Презентация по геометрии Задачи на построение с помощью циркуля и линейки, 7 класс

Задачи на построение циркулем и линейкой. Начальные сведения. Эти уроки проводятся в компьютерном классе, (в случае занятия по подгруппам - по 1 человеку за компьютером, если всем классом, то по 2 человека) так как основным дидактическим обеспечением их является презентация PowerPoint "Geometry", в качестве учебного пособия на уроках используется учебник: Атанасян Л.С. и др. "Геометрия 7-9".- М.: Просвещение, 2010. Уроки могут быть проведены в 7 классе с любой математической подготовкой. Хорошо, если учащиеся имеют небольшой начальный опыт по работе на компьютере как пользователи, но это условие совсем не является обязательным. Эти уроки являются первыми при изучении данной темы, где происходит знакомство учащихся с новым видом задач (задачами на построение) и отработка навыков решения простейших из них. С задачами на построение учащимся предстоит еще не раз встретиться при изучении планиметрии в 7-9 классах. И успешность решения более сложных задач будет зависеть от степени усвоения начальных сведений. Дидактическое обеспечение урока. Урок проводится с использованием обучающей программы "Задачи на построение", оформленной как презентация PowerPoint. Презентация "Geometry" содержит 6 простейших (основных) задач на построение с помощью циркуля и линейки, этапы их построения и доказательства. Есть слайд, на котором дан список используемых условных обозначений. Каждой задаче в презентации соответствует два следующих один за другим слайда. Первый из них содержит этап построения задачи, а второй - этап ее доказательства . Каждый первый слайд задачи содержит: 1) условие решаемой задачи в виде текстовой формулировки; 2) краткую запись условия: что дано (изображение соответствующих фигур выполняется на экране зеленым цветом) и что надо построить; 3) последовательную запись выполняемых на экране построений (изображение соответствующих фигур на экране черным цветом); 4) построенный объект (изображение выделяется красным цветом). Каждый второй слайд задачи содержит: 1),2) - см. первый слайд; 3) изображение последовательности построений (без записи хода построения); 4) объекты, используемые для проведения доказательства (изображение соответствующих фигур на экране коричневым цветом); 5) краткую запись доказательства. План урока. Распределение содержания презентации по урокам: 1 урок - работа со слайдами задач 1, 2, 3; 2 урок-работа со слайдами задач 4, 5, 6. 1 урок. I. Активизация (10 мин. )(Краткая беседа учителя и учащихся о известных геометрических построениях, сообщение-рассказ на тему "Из истории геометрических построений циркулем и линейкой", подготовленное 1 или 2 учащимися.) II. Сообщение темы и определение целей урока (3 мин.) 1. Начало работы с презентацией. 2. Просмотр условных обозначений. (Учитель сообщает тему урока, выделяя новый класс задач, цели определяют сами учащиеся в ходе учебного диалога.) III. Знакомство с основными этапами решения задач на построение (5 мин.) 1. Задача: отложить от начала луча, отрезок, равный данному (проблемная ситуация; поиск решения, фронтальная работа).2. Задача 1 - познакомиться с оформлением ее решения . 3. Основные этапы решения задачи на построение [переход на соответствующий слайд по нажатию кнопки "Информация"] (комментарий учителя по содержанию каждого этапа.) 4. Решение задачи 1: проведение всех этапов (устно, фронтальная работа) [Кнопка "Возврат"].IV. Решение задач (задача 2, 3) (10 мин). (Учащиеся работают с программой под руководством учителя, "проблемный" диалог по решению задачи). [Переход на следующий слайд (кнопка "Вперед")].Работа с каждой задачей строится по плану, определяемому этапами решения задач на построение, при этом этапы анализ и исследование проводятся устно. То есть: 1) постановка задачи, знакомство с условием; 2) выделить объекты, которые даны по условию (изобразить их) и те, которые надо построить; 3) попытаться найти способ построения; изучить ход построения; 4) попытаться доказать, что построенная фигура искомая; ознакомиться с доказательством [переход на следующий слайд (кнопка "Вперед"]; 5) провести исследование: обсуждение всегда ли задача имеет решение и если имеет, то сколько решений. [Переход к следующей задаче: (кнопка "Вперед")]. V. Закрепление решения задач (15 мин). 1) Задание: по условию задач 2, 3, выполнить, используя циркуль и линейку, соответствующие построения в тетради с записью хода построения (учащиеся работают самостоятельно или с консультантом, в роли которого может быть компьютер, одноклассник или учитель). 