Методическое пособие по математике: Функциональный метод решения уравнений и неравенств

9525-702945
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
методическая разработка
Оренбург, 2016
УДК 372. 851
И 21
Рецензент:
В.И. Лихачева, учитель математики высшей квалификационной категории МОАУ «Лицей №1», г. Оренбург.
Составитель: Дуброва И.А. Функциональный метод решения уравнений и неравенств: методическая разработка. – Оренбург: Оренбургское ПКУ, 2017. –28 с.
В методическом пособии рассмотрено применение функционального метода при решении уравнений и неравенств. Теоретическая часть пособия содержит разделы об основных свойствах функции: области определения, множестве значений, монотонности, ограниченности, четности-нечетности и периодичности. Приведенные в пособии теоретические сведения и подборки упражнений помогут обучающимся систематизировать приемы функционального метода, а также расширить и углубить свои знания по данной теме, чтобы использовать их в практической деятельности при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам различного уровня. Пособие может быть использовано преподавателями при подготовке к уроку.
Работа выполнена в рамках реализации деятельности сетевой федеральной экспериментальной площадки по теме «Военно-профессиональная ориентация кадет в условиях интеграции урочной и внеурочной деятельности» на базе Оренбургского президентского кадетского училища (приказ Федерального института развития образования №100 от 17 июня 2015 года).
Рассмотрено на заседании предметно-методической кафедры биологии, химии, географии, ОБЖ ФГКОУ «Оренбургское президентское кадетское училище» (протокол № 4 от 16.11.2016).
© ФГКОУ «Оренбургское президентское кадетское училище», 2016
© Дуброва И.А., 2016
Содержание
Введение………………………………………………………………….….…....4
1. Общая теоретическая часть …………………………………………………..5
2.1. Использование области определения функции ………………………...5
2.2. Использование монотонности функции…………………………………7
2.3. Использование периодичности функции………………………………..9
2.4. Использование четности функции……………………………………...10
2.5. Использование области значений функции……………………………11
2.6. Использование ограниченности функции………………………….......12
3. Упражнения для самостоятельной работы………………………………….20
Заключение.………………………………………………………………………23Список использованных источников………………………………………......24
Введение

Школьный курс математики предполагает обучение учащихся различным методам решения уравнений и неравенств. Школьники начинают знакомиться с неравенствами и уравнениями еще в начальной школе.
Содержание тем «Уравнения» и «Неравенства» постепенно углубляется и расширяется. Так, например, процентное содержание неравенств от всего изучаемого материала в 10-11 классах составляет уже 35-40%.
Для решения большинства уравнений и неравенств, встречающихся на экзаменах, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь их решать не только с помощью стандартных приемов, предназначенных для вполне определенных типов уравнений и неравенств, но и теми «нестандартными» методами, о которых речь пойдет в этом методическом пособии. Одним из них является функциональный метод, основанный на использовании свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения (и решения неравенства), при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решений уравнений и неравенств.
Как правило, суть указанного метода – реализовать «иной взгляд» на задачу, что позволяет, не выходя за рамки школьной программы, существенно упростить решение некоторых задач, встречающихся в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. В пособии подробно показано, как применять хорошо известные утверждения и теоремы в ситуациях, где ими пользуются сравнительно редко.
Таким образом, при обучении хорошо успевающих учащихся нужно не только позаботиться об усвоении базовой составляющей курса алгебры и начал анализа, (усвоение изученных правил, формул, методов), но и о реализации одной из главных целей обучения математике – развитию мышления учащихся, в частности, математического мышления.
Действительно, учащиеся общеобразовательных учреждений традиционно знакомятся при изучении математики с графическим методом решения уравнений, неравенств и их систем. Однако в последние годы в содержании обучения математике появляются новые классы уравнений (неравенств) и новые функциональные методы их решения. Тем не менее, содержащиеся в КИМах ЕГЭ задания (так называемые комбинированные уравнения), решения которых требуют применения только функционального метода, вызывают у учащихся затруднения.
Данное пособие поможет школьникам, рассмотрев многочисленные примеры с подробными решениями, научиться преодолевать эти трудности и успешно подготовиться к ЕГЭ, а преподавателями методическое пособие может быть использовано, как дидактический материал на уроках при изучении данной темы.
1. Общая теоретическая часть
Пусть X и Y – два произвольных численных множества. Элементы этих множеств обозначим x и y соответственно и назовем переменными.
