Логико-математический анализ содержания темы «Делимость натуральных чисел» (6 класс)

Логико-математический анализ содержания
темы «Делимость натуральных чисел»
Учебник: Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 288 с.: ил.
Тема: Делимость чисел (13ч, §1, С. 4-24)
В курсе математики 5–6 класса можно выделить следующие основные содержательные линии: арифметика, элементы алгебры, вероятность и статистика, наглядная геометрия. Это во многом определяет и построение уроков в рамках каждой отдельной темы.
Содержание линии «Арифметика» служит фундаментом для дальнейшего изучения учащимся математики и смежных дисциплин, способствует развитию не только вычислительных навыков, но и логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, способствует развитию умений планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение различных задач, а также приобретению практических навыков, необходимых в повседневной жизни.1-20, 22, 25-37, 39, 41,42, 46, 47, 50, 5556-58, 60-73, 75-83, 85-89, 92-106, 109-113, 115-123, 125, 128, 129, 131-135, 138, 139, 141-143, 146, 148-155, 157-162, 165-168, 170-172, 174-177, 181-183, 185-186, 188-190, 193, 195-200, 202, 204, 205, 207-209
Содержание линии «Элементы алгебры» нацелено на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Систематизирует знания о математическом языке, показывая применение букв для обозначения чисел и записи свойств арифметических действий, а также для нахождения неизвестных компонентов арифметических действий. 21, 38, 40, 43- 45, 48, 49, 51, 52,54,59, 74, 84, 90, 91, 98, 124, 126, 130, 144, 145, 147, 169, 178, 179, 180, 187, 192, 201, 203, 206, 210Содержание линии «Наглядная геометрия» способствует приобретению конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формированию языка описания объектов окружающего мира, развитию пространственного воображения и интуиции, математической культуры, эстетическому воспитанию учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства. 107, 127, 136, 140, 156, 163, 164, 173, 191
Линия Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей – обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования у учащегося функциональной грамотности – умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты.23, 24, 53,108, 114, 137, 184, 194
Параграф 1 первой главы учебника «Математика 6» « Делимость чисел» хорошо готовит к изучению дробей.
В этом параграфе даётся обобщение и систематизация математического материала 5-го класса, но на более высоком уровне. Повторяются понятия множества натуральных, целых и дробных чисел, определение чётного, нечётного числа, обыкновенной дроби и действия над обыкновенными дробями. Для начала изучения темы учащиеся должны свободно владеть этими понятиями (в рамках изученного в 5 классе). Знания и умения, усвоенные при изучении этого параграфа являются базовыми для прохождения всех последующих тем, связанных с действиями с обыкновенными дробями, имеющими разные знаменатели:
$2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
п.8 Основное свойство дроби
п.9 Сокращение дробей
п.10 Приведение дробей к общему знаменателю
п.11 Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
п.12 Сложение и вычитание смешанных чисел
$3Умножение и деление обыкновенных дробей.
п.13 Умножение дробей
п.14 Нахождение дроби от числа
п.15. Применение распределительного свойства умножения
п.16 Взаимно обратные числа
п.17 Деление
п.18 Нахождение числа по его дроби
п.19 Дробные выражения
Главная цель — формирование осмысленных действий, доказательность каждого шага в решении. Особенно важно, что учебник содержит образцы рассуждений, обучающие более рациональному ходу рассуждения и получения ответа.
В ходе изучения этой главы учащиеся:
- знакомятся с понятиями «делитель» и «кратное» натурального числа, значит, прежде, чем приступить к изучению темы, необходимо будет актуализировать известное с 5 класса понятие «делитель» и понятие кратности.
- изучают признаки делимости чисел на 2, на 5, на 3 и на 9, получают возможность задуматься о комбинировании изученных ими признаков и свойств делимости. В учебнике данные признаки выводятся с опорой на частные примеры, этот подход можно использовать в менее подготовленных классах; Признаки вводятся впервые и в учебнике даются в готовом виде, без приведения доказательств. Однако, эти темы хорошо подходят для тренировки умения выдвигать гипотезы, подбирать аргументы для их подтверждения или опровержения, строить доказательство и контролировать истинность полученного результата.
