ОТ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ – К НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ

ОТ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ – К НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ

В. И. Кот, кандидат педагогических наук
Государственное учреждение образования «Гимназия № 1 г. Ивье»

50 лет назад Д. Пойа свою книгу «Математическое открытие» закончил словами: «Я надеюсь, что математическое открытие, научный метод и индукция, как один из аспектов математики, в средних школах будущего не будут так презираемы, как мы наблюдаем это сегодня». Отрадно видеть, что в наше время надежды выдающегося математика и педагога сбываются: хорошо поставленная учебно-исследовательская работа с учащимися прививает им вкус к математике и открывает возможность для самостоятельной, творческой деятельности [2, с. 53 - 57 ].

При работе с учащимися гимназических классов физико-математического направления мы строим свою работу путем последовательного усложнения задач: учебно-исследовательские – исследовательские – научно-исследовательские. Исследование решений уравнений и неравенств или их систем с параметрами – это пример учебно-исследовательской задачи. Выйти на более высокий исследовательский уровень помогают гимназистам занятия в математическом факультативе. Там мы ставим творческие задачи, выходящие за рамки школьной программы. Наша цель – приобщить учащихся к поисковой деятельности математического характера. Помогает нам в этом проектная деятельность учащихся (это уже исследовательская работа). Результатом такой деятельности наших гимназистов стала работа по теме «Задача одна – решения разные». Решить одну и ту же задачу с помощью координат или векторов, с помощью геометрических преобразований или неожиданного эвристического приема, сравнить эти решения, увидеть эффективность одних решений, оценить изящество других – все это способствует повышению уровня математического развития учащихся, достижению целей в обучении математике [3].

Количество методов, которыми овладел учащийся, во многом определяет уровень его возможностей при решении других задач: найденный способ решения может быть в дальнейшем использован для решения более трудных задач, сходных с решенной задачей. Решение задач двумя или большим числом способов служит хорошим средством углубления знаний. При поиске других решений задачи гимназистами не только усваиваются новые методы решений, но и постигается связь между соответствующими разделами математики.

Особое внимание уделяем олимпиадным задачам. Это тип задач, занимающих промежуточное положение между школьными задачами и научными проблемами. Решение олимпиадных задач служит хорошей подготовкой учащихся к будущей научной деятельности, заостряет их интеллект.

Чтобы создать у учащихся гимназии достаточно ясное представление о характере научного исследования, мы в ходе дискуссий постоянно подчеркиваем в первую очередь важность наблюдения. Именно оно может привести к открытию. При этом следует иметь в виду, что наблюдение имеет своей целью обнаружить какой-нибудь регулярно повторяющийся факт (инвариант), схему или закон. Оно имеет больше шансов привести к заслуживающим внимания результатам, если направляется какой-нибудь удачной мыслью или идеей. Наблюдение может служить трамплином для обобщений и предположений, но оно не является доказательством. Свое предположение надо проверять на частных случаях и на тех фактах, которые из него следуют. Каждый подтвердившийся частный случай или оказавшееся справедливым следствие подкрепляют наше предположение. Надо проводить тщательное различие между намеком на доказательство и самим доказательством, между предположением и фактом. Не следует пренебрегать аналогиями – они могут привести к открытию новых фактов. Полезно при научном исследовании рассматривать предельные случаи. Надо учиться придумывать гипотезы, а затем испытывать их на опыте. Суть научного метода в том и состоит, чтобы догадываться и испытывать.

Именно таким научным методом действовали наши гимназисты при поиске различных доказательств теоремы Птолемея. В результате было найдено семь ее доказательств. А дальше пошла научная дискуссия. Что еще полезного можно извлечь из доказанной теоремы? Можно ли усилить доказанное утверждение? Какие вы видите пути обобщения теоремы Птолемея? От учащихся пошли предложения: 1) Давайте попробуем установить, что будет, если четырехугольник не является вписанным или вообще является невыпуклым. 2) Точку можно рассматривать как окружность нулевого радиуса. Поэтому одну точку (или две, или три, или сразу все четыре) можно попытаться заменить окружностью с ненулевым радиусом. Надо исследовать, что будет в этом случае. 3) А если рассмотреть не четырехугольник, а шестиугольник?