Определение. Числовой функцией, определенной на множестве X и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому элементу x из множества X сопоставляет одно и только одно значение y из множества Y. Имеет место запись: y = ƒ(x).
Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной. Говорят также, что переменная y является функцией от переменной x. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
С понятием функции связаны два способа решения уравнений и неравенств: графический и функциональный.
Мы подробно остановимся на функциональном методе решения уравнений и неравенств.
Определение. Решить уравнение (неравенство) – значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быт пустым, конечным или бесконечным.
Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях целесообразно использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как область определения, множество значений, монотонность, ограниченность, четность и периодичность.
2.1 Использование области определения функции
Определение. Областью определения функции y = ƒ(x) называется множество всех значений переменной x, при каждом из которых функция имеет смысл. (Обозначают D(f)).
Рассмотрим уравнение f(x)=g(x), где f(x) и g(x) – элементарные функции, определенные на множествах D1 и D2 (соответственно). Тогда областью допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения будет множество D, состоящее из тех значений переменной x, которые принадлежат обоим множествам D1 и D2, то есть является их пересечением. Заметим, что когда множество D пустое (D = ∅), то уравнение решений не имеет.
Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.
Пример 1. Решить уравнение: 3-x = log5( x – 3).
Решение. ОДЗ: 3-x≥0, x-3 >0 ⟺ x ≤3,x >3 ⇒ x∈∅.Установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть уравнение корней не имеет.
Ответ: решений нет.
Пример 2. Решить уравнение:x -1 + 1-x = x2 – 1.
Решение. ОДЗ: x-1≥0, 1- x≥0⇒ x=1.Таким образом, ОДЗ состоит из одного числа. Остается проверить, является ли 1 корнем данного уравнения.
1 -1 + 1-1 = 12 – 1,
0 = 0 – верное равенство.
Ответ: 1.
Пример 3. Решить уравнение:∣sinx∣ = 4- ∣sinx ∣ + tg x.
Решение. ОДЗ: ∣sinx∣≥0,-∣sinx∣ ≥0,x ≠ π2+ πn, n∈Z.⇒x=πk, k ∈Z.Подставляя эти значения x в исходное уравнение, получаем, что его левая и правая части равны 0, то есть все значения x=πk, k ∈Z являются его решениями.
Ответ: x=πk, k ∈Z.Пример 4. Решить неравенство:
41-x2 + 6x4-1 < 2x- log2(1+ x4).
Решение. ОДЗ: 1-x2≥0,x4-1≥0. ⇒ x=1,x= -1.Проверка. При x = 1 получаем верное числовое неравенство: 0< 1,
а при x = -1 неравенство получается ложным: 0 < - 0,5.
Ответ: 1.
Пример 5. Решить неравенство:x+3 + 49-x <3.
Решение. ОДЗ: x+3≥0,9-x≥ ⇒ x∈-3;9.Разобьем получившийся отрезок на два промежутка: -3≤x≤ 0 и 0<x≤9.Для x из первого промежутка x+3 + 49-x ≥3. Следовательно, исходное неравенство при -3≤x≤ 0 решений не имеет.
Пусть x∈(0;9, тогда x+3 + 49-x >3 для указанных значений x, и, значит, на этом промежутке неравенство также не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Замечание.
При решении уравнений необязательно находить ОДЗ. Иногда проще перейти к следствию и проверить найденные корни. При решении же неравенств бывает проще перейти к равносильной ему системе неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет решений, а тогда и вся система не имеет решения, либо знание решений одного из неравенств, входящих в эту систему, помогает решить всю систему.
Пример 6. Решить неравенство:
log2(2x+1- x2)>log2(2x-1+1-x)+1.Решение. Очевидно, что отыскание ОДЗ неравенства вовсе непростая задача. Заметим также, что данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:
2x +1- x2>0,2x-1+1-x>0,2x +1- x2>22x-1+1-x.Упростив третье неравенство этой системы, получим: x2 – 2x + 1<0, то есть (x - 1)2<0. Получившееся неравенство решений не имеет, следовательно, и вся система, но и, разумеется, исходное неравенство тоже решений не имеет.
Ответ: решений нет.
2.2 Использование монотонности функции
Определение. Функция называется монотонной на некотором числовом промежутке, если она является только возрастающей или только убывающей на этом промежутке.
Определение. Функция ƒ(x) называется возрастающей (убывающей) на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента x∈ Х соответствует большее (меньшее) значение функции ƒ(x).
Рассмотрим несколько свойств монотонных функций, используемых для решения уравнений и неравенств.
