СтатьяМетод декомпозиции при решении логарифмических и показательных неравенств
Грищенко Т.М.,
МАОУ СОШ № 37
с углубленным изучением
искусств и английского языка
г. Таганрог
МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Показательные и логарифмические неравенства часто встречаются в заданиях единого государственного экзамена (ЕГЭ). Эффективным методом решения неравенств подобного типа является метод декомпозиции. Суть метода состоит в следующем:
1) если Ф – композиция элементарных функций, которая монотонно возрастает на ОДЗ или на некотором ее подмножестве М, то
13 EMBED Equation.3 1415
2) если Ф – монотонно убывает, то
13 EMBED Equation.3 1415
Метод декомпозиции очень эффективен для решения показательно-степенных неравенств и логарифмических неравенств с переменной в основании.
Теорема 1. При всех допустимых 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 справедливы следующие утверждения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство.
Рассмотрим первое утверждение (остальные доказываются аналогично).
Покажем, что на ОДЗ неравенства из неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 следует неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то из неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 следует, что 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415, а значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то из неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 следует, что 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь докажем, что на ОДЗ неравенства из неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 следует неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 то либо 13 EMBED Equation.3 1415 либо 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415 и из неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 следует, что 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и ввиду того, что показательная функция с основанием, большим 1, возрастающая, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415 и из неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 следует, что 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, и ввиду того, что показательная функция с основанием, меньшим 1, убывающая, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Равносильность неравенств доказана.
Пример 1. Решите неравенство
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема 2. При всех 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и всех допустимых значениях 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 верны следующие утверждения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство.
Докажем первое утверждение, остальные доказываются аналогично.
Докажем, что из неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 следует неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то из неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 следует 13 EMBED Equation.3 1415, значит, 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 и из неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 следует 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Докажем теперь, что из неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 следует неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415 и, значит, из неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 следует, что 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, и так как логарифмическая функция с основанием, меньшим 1, убывающая, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, тогда произведение 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415 и, учитывая, возрастание логарифмической функции с основанием, большим единицы, получим неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, данные неравенства равносильны.
Пример 2. Решите неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (1; 13 EMBED Equation.3 1415).
Декомпозиция простейших показательных и логарифмических неравенств приведена в таблице.
Данное неравенство
ОДЗ неравенства
Декомпозиция неравенства
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native