- знакомятся с определениями простого и составного чисел, используя признаки делимости, доказывают, что число является составным, формируют способность к распознаванию простых и составных чисел;
- учатся выполнять разложение чисел на простые множители. В этом пункте происходит развитие заложенного еще в 5 классе умения составлять алгоритм действия, выполнять алгоритм и проверять с его помощью истинность полученного результата.
- учатся находить общие делители чисел, рассматривают примеры нахождения наибольшего общего делителя; формируют способность построения алгоритма нахождения наибольшего общего делителя, знакомятся с определением взаимно простых чисел;
- формируют способность построения алгоритма нахождения наименьшего общего кратного чисел с помощью разложения на простые множители, находят наименьшее общее кратное взаимно простых чисел;
- знакомятся с историческими сведениями по данной теме, применяют способ Эратосфена для отыскания простых чисел, решают занимательные задачи по теме.
- Решают геометрические задачи, связанные с понятием кратности, делителя, простого и натурального числа, на развитие пространственного воображения.
- Выполняют перебор всех возможных вариантов для пересчета объектов или комбинаций, выделяют комбинации, отвечающие заданным условиям. Вычисляют факториалы.
- решают текстовые задачи арифметическими способами.
Изучение этой главы даёт ещё одну возможность повысить вычислительную культуру учащихся и завершить изучение натуральных чисел, начатое уже в V классе.
Задачный материал содержит упражнения для работы в классе, материал для повторения, предназначенный для проведения самостоятельных работ и задания для выполнения дома. По уровню сложности можно выделить задания базового уровня, повышенной сложности и задачи для поисковой и исследовательской работы. Представлены вопросы теоретического характера.
Теоретический материал темы можно условно разделить на три блока.
Теоретические понятия, связанные с понятием числа, или с операциями, производимыми над одним числом
Теоретические понятия, связанные с операциями над группами чисел
Теоретические понятия или практические действия, результатом усвоения которых являются алгоритмы работы с числом и группами чисел
Опорными понятиеми являются понятия натурального числа и делимости, известные учащимся с 5 класса. Их легко навести на вывод о том, что есть числа, которые делятся только на 1 и на самих себя, а есть числа, которые имеют несколько делителей. Поэтому необходимость в выведении понятий простых и составных чисел возникает раньше, чем предусмотрено в учебнике.
Далее, работая с составными числами, изучаются признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9 и формулируется определение понятие множителя.
Понятия натуральное число, делимость чисел, простое число, составное число, множитель относятся к первой группе.
Знания и навыки, получаемые при изучении признаков делимости на определенное число, связаны не с выводом теоретического понятия. Это, скорее, операциональная составляющая знания, позволяющая получить алгоритм, который будет активно использоваться на последующих уроках. Поэтому дидактическую единицу признаки делимости отнесем к 3-ей группе. К ней же относятся и умение раскладывать числа на простые множители.
Все эти знания являются базой для работы с группами чисел и выведения таких понятий, как взаимно простые числа, НОД и НОК.
Эти понятия относятся ко второй группе и являются фундаментом для изучения целого блока материала, связанного с действиями над обыкновенными дробями с разными знаменателями.
Понятия темы выводятся в учебнике методом индукции: от частного к общему, через иллюстрации посредством частных примеров. Для более глубокого понимания можно стимулировать детей находить доказательства истинности понятий, самостоятельно строить алгоритмы.
Задачи и цели изучения темы «Делимость чисел»
Основная учебная задача изучения темы состоит в том, что учащиеся должны научиться давать определения понятиям, доказывать их истинность, выводить алгоритм математического действия и уметь с его помощью выполнять и контролировать правильность выполнения действия. Эта задача согласно со структурой теоретического материала разбивается на две:
1) Определение понятия множители и получение алгоритма разложения числа на простые множители.
2) Определение понятий НОД и НОК, выведение алгоритмов нахождения НОД и НОК.
По окончании изучения темы:
Ученик воспроизводит
Формулировки определений делителя и кратного, простого и составного числа, множителя;
Формулировки определений понятий НОД и НОК
Признаки делимости.
Ученик понимает:
Как доказывать и опровергать с помощью контрпримеров утверждения о делимости чисел.
Принципы доказательств делимости на 2, 5, 10, 3, 9
Принцип построения алгоритма разложения чисел на простые множители
Принципы построения алгоритмов нахождения НОД и НОК
Ученик умеет:
Классифицировать натуральные числа (четные и нечетные, по кратности 3 и т. п.).