Теорема 1. Если функция ƒ(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение ƒ(x)=С (где С – произвольная постоянная) имеет не более одного корня на промежутке Х.
Теорема 2. Если функция ƒ(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(g(x)) = f(h(x)) равносильно на промежутке Х уравнению g(x) = h(x).
Теорема 3. Если функция ƒ(x) возрастает на промежутке Х, а g(x) убывает на этом же промежутке, то уравнение g(x) = h(x) на промежутке Х имеет не более одного корня.
Теорема 4. Если функция ƒ(x) возрастает на промежутке Х, то уравнение f(f(x))=х равносильно уравнению f(x))=х на этом промежутке Х.
Теорема 5. Если функция ƒ(x) возрастает (убывает) на промежутке Х, то неравенство f(g(x)) < f(h(x)) равносильно на промежутке Х неравенству g(x)<h(x) (g(x)>h(x)).
Отметим, что в качестве промежутка Х могут быть бесконечный промежуток (-∞;+∞) - числовая прямая, полу бесконечные промежутки (b;+ ∞), (-∞;b), b;+ ∞), (-∞;b- лучи, отрезки a;b; интервалы a;bи полуинтервалы (a;b, a;b).
Пример 1. Решить уравнение: 3x+4x = 5x.Решение. Разделим обе части уравнения на 5x (заметим, что 5x>0):
35х + 45х = 1.
Левая часть получившегося уравнения является убывающей функцией на всей числовой прямой. Следовательно, она может принимать значение 1 не более, чем в одной точке (Теорема 1). Подбором находим значение переменной х = 2.
Ответ: 2.
Пример 2. Решить уравнение: х · 2х2+2х+3=64.Решение. Заметим, что 64 >0 и 2х2+2х+3>0. Следовательно, х >0. Тогда функция y = х · 2х2+2х+3 возрастает на множестве положительных чисел, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих функций. Значит, каждое свое значение на этом луче она принимает ровно в одной точке. Нетрудно заметить, что х=1 является решением данного уравнения, следовательно, в силу Теоремы 1, это его единственное решение.
Ответ: 1.
Пример 3. Решить уравнение: 1+x = x – 1.
Решение. Перепишем уравнение в виде: 1 + 1+x = x
Рассмотрим функцию ƒ(x) = 1+x. Она монотонно возрастает. Исходное уравнение имеет вид: ƒ (ƒ(x)) = x, тогда его можно заменить на равносильное уравнение ƒ(x) = x (Теорема 4), то есть 1+x= x. Решив получившееся уравнение, находим единственный, удовлетворяющий ОДЗ, корень: 3+52.
Ответ: 3+52.
Пример 4. Решить уравнение: arcsin x = π3 ⋅(1-x).
Решение. 1. Функция ƒ(x)=arcsinx возрастает на отрезке -1;1, а функция g(x) = π3 ⋅(1-x) убывает на этом же отрезке.
2. Подбором находим, что х = 0,5.
3. В силу справедливости теоремы 3 делаем вывод, что найденное значение является единственным корнем уравнения.
Ответ: 0,5.
Пример 5. Решить неравенство: log2(8-x) ≤ 3x – 10.
Решение. 1. ОДЗ: х < 8.
2. При х = 4 неравенство обращается в равенство.
3. Так как левая часть – убывающая функция, а правая – возрастающая, то неравенству удовлетворяют все значения х ≥ 4.
4. Учитывая ОДЗ, имеем: 4 ≤ х < 8.
Ответ: х∈ 4;8).Рассмотрим еще один интересный пример.
Пример 6. Решить уравнение: 42x-1= 14x2 + 34.
Решение. ОДЗ: х∈ 0,5; ∞). Нетрудно убедиться, что х = 1 – корень данного уравнения. Но как доказать, что он единственный, если обе функции (и в левой, и в правой части равенства) возрастают на луче 0,5; ∞)? Поступим следующим образом. Найдем производные функций и вычислим их значения при х = 1 (в точке пересечения графиков этих функций):
y1' = 14(2x-1)-34 * 2; y1'(1) = 12;
y2' = x2; y2'(1) = 12Так как производные обеих функций равны при х = 1, то сами функции имеют общую касательную в точке (1; 1). Заметим также, что первая функция выпукла вверх, а вторая функция выпукла вниз. Следовательно, их графики расположены по разные стороны от общей касательной, а это и означает, что исходное уравнение имеет только один корень.
Ответ: 1.
