Методические материалы для проведения олимпиады по математике ( 5 класс)

Олимпиада по математике. 5 класс.
+=Впишите в квадраты цифры от 0 до 9 (без повторения +=так, чтобы получилось три верных примера на сложе- +=ние. Найдите все решения, не считая полученных из- менением порядка слагаемых.
Сколькими нулями заканчивается произведение натуральных чи-сел 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ … ∙ 100?

3 На клетчатой бумаге нарисовали фигуру.
Разделите её на 4 равные части по линиям
клетчатой бумаги. Найдите все возможные
фигуры, на которые можно разделить дан-
ную фигуру согласно условию задачи.
Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит 1 гусёнок?
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 17 км, выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно с ним из А в В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист дое-хал до пункта В, повернул обратно с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
Решения:
3 + 7 = 10или4 + 6 = 10
2 + 6 = 83 + 5 = 8
4 + 5 = 92 + 7 = 9
Среди чисел от 1 до 100 ровно 20 делятся на 5, из них 4 числа де-лятся на 5 ∙ 5 = 25. Значит 24 произведения 2 ∙ 5 дадут 24 нуля.

3 3 3 3
Запишем коротко условия задачи:
3у + 4г = 2500
4у + 3у = 2400.
Определим вес 7 утят и 7 гусят:
7у + 7г = 4900
1у + 1г = 4900 : 7 = 700г
3у + 3г = 700 ∙ 3 = 2100г
Сравнение полученного результата с первым условием (2500 – 2100 = 400) показывает, что 1 гусёнок весит 400г.
1) 12 + 5 = 17 (км/ч) – скорость сближения;
2) 17 ∙ 2 = 34 (км) – двойное расстояние от А до В;
3) 34 : 17 = через 2 (ч) – произойдёт встреча.
Олимпиада для 5 класса
Задача 1: Как, ничего не измеряя, отрезать от ленты длиной 1 м 44 см кусок длиной 27 см?
Задача 2: Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 71. Какое число задумал Вася? Постарайтесь перечислить все возможные варианты ответа и объяснить, как Вы рассуждали.
Задача 3: Четыре приятеля собирали грибы. На вопрос: «Сколько грибов вы вместе собрали?" они ответили так. Петя: «Не меньше ста". Вася: «Белых – двадцать, а остальные я не считал". Миша: «Вас ошибается". Юра: «Не больше 99". Сколько ребят сказали правду? Ответ объясните.
Задача 4: На рисунке справа изображен план города. В городе четыре кольцевых автобусных маршрута. Автобус 1 ходит по маршруту В-Г-Д-Е-Ж-З-В, длина которого – 17 км. Автобус 2 ходит по маршруту А-Б-В-Е-Ж-З-А, длина которого – 12 км. Автобус 3 ходит по маршруту А-З-Ж-Е-Д-Г-В-Б-А, длина которого – 20 км. Автобус 4 ходит по маршруту В-З-Ж-Е-В. Найдите длину этого маршрута и объясните, как Вы это сделали.
Задача 5: В кучке – 64 спички. Двое по очереди делают ходы. За один ход можно взять из кучки любое нечетное число спичек, меньшее 16, причем запрещается повторять уже сделанные ходы – как свои, так и соперника (то есть, если кто-то очередным ходом взял какое-то число спичек, то в дальнейшем ни он, ни его соперник, брать такое число спичек не могут). Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его соперник, и как ему надо играть, чтобы выиграть?
Решения: олимпиада 5 класс
Задача 1: Как, ничего не измеряя, отрезать от ленты длиной 1 м 44 см кусок длиной 27 см?
Решение: Сложим ленту вдвое, потом – еще раз вдвое, потом – еще и еще раз. В результате линии сгибов разделят ленту на 16 равных частей длиной по 144:16 = 9 см каждая. Осталось отрезать три таких части.
Задача 2: Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 71. Какое число задумал Вася? Постарайтесь перечислить все возможные варианты ответа и объяснить, как Вы рассуждали.
Решение: Саша отнял от результата Жени либо столько же, сколько Жен прибавил к результату Коли, либо на единицу больше, либо на единицу меньше. Поэтому результат Коли равен либо 70, либо 71, либо 72. Из трех этих чисел на 5 делится только число 70, а на 6 – только число 72. Поэтому Вася задумал либо число 70:5 = 14, либо число 72:6 = 12.
Задача 3: Четыре приятеля собирали грибы. На вопрос: «Сколько грибов вы вместе собрали?" они ответили так. Петя: «Не меньше ста". Вася: «Белых – двадцать, а остальные я не считал". Миша: «Вас ошибается". Юра: «Не больше 99". Сколько ребят сказали правду? Ответ объясните.
Решение: Заметим, что если Петя прав, то Юра неправ, и наоборот. Кроме того, если Вася прав, то Миша неправ, и наоборот. Таким образом, в паре Петя – Юра ровно один мальчик сказал правду и в паре Вася – Миша тоже. Получается, что правду сказали ровно двое.
Задача 4: На рисунке справа изображен план города. В городе четыре кольцевых автобусных маршрута. Автобус 1 ходит по маршруту В-Г-Д-Е-Ж-З-В, длина которого – 17 км. Автобус 2 ходит по маршруту А-Б-В-Е-Ж-З-А, длина которого – 12 км. Автобус 3 ходит по маршруту А-З-Ж-Е-Д-Г-В-Б-А, длина которого – 20 км. Автобус 4 ходит по маршруту В-З-Ж-Е-В. Найдите длину этого маршрута и объясните, как Вы это сделали.
Решение: Обведем карандашом маршруты автобусов 1 и 2. Тогда все отрезки на рисунке окажутся обведенными один раз, кроме отрезков ЖЗ и ЖЕ, обведенных дважды, а общая длина проведенных линий составит 17 + 12 = 29 км. Теперь вычтем из этой суммы отрезки, входящие в маршрут 3. После этого отрезки ЗА, АБ, БВ, ВГ, ГД и ДЕ исчезнут, отрезки ЖЗ и ЖЕ будут входить в разность по одному разу, и, кроме того, там останутся отрезки ЗВ и ВЕ, по которым маршрут 3 не проходит. Но отрезки ЗВ, ВЕ, ЖЕ и ЖЗ вместе как раз и составляют маршрут 4. Значит, его длина равна 29 – 20 = 9 км.
Задача 5: В кучке – 64 спички. Двое по очереди делают ходы. За один ход можно взять из кучки любое нечетное число спичек, меньшее 16, причем запрещается повторять уже сделанные ходы – как свои, так и соперника (то есть, если кто-то очередным ходом взял какое-то число спичек, то в дальнейшем ни он, ни его соперник, брать такое число спичек не могут). Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его соперник, и как ему надо играть, чтобы выиграть?
Решение: По условию в игре есть ровно 8 разрешенных ходов: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Заметим, что 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64. Поэтому, независимо от того, как сложится игра, она закончится тогда, когда будут сделаны по разу все 8 разрешенных ходов. Ясно, что при этом последним будет ходить второй. Он и победит.