Методическая разработка урока по математике по теме Решение тригонометрических уравнений» 10 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 2»

Разработка урока по математике
по теме "Решение тригонометрических уравнений» 10 класс
Мишурова Любовь Александровна
учитель математики МБОУ «СОШ № 2»
г. Радужный ХМАО – Югра,
высшая квалификационная категория
г. Радужный
2015год
Урок математики в 10 классе
по теме "Решение тригонометрических уравнений»
цель: развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей через использование элементов проблемного обучения.
Задачи:
развивать познавательные интересы на основе опыта самостоятельного приобретения новых знаний;
научить приобретать опыт поиска и использования информации по заданной теме;
формировать у учащихся особый стиль умственной деятельности, исследовательской активности и самостоятельности учащихся.
Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля усвоения знаний и умений,
Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти,
Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.
Методы обучения:
частично – поисковый
проверка уровня знаний,
работа по обобщающей схеме,
решение познавательных обобщающих задач,
системные обобщения,
самопроверка,
взаимопроверка.
Формы организации урока:
индивидуальная,
фронтальная.
Оборудование и источники информации:
экран;
мультимедийный проектор;
компьютер.
У учащихся на партах:
карточка с таблицей для заполнения значений обратных тригонометрических функций;
бланк для записи ответов.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания
3. Фронтальная работа по содержанию учебного материала.
4. Закрепление и проверка знаний учащихся по теме: "Решение тригонометрических уравнений».
5. Итог урока.
6. Домашние задание.
I. Организационный момент.
Французский писатель Анатоль Франс (1844–1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.
Сегодня у нас обобщающий урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решений тригонометрических уравнений.
Перед нами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.
- В первой части урока мы проведем работу по систематизации и обобщению знаний по теме урока, а вторую часть урока посвятим проверке знаний.
В центре вашего внимания на уроке будет «Рабочая карта урока».
Сюда вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. В конце урока подведете итог своей работы и выставите себе средний балл за урок.
А. Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».
II. Проверка домашнего задания.
вариантам 1 вариантам 2
sinx=0,52, 1) cosx=0,52,
2 sin2x = cosx+1, 2) 2cos2x-1=sinx,
sin2x -2sinxcosx=3, 3) sin2x+sinxcosx=2cos2x,3sin2x+4cos2x=5, 4) 3sin3x+ 5cos3x = 4.
III. Фронтальная работа по содержанию учебного материала.
1. Дайте определение арккосинуса числа а.
(Если |a| ≤ 1, то arccos a =α, cosα=a, α ;)
2. Дайте определение арксинуса числа а.
(Если |a|≤ 1, то arcsin a = α, sinα=a, α ;)
3. Дайте определение арктангенса числа а.
(Если aR , то arctg a = α, tgα=a, α (-π2,π2);)
4. Устная работа.
Определите значения обратных тригонометрических функций .
arcсos (-1) =
arcsin (-1) = 32; (-π2)
arcсos о = π2arcsin 1 = π2arcсos 1= 0
arcsin 0 = 0
arcsin 22 = π4arcсos 32= π6arcsin 12 = π6Следующий этап нашего урока – диктант. Думать придется много, писать мало. Работа проводится в двух вариантах.
Вариант 1(2) (по готовым карточкам; записать ответ)
№1.
Каково будет решение уравнения cos x =a, при а>1
(Каково будет решение уравнения sin x = a, при а > 1)
№2.
При каком значении а уравнение cos x = a имеет решение?
(При каком значении а уравнение sin x = a имеет решение?)
№3.
Какой формулой выражается решение уравнения sin x = a?| a|≤ 1
(Какой формулой выражается решение уравнения cos x = a? | a|≤ 1)
№4.
На какой оси откладывается значение а при решении уравнения cos x = a ?
(На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sin x = a ?)
№5.
В каком промежутке находится arccos a ?
(В каком промежутке находится arcsin a ?)
№6.
Чему равняется arccos(- a)?
(Чему равняется arcsin (- a)?)
Взаимопроверка. Оценивание. Ответы.