2.3 Использование периодичности функции
Определение. Функция y = ƒ(x) называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что для любого значения x, взятого из области определения функции, значения x + Т и x – Т также принадлежат области определения и выполняется равенство ƒ(x) = ƒ(x - Т) = ƒ(x + Т). Число Т называется периодом функции. Всякая периодическая функция имеет бесконечное количества периодов. При решении уравнений и неравенств будем использовать наименьший положительный период.
Если функция ƒ(x) – периодическая, то решение уравнения ƒ(x) = 0 или неравенств ƒ(x)>0, ƒx<0 будем находить на промежутке, по длине равном периоду функции. А в ответ, разумеется, записывают общее решение. Если периодическая функция обладает еще и четностью, то решение уравнения или неравенства достаточно найти на промежутке, по длине равном половине периода.
Пример. Решить неравенство: cosxcos3x < cos5xcos7x.Решение. cosxcos3x- cos5xcos7x <0 . Применив дважды формулу произведения косинусов, получим: cos4x - cos12x <0. Разность косинусов заменим произведением синусов (по формуле): 2sin8xsin4x <0.Пусть ƒ(x) = cos4x - cos12x= 2sin8xsin4x.Напомним, что Т = 2πНОД(k1; k2), то есть Т = π2. Следовательно, решение неравенства достаточно найти на промежутке, длиной π2. Например, на отрезке-π4; π4. Но данная функция, к тому же, еще и четная. Поэтому решение можно показать на отрезке 0; π4.
Решим неравенство 2sin8xsin4x<0 методом интервалов.
ƒ(x)=0 при x=0 или x= π8. Эти точки разбивают отрезок 0; π4 на два интервала знакопостоянства:
0___+____π8___-___π4
Неравенство выполняется для x∈ π8; π4. Но, в силу четности функции, оно выполняется и для x∈ (- π4; -π8 ). Учитывая периодичность функции запишем общее решение неравенства
- π4+πk2 < x <-π8+ πk2 ; π8+ πk2 < x <π4+πk2, k ∈Z.2.4 Использование четности или нечетности функций
Определение. Функция y = ƒ(x) называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение -x также принадлежит области определения и выполняется равенство ƒ(-x) = ƒ(x).
Функция y = ƒ(x) называется нечетной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение -x также принадлежит области определения и выполняется равенство ƒ(-x) = - ƒ(x).
Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций являются четными функциями.
Теорема 2. Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.
1. Чтобы решить уравнение F(x)=0, где F(x) – четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Для нечетной функции x=0 будет являться корнем, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение x=0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.
2. Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) – четная функция, достаточно найти решения для x≥0 (или x≤0). Таким образом, если решением данного неравенства является промежуток (x1, x2), где x1, x2 – числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток ( x2,  x1).
3. Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), F(x) – нечетная функция, достаточно найти его решения для x>0 (или x<0). Если нам известны промежутки знакопостоянства функции F(x) для x>0 (или x<0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x<0 (x>0).
Пример 1. Решить уравнение: 8∣х∣ = 2∣х+2∣ + ∣х-2∣.
Решение. Заметим, что в обеих частях уравнения имеем четные функции. Поэтому достаточно найти решение для х≥0. Проверкой устанавливаем, что х=0 не является корнем данного уравнения. Рассмотрим два промежутка: (0;2 и (2; +∞).
На промежутке (0; 2 имеем:8х = 2х+2-х+2, х = 43.
На промежутке 2; +∞ имеем:8х = 2х+2+х-2, х = 0.
Но мы ранее выяснили, что х=0 не является корнем уравнения, следовательно, для x>0 единственный корень – это дробь 43. В силу четности, дробь - 43 также является корнем уравнения.
Ответ: - 43; 43.
2.5 Использование области значений функции
Определение. Областью значений функции y = ƒ(x) называется множество значений переменной y, соответствующих всем допустимым значениям переменной х.
Рассмотрим уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x) – элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Обозначим Е1 и Е2 (соответственно) области значений этих функций. Если x1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1) = g(x1), где f(x1) – значение функции f(x), а g(x1) – значение функции g(x) при x = x1. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f(x) и g(x) имеют общие элементы. Если же таких общих элементов множества Е1 и Е2 не содержат, то уравнение решений не имеет.
Пример 1. Решить уравнение: x + x+9= -2.Решение. Так как функция f(x)= x + x+9 принимает только неотрицательные значения (то есть f(x)≠ -2 ), то данное уравнение решений не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример 2. Решить уравнение: (43)x = - 2x2 + 6x – 9.