2) Провести этап доказательства для каждой задачи (учащиеся рассказывают друг другу, работая в парах).[Закончить работу с презентацией: с любого последнего из рассмотренных слайдов (нажатие кнопки "Конец")]. VI. Подведение итогов урока (3 мин). (Учащиеся проводят анализ и подводят итог своей деятельности на уроке).Домашнее задание: решение задач 1-3 (стр. учебника 43, 45-46) № 148, № 149. № 148. На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча ВА отложить отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ. № 149. Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы ВМ = PQ. Всегда ли задача имеет решение? 2 урок I. Активизация (3 мин). Обсуждение решения № 149 из дом. работы (учащиеся устно проговаривают все этапы решения этой задачи, один из них иллюстрирует этап исследования на доске).II. Повторение и закрепление изученного (10 мин.) 1. Вспомнить задачи, которые научились решать; 2. Учитель ставит перед учащимися проблему: как изменится решение задачи 3, если точка не будет принадлежать прямой (обсуждение решения в группах);3. [Начать работу с презентацией. Перейти на слайд, соответствующий задаче 4.] Проверить высказанные гипотезы (решить задачу по плану см. урок 1). 4. Повторить решения задач 1-3 (индивидуальная работа учащихся с презентацией III. Письменный опрос (7 мин.) Задание: На нелинованном листе бумаги расположить произвольным образом отрезок, прямую и отметить точку на этой прямой. Построить: 1) середину данного отрезка; 2) прямую, проходящую через выбранную точку, перпендикулярно данной прямой (можно предложить, по желанию учащихся, выбрать точку, не принадлежащую данной прямой). (Учащиеся самостоятельно выполняют требуемые построения.) Обоснование урока Исходя из того, что при изучении задач на построение в курсе геометрии 7 класса учащиеся испытывают затруднения из-за особенностей этих задач, непривычного способа их решения с использованием ограниченного круга инструментов, предлагается использовать на уроке данную презентацию "Задачи на построение". С ее использованием проводятся 2 урока, которые, в связи с большим объемом новой информации, рекомендуется проводить в разные дни. На этих уроках рассматриваются решения простейших задач на построение. Было бы удобнее для восприятия учащихся рассмотреть их в такой последовательности, что и позволяет сделать предложенная презентация "Geometry", а именно: 1) построение отрезка, равного данному; 2) построение середины отрезка; 3), 4) построение перпендикулярных прямых; 5) построение угла, равного данному; 6) построение биссектрисы угла. Для включения учащихся в работу необходимо, чтобы они вспомнили с какими геометрическими построениями им уже приходилось встречаться и какие инструменты при этом использовались. Учащиеся в 7 классе только начинают изучение учебного предмета "Геометрия". Поэтому очень важно с самого начала заинтересовать их. Этому способствует ознакомление учеников с вопросами истории предмета. Такие сведения позволяют расширять кругозор школьников, показывать становление и развитие геометрии как науки, и какое место занимает в ней изучаемая тема. (Сообщение по теме "Из истории построений циркулем и линейкой " могут подготовить учащиеся самостоятельно Или можно воспользоваться подборкой материала по этой теме, прилагаемой к данному конспекту. Тогда хорошей мотивацией для дальнейшей работы служит предложение учащимся стать на сегодняшнем уроке древнегреческими учеными-математиками и попытаться выполнить известные построения только с помощью циркуля и линейки. Понятно, что это не так просто, а значит, интересно. Тогда учащимся становится ясно чему они должны научиться и зачем. Перед началом работы с презентацией учитель должен кратко ознакомить с ее работой (управлением слайдами, переходом от одного фрагмента слайда к другому Задачи на построение - это новый класс задач, решение которых происходит по особой схеме. Ознакомление с основными этапами решения задач на построение уже в начале 7 класса преследует пропедевтическую цель. Для того чтобы при решении таких задач в дальнейшем (7 - 9 кл) учащиеся: а) четко представляли этапы решения задачи и не сводили их решение только к построению интересующего объекта; б) умели разбивать более сложную задачу на построение на простые составляющие (в 7 классе некоторые этапы выполняются устно). Вот почему на примере простой задачи 1 удобно впервые рассмотреть все этапы решения и доступно объяснить в чем состоит суть каждого этапа. Во-первых, учащиеся быстро догадываются использовать циркуль для взятия нужного расстояния, а, во-вторых, построение легко выполняется учащимися, и понятно им. Важно также