6 правильных ответов отметка «5»,
5 правильных ответов отметка «4»,
4 правильных ответов отметка «3»,
менее 4 правильных ответов отметка «2»,
Вариант 1 (2).
№ 1.
Нет решения
Нет решения
№ 2.
| a |≤ 1
| a |≤ 1
3.
х= х=(-1) arcsina + πк, к∈Z;
х= ± arccosa + 2πк, к∈Z;
4.
На оси Ох
На оси Оу
№ 5.
;
.
№ 6.
π - arccos a
-arcsin a
IV. Закрепление и проверка знаний учащихся по теме: "Решение тригонометрических уравнений».
Рассмотрим частные случаи простейших уравнений. Приведение в систему знания по простейшим тригонометрическим уравнениям.
Установите соответствие: уравнение и соответствующий ему корень.
sin x = 0 х = πn,n;
cos x =1 х = 2πn, n;
sin x = 1 х=π⁄2 + 2πn, n;
cos x =0 х= π⁄2 + πn, n;
sin x = - 1х=- π⁄2 + πn, n;
cos x = -1х= π+2πn, n.
Мы повторили определения и значения обратных тригонометрических функций, частные случаи простейших уравнений.
Повторим формулы корней тригонометрических уравнений.
sinх=a; х=(-1) arcsina + πк, к∈Z;
cosх=а, х=± arcos a + 2πк, к∈Z;
tg x=a ; x=arctg a + πк, к∈Z;
сtg x=a ; x=arcсtg a + πк, к∈Z;
Устная работа.
cosх = ; х=± arсcos + 2πк, к∈Z;
х=± + 2πк, к∈Z;
sin х = 2; корней нет; ׀2 ׀ >1.
-2sin х= 1; х=(-1) arcsin(-)+ πк, к∈Z;
х=(-1)+ πк, к∈Z;
cosх = 1; х=± arсcos 1 + 2πк, к∈Z;
х= 2πк, к∈Z;
tg x =10; x=arctg 10+ πк, к∈Z;
А знаете ли вы, английский философ Герберт Спенсер, говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».
Найди ошибки при решении уравнения.
3 sin2x - 5sin x– 2 = 0
Пусть sin х = у, где ׀y׀≤1;
3 у - 5 у – 2 = 0;
D = (-5)2- 4*3*(-2)=49>0;
у=(5+7)/6=2; у =(5-7)/6=-1/3
sin х=2 или sin х =-1/3
x= (-1) arcsin 2+πk, k∈Z.;
x= (-1) arcsin 1/3+πk, k∈Z.
Ответ: x= (-1) arcsin 2+ πk,; x= (-1) arcsin 1/3+ πk, k∈Z.
Назовите методы решения тригонометрических уравнений.
Учащиеся предлагают алгоритм решения каждого тригонометрического уравнения.
Уравнение Метод решения тригонометрического уравнения
3sinx + cosx = - sinx cosx
3sin2x + 5cos2x = 2
sinx + sin2x + sin3x=0
3sinx + cosx = 1
4 cosx – sinx - 1 =0

Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед.
Я предлагаю вам решить такое уравнение 2sin2x – 3 sinx cosx – 5cos2x = 0.
Решите уравнение и найдите один вариант из четырех предложенных, и отгадаете имя математика, который вывел формулы приведения:
Варианты ответов:
х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – П.Чебышев
х = arctg 12,5 + 2πn, n ∈Z х = –3π/4 + πn, n ∈Z – Евклид
х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Софья Ковалевская
х = arctg2,5 + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z – Леонард Эйлер
Правильный ответ: Леонард Эйлер.
Великий математик и философ Аристотель подсказал способ развития мыслительных способностей. «Мышление начинается с удивления» – сказал он. В правильности этих слов мы сегодня неоднократно убеждались. Выполнив самостоятельную работу по 2-м вариантам, вы сможете показать, как усвоили. Для самостоятельной работы используйте раздаточный материал, который находится у вас на столах. Вы можете сами выбрать одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что решив уравнение, соответствующее №1, вы сможете получить только «3»,решив уравнение, соответствующее №1и №2 – «4», №1,№2,№3 – «5».