Решение. Показательная функция f(x)= (43)x принимает только положительные значения, квадратичная функция g(x)= - 2x2 + 6x – 9 – только отрицательные значения. Множества значений этих функций не имеют общих элементов, и, следовательно, уравнение решений не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример 3. Решить неравенство: 1-x1+x < 2x.
Решение. Пусть f(x)= 1- 2x1+x , а g(x)= 2x.
ОДЗ: х ≠ - 1.
Разобьем ОДЗ на три множества - ∞<x<-1, -1<x≤0, 0<x<+∞ и рассмотрим решение данного неравенства на каждом из этих промежутков.
-∞<x<-1. Для каждого из этих x имеем: f(x)<0 , а g(x)с0. Следовательно, все эти значения x являются решениями исходного неравенства.
-1<x≤0. Для каждого из этих x имеем: f(x)≤1 , а g(x)≥1. Следовательно, ни одно значение x из данного промежутка не является решением исходного неравенства.
0<x<+∞. Для каждого из этих x имеем: f(x)<1 , а g(x)>1. Следовательно, все эти значения x являются решениями исходного неравенства.
Ответ: -∞<x<-1; 0<x<+∞.
2.6 Использование ограниченности функций
Определение. Функция f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство f(x) ≤ М.
Определение. Функция f(x) называется ограниченной снизу, если существует такое число М, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство f(x) ≥ М.
Определение. Функция, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.
Заметим, что при решении уравнений и неравенств, свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.
Например, если для всех х из некоторого множества Х справедливы неравенства ƒ(x) > M и g(x) < M, где М некоторое число, то на множестве Х уравнение f(x) = g(x) и неравенство f(x) < g(x) решений не имеют.
Метод, основанный на свойстве ограниченности функций, получил название – метод «мажорант».
Определение. Мажорантой данной функции f(x) на множестве Х называется такое число М, что либо f(x)≥М, либо f(x)≤М для всех x∈ Х.
Термин «мажоранта» происходит от французского слова «majorer» - объявлять большим. Мажоранты многих элементарных функций известны. Зная множество значений данной функции, нетрудно указать и ее мажоранты.
Приведем примеры функций, имеющих мажоранту.
Пример 1. Тригонометрические функции: f(x)=sinx, f(x)=cosx.
Так как -1 ≤ sinx ≤ 1, то М= -1 или М=1.
2603557785

-5772150640080
Пример 2. Квадратичная функция: f(x)=ax2 + bx + c,
(m; n) – координаты вершины параболы n= f(m).
Мажорантой квадратичной функции является ордината вершины, то есть М= n.
3319145153819left14007


М= - 4 М=7
280035010795Пример 3. f(x)=∣ x ∣.
По определению модуля числа ∣ x ∣ ≥ 0.
Следовательно, М=0.
Пример 4. f(x)=x.
По определению арифметического квадратного корня f(x)≥0.
-196215287020Следовательно, М=0.
Мажоранты некоторых функций можно найти, используя следующие неравенства:
a + 1a ≥ 2, при a > 0 (a + 1a ≤ - 2, при a < 0), причем, равенство достигается только при a = 1 (a = - 1).
a+b2 ≥ab, a ≥ 0, b ≥ 0, причем, равенство достигается только при a = b.
∣a· sinkx+b·coskx∣ ≤ a2+ b2.
В более сложных случаях для того, чтобы определить мажоранту функции, нужно провести исследование функции на нахождение наибольшего или наименьшего ее значений на заданном промежутке с помощью производной.
Основная идея метода мажорант может быть сформулирована в виде следующих теорем:
Теорема 1. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определенные на множестве Х, и пусть f(x) ограничена на этом множестве числом М сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом М, но снизу. Тогда уравнение равносильно системе двух уравнений: fx=М,gx=М.Теорема 2. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определенные на множестве Х, и пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами М1 и М2 соответственно.
Тогда уравнение f(x) + g(x) = М1 + М2 равносильно системе уравнений: fx=М1,gx= М2.Теорема 3. Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определенные на множестве Х, и пусть f(x) и g(x) ограничены сверху (или снизу) на этом множестве числами М1 и М2 соответственно.
Тогда уравнение f(x) · g(x) = М1 · М2 равносильно системе уравнений (при условии, что М1 > 0 и М2>0): fx=М1,gx= М2.Как увидеть наличие мажоранты?