обратить внимание учащихся на условие при котором задача имеет единственное решение (еще раз при решении задачи 5). Использование предлагаемой презентации на уроке позволяет сократить время, которое уходит на выполнение построений в тетради на этапе знакомства с задачами на построение. Исполнителем построений становится компьютер. Он позволяет вносить элемент новизны при решении задач, разрешает разнообразить цветовую гамму и делает процесс работы наглядным, помогает учителю сконцентрировать внимание на основных с точки зрения математики моментах, а не на второстепенных. Все это улучшает восприятие материала. Пошаговая детализация всей последовательности выполняемых действий помогает осмыслению и лучшему запоминанию материала. Паузы, предусмотренные презентацией после каждого логически выделяемого фрагмента при решении задачи, позволяют регулировать темп подачи и восприятия материала.(А также акцентирует внимание учащихся на том, что, приступая к решению задачи на построение нужно сначала начертить все фигуры, данные в ее условии, приучает к этому). Появление информации на экране фрагментами разрешает ученику стать не просто пассивным наблюдателем, для которого компьютер лишь сообщает выполняемые действия, а включиться в активный мыслительный процесс. И появление нового фрагмента слайда является тогда подтверждением или опровержением высказанной ранее учеником гипотезы. Вот почему работа по решению каждой из задач (1-3, 5) строится как своеобразный диалог между учителем и учениками, в котором компьютер служит демонстратором решения задачи. То же самое происходит и при проведении этапа доказательства: во-первых, напоминается ход построения; во-вторых, используя в качестве подсказки выделяемые треугольники, можно провести его самостоятельно и только затем подтвердить полученные выводы с помощью компьютера Работа учащихся по закреплению решения этих задач предполагает различные формы ее проведения. Это зависит от степени первичного усвоения материала каждым учеником. Можно сразу выполнять решение рассмотренных задач в тетради; или, прежде чем это сделать, еще раз поработать с презентацией, обратиться за консультацией к учителю или товарищам; или работать в тетради, проверяя каждый свой шаг по компьютеру; или выполнять отдельное действие в тетради только после просмотра его на экране Таким образом, за один урок учащиеся успевают просмотреть последовательность построений не один раз для каждой задачи, а также выполнить их в своей тетради, что обеспечивает прочное запоминание. В качестве домашнего задания после первого урока учащимся требуется закрепить знания по решению задач 1-3 (ход построения записан и проведен в тетради, доказательство см. учебник стр. 43, 45 - 46) № 148, № 149. (Соответственно по закреплению решения задач 4-6 предлагается домашнее задание и после второго урока). В начале следующего урока следует обсудить решение № 149, элемент построения которого будет использоваться при решении новой задачи. Важно в классе провести исследование, так как ученики впервые встречаются с задачей, которая не всегда имеет решение и если имеет, то, может быть, и не одно. Это не следует оставлять без внимания Условие задачи 4 отличается от задачи 3, которая уже известна, лишь расположением точки относительно данной прямой. Изменяя его, получается новая задача, решить которую предстоит учащимся. И, работая в группах, они могут решить ее самостоятельно (преодолению трудности помогает разобранное решение № 149). При этом учащиеся повторяют материал предыдущего урока и используют знания о решении задач на построение (задачи 1-3) для решения новой задачи (задачи 4). Детальное повторение решений задач 1-3 с помощью презентации занимает совсем немного времени. Проводимый далее опрос позволяет проверить умения проводить изученные построения. Он также предусматривает дифференцированный подход к учащимся: возможность заменить решение задачи 3 на решение задачи 4 (то есть разрешая в задании выбрать точку вне прямой), тем самым усложняя его,так как эта задача была рассмотрена только на уроке, и не дорабатывалась дома. Задачи 5 и 6 являются последними среди основных (простейших) задач на построение. И, так как здесь используются некоторые новые приемы, то решение задачи 5 следует рассмотреть учителю вместе с учащимися, организовав учебный диалог. А вот решение задачи 6 они смогут провести и самостоятельно, работая в парах. Подводя итоги двух проведенных уроков, важно чтобы учащиеся выделили: 1) новый класс задач, с которым они познакомились; 2) какие простейшие задачи на построение научились решать; 3) рассказали, как решают такие задачи; 4) попытались выделить, где можно применять полученные знания.