно математична наука пов’язана з різними сферами життя. Давайте застосуємо наші знання про арифметичну прогресію у звичайній життєвій ситуації. Уявімо, що ви хочете відкрити свою справу: міні-маркет і хочете прорахувати наскільки це можливо і вигідно.
Пропоную дослідити основні аспекти справи: в якому банку брати кредит; як сплачувати податки; якою рекламною фірмою скористатися.
Розділимо клас на три групи, щоб інформацію, яку ви досліджуватимете і перевірятимете, мала різні точки зору. Для зручності пропоную почати з назв ваших міні-маркетів. "Оскар", "Віват", "Меркурій".
1. Почнемо з кредиту в банку. На ваш розгляд надійшло дві пропозиції: "Приватбанк" пропонує кредит у 30 000 грн під 10% річних на залишок кредиту на 10 років зі щорічною виплатою 1/10 частини кредиту; "Аваль" пропонує цю ж суму на той самий строк під 10% від суми кредиту. Отже, шановні майбутні власники, ваше рішення: яким банком ви б скористалися?
Відповіді представників міні-маркетів. (Відповідають по черзі, якщо думка співпадає, то в наступному дослідженні висупає першою інша група).
Складемо послідовність щорічних виплат отриманого кредиту.
Кожний рік залишок кредиту зменшується на 30 000 .1/10 = 3000 (грн.)
Тоді відсоткові виплати за 1 рік становлять:
(30 000-3000) .0,1 = 2 700 (грн.)
За другий рік: (30 000 – 2 . 3 000) . 0,1 = 2 400 (грн.)
За третій рік: (30 000 – 3 . 3 000) . 0,1 = 2 100 (грн.)
За дев'ятий рік: (30 000 – 9 . 3 000) . 0,1 = 300 (грн.)
За десятий рік: 0 грн.
Отже, отримали арифметичну прогресію, різниця якої 300 грн.
Тому, для обчислення всіх відсоткових грошей скористаємося формулою суми арифметичної прогресії:
S = (2700+300) : 2 . 9 = 13 500 (грн.)
Тепер обрахуємо пропозицію банку "Аваль".
Якщо взяти 30000 грн на 10 років під 10% річних на суму кредиту, то відсоткові виплати будуть дорівнювати:
30 000 . 0,1 = 3 000 (грн.) щорічно,
а років 10, тому всі відсоткові виплати дорівнюють
3 000 . 10 = 30 000 (грн.) !!!
Отже, пропозиції "Приватбанку" більш вигідніші.
2. Тепер податки. Податки - обов'язкові платежі, які держава стягує з метою поповнення державного бюджету. Платежі можна сплачувати щомісячно або в кінці року.
Ваш вибір, шановні власники!
Відповіді представників груп.
Нехай прибуток за місяць складає 10000 грн. Податок виплачується в розмірі 20% від прибутку. За рік податок виплачується в кінці звітнього періоду, але за кожний місяць прострочки необхідно платити не тільки податок , але і 0,1( 10% ) від суми податку.
Якщо платити кожний місяць: Знайдемо 20% від 10 000 ( 0,2 * 100 00 =2000 грн.) . Значить за рік ( тобто 12 місяців ) ми виплатимо
12 * 2 000 = 24 000 (грн.)
В кінці року у випадку прострочки маємо:
за грудень: 20% від 10 000 грн. ( 2 000 грн.)
за листопад: 2 000 + 0,1 * 2 000 = 2 000 + 200 = 2200 грн.
за жовтень: 2200 + 0,1 * 2 000 = 2200 + 200 = 2400 грн.
за вересень: 2400 + 0,1 * 2 000= 2400 + 200 = 2600 грн. і т.д.
Тобто, отримали арифметичну прогресію, де
а1=2000 d = 200. Необхідно знайти S12.
Дві групи разом: S12 = (2a1 + d * 11)/2*n
S12 = (2* 2 000 +200*11)/2*12= 37 200 грн.
Висновок: невигідно платити податки в кінці року: переплатабільш як у 1,5 рази.
3. Поговоримо про рекламу. Реклама – форма звернення до споживачів з метою залучити увагу до товарів чи послуг.
Представники двох рекламних агентств хочуть запропонувати свої послуги . Фірма "Прогрес" на професійному рівні виготовить різноманітні рекламні проспекти вашого міні маркету. Умови оплати такі: за першу партію 100 у.о., а кожна наступна на 4% дешевша за попередню.
Представник фірми « Омега» пропонує вам послуги своєї фірми. Умови оплати: перша партія коштує 100 у.о., а кожна наступна має знижку 10% .
Порахуємо чия пропозиція вигідніша.
Ваш вибір, шановні власники!
Відповіді представників груп.
Фірма «Прогрес»:
те, що кожна наступна партія на 4% дешевше попередньої, говорить нам про те, що маємо справу з геометричною прогресією а1 = 100 d = - 4 ;
Фірма « Омена»: знижка 10% означає, що маємо справу з геометричною прогресією
в1 = 100 q =0,9 ( 100% - 10 % = 90 % = 0,9 )
Якщо треба розмістити замовлення на 3 партії, то необхідно знайти S3. Зробимо обчислення:
Фірма «Прогрес»
S3 = в1 * (qn – 1)/ (q – 1)
S3 = 100 * (0, 93 – 1)/ (0, 9 – 1) = 271 у.о.
Фірма « Омега»
S3 = (2a1 + d*2)/2*n
S3 = (2* 100 – 4*2)/2*3 = 288 у.о.
Висновок: вигідніше розмістити замовлення , використавши послуги фірми « Прогрес».
V. Підсумок уроку. Ітак, гра закінчилась. І мені ще раз хочеться вам нагадати, що сьогодні на уроці ми заглянули не тільки в галузь математики, але і в економіку і просто в доросле життя. Ми ще раз переконалися, що ці математика дуже тісно пов'язана із реальним життям.
Зрозуміло, що дати повну інформацію про економічний світ на одному уроці неможливо. Для одних з вас цих знань достатньо, хто більше зацікавився наукою, знайде відповіді у спеціальних підручниках.
Однак, в любому випадку хотілось, щоб ви відчули, що світ Фінансів – дивовижний світ, і без знань про нього прожити сучасній людині дуже тяжко!
Домашнє завдання. Скласти 2-3 задачі, в розв’язуванні яких застосовуються прогресії.
15