Признаки присутствия мажоранты в задаче:
смешанное уравнение (или неравенство), т.е. в задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов.
сложный, трехэтажный и пугающий вид, большие числа и коэффициенты.
Для нахождения мажоранты необходимы:
здравый смысл и нестандартный взгляд на вещи;
знание свойств функций (ограниченности, области определения и множества значений);
умение исследовать функции на наличие наибольшего и наименьшего значений;
умение преобразовывать функции, так, чтобы было проще вытащить мажоранту;
знать и уметь применять некоторые нестандартные неравенства.

Значит, для того чтобы найти мажоранту нужно выполнить одно или несколько действий:
а) найти D(f) функции;
б) найти E(f) функции;
в) исследовать функцию на экстремум;
г) если функция определена на отрезке, найти наибольшее и наименьшее значения;
д) применить известные опорные неравенства.

Алгоритм решения уравнений и неравенств методом мажорант
Оценить левую часть: f(x).
Оценить правую часть: g(x).
Если f(x) ≥ М, и при этом g(x) ≤ М (или f(x) ≤ М, а g(x) ≥ М ), то составить систему уравнений fx= М, gx= М.Решить одно их уравнений системы.
Выполнить проверку, подставив найденные корни во второе уравнение системы.
Пример 1. Решить уравнение: 8sinx = x2 - 10x + 33.
Решение. Пусть f(x)= x2 - 10x + 33, а g(x)= 8sinx .
Найдём координаты вершины параболы f(x)= x2 - 10x + 33. Координаты вершины: (5;8).
Тогда Е (f) = 8; +∞), причём значение 8 данная функция принимает только один раз при х=5.
Е (g) = [-8,8]. Значит, если графики этих функций имеют общую точку, то её ордината может быть только 8.
Данное уравнение равносильно системе:
8sinx=8;x2-10x+33=8 ⟺ sinx=1;x2 -10x+25=0.Второе уравнение системы имеет единственный корень 5, но выполнив проверку первого уравнения, получаем неверное равенство. Следовательно, система, а значит, и исходное уравнение, не имеют решений.
Ответ: решений нет.

Пример 2.
Решить уравнение: 3πarccos⁡(x-1) = 3 + x4-4x3+4x2.
Решение. По определению, 0 ≤ arccosx-1≤π для всех допустимых значений x, следовательно, 0 ≤ 3πarccosx-1≤ 3. Правая же часть данного уравнения: 3 + x4-4x3+4x2 ≥ 3. Равенство достигается, если выполняются одновременно 2 условия, то есть 3πarccosx-1= 3;3 + x4-4x3+4x2= 3. Решив первое уравнение, получим единственный корень x=0. Подставив найденное значение переменной x во второе уравнение, убеждаемся, что оно обращается в верное числовое равенство. Таким образом, решением системы, а, следовательно, и исходного уравнения является x = 0.
Ответ: 0.
Пример 3. Решить уравнение:
3 + (log12x2-x+1)4 = 3·∣cos((x-1)·cos2x)∣.
Решение. Нетрудно заметить, что левая часть равенства не меньше 3, а правая ее часть не больше 3 для любых x. Равенство же достигается, если 3 + log12x2-x+1=3;3·∣cos((x-1)·cos2x)∣ =3.Решим первое уравнение системы: x2-x+1 = 1 ⇒ [x=0,x=1.Проверим, какие из найденных значений x обращают второе уравнение системы в верное числовое равенство:
Если x=0, то cos(-1)≠1, если x=1, то cos0 = 1.
Следовательно, решением системы, а значит и исходного уравнения, является x=1.Ответ: 1.
Пример 4. Решить уравнение: x+4 + -2-x = x2+6x+11.Решение. Пусть gx= x2+6x+11= (x+3)2 + 2. Очевидно, что gx ≥ 2. Рассмотрим функцию f(x) = x+4 + -2-x.
Обозначим x+4 = a, -2-x = b и воспользуемся неравенством a+b2≤a2+b22.
Так как f(x)2≤ 1, то f(x) ≤ 2. Таким образом, f(x) ≤ 2, а gx ≥ 2, следовательно, данное уравнение равносильно системе:
x+4 + -2-x=2, x2+6x+11=2.Решив второе уравнение системы, получим x=-3. Найденный корень удовлетворяет и первому уравнению системы.
Ответ: -3.Пример 5. Решить неравенство: log3x-logx13 ≥ 2.