Итак, появились интересные предложения и вопросы. Надо искать ответы. Даю возможность гимназистам попытаться угадать ответы. В результате возникают гипотезы: 1) Вместо ранее доказанного равенства появится неравенство, 2) Будет аналогичное равенство, но для касательных расстояний, 3) Для шестиугольника выведем более сложное равенство. В ходе дальнейших рассуждений идет доказательство того, что высказанные предположения верны. Таким образом, сформулировав гипотезы на занятии факультатива, учащиеся плавно перешли от исследовательской к научно-исследовательской работе.

Интересными с научной точки зрения являются задачи, ведущие к открытию новой теории. Так, наши гимназисты поставили вопрос: что получится, если расмотреть вместо круговых тригонометрических функций квадратичные? По аналогии с известными тригонометрическими функциями были введены квадратичные синус, косинус, тангенс и котангенс. Затем исследована каждая из так определенных функций, построены их графики, установлены формулы преобразований по аналогии с теми, которые имеют место для круговых функций. В качестве приложения этой теории на практике может служить исследование движения лунохода на квадратных колесах [1, с.376 – 380]. Также получена новая теория окончательных сумм цифр в записи числа [4, с. 6 - 7 ].

К научно-исследовательским проблемам, а затем и к интересным научным результатам приводит обобщение нестандартных задач. Так, учащимися установлены необходимые и достаточные условия для того, чтобы иррациональное уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415где 13 EMBED Equation.3 1415заданные функции, имело один или более посторонних корней. Результаты решения этой проблемы и ее обобщение на случай большего количества посторонних корней изложены в [1, с. 367 - 375].

Научно-исследовательский характер носили и другие рассмотренные гимназистами вопросы: решение неопределенных уравнений в целых числах, арифметики на различных множествах чисел, математика на клетчатой бумаге, применение условия разрешимости квадратных уравнений и неравенств, аналог теоремы Пифагора в стереометрии, решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 [4, с. 15 - 17], арифметические прогрессии в треугольнике Паскаля, признаки делимости на числа, оканчивающиеся цифрами 1, 3, 7, 9. Работы «Неравенство Коши и его применение к доказательству неравенств Непера и Гюйгенса» и «Равносильность и равносоставленность многоугольников» отмечены дипломами соответственно первой и второй степени механико-математического факультета Белорусского государственного университета. Работы «Иррациональные уравнения с посторонними корнями» и «Тригонометрические и геометрические неравенства» [4, с. 25 - 29] получили похвальные отзывы на Республиканских научно-практических конференциях учащихся. Пять работ учащихся опубликованы, одна рекомендована к публикации. Многие наши учащиеся прошли через Республиканские летние научно-исследовательские школы учащихся и учителей в п. Лужесно Витебского района и на базе спортивно-оздоровительного комплекса «Бригантина» (г. п. Радошковичи Молодечненского района). Это наилучшим образом способствовало их приобщению к научному исследованию.

Самостоятельное решение учащимися научно-исследовательских задач потребовало от них мобилизации всех знаний и проявления изобретательности, изощренности и находчивости, оригинальности мышления и умения критически оценить постановку вопроса.

По нашему мнению научно-исследовательская работа гимназистов является необходимым и перспективным элементом современной системы образования.

Литература

1.Кот В. И. Как одолеть олимпиадные задачи по математике: Пособие для учителей общеобразовательной школы. – Мн.: «Бестпринт», 2002. – 400 с.

2.Кот, В. И. Развитие исследовательской деятельности учащихся / В. И. Кот // Хрустальная Альфа: сборник материалов IV межрегиональной научно-практической конференции: в 2-х ч.: часть 1: работы преподавателей ВУЗов и учителей. – Гродно: УО “Гродненский ГОИПК и ПРР и СО”. – 2006. – С. 53 – 57.

3.Кот, В. И. Нахождение разных доказательств как средство развития исследовательских способностей учащихся / Кот В. И.// Издательский дом «Первое сентября». Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» 2009/2010 учебного года, раздел «Преподавание математики». Интернет-сайт: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

4.Хрустальная Альфа: сборник материалов IV межрегиональной научно-практической конференции: в 2-х ч.: часть 2: работы учащихся и студентов. – Гродно: УО “Гродненский ГОИПК и ПРР и СО”, 2006. – 108 с.