Вариант 1.
sin3x - cos3x = 0
sin² x - 5 sinx cosx + 4cos²x = 0
3sin²x – sinx cosx = 2
Дополнительная часть: 3sinx - 2cosx = 3
Вариант 2.
5 sin2x +6 cos2x = 0
sin²x - 4 sinx cosx - 5cos²x = 0
4sin²x +2sinx cosx = 3
Дополнительная часть: 4sinx - 3cosx = 3
В заключение урока я хочу вам прочитать стихотворение:
“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия - пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
а математика способна достичь всех этих целей”.
Так сказал американский математик Морис Клайн.
Спасибо за работу!
Оцените степень сложности урока:
Устная работа Работа на уроке
Обратные тригонометрические функции Частные случаи простейших уравнений Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения, сводящиеся к алгебраическим Разложение на множители Уравнения
вида
asinx+bcosx=c
Оцените степень сложности урока
Вам было на уроке:
Легко
Обычно
Трудно. Оцените степень Вашего усвоения материала:
Усвоили полностью, могу применять.
Усвоили полностью, но затрудняюсь применять.
Усвоил частично
Не усвоил, нужна консультация.
Домашнее задание
Повторить пункт 33-36
«3» №665; 668;
«4» 668; 669;
«5» 668; 669; придумать и решить уравнение вида: а sinx+b cosx=c, где с≠0.
Самостоятельная работа (решения)
1 вариант.
1) sin3x - cos3x = 0,
Т.к. cos3x ≠ 0, то
tg3x -1 = 0;
tg3x =1;
3х= arctg 1 +πn, nZ.
3х= π/4 +πn, nZ.
х= π/12 +π/3n, nZ.
2 вариант.
1) 5 sin2x +6 cos2x = 0,
Т.к. cos2x ≠ 0, то
5tg2x +6 = 0;
tg2x =-6/5;
2х= -arctg 6/5 +πn, nZ.
х= -1/2arctg 6/5 +π/2 n, nZ
1 вариант.
2) sin²x - 5 sinx cosx + 4cos²x = 0.
Т.к. cos²x ≠0, то tg²x -5 tgx +4 = 0
Замена: tgx=у. у² -5 у +4 = 0
D=25-16=9
у=4 или у= 1
tgx=4 tgx=1
х=arctg4+ πn, nZ х=arctg1+ πn, nZ
х= π/4+πn, nZ
2 вариант.
2) sin²x - 4 sinx cosx - 5cos²x = 0.
Т.к. cos²x ≠0, то tg²x -4 tgx -5 = 0
Замена: tgx=у. у² -4 у -5 = 0
D=16+20=36
у=5 или у= -1
tgx=5 tgx=-1
х=arctg5+ πn, nZ х=-arctg1+ πn, nZ
х=- π/4 +πn, nZ
вариант.
3)3sin²x – sinx cosx = 2
3sin²x - sinx cosx -2sin²x -2cos²x = 0.
sin²x - sinx cosx -2cos²x = 0
Т.к. cos²x ≠0, то tg²x – tgx -2 = 0
Замена: tgx=у. у² - у -2 = 0
D=1+8=9
у=2 или у= -1
tgx=2 tgx=-1
х=arctg2+ πn, nZ х=arctg(-1)+ πn, nZ
х=-arctg1+ πn, nZ
х=-π/4+ πn, nZ
вариант.
3) 4sin²x + 2sinx cosx = 3
4sin²x +2sinx cosx -3sin²x -3cos²x = 0.
sin²x + 2sinx cosx -3cos²x = 0
Т.к. cos²x ≠0, то tg²x +2 tgx -3 = 0
Замена: tgx=у. у² +2 у -3 = 0
D=4+12=16
у=-3 или у=1
tgx=-3 tgx=1
x =-arctg3+ πn, nZ x=arctg1+ πn, nZ
х=π/4+ πn, nZ