Решение. Преобразуем неравенство к виду log3x+logx3 ≥2 и воспользуемся неравенством: a + 1a ≥ 2, если a > 0. Следовательно, log3x>0 ⇒x>1.Ответ: (1;+∞).
Пример 6.
Решить неравенство: sinx-1+1sin(x-1)+ 5x-x2-4 > 2.
Решение. ОДЗ: (1; 4].
При любом x из области определения sin(x-1) > 0, следовательно, sinx-1+1sin(x-1) ≥ 2 (см. пример 4). Так как 5x-x2-4≥0, то sinx-1+1sin(x-1)+ 5x-x2-4 > 2 на всей области определения.
Ответ: (1; 4].
Пример 7.
Решить неравенство: (-x2-8x-15)·log32cos2πx+1 ≥ 1.
Решение. Функция f(x)=-x2-8x-15 имеет наибольшее значение, равное 1 при x=-4.
Учитывая, что функция gx=log32cos2πx+1 возрастает на отрезке [1;3] и 1≤2cos2πx+1≤3.
Делаем вывод, что 0 ≤ log32cos2πx+1≤1.Таким образом, (x)· gx ≤1.
Следовательно, исходное неравенство равносильно системе уравнений -x2-8x-15=1,log32cos2πx+1=1.Корнем первого уравнения является x=-4. Проверкой убеждаемся, что при найденном значении x второе уравнение обращается в верное числовое равенство, следовательно, исходное неравенство имеет единственное решение x=-4.Ответ: =-4.Пример 8. Решить неравенство: 16-(5x+2)2 ≥4 + cos215πx4.Решение. Оценим правую часть. Так как 0 ≤ cos215πx4 ≤1,
то 4 ≤ 4 + cos215πx4 ≤ 5.
Для левой части последовательно имеем:
(5x+2)2≥0, - (5x+2)2≤0,
16 - (5x+2)2 ≤16, 16-5x+22 ≤ 4 при всех допустимых значениях x.
Таким образом, исходное неравенство равносильно системе уравнений:
16-5x+22=4, 4 + cos215πx4 =4.Первое уравнение системы имеет один корень x = - 0,4, который удовлетворяет и второму уравнению.
Ответ: - 0,4.
Упражнения для самостоятельного решения
К § 2.1. (ОДЗ)
Решите уравнения:
1-x2 + 1+ x2 + x2 + 2x-3= 2;
(x2-9x+14-2)log0,5x+ 2-xx-7 = 5 – 6x;
3-x2+x+x2 - x-6= log5(4-x);
log7x-53-x + log3x-3∣ = x-43-x + 9x-x2-20;
arcsin (x2-2x+2) = πx2;
x - x+ 18+2x = 1
Ответы: 1. 1; 2. 2; 3. 3; 4. 4; 5. 1. 6. корней нет.
Решите неравенства:
7(3x-1)2 + log2x2·log2x2+16log2x ≤ 7 – 21x;
xx2-9+x>4; lg x + x2-1 ≥ 0;
x + 2x+ x-3>10; x-1 + tgπx4 + 4-x2 > 1;
(x2-5x+6 +1)·log32x5 + 1x·10x-2x2-12 ≤ 0.
Ответы: 1. 0,0625; 2. (3; +∞); 3. 1; +∞); 4. 3; +∞); 5. 1; 2); 6. 2.
К § 2.2. (монотонность)
Решите уравнения:
(35)x + 75 = 2x;x4 +5x-12x=7;log13x=x-3;x2+ ∣x∣+ x+2x=30;arcsinx= π3 · (1 - x);
log2∣x-1∣+1)+ 3x-12=2;log6-xlog2x=log7-xlog22x.
Ответы: 1. 1; 2. 2; 3. 3; 4. 4; 5. 1. 6. 0; 2. 7. 4.
Решите неравенства:
2x ≥ 11 – x;
x2+x-2 + 3x-2 < 4;
log0,5(2x - 1) ≥ x – 1;
log0,2x ≥x-1;ln (x - 2) ≥ x – 3;
5log5(x+1)< 0,1x;
82-x2 > x3+x-1.
Ответы: 1. 3; +∞); 2. 1; 2); 3. (0; 1; 4. (0; 1; 5. 3; 6. (-1; 0);
7. - 2 ≤ x <1.
К § 2.3. (периодичность)
Решите неравенства:
sin2x+ sinx > 0;
sin2x+sin22x-sin23x>0;cos3x sinx+2cos2(π4 – x) > 1.