Исследовать простейшие числовые закономерности, проводить числовые эксперименты (в том числе с использованием калькулятора, компьютера)
Производить разложение чисел на простые множители
Находить НОД и НОК
Верно использовать в речи термины: делитель, кратное, наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, простое число, составное число, четное число, нечетное число, взаимно простые числа, числа-близнецы, разложение числа на простые множители.

Составные числа
Делители и кратные
Делимость натуральных числе
Множители
Простые числа
Схема изучения темы
Разложение на простые множители
Алгоритмы выведения НОД и НОК
Признаки делимости
На 2, 5, 10, 3, 9

НОД
НОК


Тематическое планирование по теме «Делимость чисел» (13ч, §1, С. 4-24)
Учебник: Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 288 с.: ил.
№ урока Тема урока Тип урока Цель урока Метод изучения урока
Делители и кратные Урок изучения нового В совместной деятельности с учащимися ввести понятия Делитель натурального числа и Кратное натурального числа Постановка УЗ на оснаве соотнесения известных и неизвестных знаний Эвристическая беседа, репродуктивный, частично-поисковый
Простые и составные числа Комбинированный урок. Основываясь на имеющихся знаниях, получить определения простых и составных чисел Эвристическая беседа, репродуктивный, частично-поисковый.
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2, 100 и 1000 Комбинированный урок. В совместной деятельности с учащимися сформулировать Признаки делимости на 10, 5 и на 2. Признаки делимости на 100 и на 1000 Репродуктивный, частично-поисковые, УДЕ
Признаки делимости на 9 и на 3 Комбинированный урок. В совместной деятельности с учащимися сформулировать признаки делимости на 3 и на 9 Эвристическая беседа, Репродуктивный, частично-поисковый, УДЕ
Решение задач по теме «Признаки делимости» Урок усвоения теории В совместной деятельности с учащимися закрепить новые знания и умения по теме признаки делимости, отработать систему упражнений, практических и творческих заданий по данной теме, на прямое применение изученных свойств. Эвристическая беседа, репродуктивный, частично-поисковый
Разложение чисел на простые множители: выведение алгоритма Комбинированный урок. Основываясь на имеющихся знаниях, составить совместно с детьми алгоритм разложения натуральных чисел на простые множители. Эвристическая беседа, репродуктивный, частично-поисковый.
Разложение на простые множители: решение примеров и задач Урок усвоения теории В совместной деятельности с учащимися закрепить новые знания и умения по теме Разложение натуральных чисел на множители. Исследование совместно с учащимися простейших числовых закономерностей, проведение числовых экспериментов Эвристическая беседа, репродуктивный, частично-поисковый
Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа Комбинированный урок. В совместной деятельности с учащимися сформулировать определения понятий: общие делители, наибольший общий делитель, взаимно простые числа. Составить алгоритм нахождения НОД. Эвристическая беседа, репродуктивный, частично-поисковый, УДЕ
Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа: решение задач Урок усвоения теории. В совместной деятельности с учащимися закрепить новые знания и умения по теме Наибольший общий делитель; отработать систему упражнений, практических и творческих заданий на применение полученного алгоритма. Эвристическая беседа, репродуктивный, частично-поисковый
Наименьшее общее кратное Комбинированный урок. В совместной деятельности с учащимися сформулировать определения понятия Наименьшее общее кратное. Составить алгоритм нахождения НОК Эвристическая беседа, репродуктивный, частично-поисковый
Наименьшее общее кратное: решение задач Урок решения ключевых задач. В совместной деятельности с учащимися закрепить новые знания и умения по теме Наименьшее общее кратное. Исследовать простейшие числовые закономерности, проведение числовых экспериментов. Эвристическая беседа, репродуктивный, частично-поисковый
Решение задач по теме «Делимость чисел» Урок обобщения и систематизации знаний. В совместной деятельности с учащимися рассмотреть виды задач, решаемых в рамках темы «Делимость чисел». Отработать умение анализа и осмысления текста задачи, моделирования условий с помощью схем и рисунков. Эвристическая беседа, репродуктивный, частично-поисковый
Контрольная работа № 1 по теме «Делимость чисел» Урок проверки и оценки знаний Проверка и оценка усвоения приобретенных ЗУН по теме. Репродуктивный, частично-поисковый