Учителю необходимо еще раз обратить внимание на этап исследования при решении задач на построение. А также необходимо отметить, что работа с задачами на построение на этом не заканчивается, и будет продолжена и далее в 7 классе, и в 8, 9 классах. При этом, изученные 6 основных задач, будут использованы как "конструктор" при решении более сложных задач. Использовать данную презентацию будет полезно и очень эффективно для повторения решения основных (простейших) задач перед решением более сложных задач на построение. (Чтобы при этом сэкономить время, при переходе на второй слайд для задачи следует после появления текста задачи перейти на следующий слайд [по нажатию кнопки "Вперед"]). А также, при записи соответствующего звукового сопровождения на каждый слайд, ее можно использовать как самоучитель-консультант по простейшим задачам на построение. Тогда с ней сможет работать ученик самостоятельно и без помощи учителя в наиболее удобное для себя время, даже в домашних условиях при наличии компьютера Тема:«Задачи на построение циркулем и линейкой. Начальные сведения». Автор: учитель школы №5 Кузнецова Н.И. В геометрии специально выделяют задачи на построение, которые решаются только с помощью двух инструментов: ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ без масштабных делений. Условные обозначения  - знак угла Окр (О;r) - окружность с центром в точке О и радиусом r  - знак пересечения   - в скобках указано множество точек пересечения  - знак принадлежности  - знак перпендикулярности : - заменяет слова ”такой что” Задача 1 На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному Дано: Луч h, О- начало PQ-отрезок Построить: AhOA=PQ h A Построение: 1. окр(О;PQ) 2. hокр(O;PQ)= A 3. OA-искомый P Q OA: O Задача 2 Построить середину данного отрезка Дано: АВ-отрезок А Построить: ОАВОА=ОВ О: Построение: 1. окр(А ;АВ) 2. окр(В;ВА) 3. окр(А;АВ)окр(В;ВА)= P;Q 4. PQ-прямая P Q 5. PQAB=O О 6. O- искомая точка B O Задача 2 Построить середину данного отрезка Дано: АВ-отрезок А Построить: ОАВОА=ОВ О: P Q О B О Доказательство: APQ=BPQ( по трем сторонам)так как 1) AP=BP=г 2) AQ=BQ=г 3) PQ-общаяСледовательно, 1=2 Значит, РО-биссектриса равнобедренного АРВ. 1 2 Значит, РО и медиана АРВ. То есть, О-середина АВ. Задача 3 Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой Дано: прямая а а точка M Построить: m: Mmm a точка М принадлежит прямой а М Построение: 1. окр(М;г); г-любой A A1 2. окр(М;г)а=А;А1 3. окр(А;АА1) 4. окр(А1;A1A) 5. окр(А;АА1)окр(А1;А)=P;Q P Q 6. прямая PQ=m 7. m-искомая m m Задача 3 Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой Дано: прямая а а точка M Построить: m: Mmm a точка М принадлежит прямой а М A A1 P Q m m Доказательство: APA1-равнобедренный (АР=А1Р=г)РМ-медиана(МA=MА1=г1) Значит, РМ-высота APA1 .То есть,PQ a. Задача 4 Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой Дано: прямая а а точка M Построить: m: Mmm a точка М не принадлежит прямой а М Построение: 1. окр(М;г) A A1 2. окр(М;г)а=А;А1 3. окр(А;АМ) 4. окр(А1;A1М) 5. окр(А;АМ)окр(А1;А1М)=M;Q Q 6. прямая МQ=m 7. m-искомая m m Задача 4 Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой Дано: прямая а а точка M Построить: m: Mmm a точка М не принадлежит прямой а М A A1 Q m m Доказательство: AМQ=А1MQ( по трем сторонам)так как 1) AM=А1M=г 2) AQ=A1Q=г 3) MQ-общаяСледовательно, 1=2. Тогда, МО-биссектриса равнобедренного АМА1. 1 2 О Значит, МО и высота АМА1. Тогда, МQ a. Задача 5 Отложить от данного луча угол, равный данному Дано: луч ОМ О М А А Построить: Построение: 1. окр(А,г); г-любой С В 3. окр(О,г) Е 4. окр(О,г) ОМ= Е 5. окр(Е,ВC) К К1 6. окр(Е,BС)окр(О,г)= К;К1 7. луч ОК; луч ОК1 8. КОМ -искомый KOM=А 2. окр(А;г)А=В;С Задача 5 Отложить от данного луча угол, равный данному Дано: луч ОМ О М А А Построить: С В Е К К1 KOM=А Доказательство: AВС=ОЕК(по трем сторонам) так как 1) АВ=ОЕ=г 2) АС=ОК=г 3) ВС=ЕК=г1 Следовательно, КОМ=А Задача 6 Построить биссектрису данного угла Дано: А Построить: Построение: А 1.окр(А;r); r-любой Луч AE-биссектрису А 2.окр(А;r)А=В;С C B 3.окр(В;r1) 4.окр(С;r1) E E 1 5.окр(В;r1)окр ( С;r1)=Е;E1 6. Е-внутри A 7. AE-луч 8. AE-искомый Е Задача 6 Построить биссектрису данного угла Дано: А Построить: А Луч AE-биссектрису А C B E E 1 Е Доказательство: AВЕ=АСЕ (по трем сторонам) так как 1) AС=АB=г 2) СЕ=BЕ=г1 3) АЕ-общая 1 2 Следовательно, 1=2. Значит, АЕ-биссектриса А. Об авторе Работаю в средней школе №5 г.Саранска учителем математики. Интересуюсь темой: «Нетрадиционные уроки математики».. Кузнецова Нина Ивановна.