Ответы: 1. (-π + 2πn; - 2π3+ 2πn), (2πn; 2π3+ 2πn), n∈Z.
2. (π6+ πn; π2+ πn), (π2+ πn; 5π6+ πn), n∈Z.
3. (πn; π3+ πn), (π2+ πn; 2π3+ πn), n∈Z.
К § 2.4. (четность, нечетность)
Решите уравнения:
x2 + 5∣ x ∣ - 24 = 0;
x ∣ x ∣ = 3x;
x2+5 + 2x2+1=6;3∣x∣ = 4 – x2;lg x2 = 1 - x2.Ответы: 1. -3; 3.
2. -1; 0; 1.
3. -2; 2.
4. -1; 1.
5. -1; 1.
К § 2.5. (Е(у))
Решите уравнения:
x + x+9 = 2;
x2-1 + 2x2-x-1 = 0;
∣x2-2x∣ + ∣lg(3 x - 7)∣ = 0;
∣2x2-3x-5∣ + 72x2-3x-5 = 0;
sin2πx+log22x2+x·log22x2+x=0. Ответы: 1. Корней нет. 2. 1. 3. Корней нет. 4. Корней нет. 5. – 1.
Решите неравенства:
x2-4 + x2-10x+21 ≤ 0;
lgx+1·lgx+1+∣5x - x2∣ ≤ 0;
ln(x2-3x-9)· ln(x2-3x-9)+ x3-8x-8 ≤ 0;
(x2+7x-8)2 + log3(3x2-2x)·log33x2-2x ≤ 0;
(8x2+10x+7)·lg2(x+1) < 0.
Ответы: 1. Решений нет. 2. 0. 3. - 2. 4. 1. 5. Решений нет.
К § 2.6. (ограниченность и мажоранта)
Решите уравнения:
sinx+ sin5x=2;
1πarcsin-x=12+∣x4+2x3+x2∣;
cosπx + x2-6x+10=0;
log3(43cosπx+53)+8x-2x2-7 = 2;
2 + log22(2 + ∣(x - 2)(x - 3)∣) = 3(5=4x-x2)/9.
Ответы: 1. π2+2πk, k ∈Z. 2. - 1. 3. 3. 4. 2. 5. 2.
Решите неравенства:
log2(4x-x2-2)2∣x-2∣ ≥1,
cos4x·sinx≥1;
cosx+cos3x ≥2;
31-x2·log13(x2+127) ≥ 9;
log0,54-x2-4x-cosπx≤-4.Ответы: 1. 2. 2. π2+2πk, k ∈Z 3. 2πk, k ∈Z . 4. 0. 5. - 2.
Заключение
Анализ методической и математической литературы показывает, что метод решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций используется в школьном курсе математики редко, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются уравнения и неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций. Функциональный метод позволяет научить учащихся анализировать искомое множество решений уравнений и неравенств и без затруднений находить это множество решений. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения (неравенства), при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решений уравнений и неравенств.
В пособии подробно рассматривается метод мажорант и примеры его практического применения. Многие известные нам функции имеют мажоранты: тригонометрические функции, квадратичная функция, некоторые дробно-рациональные функции. Если мажоранта функции не задана явно, мы можем найти ее, исследуя функцию с помощью производной, или применяя некоторые «полезные» свойства, неравенства. Чтобы найти мажоранту функции нужно найти ее наибольшее или наименьшее значение на промежутке. Умение оценивать левую и правую части, входящих в уравнения и неравенства, позволяет успешно решать нестандартные задачи и задачи повышенной сложности.
Целью данного пособия является систематизация свойств функций при решении уравнений и неравенств. Приведенные в пособии теоретические сведения и подборки заданий помогут обучающимся использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам, а преподавателям помогут успешно подготовиться к уроку.
Список использованных источников
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. – Москва. Брянск, 2013.
Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия. Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. институтов. – 2-е издание, переработанное и дополненное – М.: Просвещение, 1991.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Тригонометрия. Задачник к школьному курсу. - М.: АСТ- ПРЕСС: Магистр-S, 1998.
Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. – М: Изд-во Факториал, 1997. – 219с.
Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. – М: МЦНМО, 1997.
Томашевич Я.И. О нестандартных приемах решения неравенств// Математика в школе, 1969, №2.
Чулков П.В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. – М: Педагогический университет «Первое сентября», 2010.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач (11 класс). – М: Просвещение, 1991.
Шунда Н.Н. Об использовании свойств функции при решении уравнений и неравенств// Математика в школе, 1970, №3.